Стохастические свойства двухдиффузионной конвекции Сибгатуллин Ильяс Наильевич

Содержание к диссертации

Введение

2 Математическая постановка 11

2.1 Уравнения движения среды 11

2.2 Приближение Буссинеска 13

2.3 Полная система уравнений тепловой конвекции 15

2.4 Граничные условия Релея 20

3 Аналитический вывод критериев устойчи вости стационарных решений нелинейной системы (второе приближение по методу Бубнова-Галеркина) 32

3.1 Температурная конвекция 32

3.2 Потеря устойчивости конвективных валов . 34

3.3 Особенности двухдиффузионной конвекции . 36

3.4 Линейный анализ 38

3.5 Нестационарные режимы конвекции 40

3.6 Стационарные термосолевые валы и их устойчивость 45

3.7 Устойчивость стационарных решений нелинейной системы 47

3.8 Заключение 48

4 Применение метода Бубнова-Галеркина. Оценка близости численного решения к истинному решению посредством вычисления невязки исходной модели. Оценка скорости сходимости решения . 50

4.1 Применение метода Бубнова-Галеркина . 50

4.2 Адекватность численных методов 56

4.3 Определение невязки с помощью нормы в L

4.4 Сходимость и энергетические нормы 61

4.5 Моментные уравнения и когерентные структуры 62

5 Переход к турбулентности 68

5.1 Сценарий перехода к турбулентности 68

5.2 Поведение решения в фазовом пространстве . 72

5.3 Структура отображения Пуанкаре 77

6 Заключение 97

• Полная система уравнений тепловой конвекции
• Потеря устойчивости конвективных валов
• Нестационарные режимы конвекции
• Сходимость и энергетические нормы

Введение к работе

__-^-

QVZJD ^

1.1 Актуальность темы

Изучение возникновения и развития турбулентных гидродинамических течений имеет большое фундаментальное и прикладное значение. Турбулентные течения широко распространены в природе. При решении технических и промышленных задач описание турбулентных движений жидкости и газа играет важную роль. Поэтому исследование механизмов возникновения и развития турбулентности, эффективные способы расчета основных характеристик турбулентных течений принадлежат к числу актуальных задач современной гидромеханики. Г.И. Петров впервые начал использовать обобщенный метод Бубнова-Галеркина в теории гидродинамической устойчивости для несамосопряженных операторов. Впоследствии метод показал свою эффективность для исследования нелинейных задач, в том числе для описания турбулентных режимов.

Долгое время считалось, что хаос задается случайными начальными данными и прочими внешними причинами. Исследования Лоренца, Рю-эля и Такенса и последующие работы показали, что сценарий Ландау-Хопфа возникновения турбулентности, основанный фактически на суперпозиции независимых линейных возмущений, маловероятен. Новая теория была основана на рассмотрении нелинейных взаимодействий. И здесь на первый план выходит существование аттрактора в диссииа-тивных системах и чувствительная зависимость решений от начальных данных.

В то же время, несмотря на важное значение системы Лоренца, она не может адекватно описывать уравнения Навье-Стокса в турбулентном режиме. Это происходит потому, что по отношению к уравнениям Навье-Стокса система Лоренца является лишь вторым приближением по методу Бубнова-Галеркина. Кроме этого, как в частности показано в настоящем исследовании, свойства странного аттрактора при учете большего числа гармоник могут сильно отличаться от свойств странного аттрактора типа Лоренца. Поэтому актуальным является изучение невязки численного решения и изучение решений при соответствующем контроле малости невязки. При небольшой надкритичности механизм перехода к стохастическому режиму в гидродинамических диссипатив-ных системах соответствует отображению Пуанкаре в виде кривой с одним минимумом. Исследование сценария, по которому происходит даль-

нейшее развитие турбулентности, по-прежнему являвтгзгжт

дачей. С увеличением надкритичности структура аттЬакторвкзгЩйМ**!- \

но усложняется.

Так как в практических приложениях, в основном, измеряются осред-ненные характеристики течений, актуальным является также изучение возможности составления и решения уравнений для этих осредненных характеристик. Классические моментные уравнения могут расходится и актуальным является изучение свойств когерентных структур.

1.2 Цель работы

Изучение возникновения и развития турбулентных режимов двухдиф-фузиониой конвекции в горизонтальном плоском слое методом Бубнова-Галеркина.

Исследование невязки численного решения в турбулентных режимах.

Оценка возможности моделирования турбулентных режимов путем составления и решения моментных уравнений.

Изучение изменения структуры аттрактора при увеличении надкри-тичности.

1.3 Методы исследования

В работе применяются методы механики сплошной среды, математического анализа, качественной теории динамических систем, численные методы, в частности, метод Бубнова-Галеркина.

1.4 Научная новизна

Исследование позволило изучить структуру притягивающего многообразия и ее изменение с ростом надкритичности. Если фиксировать солевое числа Релея и увеличивать надкритичность по тепловому числу Релея, то возникающему стохастическому режиму в фазовом пространстве будет соответствовать аттрактор, имеющий вид двумерного листа Мебиуса. При этом точки отображения Пуанкаре будут располагаться вдоль одномерной кривой с одним минимумом. При дальнейшем увеличении теплового числа Релея будут наблюдаться бифуркации разрезания листа Мебиуса вдоль себя и области существования периодических решений, после которых структура стохастических решений усложняется, но отображение Пуанкаре сохраняет вид одномерной кривой.

Исследована зависимость относительной невязки в турбулентных режимах от числа опорных функций. Показано пространственное и временное распределение неязки.

Скорость сходимости исследовалась с помощью норм кинетической энергии и диссипативной функции в пространстве Соболева.

Проводится оценка сходимости цепочки модифицированных момент-ных уравнений с выделением когерентных структур. Классическая цепочка моментных уравнений в данной задаче расходится.

1.5 Достоверность полученных результатов

Замечательной особенностью данного численного исследования турбулентной конвекции является возможность оценить точность полученного решения.

При вычислении невязки решения, то есть при подстановке решения в исходную систему уравнений и вычисления остаточных членов в правой части, не требуется вычислять производную по времени. Таким образом не накапливается погрешность при вычислении невязки. Для оценки близости решения абсолютная невязка нормируется на основные силы в исходной системе уравнений. Скорость сходимости можно оценивать в пространстве Соболева с помощью норм энергетической и диссипативной функций.

1.6 Научная и практическая значимость

Наряду с фундаментальным значением работы практическая ценность данного исследования состоит, в частности, в разработке методики вычисления невязки, позволяющей определять необходимое количество гармоник для расчета при соответствующих надкритичностях.

Отметим, что свойства полученного на базе полных уравнений Навье-Стокса странного аттрактора принципиально отличаются от свойств аттрактора Лоренца. При этом наглядно демонстрируются свойства реальных систем гидродинамического типа, свойства аттрактора в фазовом пространстве, структура отображения Пуанкаре и изменения структуры аттрактора с ростом надкритичности.

Изучение данных стохастических режимов имеет важное значение при апробации различных методов расчета осредненных характеристик турбулентных течений, в частности с учетом выделения когерентных турбулентных структур.

1.7 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на

школе семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004, 2005),

международной конференции МСС-04 'Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (Москва, 2005), научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва 2004, 2005, 2006),

международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" (Москва, 1997, 2000, 2002, 2004, 2006),

6-ом математическом конгрессе по математическому моделированию, (Нижний Новгород, 2004)

конференции-конкурсе молодых ученых института механики МГУ (Москва, 2002,2004),

3-я Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2002),

международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2005),

8-ом всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001),

По материалам работы имеется свыше двадцати публикаций.

1.8 Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах и содержит 35 рисунков и 2 таблицы. Библиографический список включает 147 работ.

Полная система уравнений тепловой конвекции

Используя выражение тензора вязких напряжений ги с помощью феноменологического закона Навье-Стокса где, получаем уравнения Навье-Стокса 2 Или вводя "вторую вязкость" формулой окончательно получаем

В отличие, например, от течения с ударными волнами, где вторая вязкость принципиальна, при конвективном движении вторую вязкость не учитывают. Приближение Буссинеска

Далее приведем несколько аргументов в оправдание использования приближения Буссинеска. Из уравнения теплопроводности предположения о том что плотность р линейно зависит от температуры р = ро(1 — а(Т — То)) и уравнения неразрывности

В задачах конвекции движение возникает за счет перепада температуры (Ті — То) в слое толщиной h и теплопроводности сплошной среды. Введем параметр є = (Ті — То)а, считая его малой величиной. Если перейти к безразмерным величинам выписанное уравнение примет вид

Отсюда, в нулевом порядке по є, получаем условие несжимаемости divv = 0 и, таким образом, исключаем из уравнений Навье-Стокса (2.1) члены с divv.

В безразмерных переменных перед последним членом в правой части возникнет новый параметр - число Релея (а не :), который не является малым. Далее поделим обе части уравнений движения на р и пренебрежем в них членами порядка є : Указанные приближенные уравнения носят название уравнений Буссинеска. Таким образом эти уравнения могут быть получены как асимптотические при разложении по малому параметру є = а(Т—То). Подробное обсуждение приближения Буссинеска как асимптотического разложения см. в книге [125], страница 143.

Соответствующие дисперсионные уравнения имеют вид RTk2 = {пЧ2 + k2f. Для того, чтобы оценить наименьшее значение числа Релея, при котором происходит возникновение конвективных валов, найдем минимальное значение числа Релея как функции к2, получим к2 = . Таким образом мини 27тг4 „г„г мальное число Релея равно Нт = —;— = 657.5. 4 Перепишем теперь уравнения теории конвекции в безразмерном виде, введя обозначения а = и/к (число

Аналогично представленным выводам уравнений конвекции в плоском слое получаем уравнения для двухдиф-фузионной конвекции.

Пусть на границах плоского слоя z = О и z = Н поддерживаются постоянными температура и соленость, ускорение силы тяжести направлено вдоль оси z, h - расстояние между пластинами, RT=9010 Rs=8000 a=0.71 a=1 y (0)=1 e-006 n=16t=21 N 0. Рис. 2.2: Постановка задачи. На верхней и нижней границах температура и соленость постоянны и отличаются на AT и AS соответственно. Изображены линии тока для параметров, указанных сверху рисунка. На рисунке высота слоя равна 1, при этом по оси х волновое число а = - г. Подробнее поведение линий тока и изотерм будет рассмотрено в главе 6. Ті t Si - температура и соленость на верхней пластине, То, So- на нижней.

В дальнейшем считаем, что плотность не зависит от давления, а от температуры и концентрации зависит линейно Для потока концентрации соли в растворе будем считать справедливым закон Фика, и следовательно для солености имеет место уравнение диффузии

В статическом случае (при отсутствии конвекции) считается, что температура и соленость распределены по высоте линейно.

В качестве единиц длины и времени выберем Н и Н2/кт, где кт — коэффициент диффузии тепла. Обезразмерим все длины с помощью расстояния между границами h, время с помощью к2/кт, где кт — коэффициент диффузии тепла, функцию тока с помощью коэффициента теплопроводности, температуру с помощью Т0 - Ті : г = Т/(Т0 - Ті), соленость S0 - &: s = S/(S0 - Si).

Потеря устойчивости конвективных валов

Может возникнуть предположение, что странный аттрактор возникает только при приближенном описании гидродинамических систем с помощью конечного числа гармоник. Укажем остроумный пример, найденный Велан-дером, где система Лоренца получается точно.

Рассмотрим вертикально поставленную тороидальную трубу, заполненную вязкой жидкостью с термическим коэффициентом расширения а: р = р0(1 — а(Т — То). Радиус поперечного сечения трубы будем предполагать много меньше радиуса кольца (тора) R. Плотность, давление, температуру будем считать постоянными по сечению трубы, а скорость жидкости распределенной по сечению по параболическому закону. Применяя интегральную теорему о моменте количества движения ко всей массе жидкости получим где и = и (t)- угловая скорость движения жидкости (из уравнения несжимаемости следует, что она не зависит от угла ф. Уравнение теплопроводности в данном случае можно записать в виде

Здесь Tw- температура стенок трубы, которая предполагается распределенной линейно по высоте

Предполагается, что приток тепла в жидкость пропорционален разности температур жидкости и трубы с коэффициентом теплообмена К. Коэффициенты к, v здесь пропорциональны соответствующим диссипативным коэффициентам. Будем искать решение системы (3.2, 3.3) в виде

Эта система относительно cj,ai,6i после очевидных замен сводится к системе Лоренца. Таким образом в вертикально поставленной трубе находящейся в температурном линейно убывающем поле, жидкость начнет вращаться с постоянной угловой скоростью при ap0gR2(Т0 — Ті)/2(К + k)v 1. Однако это вращение становится неустойчивым для достаточно больших чисел Релея, приобретая стохастические свойства.

Двухдиффузионная конвекция (биоконвекция, конвекция в соленой жидкости, некоторые модели конвекции в звездах) отличается от чисто температурной конвекции: интенсивность движения подсаливаемой и подогреваемой жидкости может нарастать даже когда плотность убывает с высотой, т. е. когда базовое статичное состояние устойчиво. Этот явление связано с эффектом диффузии, который оказывает стабилизирующее влияние в случае температурной конвекции, но в двухдиффузионной конвекции может выступать в роли освободителя потенциальной энергии, заключенной в одной из компонент и переводить ее в кине тическую энергию движения. Описанные эффекты имеют свое отражение в свойствах динамических систем, полученных по методу Бубнова-Галеркина. Физический механизм, лежащий в основании одной из основных форм двухдиффузионного движения, может быть прояснен следующим рассуждением: Рассмотрим жидкость, у которой соленость и температура монотонно убывают с высотой.

Если жидкая частица поднимается, она попадает в более холодную, менее соленую и менее плотную среду. Из-за того,что скорость молекулярной диффузии тепла (теплопроводности) больше, чем солености, температурное поле частицы выравнивается быстрее, чем ее поле солености. Тогда частица становится тяжелее окружающей среды и тонет. Но из-за конечности температурного коэффициента дуффузии, температурное поле частицы не успевает выравниваться с температурным полем среды в которую она попала и т. о. приходит в свое изначальное положение тяжелее. Вследствие чего она опускается еще глубже. Далее процесс повторяется, что ведет к нарастающим колебаниям. Последние в конце концов приводят к появлению термосолевых конвективных валов, которые, в отличие от чисто температурной конвекции, при потере устойчивости конечным образом отличаются от статического решения.

Если градиент температуры достаточно большой, чтобы быть сравнимым с градиентом солености, могут существовать нелинейные возмущения, которые ведут к стационарным движениям, т.к. большой градиент температуры способен подавить восстанавливающую тенденцию поля солености.

Для линейного анализа статического решения системы пренебрежем в ней правыми частями и будем ее решение искать в виде При этом граничные условия выполняются автоматически. Для функций фп{і)і T u(t), su(t) из (2.8) получаем систему і Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид det О = 0, где матрица Q равна

Нестационарные режимы конвекции

Естественнее всего определить невязку решения в пространстве Li. Несбалансированные члены в уравнениях появляются только в якобианах правой части уравнений. Для якобиана в уравнении теплопроводности несбалансированные члены возведем в квадрат и проинтегрируем по длине волны и по вертикальному расстоянию. Затем отнесем это выражение к такому же но полученному для всех членов якобианов, куда подставлено решение с данным числом гармоник, суммированному с квадратом нормы характерного линейного члена Тогда получим относительную величину невязки, характеризующую точность приближения решения с помощью конечного числа пространственных гармоник.

Прямым путем оценки сходимости является вычисление нормы L2 членов, которые остались некомпенсированными после подстановки решения в исходную систему уравнений Навье-Стокса. Некомпенсированные члены содержаться в правой части полной системы уравнений из главы 2. В качестве меры сходимости мы будем брать сумму

Динамические системы, соответствующие приведенным уравнениям в частных производных, по терминологии авторов [58], принадлежат к системам гидродинамического типа, сжимающим фазовый объем с течением времени.

С целью оценки сходимости решений в форме (5), где функции ipij,Tij,Sij удовлетворяют системам гидродинамического типа, для решений исходной системы введем энергетическую норму решения E(t), пропорциональную кинетической энергии жидкости в ячейке периодичности z l;0 x 1/л/2. Для аппроксимации с 2N пространственными гармониками (5) имеем следующее приближенное выражение для E(t):

Для оценки сходимости в пространстве Соболева W\ = V Е + V (символ О означает среднее по времени вдоль фиксированной траектории динамической системы) используем норму, пропорциональную диссипативной функции

Как показали вычисления усредненных моментов для статического решения, классическая цепочка моментных уравнений расходится. Из рисунков 4.8, 4.9 видно, что усредненные по х моменты имеют явную тенденцию к расходимости.

В тоже время если составлять моменты для разности между точным решением и когерентной структурой, то имеется тенденция к сходимости (рис. 4.10, 4.11). Кроме того, проведенный анализ позволяет судить о том сколько гармоник может быть достаточно для того, чтобы ухватить качественные свойства системы, даже если невязка не является малой.

Отметим, что даже грубое приближение к аттрактору в виде когерентной структуры можно вблизи нескольких характерных участков её траектории решать задачу с начальными данными на относительно небольших отрезках времени. Перебор и осреднение подобных частных решений позволит описать основные осредненные характеристики турбулентного течения (трение, теплообмен и т.п.), существенно упрощает процедуру прямого численного моделлирования турбулентных течений. В частности, поправки к когерентной структуре получаются аналитически путем разложения искомого решения в ряд по t. В качестве начальных данных можно задавать на фоне когерентной структуры и мелкомасштабные возмущения.

Лоренц [7] впервые описал стохастические режимы у динамической системы 3-го порядка, получаемой методом Бубнова—Галеркина для модели Буссинеска тепловой конвекции с помощью введения отображения Пуанкаре (или отображения последования) Xj для относительных максимумов теплового потока на одной из границ плоского слоя. Для различных фазовых кривых точки {XJ, Xj+i} ложились всюду плотно на некоторую кривую с особенностью типа полукубической параболы. Фейгенбаум установил, что в типичных семействах диффеоморфизмов прямой на конечном интервале изменения параметра может происходить бесконечное число бифуркаций удвоения периода. Возникают вопросы: а) насколько адекватно соответствующие динамические системы отражают свойства реалистических моделей, исходящих из уравнений Навье— Стокса [94; 95]; б) в каких физических ситуациях могут возникнуть стохастические режимы через каскад бифуркаций удвоения периода предельного цикла; в) как эволюционирует стохастический режим ("хаос") после обратного каскада слияния витков лент при Л Л , когда последняя обратная бифуркация приводит к ленте с одним витком при Л Лі, см. обозначения в [114].

В данной работе адекватность динамической системы можно можно оценить пользуясь техникой вычисления невязки без накопления погрешности (см. главу посвященную невязке). Так же оценена сходимость в пространстве

Соболева с помощью норм кинетической и диссипативной функции. Физичность рассматриваемой ситуации подтверждают многочисленные сравнения расчетных данных и эксперимента. Далее будет рассматриваться процесс перехода к стохастическому режиму и эволюция структуры аттрактора с ростом надкритичности.

Сходимость и энергетические нормы

Возникший предельный цикл с удвоенным периодом становится неустойчивым при RT — 9145, когда появляется предельный цикл с одним периодом. При RT = 9162 начинается новая волна бифуркаций: образуется предельный цикл с удвоенным периодом, который теряет устойчивость при RT = 9163. Возникает сложный стохастический режим, представление о котором дает рис. 5.15. На нем изображена проекция на плоскость (TibV ii) траектории с начальными данными в интервале 60 t 250 для числа Рэлея RT = 9190. Фазовая кривая всюду плотно заполняет перекрученную ленту (двумерную неориентируемую поверхность). Соответствующие точки отображения Пуанкаре при Гц = —0,36 всюду плотно заполняют кривую с несколькими минимумами (рис. 5.15), поэтому взаимно однозначные замены координаты не могут привести отображение Пуанкаре к универсальному отображению Фейгенбаума с одним минимумом.

Число пространственных гармоник, необходимых для точного описания стохастических режимов конвекции, быстро увеличивается с ростом чисел Рэлея (в нашем случае при RT 9500). Вместе с тем в эксперименте измеряются лишь осредненные характеристики, такие, как средний поток тепла и солености и т.д. Однако цепочка мо-ментных уравнений, как правило, расходится. Аналогичная расходимость проявляется и в рассматриваемой задаче.

Вместе с тем учет так называемых когерентных нестационарных турбулентных структур позволяет эффективно описывать осредненные и пульсационные характеристики турбулентных течений

Проведенные расчеты (рис. 5.13, 5.15) свидетельствуют о наличии некоторого среднего предельного цикла в сравнительно узкой ленте, в которой происходит стохастический разброс фазовых переменных. Этот средний предельный цикл можно трактовать как когерентную структуру турбулентного течения. По поводу определения когерентных структур смотри [161]. Тогда центральные моменты (относительно периодического по времени решения) будут быстро уменьшаться с ростом их порядка и цепочку моментных уравнений можно оборвать на конечном шаге

Для Rs 104 динамическая система демонстрирует более сложное поведение. Эволюция притягивающего многообразия и соответствующего отображения Пуанкаре отра В диссертации получены следующие результаты исследования двухдиффузионной конвекции в горизонтальном плоском слое, выносимые на защиту.

1. Получено временное и пространственное распределение абсолютной невязки для различных значений определяющих параметров и показана ее малость по отношению к главным физическим силам. Установлено монотонное уменьшение относительной невязки при увеличении числа базисных функций в стохастических режимах. Основные расчеты в стохастических режимах проводились при относительной невязке порядка Ю-3. Скорость сходимости продемонстрирована с помощью энергетической нормы и нормы дисси-пативной функции.

2. Показано, что классические моментные уравнения, определяющие напряжения Рейнольдса, расходятся. В тоже время модифицированная цепочка моментных уравнений, выписанная для разности между точным решением и когерентной структурой, может иметь тенденцию к сходимости. Например, в качестве когерентной структуры выбирается грубое решение с малым числом гармоник.

3. Исследован процесс перехода к турбулентности через последовательность бифуркаций, начиная от образования предельного цикла Пуанкаре-Андронова до формирования странного аттрактора с отображением Пуанкаре в виде кривой с одним минимумом.

4. Установлено, что странный аттрактор имеет вид листа Мебиуса. Изучена структура отображения Пуанкаре при умеренных надкритичностях. Показано что после возникновения турбулентности точки отображения Пуанкаре ложатся вдоль несамопересекающейся кривой с одним минимумом. При увеличении надкри-тичности после обратного каскада бифуркаций система проходит через периодические режимы, в частности, троякопериодический режим. Показано, что аттрактор сохраняет вид листа Мебиуса при дальнейшем увеличении надкритичности, но его структура значительно усложняется после прохождения через периодический режим. Отображение Пуанкаре сохраняет вид одномерной кривой, но с несколькими минимумами и самопересечениями.