Введение к работе
Актуальность. Турбулентность при больших числах Рей-нольдса — нелинейный многомасштабный процесс, характеризующийся сложной пространственной и временной структурой. До недавнего времени основным математическим аппаратом для описания и моделирования структуры турбулентных течений являлся анализ Фурье. Нелокалыюсть тригонометрических функций, используемых в спектральных методах, не позволяет выявлять локализованные в пространстве или во времени особенности сигнала, например, резкие изменения в частоте, фазе и т.п. Преобразова.ние Фурье не в состоянии выявить местоположение сингулярностей, имеющихся в сигнале, и отфильтровать их, так как они влияют на все фурье-коэффициенты. Преобразование Фурье также не учитывает, что параметры периодических или псевдо-периодических сигналов (период, амплитуда, фаза) могут эволюционировать со временем. Применение фурье-методов сталкивается с большими трудностями в случаях недостаточной длины сигнала по сравнению с характерным периодом, наличии случайных возмущений, отсутствием данных за некоторые моменты времени и т.п.
На настоящий момент имеется большое число как экспериментальных наблюдений, так и результатов численного моделирования, которые подтверждают существование в турбулентных течениях локализованных в пространстве долгоживущих когерентных структур. Эти структуры играют важную роль в динамике турбулентных течений. Использование традиционных спектральных и конечно-разностных методов для численного моделирования развитой турбулентности не может позволить, особенно при больших числах Рейпольдса, адекватно описать пространственную картину турбулентности в силу очевидного несоответствия между системой базисных функций и структурой турбулентного течения. Таким образом, проблема моделирования сводится к отысканию функциональных базисов, максимально близких к пространственно-временной структуре реального турбулентного течения. Использование таких базисов может существенно сократить число степеней свободы, необходимых для описания развитой турбулентности.
Недостаточность классических методов для описания и моделирования турбулентных явлений побуждает использовать и развивать новые математические подходы. В середине 80-х годов возник новый математический аппарат, получивший название "вейвлет (wavelet) анализ", успешно конкурирующий с фурье-анализом. Основу подхода составляют специальные классы функций — вейвлетов, которые локализованы как в физическом, так и в фурье-пространстве, и получаются друг из друга путем масштабного преобразования (растяжения/сжатия) и сдвига. В настоящее время вейвлет-анализ получил широкое распространение и применяется, в частности, для обработки и синтеза сигналов, распознавания образов и синтеза изображений, исследования турбулентных полей и др.
Уже первые попытки применения методов вейвлет-анализа к исследованию турбулентности показали их преимущество перед анализом Фурье, особенно для исследования локальной структуры течения.
Турбулентные течения, особенно при больших числах Рсй-нольдса, характеризуются сложными пространственными и временными спектрами. При экспериментальном изучении гидродинамической турбулентности как правило доступны только временные ряды некоторых параметров течения (скорость, завихренность, температура и т.п.) в отдельных пространственных точках или осреднеипые по некоторой пространственной области. Актуальность проблемы анализа рядов данных, возникающих при исследовании крупномасштабных мод турбулентных течений в замкнутых объемах не вызывает сомнений. Ярким примером турбулентности в замкнутом объеме служат течения, возникающие в конвективной оболочке Солнца. Солнечная активность позволяет исследовать самое масштабное и, по-видимому, самое сложное из доступных наблюдению конвективных турбулентных течений. Сходство в структуре последовательности солнечных циклов и в спектрах турбулентной конвекции в лабораторных моделях отмечалось в ряде работ (см., например, Зимин, Фрик 1988). Это стимулировало наш интерес к анализу данных наблюдений за солнечной активностью. С другой стороны, данные солнечной активности дают хороший пример для раскрытия преимуществ вейвлет-анализа
и позволяют выявить в сигналах особенности, недоступные другим методам.
Интересны и возможности вейвлет-представлений для создания численных схем решения уравнений в частных производных, в том числе уравнений Навье-Стокса. Примером уравнения типа Навье-Стокса служит уравнение Бюргерса, которое, с одной стороны,является простейшей моделью, показывающей два механизма, присущие реальной турбулентности: нелинейный перенос энергии по спектру и вязкую диссипацию в области мелких масштабов, а с другой стороны, уравнение Бюргерса является хорошим тестовым примером для численных методов в силу его относительной простоты и предсказуемости динамики. Уравнение Бюргерса дает возможность реализовать и опробовать все преимущества, предоставляемые вейвлет-базисами для решения дифференциальных уравнений в частных производных и обобщить их на более сложные уравнения (например, 2-х и 3-х мерные уравнения Навье-Стокса). Все это позволяет предположить, что подходы, успешно применяемые для решения уравнения Бюргерса, могут быть успешными и для моделирования реальной гидродинамической турбулентности. Реализации эффективных алгоритмов для численного решения уравнепий в частных производных на основе вейплет-методов до сих пор остаются редкими и часто полностью не используют все возможности, предоставляемые вейвлетами.
Цель работы состоит в разработке алгоритмов анализа и моделирования турбулентных процессов, а именно:
-
Разработка алгоритмов вейвлет-апализа временпых рядов.
-
Применение разработанных алгоритмов для исследования солнечной активности, выраженной вариациями числа солнечных пятен и видимого солнечного диаметра.
-
Разработка и реализация алгоритмов численного решения уравнений в частных производных, наиболее полно использующих преимущества вейвлет-базисов,и их применение для решения уравнения Бюргерса со случайными начальными условиями.
4. Построение специальных иейвлєт-базпсов, имеющих преимущества лля описания турбулентных полей.
Научная новизна. В диссертационном исследовании получены следующие новые результаты:
-
Методами непрерывного вейвлст-преобразования исследованы свойства солнечной активности, выраженные временными рядами числа групп солнечных пятен и видимого солнечного диаметра. Построен вейвлет-спектр солнечных пятен и показано наличие только двух существенных пиков. Вейвлет-анализ изменения видимого солнечного диаметра также показал наличие 11-летнего цикла, но при этом его интенсивность строго антикоррелированна с основным солнечным циклом активности.
-
Разработан и реализован алгоритм решения уравнения Бюр-герса с использованием ортонормированных вейвлет-базисов, который объединяет в себе такие особенности вейвлет-методов как нелинейное сжатие решения и разреженное представление дифференциальных операторов в вейвлет-базисах, а также динамическое адаптирование пространственного разрешения. Разработан алгоритм вычисления матриц коэффициентов линейных и нелинейных дифференциальных операторов в вейвлет-базисах. Подтверждены преимущества вейвлет-базисов по сравнению со спектральными и конечно-разностными методами. Исследованы устойчивость метода и связанное с вейвлет-аналогом явления Гиббса искажение решения вблизи резких градиентов. На основе этих алгоритмов исследованы скейлинговые свойства решений уравнения Бюргера с автомодельными начальными условиями.
-
Построен новый тип многомерных ортонормированных вейвлет-базисов, которые, в отличие от известных многомерных вейвлет-базисов, образованны одним типом функций независимо от размерности пространства.
Научная и практическая значимость. Результаты анализа солнечных данных дают дополнительную информацию о работе МГД-динамо, ответственного за вариации солнечной активности. Разработанные в процессе анализа солнечной активности алгоритмы вейвлет-анализа позволяют использовать их для исследования широкого круга явлений.
Методы решения уравнения Бюргерса с использованием вейв-лет-базисов показывают общие принципы применения вейвлет-разложений для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и могут быть использованы для моделирования реальной гидродинамической турбулентности.
Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались:
-
на 2-й международной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" в июне 1994 г., Н.Новгород;
-
на заседаниях 10-й и 11-й зимних школ но механике сплошных сред в марте 1995 и 1997 гг. в Перми;
-
па международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов", Пермь, 17-19 ноября 1994 г.;
-
на международной конференции "По геометрии в 'целом'", Черкассы, Украина, 8-13 сентября 1997 г.;
-
на семинарах "Анализ и Моделирование" Центра Теоретической Физики (Centre de Physique Theorique) в Марселе , Франция;
-
на семинаре Лаборатории Электродинамики и Магнитной Гидродинамики НИВЦ МГУ в Москве;
-
на Пермском городском гидродинамическом семинаре, Пермь;
-
на семинарах Института механики сплошных сред, Пермь.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы.