Введение к работе
Актуальность проблемы. Современная механика жидкости и газа бурно развивалась за последние пятьдесят лет и достигла крупных успехов в теоретическом объяснении множества явлений, наблюдаемых при течениях жидкостей и газов. Особенно большое развитие получили за этот период три раздела механики жидкости и газа: газовая динамика, теория пограничного слоя и подземная гидродинамика. Быстро развивающиеся авиационная и ракетная техника, турбиностроение и кораблестроение, а также новые виды орошения и ирригации поставили перед механикой жидкости и газа ряд новых задач, послуживших дальнейшему подъему на новый уровень этой отрасли науки.
Для решения проблем, выдвигаемых перед механикой жидкости и газа применяются различные точные и приближенные математические методы интегрирования дифференциальных уравнений движения, уравнений переноса тепла, вещества и других уравнений, выражающих законы сохранения физических процессов.
С другой стороны, строгая математическая постановка задач механики жидкости и газа приводит к сложным системам нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение .которых в большинстве случаев осуществляется теми или иными численными методами на современных ЭВМ. К сожалению, выдаваемые этими машинами результаты приводят к необходимости весьма длительного анализа, а также к сравнению полученных данных с другими теоретическими и экспериментальными данными.
Вместе с тем необходимость обобщения результатов расчета и установления простых закономерностей, которые могли бы дать качественную картину явления заставляет развивать различные приближенно-аналитические методы, имеющие по сравнению с численными методами преимущества наглядности.
В общем случае движения жидкости и газа моделируются уравнениями Навье-Стокса, которые содержат ряд нелинейных членов и поэтому нахождение точных аналитических решений представляют большую трудность. Как известно, когда мы имеем дело с идеальной жидкостью, то уравнения Навье-Стокса переходят в уразнеиия Эйлера. Хотя по внешнему виду система уравнений Эйлера выглядит намного проще, однако из-за нелинейности данной системы нахождения каких-либо точных аналитических решений здесь также весьма трудно. В связи с этим используются разнообразные приближенно-аналитические методы решения указанных уравнений.
В математическом отношении среди сложных н до конца еще не решенных проблем механики жидкости и газа является газовая динамика. Основной особенностью газовой динамики от других разделов механики сплошных сред является то, что в них существуют дозвуковые и сверхзвуковые области, а также иногда появляются смешанные зоны", т.е. одновременно возникают течения со сверхзвуковой и дозвуковой скоростями. Движение газа в этой зоне описывается уравнениями эллиптико-гиперболического типа, общие свойства которых до настоящего времени изучены недостаточно.
Как известно, из-за нелинейности основных уравнений газовой динамики большинство ее задач решаются в различных вспомогательных плоскостях, в частности в плоскости годографа, где уравнения газодинамики переходят в линейную систему. Однако,
решения ряда прямых задач и в плоскости годографа становятся весьма затруднительными, так как границы рассматриваемой области в плоскости годографа в большинстве случаев остаются неизвестными. Поэтому возникает необходимость перехода в какую-либо специальную плоскость, где можно было бы сформулировать краевую задачу газовой динамики в прямой постановке с известной границей. В частности, такой плоскостью является плоскость модуля скорости и функции тока, где искомыми функциями являются угол наклона вектора скорости и потенциал скоростей. В этой новой плоскости уравнения газовой динамики записываются в виде нелинейной системы уравнений смешанного типа, или п виде нелинейного уравнения в частных производных второго порядка.
Таким образом, вывод уравнений газовой динамики в новой плоскости и разработка приближенно-аналитических методов решений нелннеиных.уравнении гидромеханики является одной из центральных задач данной диссертации.
Кроме газовой динамики существуют целый ряд задач гидродинамики, которые описываются нелинейными уравнениями. Так например к ним относятся, движение многокомпонентной жидкости, процесс диффузии в газах, явление влаго- и теплопереноса в пористых средах, нестационарная фильтрация жидкости в гоистах и т.д. Среди этих проблем, особую роль в условиях Средней Азии играет процесс влаго- и теплопереноса в почвах. Это связано прежде всего с тем, что в условиях аридной (засушливой) зоны возникает необходимость экономного использования водных ресурсов в связи с дефицитом воды и разработка новых перспективных способов орошения, а также оптимизация существующих поливных технологий, которые могли бы
обеспечить нужный для растений водно-тепловой режим почв при
минимальной затрате поливной воды .В связи с этим в условиях Кыргызстана становится существенный фундаментальное изучение водно-теплового режима почв, в частности создание новых математических моделей или модифицировать существующие модели теории влагопереноса для ненасыщенных грунтов и разработать более эффективные методы решения поставленных задач. Исследование динамики влагопереноса затруднено еще тем, что в зоне аэрации (орошения) задача становится с передвигающимися неизвестными границами, общая теория которой до сих пор не создана. В связи с этим развитие приближенно-аналитических методов решения нелинейных задач, использование различных математических приближений, оценка точности методов их линеаризации даст возможность провести физический анализ изучаемых явлений, а сами решения можно использовать для обоснования достоверности численных методов решения.
Цель работы. Анализ вышеупомянутых вопросов приводит к следующим целям и задачам:
вывести уравнения газовой динамики в новой плоскости модуля скорости "q " и функции тока "^ ";
сформулировать краевые задачи для теории сопла в прямой и обратной постановках в вышеуказанной плоскости;
разработать приближенно-аналитический метод решения нелинейного уравнения в частных производных второго порядка;
установить в общем виде рекуррентные соотношения для полученной системы нелинейных уравнений и нелинейного условия на стенке;
найти точные решения нелинейного уравнения газовой динамики в околозвуковом приближении;
исследовать плоское стационарное течение газа в соплах заданной формы, когда звуковая зона является криволинейной;
-е-
вывести формулы перехода из плоскости ( ,^\> ) в физическую плоскость (Х.*\|);
изучить на основе предложенной модифицированной математической модели влаго- и теплопереноса в почвогрунтах распространение влаги в ненасыщенной зоне аэрации;
используя разработанный приближенно-аналитический метод газодинамики решить нестационарную задачу влагопереиоса в одномерной и двумерной постановках;
провести численные расчеты инфильтрации воды в почвогрунт с поверхности земли с учетом изменения температуры почвы:
Методика исследования. Для решения поставленных задач были использованы теория уравнении в частных производных, основные законы механики, метод малого параметра, групповой анализ дифференциальных уравнений, метод сеток и характеристик, теория эллиптических и гиперболических функций, вариационно-разностный и итерационные методы и другие. При нахождении аналитических решений был использован метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка с переменными коэффициентами, которые после ряда преобразований приводятся к гипергеометрическим уравнениям Гаусса. Реализация численного алгоритма проводилась на ЭВМ с использованием алгоритмического языка Фортран-IV.
Научная новизна диссертационной работы. В результате исследований впервые выведены новые уравнения газовой динамики в плоскости модуля скорости " о " и функции тока." ^ ", где искомыми функциями являются угол наклона вектора скорости "% " и потенциал скоростей " ^ "; найден широкий класс решений нелинейного уравнения газодинамики; сформулирована и решена
краевая задача теории сопла; разработан приближенно-аналитический метод решения прямой и обратной задач теории сопла и предложен один из возможных вариантов численного решения комбинированным методом "сеток-характеристшс"; определены формулы перехода характерных линий из плоскости (о , ^ ) в плоскость течения (X , Ч ); предложена модифицированная математическая модель влаго- и теплопереноса в почвогрунтах; на основании этой модели изучен водно-тепловой режим почвы при поливах; разработанными приближенно-аналитическими методами решена нелинейная задача влагопереноса в пористых средах в одномерной и двумерной постановках; вариационно-разностным методом численно решена начально-краевая задача влаго- и теплопереноса в почвогрунтах при бороздковых поливах; из сочетания натурных данных л численных экспериментов определены коэффициенты диффузии, влагопровод-ности и теплопроводности.
Обоснованность и достоверность разработанных приближенно-аналитических и численнс-аналитических методов заключаются в использовании в них теории уравнений в частных производных, специальных функций, группового анализа дифференциальных уравнений, вычислительных алгоритмов и вариационных принципов. Достоверность качественных и количественных результатов достигается путем сравнения полученных данных с результатами других авторов и экспериментов.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты исследований дают возможность провести качественный анализ особенности околозвукового потока вблизи обтекаемых тел и в окрестности крнти-ческого.сечения сопел Лаваля. Полученные аналитические формулы и численные результаты могут быть использованы при проектировании
аэродинамических труб, создании безударных сопел реактивных двигателей и перспективных летательных аппаратов. Предложенная модифицированная математическая модель влаго- и теплопереноса в пористых средах и разработанный приближенно-аналитический метод могут быть непосредственно использованы при управлении водно-тепловым режимом почв и применены при определении оптимальных параметров орошения.
Личный вклад. С помощью новой вспомогательной плоскости впервые выведены уравнения газовой динамики относительно утла наклона вектора скорости и потенциала скоростей в переменных модуля скорости и функции тока: разработан аналитический метод решения нелинейных уравнений в частных производных второго порядка; с помощью приближенно-аналитического метода решена прямая задача теории сопла Лаваля; предложен алгоритм численного решения краевой задачи теории сопла в плоскости (О , Ц^ ) путем совмещения двух методов "сеток и характеристик"; разработана модифицированная математическая модель влаго- и теплопереноса в пористых средах; приближенно-аналитическим методом решена нелинейная начально-краевая задача влагопереноса в почвогрунтах, а численная реализация на ЭВМ осуществлена вариационно-разностным методом.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на: пятом, седьмом, восьмом и девятом Всесоюзных совещаниях по аналитическим методам газовой динамики (Москва, 1972, Уфа, 1976, Фрунзе, 1978, Свердловск, 1980), Всесоюзном зональном совещании по теоретической механике(Фрунзе, 1974), на научном семинаре инсппуга гидродннамихи СО АН СССР (под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова, Новосибирск, 1976), научном семинаре Московского
-9- .
Государственного Университета им. М.В.Ломоносова (под руководством академика АН Узбекской ССР, профессора Х.А.Рахматуллина, Москва, 1977), научных семинарах института автоматики НАН Кыргызской республики (под руководством чл.-корр. HAH КР, профессора И.Б.Бийбосунова, Фрунзе, 1971-1995), Всесоюзной конференции "Современные проблемы гидроаэро-дннамики"(Фрунзе, 1980), пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981), научных семинарах ВНИИКА мелиорации (Фрунзе, 1979-1982), шестом Всесоюзном семинаре "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (Новосибирск, 1983), конференции математиков и механиков Киргизии (Фрунзе, 1989), Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Фруизе, 1989), Республиканской конференции " Математическое моделирование и проблемы автоматизации" (Фрунзе, 1980), Международной конференции "Проблемы механики и технологии" (Бишкек, 1994), Республиканской научно-методической конференции "Компьютеры в учебном процессе и в науке" (Бишкек, 1994), научно-технических конференциях профессорско-преподовательского состава КСХИ им. К.И.Скрябина (Фрунзе-Бишкек, 1983-1995), Международной научно-практической конференции "Проблема механики и прикладной математики", посвященной памяти доктора физико-математических и технических наук, профессора Ф.И.Франклю (Бишкек, 1995).
Диссератционная работа обсуждалась также на научных семи-нарах в Ташкенте, Ленинграде, Клеве и в других городах Кыргызской республики.
-І0-
Публикации. По теме диссертационной работы опубликована одна монография " Приближенно-аналитический метод решения некоторых плоских задач газовой динамики" и 25 научных статей, изданных в сборниках "Динамика сплошной Среды" института гидродинамики СО АН СССР, "Динамика многофазных сред" ИТПМ СО АН СССР, Извеспи АН СССР, механика жидкости и газа , периодических сборниках института автоматики АН Кыргызской республики, а также а сборниках КСХИ.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключешія, изложенных на 244 страницах машинописного текста, содержит список литературы из 262 наименований, 27 рисунков, 4 таблиц.