Теоретическое исследование режимов сверхкритической флюидной экстракции в полидисперсном слое растительного сырья Саламатин Артур Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Диффузионное описание и анализ процесса сверхкритической флюидной экстракции методами теории подобия 26

1.1 Описание процесса в рамках механики многофазных сред 26

1.1.1 Макромасштабное описание 26

1.1.2 Континуальная модель одиночной частицы 29

1.2 Качественный анализ процесса сверхкритической флюидной экстракции методами теории подобия 34

1.2.1 Характерные масштабы процесса на микроуровне отдельной частицы 34

1.2.2 Поток с поверхности частиц масличного сырья 39

1.2.3 Характерные масштабы процесса на макроуровне

1.3 Чувствительность кривой выхода масла к параметрам микромасштабной схематизации 50

1.4 Выводы 54

Глава 2. Исследование модели сверхкритической флюидной экстракции в полидисперсном зернистом слое в рамках приближения сужающегося ядра .

Интерпретация экспериментальных данных 56

2.1 Теоретический анализ и апробация полидисперсного приближения 56

2.1.1 Постановка задачи сверхкритической флюидной экстракции в рамках приближения сужающегося ядра 56

2.1.2 Аналитическое решение задачи 59

2.1.3 Характерная форма кривой выхода масла: теория и эксперимент 63

2.2 Гранулометрический состав зернистого слоя з

2.2.1 Микроскопическое наблюдение частиц молотого просеянного сырья 66

2.2.2 Типичные функции объемного распределения частиц молотого растительного сырья 69

2.3 Бидисперсное описание зернистого слоя. Апробация модели 72

2.3.1 Общая теория бимодального зернистого слоя 72

2.3.2 Идентификация модели бидисперсного слоя по экспериментальным данным

2.4 Формулировка и анализ обратной задачи восстановления функции распределения частиц по экспериментальной кривой выхода масла 83

2.5 Итерационный алгоритм с предобуславливателем для решения обратной задачи в случае сферических частиц 86

2.6 Выводы 91

Глава 3. Оптимизация процесса сверхкритической флюидной экстракции 93

3.1 Постановка первой задачи оптимизации 93

3.2 Стратифицированные упаковки 97

3.3 Задача оптимизации при постоянной скорости фильтрации 105

3.4 Автомодельные решения. Плоские частицы 108

3.5 Оптимальный режим фильтрации растворителя. Сферические частицы 113

3.6 Выводы 119

Заключение 120

Список литературы

• Качественный анализ процесса сверхкритической флюидной экстракции методами теории подобия
• Чувствительность кривой выхода масла к параметрам микромасштабной схематизации
• Постановка задачи сверхкритической флюидной экстракции в рамках приближения сужающегося ядра
• Задача оптимизации при постоянной скорости фильтрации

Введение к работе

Актуальность. В развиваемых в настоящее время технологических процессах все шире применяются сверхкритические флюиды — вещества, находящиеся в сверхкритических условиях. Новые технологии расширяют производственные возможности и превосходят традиционные промышленные методы по эффективности и экологичности.

Данная работа посвящена теоретическому исследованию процессов сверхкритической флюидной экстракции (СФЭ) целевых компонентов из высокомасличного растительного сырья, в частности, семян подсолнечника, миндаля, тыквы, рапса и др. Экстракция осуществляется фильтрацией растворителя (сверхкритического диоксида углерода) с известным расходом через стационарный зернистый слой, составленный из частиц измельченного материала. В ходе межфазного массообмена экстрагируемые соединения (масло) переходят в фильтрующийся поток и выносятся им из аппарата, после чего они отделяются от растворителя.

Дальнейшее совершенствование существующих и создание новых технологий СФЭ, планирование и обработка данных экспериментальных исследований невозможны без глубокого теоретического анализа процессов экстракции на основе современных представлений механики многофазных сред. Явления массопереноса необходимо рассматривать как на микроскопическом уровне отдельной частицы сырья, так и на макроскопическом уровне аппарата в целом. В настоящее время отсутствует единый, обобщенный подход к описанию экстракции, адекватно учитывающий его пространственно-временную многомас-штабность и с достаточной полнотой охватывающий наблюдаемые эффекты. Известные частные модели далеко не всегда согласуются между собой и результатами экспериментов.

Становится очевидной необходимость дальнейшего развития и обобщения теоретических методов описания СФЭ, разработки средств идентификации моделей и оптимизации изучаемых процессов экстракции, что и определяет актуальность темы диссертации.

Целью работы является теоретическое исследование режимов сверхкритической флюидной экстракции в рамках механики многофазных сред на основе двухмасштабного описания процесса СФЭ из полидисперсного зернистого слоя растительного сырья, а также разработка методов идентификации и оптимизации процессов экстракции.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

1. Разработать в рамках современных представлений механики многофазных сред обобщенное двухмасштабное описание процессов экстракции в полидисперсном зернистом слое как на микроуровне в масштабах отдельных частиц с учетом основных возможных механизмов диффузионного транспорта извлекаемых веществ, так и в масштабах аппарата-экстрактора в целом.

1. Выполнить теоретическое исследование разработанной обобщенной модели СФЭ методами теории подобия и анализа размерностей, оценить возможность идентификации различных режимов экстракции на микроуровне отдельных частиц. Обосновать достаточность подхода сужающегося ядра (Shrinking Core — SC) для описания основных режимов процесса экстракции в полидисперсном зернистом слое при наличии пылевой фракции.

2. Распространить подход сужающегося ядра на случай полидисперсного слоя сферических частиц, построить приближенно-аналитическое решение задачи СФЭ, обосновать и выполнить на этой основе процедуру идентификации модели SC на имеющихся опытных данных для полидисперсных сред.

3. Сформулировать и исследовать обратную задачу идентификации фракционного состава зернистого слоя по экспериментальной кривой выхода масла в рамках подхода SC, построить точное решение задачи в случае плоских частиц и разработать алгоритм ее численного решения для сферических частиц.

4. Исследовать влияние различных факторов (степени измельчения сырья, пространственной неоднородности фракционного состава зернистого слоя по длине аппарата и изменения расхода растворителя) на эффективность процесса экстракции с целью определения оптимальных режимов СФЭ.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются подходы механики многофазных сред, методы асимптотического анализа, итерационные алгоритмы численного решения нелинейных задач математической физики. При формулировке и решении задач оптимизации применяются методы теории управления системами с распределенными параметрами, обратные задачи решаются методом подбора квазирешения. В экспериментальной части исследований выполняется анализ дисперсности частиц на основе явления лазерной дифракции света и используются методы световой микроскопии (метод светлого поля в отражённом свете).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Формулировка и анализ методами теории подобия и размерностей обобщенной модели массопереноса на уровне отдельной частицы измельченного сырья, учитывающей ее клеточное строение и основные механизмы транспорта. Определение границ применимости модели сужающегося ядра для описания основных режимов СФЭ в полидисперсных зернистых слоях.

2. Результаты апробации модели сужающегося ядра в бидисперсном приближении. Экспериментальное подтверждение гипотезы о бимодальном характере функции распределения частиц зернистого слоя по размерам. Определение физических констант процесса СФЭ для семян тыквы, абрикоса, подсолнечника и винограда.

3. Постановка и решение обратной задачи восстановления фракционного состава зернистого слоя сферических и плоских частиц. Аналитическое представление обратного оператора в случае плоских частиц, обоснование сходимости итерационного алгоритма в случае сферических частиц.

4. Доказательство оптимальности локально монодисперсной стратифи-

цированной упаковки полидисперсных частиц в аппарате в классе возможных способов упаковки при фиксированной и однородной пористости слоя.

5. Постановка и решение двух задач оптимизации процесса СФЭ по расходу растворителя со временем, способу упаковки полидисперсных частиц в аппарате, а также степени их измельчения, характеризуемой функцией объемного распределения частиц по размерам.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 30 работах, 8 из которых опубликованы в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК. Из них 7 проиндексированы в международных системах цитирования Scopus и Web of Science. Также зарегистрированы 2 авторских свидетельства на программы для ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 25 конференциях и семинарах. Основные из них: VII, VIII Научно-практические конференции с международным участием «Сверхкритические флюиды: фундаментальные основы, технологии, инновации», г. Зелено-градск, 2013, 2015; Всероссийская конференция «Обратные краевые задачи и их приложения ОКЗ», КФУ, г. Казань, 2014; XIV, XV Международные конференции «European Meeting on Supercritical Fluids EMSF», г. Марсель, 2014, г. Эссен, 2016; XXI, XXII Международные конгрессы «International Congress of Chemical and Process Engineering CHISA», г. Прага, 2014, 2016; ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, КФУ, г. Казань, 2015; XI Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения», КФУ, г. Казань, 2016; Итоговые конференции КФУ за 2015 и 2016 года, КФУ, г. Казань, 2016 – 2017.

Достоверность полученных результатов обеспечивается адекватным применением классических методов механики многофазных сред, а также корректным использованием численных методов при построении приближенных решений систем дифференциальных уравнений. Результаты моделирования в рамках развитых подходов согласуются с представительным набором экспериментальных данных, полученных другими авторами.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

Построена общая, многопараметрическая модель массопереноса на уровне отдельной частицы измельченного сырья, конкретизирующая внутреннее строение растительного материала. Проведен ее анализ методами теории подобия и анализа размерностей, определены границы применимости известных, упрощенных микромасштабных подходов. Создана разностная схема для расчета микро- и макромасштабных характеристик СФЭ в полидисперсном слое молотого сырья.

В рамках микромасштабного подхода сужающегося ядра построено аналитическое решение модели СФЭ из полидисперсного зернистого слоя. Получены асимптотические разложения для кривой выхода масла (КВМ) после окончания линейного этапа, а также для продолжительности последнего. Идентифицированы характеристики (коэффициент диффузии, концентрация насы-

щения и исходная масличность) молотых семян различных масличных культур.

Сформулирована и решена обратная задача восстановления фракционного состава полидисперсного зернистого слоя по экспериментальной КВМ.

Найдены и проанализированы оптимальные режимы экстракции. Исследовано влияние на динамику СФЭ таких управляющих параметров, как исходные запасы растворителя, зависимость его расхода от времени, плотность объемного распределения частиц по размерам, а также функция упаковки. Определена зависимость скорости фильтрации от времени, позволяющая использовать наиболее грубый помол сырья.

Научная и практическая значимость. Диссертация носит в основном теоретический характер и направлена на расширение знаний о взаимодействии фильтрующегося потока растворителя с целевыми веществами, как на микроуровне индивидуальной частицы, так и на макроуровне порового пространства аппарата в условиях СФЭ. Предложенная и апробированная во второй главе модель сужающегося ядра с учетом полидисперсности зернистого слоя может применяться как основа для разработки и оценки эффективности промышленных установок. Результаты оптимизации, изложенные в третьей главе, указывают на существование экономически более выгодных режимов работы экстрактора по сравнению с используемыми в настоящее время.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Академии Наук Республики Татарстан (гранты № 15–41–02542 р_поволжье_а и 16–31–00007 мол_а).

Объем и структура работы. Полный текст диссертации с 35 рисунками и 5 таблицами изложен на 140 страницax, и состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и одного приложения (на 5 страницах). В конце каждой главы сформулированы выводы. Список литературы содержит 151 наименование.

Качественный анализ процесса сверхкритической флюидной экстракции методами теории подобия

Обзор [56] научных исследований за период с 2000 по 2013 год показывает, что среди различных подходов [41;43;44;115] к описанию процесса на микроуровне наиболее употребительными являются схематизации сужающегося ядра (SC) [37;38] и целых и разрушенных клеток (BIC) [16;98]. Их апробация проводится в работах [8;34;57;61;116–118] и [35;36;59;111;118–121] соответственно. В основе модели SC лежит предположение о том что проницаемость клеточных мембран значительно превосходит проводимость транспортных каналов. Изначально при моделировании процессов СФЭ в рамках этого подхода рассматривалось монодисперсное приближение зернистого слоя [37;38]. В то же время, проведенное автором обобщение модели для сферических частиц на полидисперсный случай и одновременное решение семейства микромасштабных задач, позволяет в значительной степени улучшить согласие теории с экспериментальными данными [33;60]. В модели BIC, наоборот, считается, что высока проводимость транспортных каналов при низкой проницаемости клеточных мембран. В рамках этого подхода решение полной задачи нечувствительно к дисперсному составу зернистого слоя, и невозможно учесть обусловленные его полидисперс-нотью эффекты.

Несмотря на высокую практическую значимость, модели SC и BIC в значительной степени идеализируют внутренние свойства сырья и не позволяют проанализировать в рамках единообразного подхода весь спектр основных режимов массопереноса в отдельной частице.

Согласно общим представлениям [66] растительный материал образован двумя взаимодействующими системами — симпластной и апопластной. Симпласт занимает около 90% объема сырья и состоит из внутриклеточных областей (см. рисунок 1.1). Он является местом изначальной локализации целевых извлекаемых соединений, которые, как правило, равномерно распределены по объему этой системы [122]. Также в клетке имеются различные включения, содержащие белки и органеллы клетки и не участвующие в экстракции. Объемную долю этих включений обозначим через 0 0.1.

Апопласт представляет собой совокупность проводящих клеточных стенок и межклеточного пространства, отмеченных на рисунке 1.1 цифрами 2 и 3 соответственно, и выполняет транспортную функцию для экстрактивных веществ [123]. Обычно толщина растительной стенки не превосходит одного микрона, и, следовательно их объемная доля 0.1 (при характерном радиусе клетки 10 мкм).

Таким образом, отдельные частицы растительного сырья (как и зернистый слой) на своем микромасштабном уровне также характеризуются неоднородной внутренней структурой. Это, в свою очередь, предопределяет необходимость Рисунок 1.1 — Схема клеточного строения растительного сырья. 1 — насыщенный раствор масла в сверхкритическом CO2, проникшем в клетку; 2 — клеточная стенка; 3 — межклеточное пространство; 4 — масляные капли, окруженные насыщенным раствором; 5 — клеточная мембрана; 6 — белки и другие внутриклеточные образования, не участвующие в экстракции. дальнейшей разработки континуального описания транспортных механизмов на уровне клеточного строения частиц, в которых маслосодержащей структурной единицей является клетка. В условиях лабораторных опытов характерный радиус частиц, образующих основную фракцию, превышает 100 мкм. При характерном диаметре клеток 20 мкм [20; 122; 124] такие частицы содержат свыше 103 клеток. Приведенные оценки подтверждают возможность континуального описания частиц основной фракции.

Совокупность двух систем (апопласт и симпласт) будем рассматривать в рамках концепции (двух) «взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов» [45]. Системы обмениваются целевыми соединениями через разграничивающую их клеточную мембрану — плазмалемму (см. рисунок 1.1). Соответствующий приведенный коэффициент массоотдачи, выражающий количество масла, проникающего через единицу поверхности мембраны клетки в единицу времени при единичной разности концентраций вещества в клетке и в окружающем ее апопласте, и деленный на радиус клетки, обозначим через c. Будем считать, что массоперенос масла по межклеточным транспортным каналам (по апопласту) осуществляется по закону Фика с соответствующим эффективным коэффициентом диффузии Da. Эффекты сорбции [40; 41; 125–128] для масличных культур несущественны и здесь не рассматриваются. Для обозначения характеристик апопластной системы будем использовать индекс а, а для симпластной - индекс s. По предположению, движущей силой массопереноса в апопластной транспортной системе является градиент концентрации 9а. Последняя есть масса целевых веществ в единице объема транспортной системы. В то же время в симпласте масло содержится в двух фазах: в виде раствора в экстрагенте, проникшем в клетку, и нерастворенных «капель». Концентрацию раствора (плотность растворенных в его объеме целевых веществ) обозначим через 9S. Полную массу текущих запасов масла в клетке, распределенную по обеим фазам и отнесенную к объему всей клетки, обозначим через xs с начальным значением xs. Принята следующая схема растворения масла в клетке. Во время экстракции оно из капель переходит в раствор, мгновенно восполняя концентрацию 9S до концентрации насыщения в . После полного истощения масляных капель 9S в . Учитывая мгновенное восполнение раствора до насыщения в , выражение для концентрации 9S в симпластной системе примет следующий вид 0в = тіп{0„жв/(1-єо)}. (1.5) Выполнение условия 9 = xs/(l — єо) определяет момент полного истощения масляных капель в клетке, после которого в ней содержатся только неэкстраги-руемые включения и раствор при концентрации 9S = xs/(l — єо) 1.

В принятых обозначениях общее изменение количества масла в единице объема частицы за счет его диффузии по апопласту запишется следующим образом (1 - є) - + е - = DaA9a. (1.6) В силу сферической симметрии частиц и микромасштабных процессов лапласиан содержит только радиальную часть — дифференцирование по координате г, отсчитываемой от центра частицы. Отток масла из клетки в транспортную систему через плазмалемму описывается следующим балансовым соотношением (1 - є) = -3(1 - є)рс(в8 - ва). (1.7) Для замыкания уравнений (1.5) - (1.7) баланса массы в индивидуальной частице необходимо задать начальные и граничные условия.

В силу начального этапа установления термодинамического равновесия можно считать, что к началу экстракции концентрация масла в апопласте равна 9 . С учетом закона сохранения массы это приводит к некоторому снижению плотности xs масла к моменту t = 0. В то же время емкость апопласта, определяемая величиной ев , достаточно мала по сравнению с исходной плотностью масла ха в клетках, и этим изменением часто пренебрегают [7], и начальные значения микромасштабных характеристик становятся

Чувствительность кривой выхода масла к параметрам микромасштабной схематизации

Как следует из первой главы, модель сужающегося ядра описывает режимы массопереноса на уровне частиц основной фракции как в представительных и практически важных сериях лабораторных опытов [9;11], так и в установках промышленного типа [115;119;126]. Более того, этот подход позволяет учесть и наличие пылевой фракции. Действительно, в силу малого характерного времени массообмена таких частиц с фильтрующимся потоком растворителя микромасштабные модели извлечения свободного продукта оказываются эквивалентными с точностью до определения эффективных параметров. В рамках приближения SC таким параметром является эффективный радиус пылевых частиц с независящим от степени измельчения коэффициентом диффузии Da. Таким образом, микромасштабная модель сужающегося ядра применима для описания массопе-реноса во всех фракциях частиц полидисперсного зернистого слоя.

В данной главе наряду со сферическими частицами рассматриваются и плоские частицы, толщина которых много меньше их продольных размеров. Помимо практического аспекта, связанного с экстракцией масла из листьев растений, специальный интерес к плоским частицам вызван двумя обстоятельствами. Во-первых, полученные в этом случае расчетные формулы оказываются наиболее простыми и наглядными с точки зрения их теоретического анализа. Во-вторых, как будет показано в дальнейшем, в широком и практически важном временном диапазоне динамика экстракции масла из полидисперсного слоя частиц любой формы на начальных этапах экстракции описывается теми же асимптотическими формулами, что и для плоских частиц [34], для которых размер a имеет смысл полутолщины, и — а г а — линейная координата. Положение г = О соответствует плоскости симметрии, по разные стороны от которой в приближении SC формируются фронты выработки, г/а = -R и г/а = R, ограничивающие внутреннее маслосодержащее ядро. Аналогично в сферических частицах формируется ядро сферической формы радиуса aR.

Кинетику истощения частицы произвольной формы будем характеризовать переменной s — долей масла, извлеченного из частицы к моменту времени t. Определим индекс формы т частиц, он принимает значения 1 и 3 для плоских и сферических частиц соответственно. Тогда s можно выразить через нормированный на размер а радиус сужающегося ядра R s= 1- Rm, R\ = 1. (2.1) Учитывая практическую направленность дальнейших исследований главы, математическое описание СФЭ удобно привести в новых безразмерных переменных. Определим соответствующие масштабы процесса для координаты вдоль оси аппарата, времени и размера частиц которые будем использовать на протяжении всей главы. За безразмерными временем, пространственной координатой и размером частиц сохраним прежние обозначения: г, ( и . В этих обозначениях новый безразмерный радиус = a/asc совпадает с критерием т?-1/2, определенным в пункте 1.2.3 как мера эффективности условий СФЭ по отношению к выделенной фракции.

Новые масштабы (2.2) являются характерными для большинства лабораторных экспериментов и наиболее удобны для представления измеренных кривых выхода масла. Так, время опыта t составляет, как правило, порядка tqsc, и т 2 - 4. Характерный размер asc есть максимальный размер частиц, которые истощаются за время tsc. Он определяется из условия равенства tqsc и времени экстракции a2sc/2mDaQ частицы соответствующего размера. Таким образом, значение asc выступает в роли условной границы между размерами, соответствующими пылевой фракции, а asc, и размерами частиц основной фракции, а asc. В новых обозначениях, где С((,т) по-прежнему нормирована на 9 , в квазистационарном приближении уравнение материального баланса (1.30), моделирующее процесс СФЭ на макроуровне, сохранит свой вид

Для замыкания задачи учтем связь (1.25) между функцией истощения s и потоком J, которая в новых переменных записывается следующим образом

Учитывая это соотношение, зависимость s(R) (2.1), а также выражение (1.28) для макроскопического потока J(R) с единицы поверхности сферических частиц (ш = 3) и аналогичное выражение, полученное в работах [32; 60], для плоских частиц (ш = 1), окончательно можем записать g = W , .L, = 0, (2.4) где 1 0.5(1 -sW3 Ai(s) = 2? Лзм = і-(і-;)і/з (2.5) имеют смысл интегрального коэффициента диффузии. Формула (1.31) для определения кривой выхода масла Y{r) через концентрацию С(1,т) у выходного сечения (С = 1) примет следующий вид Y(T)= / C{l,uj)duj. o Безразмерная постановка задачи (2.3) - (2.5) не содержит ни одного параметра, определяющего сырье и условия процесса. Для соотнесения решения задачи в безразмерной постановке с реальными условиями опыта необходимо задание значений величин xs,9 иDa, которые однозначно определяют характерные масштабы (2.2) и конкретизируют сырье в рамках принятой схематизации. Вообще, эти параметры зависят и от термодинамических условий процесса. Их значения, как правило, заранее неизвестны и должны определяться на основе идентификации модели по имеющимся экспериментальным данным.

Аналитическое решение задачи (2.3) - (2.5) известно для случая монодисперсного зернистого слоя сфер (ш = 3) [8], а также полидисперсного слоя плоских частиц (ш = 1) [31]. Решения записаны в терминах С и Л. В то же время практический интерес представляют аналитические формулы, позволяющие непосредственно определить интегральную динамику накопления масла — КВМ в общем случае. Соответствующее обобщение проведено в следующем пункте, где представлено аналитическое решение задачи (2.3) - (2.5), обобщающее частные случаи фракционного состава зернистого слоя и формы частиц.

Постановка задачи сверхкритической флюидной экстракции в рамках приближения сужающегося ядра

Как уже обсуждалось, для многих видов растительных клеточных структур характерной особенностью процесса СФЭ является резкая смена режима экстракции, которая отчетливо проявляется при анализе экспериментальных КВМ. Выполненные выше натурные исследования показывают, что наблюдаемые в лабораторных опытах эффекты непосредственно связаны с полидисперсностью зернистого слоя, с его бимодальностью: наличием пыли и основной фракции относительно крупных частиц. Такое же соображение высказывают авторы работы [31]. Важно, что на мелкодисперсную фракцию приходится значительная массовая доля зернистого слоя. Для частиц основной фракции должно использоваться приближение SC, так как в соответствии с результатами главы 1 диффузия поперек клеточной мембраны не является лимитирующим фактором массопере-носа в крупных частицах. В то же время динамику истощения пылевых частиц в силу малого характерного времени их выработки достаточно также описывать в рамках модели SC, определяя эффективный размер пыли при коэффициенте диффузии, не зависящем от степени измельчения сырья.

Эта концепция развивается автором в работах [73; 75; 79] и апробируется на представительном наборе экспериментальных данных, доступных в литературе [9; 11; 102; 135]. Бимодальные среды отличаются двумя характерными значениями размеров частиц - малым ( ц 50 мкм) и большим (а2 1000 мкм). Плотность /() распределения частиц в таких средах имеет два локальных максимума, один из которых лежит в области малых, а второй — в области больших значений . Теоретически свойство бимодальности описывается плотностью распределения специального вида /(0 = a/i(0 + (l-aO/2(0; где через а и 1-а обозначены доли мелко- и крупнодисперсной фракций, а через fi — их плотности распределения. Соответственно уточним выражение (2.9) для функции к(т) к(т) = а з(т/Є)М№ + (!-«)/ s(r/e)f2(0dL (2.14) o o характеризующей степень истощения некоторого сечения зернистого слоя.

Напомним, что характерный размер частиц asc отделяет мелкодисперсную фракцию, характерное время выработки которой не превышает масштаб tqsc опыта, от основных частиц, время истощения которых значительно превышает вы бранный масштаб. В связи с этим характерные значения аргумента у f1 () много меньше, а у /2() — много больше единицы. Тогда значения первого интеграла в правой части уравнения (2.14) определяются поведением s(tpm) при (рт — оо, а второго — при ifm — 0. Имея в виду, что для плоских и сферических частиц s(ipm 1) = 1 и s(ipm) = /тлр + 0((рт) при рт - 0, получим frrvr +ос к(т) а + (1-а) С0 0 С Ь-1=Г . (2.15) 0 S Величина Z01 1 и представляет собой удельную поверхность ансамбля частиц крупной фракции. Такая аппроксимация к(т) фактически означает, что мелкодисперсная фракция представлена частицами пренебрежимо малого размера, каждая из которых вырабатывается мгновенно, а полная объемная доля пыли в аппарате равна а.

Обратим внимание, что при выводе (2.15) фактически предполагалось, что т $. Следовательно, использование (2.15) в формулах (2.11) и (2.12), дающих общее решение задачи, допустимо лишь для временного интервала, много меньшего, чем 02. Как отмечалось в начале главы, именно такой временной интервал, т = 0(1), типичен для лабораторных опытов. При этом подстановка (2.15) в (2.11) и (2.12) вполне оправдана. Об этом свидетельствует и апробация модели, результаты которой обсуждаются далее.

Интересно отметить также, что полученное выражение (2.15) для к(т) по форме в точности совпадает со случаем бидисперсной среды, состоящей из плоских частиц двух типов: одни (с долей а) — пренебрежимо малого размера, другие (с долей 1-а) — размера Это объясняется тем, что на временах т 1 подвижный фронт истощения проникает вглубь крупных частиц на малое по сравнению с их размером расстояние, процесс экстракции определяется только общей удельной поверхностью частиц основной фракции. Их форма при этом никак не проявляется. Подстановка (2.15) в (2.11) приводит к следующему неявному алгебраическому уравнению относительно КВМ Y(г) при т_ г С 02: Т- = а + - 12 + 0{к2). (2.18) Асимптотические формулы (2.17) - (2.18) определяют полное решение задачи о СФЭ масла из бимодальной зернистой среды на конечных временах как для плоских, так и для сферических частиц. Характерный вид полученного решения представлен на рисунке 2.4 пунктирной линией. Как видно, предположение о бимодальности засыпки полностью объясняет наблюдаемый характер экспериментальных закономерностей, и в рамках принятого представления /() справедливо для любых унимодальных функций jx и /2. Использованный при выводе асимптотических формул (2.17) - (2.18) подход позволяет построить выражения для У и т_ по малому параметру 1 — О любой наперед заданной точности. Важно уточнить приближенные формулы для ансамбля сферических частиц (ш = 3) и учесть кривизну их поверхности. Для этого достаточно воспользоваться двумя членами разложения функции s в окрестности нуля s((pz) = у/3 -- з + 0( з/2), Аз 0. Определим параметр полидисперсности Q SO 2 и представим поправку на полидисперсность фракции основных частиц к функции к в следующем виде к(т) « а + (1 - а) - - -(1 - а)П . (2.19) Для монодисперсной фракции основных частиц с размерами 0 параметр полидисперсности Q в точности равен единице и растет при увеличении дисперсии распределения /2(), чем и объясняется выбор названия. Таким образом, третье слагаемое в (2.19) учитывает как дисперсию размеров частиц основной фракции, так и кривизну их поверхности.

Задача оптимизации при постоянной скорости фильтрации

Разработанная в главе 1 обобщенная модель (1.3) - (1.4), (1.13) - (1.15), а также развитое в главе 2 описание (2.3) - (2.5), основанное на микромасштабной схематизации SC, позволяют проанализировать возможности оптимизации исследуемого процесса СФЭ. В рамках классических подходов [148] к решению этого вопроса формулируется задача оптимизации, состоящая из целевой функции (функции стоимости) и дифференциальных уравнений, описывающих динамику процесса. Также необходимо определить множество управляющих параметров системы и накладываемые на них ограничения.

Задачу оптимизации удобно формулировать относительно безразмерных переменных ( = z/zsc, T = t/t8C, = а/а8С, UJ = V/VSC: определяемых следующими масштабами zsc = H, vsc = -, a 2 sc = 2mtsc . (3.1) Масштаб времени tsc - длительность процесса СФЭ, некоторое фиксированное значение, S — площадь сечения аппарата, Q — объем растворителя, прокачанного через пористый слой за все время tsc. Характерный размер аас является граничным и делит множество частиц на два класса. При a asc частица может быть полностью истощена за время экстракции tsc, а частицы больших размеров, a asc, могут быть проэкстрагированы лишь частично даже в предельном случае, при С — 0. Как и прежде, безразмерная концентрация С нормирована на концентрацию насыщения в . По-прежнему, т — параметр формы частиц, равный 1 для плоских и 3 для сферических частиц.

При таком выборе масштабов безразмерная постановка задачи не содержит явным образом продолжительность работы установки, процесс всегда завершается в момент времени г = 1. Результаты анализа задачи соотносятся с натурными исследованиями посредством задания (как и прежде) величин ха, 9 и Da, а также времени tsc работы установки. Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. В качестве целевой функции выберем долю a = Y(l) масла, извлекаемого из аппарата за время tsc. Для понижения себестоимости конечного продукта величину а необходимо максимизировать a[F,x,w,7] max. (3.2) Максимальное значение a = 1 отвечает полному извлечению целевых веществ из зернистого слоя к моменту времени г = 1. Для полной экстракции необходимо также, чтобы нормированные размеры всех частиц 1.

Набор управляющих параметров состоит из трех функций, F(), х(С) и UJ{T), а также одного скалярного параметра, 7 [68; 69]. Функция объемного распределения F (или ее плотность /) характеризует степень измельчения сырья. Ее вид существенным образом зависит от способа и времени измельчения и от типа растительного материала. Безразмерная скорость фильтрации ш(т) растворителя может изменяться со временем. Параметр 7 равен отношению полного прокачанного объема растворителя Q к его минимальному количеству Qmin = HS(l — e)xs/6 , способному растворить все запасенные соединения, и характеризует степень перерасхода растворителя. Полное истощение (а = 1) возможно только при 7 = Q/Qmin 1.

Поясним смысл функции упаковки \, которая позволяет учесть пространственную неоднородность фракционного состава зернистого слоя по длине аппарата. Функция х(С, 0 представляет собой плотность объемного распределения частиц по размеру в сечении ( аппарата, и величина х(СО С означает объемную долю частиц, расположенных в слое [(; ( + d(] аппарата с размером в интервале [; + d]. При рассмотрении полидисперсных сред традиционно принимается, что частицы равномерно перемешаны в объеме аппарата, и функция упаковки х = /(0 не зависит от (. Однако разнокалиберные частицы могут быть распределены по объему аппарата неравномерно. Этого можно добиться, например, с помощью их предварительной сортировки (ситами или циклонами). Согласно выбору масштаба vsc (3.1) безразмерная скорость фильтрации должна удовлетворять условию нормировки / uj{r)dr o выступающему в качестве одного из ограничений задачи. Будем также считать, что после измельчения сырья в электромельнице дополнительное дробление или «склеивание» отдельных частиц не происходит. Таким образом, суммарный объем частиц размера f в аппарате остается неизменным и должен совпадать с таковым для измельченных частиц до их упаковки в аппарат. Следовательно, справедливо условие сохранения числа частиц заданного размера f

Замыкание задачи оптимизации подразумевает выбор математической модели управляемого явления. Наиболее общая постановка предполагает вычисление функционала а на основе обобщенной модели (1.3) - (1.4), (1.13) - (1.15), проанализированной в главе 1. Такой подход позволит учесть микромасштабные свойства сырья. Однако в главах и 2 сделан вывод о том, что для широкого класса растительного материала динамика экстракции пробной частицы может быть описана в рамках более простой схематизации сужающегося ядра (2.3) -(2.5). При первичном исследовании оптимизационных задач СФЭ ограничимся этой частной моделью, что позволяет получить аналитические результаты и сконцентрироваться на эффектах, обусловленных полидисперсностью.

Последнее уравнение решается для частиц каждой фракции полидисперсного сырья отдельно. Аналитический вид (pm(s) приведен в разделе 2.1.2 для разных форм частиц. Далее индекс m опущен, и излагаются общие результаты, справедливые для всех форм частиц, если это не оговорено особо.

Таким образом, рассматриваемая далее задача (3.2) - (3.4), (3.7) – (3.8) оптимизации содержит четыре управляющих параметра, F, \, и, 7, и два ограничения, (3.3) и (3.4). Значение целевой функции (3.2) определяется в результате интегрирования уравнений модели (3.7) - (3.8) процесса СФЭ.

Последовательно рассмотрим влияние каждого управления на значение функционала а. В связи с представленной постановкой задачи значительный интерес приобретает так называемая локально монодисперсная стратифицированная (ЛМС) упаковка. Как будет показано в следующем параграфе, она доставляет максимум текущему выходу Y{r) целевых соединений при любых фиксированных значениях параметров F, ш и 7 в течение всего времени проведения процесса, а не только при г = 1.