Введение к работе
Актуальность проблеми. Объектом исследования настоящей работы является вязкая несжимаемая электропроподпщая жадность. Магнитогидродинамические (МГД) явления такой жидкости используютия в различных областях техники при разработке различных МГД устройств (генераторы, насоси, дозаторы, ускорители) и исследовании разных МГД технологических процессов (перемешивание и расплав металлов, производство алюминия электрическим способом). Такие проблеми характеризуются сильными магнитными и электрическими полями. В последние годы в МГД сформировалось новое перспективное направление - магнитная гидродинамика сильного поля, которое стимулируется интенсивной разработкой МГД-технологий. Наличие сильного магнитного поля приводит к появлению специфических МГД эффектов, например, различных скоростных структур с пограничными слоями.
Математическое описание указанных задач приводит к системам уравнений в частных производных с большими парамет-рями при младших производных (большие значения чисел Гарт-мана (Н<і), Стюарта (S ). Альвена {At), Рейнольдса (КС), Рейнольдса магнитного (A;t!< ), Грасгоффа ( Gr), Пекле ( Р^), закрутки ( Г )). Для решения соответствующих краевых задач МГД на основе полных нелинейных уравнений Навье-Стокса при умеренных значениях параметров созданы эффективные универсальные численные методы (ыетод конечных разностей и конечных злементов), которые позволяют решать широкий класс задач. Однако наличие больших параметров в системе уравнений МГД, неограниченность расчетной области и сложная геометрия области (криволинейные границы) создаят для общих численных методов дополнительные трудности применения и эти методы становятся неэффективными (малая скорость сходимости, невысокая точность). Поэтому актуальной задачей является разработка специальных методов решения краевых задач МГД при больших параметрах, а также для расчетных областей со
сложной геометрией. Для линейных краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и математической физики такие специальные методы, т.н. равномерные численные методы, рассмотрены в работах советских математиков (Н.С.Бахвалов, А.М.Ильин, К.В.Емельянов, Г.И.Шишкин, В.Д. Дисейкин), а также зарубежными учеными (Р.Келлог, Дж.Миллер, Э.Дулан, У.Шилдерс). Такие методы решения должны быть распространены на систему уравнений ЫГД с учетом не-линейностей, что и рассматривается в диссертационной работе. Равномерные численные методы эффективны Б том смысле, что они имеют хорошие свойства сходимости в широком диапазоне изменения параметров задачи. Эти методы можно применять на грубой сетке и практически сходятся в отличие от многих других методов без существенного изменения шага сетки, что очень важно для решения задач механики сплошной среды при ограниченности ЭВМ-ресурсов.
Разработанные специальные методы и алгоритмы расчета течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости позволяют решать новые прикладные.задачи МГД при больших значениях параметров и численно получать ряд физических эффектов воздействия сильного электромагнитного поля на течение жидкости, в том числе провести математическое моделирование сдвиговых течений жидкости при разных режимах подвода злектрического тока к электродам с учетом вдува и отсоса ' жидкости через стенки канала.
Создание мощных алюминиевых электролизеров нового по
коления не уступающим по своим технико-экономическим по
казателям лучшим мировым образцам, является важной народ
нохозяйственной задачей в алюминиевой промьшшанности. Разра
ботка новых образцов электролизеров на силу тока 175-300 кА
должна базироваться на современных методах математического
моделирования. , .
В отделе магнитной гидродинамики Вычислительного центра Латвийского университета с 1962 г. по настоящего времени развивались методы численного решения краевых задач МГД, которые использовались в основном при разработке бюджетных тем "Разработка методов решения и исследования краевых за-
дач магнитной гидродкнамики и электродинакики'Ч1971-1975гг.), "Краевые задачи магнитной гидродинамики" (1976-1980 гг.), "Исследование и численное решение іграевнх задан уравнений магнитной гидродинамики" (І98І-І983 гг.), "Математическое моделирование новых способов получения монокристаллов и эпитаксиальных структур" (1984-1985 гг.), "Математическое моделирование гидродинамики, тепломассопе-реноса и кинетики кристаллизации в технологических процессах получения кристаллических материалов" (1986-1990 гг.), и ряд тем хоздоговорных работ с институтом физики АН Латвийской ССР по численному моделировании МГД процессов: "Численное моделирование МГД процессов в сильньк магнитных полях" (1976-1980 гг.), "Численное моделирование процессов взаимодействия сплошной среды с электромагнитным полем" (І98І-І985 гг.) и "Численное моделирование магнитогидроди-намических явлений в сильноточных технологических процессах" (1986-1990 гг.). Вьтолненные исследования для развития этого научного направления были обобщены автором и составляют основное содержание настоящей диссертационной работы. Кроме того в диссертацию включены также научные положения автора, которые сформулированы и обоснованы в результате разработки математических основ численных методов и их применения.
Цель работы. Главной целью являлось математическое моделирование нового класса течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в сильных электромагнитных полях.
Для осуществления этой цели необходимо решать следующие основные задачи:
создать численные методы нового направления для расчета течений в широком диапазоне изменения параметров,
численно исследовать специфические физические эффекты течений в зависимости от параметров (деформация скоростной структуры, распад вихря, подавление трехмерных процессов, образование профилей скорости с точками перегиба, волнение поверхности раздела электролит-алюминий а др.).
Методы исследования. Для расчета течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости при больших параметрах разработаны специальные алгоритмы, основанные на аналитичес-
ких и численных методах с последующим использованием ЭВМ.
Научная новизна. В диссертации предложены новые постановки краевых задач МГД и получены эффективные методы их решения на основе разработанных специальных разностных схем.
Построенные специальные векторно-рязностные схемы монотонны и хорошо учитывают характер различных пограничных слоев и слоев сдвига в магнитной гидродинамике. Монотонные векторно-рарностные схемы позволяют решать ряд но-вьк практически важных задач течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости. Краевые задачи в неограниченной области ретюлтся на основе совместного применения методов сеток, граничных элемонтов или алтернирущего метода Шварца.
Впервые решена МГД задача (задача типа Хаита) о нахождении распределений индуцированного магнитного тюля и скорости течения для свободных сдвиговых течений жидкости при разных режимах подвода электрического тока к электродам и вцувЕ-отсоса жидкости через стенки канала. Расчетная область не разбивается на подоблпсти с разными типами уравнений (зональный ПОДХОД,J.Hunt, t.Williams, G.Ualcolm, 1968 г.), а характеристики течений определяются единым подходом как внутри пограничных слоев, так и в ядре течения. Исследована деформация скоростной структуры и асимптотика течения жидкости ггои больших значениях патаметроп $ . к >
Ка и /1С . . *
Впервые численно получены рад физических оффектов и злкономерностей воздействия сильного электромагнитного поля на течение электропроводящей несжимаемой вязкой жидкости
распяд вихря на входе трубы вращением жидкости электромагнитным способом (такой эффект в гидродинамике получил чис/енно J.Uaralu , ІГ77 г.) ;
эффекты пространственных МГД течений: подавление трехмерных нелинейных гидродинамическое пропессов я конвекции жидкости в сильном магнитном поле, установление двумерного течения в плоскости перпендикулярной поло, образование профилей скорости с точками перегиба;
закономерности поведения гидрохимических возмущений в магнитном Лоле: подавление, порождение или усиление возмущений в зависимости от характера приложенного внешнего магнитного поля, возникновение неустойчивости течения с профилями скоростей, имеющими точки перегиба, образование нестационарных вторичных течений между двумя конечными цилиндрами в виде вихрей с осями параллельными оси цилиндров;
волнение поверхности раздела электролит-алюминий в алюминиевых электролизерах (линейную модель разработали
К.Иогоаи, J.Ewans, 1964 Г.);
- вращение кидкости между двумя бесконечными коакси
альным цилиндрами под действием постоянного окружного гра
диента давления (без магнитного поля задачу решил v/.Dean,
1928 г.).
Впервые численно такие исследовано влияние слоя флюса на процесс выращивания кристаллов методом Чохральского.
д диссертации обобщены результаты исследований автора, проведенных с 1971 по 1989 годы.
Практическая значимость. Разработанные оригинальные . приближенные методы решения краевых задач МГД внедрены при разработке хоздоговорных работ в Вычислительном центре при Латвийском университете с институтом физики АН Латв.ССР и также с институтом ВАМИ Минцветмета СССР (г.Ленинград, Все-сопзный научно-исследовательский и проектный институт алюминиевой, магниевой и электродной промышленности). Результаты расчетов сравнивались с результатами применения аналитических методов (где это.возможно) и с экспериментальными данными. Проведенные численные исследования позволяли получить качественную картину рассматриваемых МГД явлений а тем самый подойти более рационально к планированию экспериментальных работ по их исследованию. Способы управления течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в сильных кагнитных и электрических полях кашли применение в института ВАМИ при проектировании и разработке мощных электролизеров на заводах цветной металлургии страны.
8 Основные положения, выносимые на защиту
-
Математическое моделирование широкого класса течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости на основе разработки специальных численных методов решения задач нового направления-магнитной гидродинамики сильного электромагнитного поля.
-
Решение нелинейных краевых задач магнитной гидродинамики при больших параметрах и в областях со сложной геометрией, что включает эффективное решение новых и более экономичное решение уке ранее рассмотренных задач.
-
Решение новых практически важных задач магнитной гидродинамики, получение ряда физических эффектов и закономерностей воздействия сильного электромагнитного поля на течение вязкой несжимаемой жидкости и внедрение результатов расчетов для проектирования и разработки новой МГД техники и технологических устройств.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на 7-й, 9-м, 10-и, 11-и, 12-и и 13-й Всесоюзных рижских совещаниях по магнитной гидродинамике (1972 г. ,1978 г. ,1981 г. ,1984.,1987 г.,1990 г.), на 4-м, 5-м, 6-м, 7-м, 8-м, 9-м и 10-ы Всесоюзных школах-семинарах по численным методам механики (динамики) вязкой жидкости, руководимых академиком Н.Н.Яненко (Рига-1972 г., Кацивели-1974 г., Пермь, Кунгури-1976 г., Ыахачкала-1978 г., Томск-1980 г., Ленинград-1982 г., Новосибирск-1984 г.); на 6-ой Международной конференции по численным методам в гидродинамике (Тбилиси-1978 г.); на 6-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент-1986 г.); на Международном школе-семинаре по математическим моделям, аналитическим и численным методам в теории переноса (Минск-1986г.); на Международном Симпозиуме (IUTAM) по кидким металлам в магнитной гидродинамике (Рига-1988 г.); на 10-ой Всесоюзной ш: оле по теоретическим и прикладным проблемам вычислительной математики ж математической физики (Рига-1985 г.); на Всесоюзной конференции по проблемам стратифицированных течений (Юрмала-1988 г.); на 3-м и 4-м республиканских семинарах
по методам и средствам решения краевых задач (1975 Р., 1978 г.); на Всесоюзных семинарах яо производству алюми-ния (Юрмала - 1986 г., Волхов - 1938 г.); на Всесоюзной научно-техническом семинаре по машинный методам решения краевых задач (Москва, Рига - 1985 г.); на сеппнарах Научного Совета электродинамики и механики сплошных сред АН Латв.ССР (1978 г.. 1980 г., 1985 г., 1988 г., I9S0 г.); на Республиканской конференции по численнш методам моделиро-ваняя технологических процессов (Рига - 1989 г.); на Всесоюзном семинаре по прикладным методам расчета физических полей, руководимых академиком В.Л.Рвачевым (Киев - 1985г.); на Международных семинарах в Карловом университете, руководимых профессором Е.Нечасом (Прага,ЧССР - I97S г., 1979 г., 1982 г.., 1985 г., 1968 г.); на семинаре высшей школь* строительства и электротехники (г.Плзень.ЧССР. - 1979г.); на 34--47-й итоговых научных конференциях Латвийского Госуниверситета (1975-1988 гг.), в том числе руководство секций по вычислительной математике (1979 г., 1980 г.), по задачам математической физики и численных методов их решения (1982 г., 1984 г.), по краевым задачам и численным методам (1986 г.) и по численным методам прикладных задач математической физики (1987 г.); на 5-ом зональном совещание-семинаре заведующих кафедр и ведущих преподавателей математиков вузов Белорусской, Латвийской, Литовской, Эстонской ССР и Калининградской области РСФСР (Вильнюс - 1983 г.}.
Часть результатов экспонировались на 3-ей Республиканской выставке научных работ учених и студентов вузов Латв. ССР, посвященной 60-летюз Великой Октябрьской Социалистической Революции (Рига - 1977 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 91 работа (из них 27 работ без соавторов), в том числе 4 статьи в международной печати, 33 статьи в Всесоюзних изданиях, 30 статьи я Республиканской печати, 17 тезисов докладов на Всесоюзных и Международных совещаниях, конференциях и семинарах, 7 отчетов научно-исследовательских работ, руководимых автором.
Большинство работ автора, опубликованы в Всесоюзном журнале "Магнитная гидродинамика'' и в республиканском издании
[О
"Латвийский математический ежегодник". Список основных опубликованных работ ігриведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Бее основные рэгультаты диссертации получены автором самостоятельно. Часть результатов при исследовании конкретных задач получена под руководством автора совместно с сотрудниками Вычислительного центра и физико-математического факультета ЛатвиЛского университета, института физики АН Латв.ССР и математико-физк-ческого факультета Карлова университета г.Праги, ЧССР. При изложении результатов совместных исследований в тексте диссертации везде даны ссылки на соответствующие публикации с выделением личного вклада диссертанта. При втои автору принадлежит все задцицаемые в диссертации и в автореферате положения 1! выводы.
Объем я структура работа. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, пяти глав (разделов) содержащих всего 20 параграфов (подпунктов), заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 402 страницах машинописного текста, в том числе 265 страниц основного текста, 26 страниц с рисунками (32 рисунка), 14 страниц с таблицами (39 таблиц),.20 страниц библиографического списка, состоящего из 174 названий и 77 страниц приложений (8 таблиц).
Бо введении обоснована актуальность исследуемых проблем и указаны цели и задачи исследований, представляющие новизну с точки зрения решения класса практически важных задач для течения юязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в широком диапазоне изменения параметров.
В первой главе рассматривается состояние проблемы численного моделирования течений жидкости в магнитном поле, дается обзор работ автора по разработке и применению эффективных численных методов. Во второй главе построены специальные разностные схемы для расчета течений жидкости при больших параметрах и проведено сравнение разработанных схем и алгоритмов со стандартными. Третья глава посвящена апробации и проверки эффективности новых алгоритмов на основе построенных аналитических методов; получены аналити-
ческие решения некогорыг новых линейных задач для свободных сдвиговых течений жидкости во внешнем однородном магнитном поле. Четвертая глава посвящена исследованию разработанных алгоритмов и постановке разностных краевых задач; показана эффективность совместного применения алтернирующе-го метода Шварца, метода граничных элементов и сеток для решения конкретных задач МГД. В пятой главе приведены результаты решения некоторых прикладных задач МГД по разработанным численным алгоритмам . Каждая глава сопровождается краткими выводами. В заключении приведены общие выводы пэ диссертации. В приложениях (1-4) приведены дополнительные выкладки, необходимые для разработки и применения специальных методов в соответствующих главах диссертации.