Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Одномерные уравнения буссине ска для каналов произвольного поперечного сечения 13
1.1 Метод вывода уравнений Буссинеска 14
1.1.1 О распределении по сечению скоростей, перпендикулярных оси русла 17
1.1.2 Приближенное нахождение (р и Р&, и оценки для этих величин 18
1.1.3 Уравнения Буссинеска для некоторых конкретных русел
1.2 Уравнения Буссинеска для потоков в узких каналах 25
1.3 Уравнения 2-го приближения для узких каналов 29
Глава II. Применение одномерных уравнений буссинеска для исследования течений и волн в каналах 32
2.1 Уравнения Сен-Венана 32
2.2 Уравнения в крупномасштабном приближении (теория кинематических волн)
2.2.1 Русло произвольного сечения. Уравнения и условия на разрыве 34
2.2.2 Русло треугольного сечения
3 2.2.3 Русло с сечением в виде изломанного треугольника 36
2.2.4 Русло с неравномерной шероховатостью бортов 38
3 Устойчивость однородного потока в канале 38
2.3.1 Исследование поведения малых возмущений однородного потока с помощью уравнений Буссинеска (с гидравлическим трением) 39
2.3.2 Исследование поведения малых возмущений и вывод условий устойчивости однородного потока с учетом внутреннего трения 46
2.3.3 Длины волн растущих возмущений неустойчивого потока 49
4 Структура кинематического разрыва. Описание с помощью уравнений Буссинеска 50
2.4.1 Уравнения, описывающие бегущую волну. Особые точки 51
2.4.2 Исследование особых точек системы уравнений Буссинеска 53
2.4.3 Возможные знаки а, 7 Лля особых точек, соответствующих устойчивому потоку 61
2.4.4 Взаимное расположение особых и критических точек 62
2.4.5 Исследование поля интегральных кривых 66
2.4.6 Структура гидравлического прыжка 67
5 Решения, описывающие структуру кинематического разрыва
4 2.6 Структура кинематического разрыва в русле с сечением в виде изломанного треугольника 74
ГЛАВА III. Двумерные волны в каналах 81
3.1 Линейные волны в канале переменной глубины 82
3.1.1 Линейные волны в канале со ступенчатым профилем дна 83
3.2 Нелинейное взаимодействие волн в каналах 89
3.2.1 Нелинейное взаимодействие волн в канале со ступенчатым дном 92
ГЛАВА IV. Солитон в канале с неровным дном 98
4.1 Двумерные уравнения Буссинеска 99
4.2 Солитон в канале с неровным дном 102
Заключение 117
Список литературы
- Приближенное нахождение (р и Р&, и оценки для этих величин
- Русло произвольного сечения. Уравнения и условия на разрыве
- Исследование особых точек системы уравнений Буссинеска
- Нелинейное взаимодействие волн в каналах
Введение к работе
Актуальность проблемы Работа посвящена исследованию распространения и нелинейного взаимодействия длинных волн в каналах с неровным дном. Существует много работ, посвященных распространению волн в безграничных бассейнах или на шельфе, Волны в каналах с неровным дном изучены в гораздо меньшей степени. Описание влияния неровности дна, а также отражения от берегов, на распространение и взаимодействие волн представляет интерес как с точки зрения развития общей теории волн, так и с точки зрения приложений.
Цели исследования. Основными целями работы являются вывод уравнений, описывающих длинные поверхностные волны в каналах с учетом дисперсии, и изучение поведения волн с помощью этих уравнений.
Методика исследования базируется на применении уравнений теории мелкой воды и уравнений типа Буссинеска. При этом применяются как аналитические, так и численные методы.
Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами.
Для длинных волн конечной амплитуды в каналах произвольного сечения предложен способ вывода одномерных уравнений, учитывающих дисперсию волн (уравнения типа Буссинеска). Для ряда конкретных форм поперечного сечения уравнения получены в явном виде.
Предложен способ вывода уравнений Буссинеска для узких по сравнению с глубиной каналов, применимый также для вывода уравнений в приближениях более высокого порядка. Уравнения Буссинеска и уравнения высшего приближения для узких каналов выписаны в явном виде.
Предложена модель типа Буссинеска для описания длинных волн, распространяющихся по текущей жидкости в наклонных каналах, с учетом диссипативных процессов. С помощью этих уравнений исследована устойчивость однородных потоков, а также структура кинематических разрывов.
В рамках теории мелкой воды исследовано распространение поверхностных двумерных волн малой амплитуды в каналах со сложной формой поперечного сечения. Подробно изучены волны в каналах со ступенчатым поперечным сечением. Показано, что неровность дна приводит к дисперсии волн. В отличие от волн на шельфе спектр волн в канале дискретный. При этом могут распространяться волны, амплитуды которых на мелкой части существенно превышают их амплитуды на глубокой части (захваченные волны).
Изучено нелинейное трехволновое взаимодействие волн малой амплитуды. Показано, что в каналах со ступенчатым профилем дна может существовать резонансное взаимодействие волн с некратными частотами. Показано, что в процессе взаимодействия происходит распад волн высших мод на волны низших мод.
Выведена новая форма двумерных уравнений Буссинеска для каналов с неровным дном.
Для каналов, глубина которых является функцией, слабо зависящей от поперечной координаты, найдены и исследованы решения, имеющие вид солитона со следующей за ним системой неодномерных волн малой амплитуды.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена корректностью постановок задач и обоснованностью применяемых математических методов.
Практическая значимость работы определяется тем, что изучение волн в каналах важно при прогнозировании процессов переформирования русел, а также при организации береговой защиты.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и получили положительную оценку на научных семинарах кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ, РІнститута механики МГУ, Математического Института РАН, кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики РГУ нефти и газа.
Результаты докладывались также на следующих конференциях: Всероссийская конференция "Современные методы и достижения в
механике сплошных сред " (Москва, 1997), Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 1998), Международная конференция "Математические и численные аспекты распространения волн" (Голден, США, 1998), Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике (Эдинбург, Великобритания, 1999), Международная конференция "Современные проблемы механики" (Москва, 1999).
Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 127 страницах, содержит 1 таблицу, 39 фигур. Список литературы включает 70 наименований.
Приближенное нахождение (р и Р&, и оценки для этих величин
Далее будем пользоваться тем, что приближенно в каждом сечении поверхность потока можно считать горизонтальной, то есть h = h(x, t). Условия (1.6), (1.7) можно записать в виде условий для потенциала
Здесь n - нормаль к контуру поперечного сечения. Итак, уравнения Буссинеска для волн в каналах - это уравнения (1.4), где Рди Рь даются формулой (1.3), причем Т определяется потенциалом ip, удовлетворяющим уравнению Пуассона (1.5) с граничными условиями (1.8).
Построим приближенное решение задачи (1.5), (1.8), пользуясь следующими простейшими предположениями: vz - линейная функция z (при каждом у), vy - не зависит от z. Этими предположениями можно пользоваться, если h С / и, кроме того, h С &о, о - характерная ширина канала.
Будем в дальнейшем рассматривать каналы с поперечным сечением, симметричным относительно оси z. Через 5 будем обозначать половину площади живого сечения, а через Ь - половину ширины потока поверху. Во всех дальнейших рассуждениях этого раздела рассматриваем только часть потока, соответствующую у 0.
Здесь штрих обозначает дифференцирование по /г, А\, A i - функции, определяемые формой русла. Получим оценку сверху и снизу для истинной кинетической энергии слоя. Известна теорема Кельвина:безвихревое движение несжимаемой жидкости в односвязной области обладает меньшей кинетической энергией, чем всякое другое движение, с одинаковой нормальной компонентой скорости на границе [22].
Поле скоростей (1.9), (1.10) удовлетворяет истинным граничным условиям, поэтому по теореме Кельвина кинетическая энергия Та для этого поля скоростей больше истинной Т.
Для получения оценки снизу для кинетической энергии введем {vy(y)) - среднее по глубине значение модуля истинной скорости vy, (vz(z)) -среднее по ширине канала (на глубине z) значение модуля скорости vz. Кинетическая энергия Тт, вычисленная по (vy(y)) и (vz(z)), меньше истинной. Действительно, используя в качестве уравнения границы сечения z = z (y) или у = y (z), имеем
Найдем выражения (vy) и (v ) для произвольного симметричного русла. Рассмотрим слой, соответствующий у 0, между двумя жидкими поперечными сечениями, расстояние между которыми q. Объем этого слоя Q = sg=const.
Пусть Qz - объем слоя глубины z, sz- площадь поперечного сечения этого слоя, Qz = szq, a Qy - объем части слоя по у от 0 до у, Qy = syq.
Для русел прямоугольного и треугольного сечения (как будет показано ниже) v2 = (vz), поэтому Та = Тт. Но так как Тт Т Та, то Тт = Т = Та то есть полученное решение для поля скорости дает точное значение кинетической энергии. Этот результат согласуется с тем, что поле скорости для русел прямоугольного и треугольного сечений, найденное по формулам (1.9) и (1.10), является потенциальным.
Рассмотрим вопрос о корректности линеаризованных уравнений Бус-синеска (1.4) для канала произвольного сечения. Линеаризуем уравнения Буссинеска вблизи состояния и = wi=const, s = si=const, причем, не нарушая общности, щ можно считать равным нулю. Получим
Так как А\ О, то действительным значениям к соответствуют только действительные значения и, это означает корректность линеаризованных уравнений Буссинеска (1.4).
Уравнения Буссинеска для русла с прямоугольным сечением, полученные способом, описанным в предыдущем разделе, совпадают с известными [33]. Они имеют вид
Выражения для Та и соответственно для Рь, определяемого равенством (1.11), имеют очень громоздкий вид. Рассмотрим волны малой амплитуды, распространяющиеся по состоянию с h — /го, то есть при условии (h — ho)/ho С 1. Линеаризованные уравнения Буссинеска совпадают в этом случае с уравнениями для сечения в виде простого треугольника. При сохранении членов до второго порядка малости включительно имеем (в системе координат, движущейся со скоростью невозмущенного потока)
В рассматриваемом ниже случае предлагается другой подход к написанию уравнений для длинных волн в случае узких каналов, ширина которых много меньше глубины, причем явным образом вычисляются необходимые для написания уравнений Буссинеска коэффициенты и легко могут быть получены приближения, следующие за уравнениями Буссинеска. Рассмотрим потенциальное движение идеальной жидкости в узком горизонтальном цилиндрическом канале с произвольной формой поперечного сечения.
Русло произвольного сечения. Уравнения и условия на разрыве
Пусть характерные масштабы длины / и времени Т столь велики, что в уравнениях движения (2.1) можно пренебречь членами, содержащими производные по координате х и времени t по сравнению с членами, не содержащими производных. Если, например, трение определяется формулой (2.3), то Т и І в этом случае должны удовлетворять неравенствам
Таким образом уравнение (2.7) есть характеристическая форма уравнений (2.6), причем а = dsV/ds есть скорость характеристик. Уравнения (2.6) допускают разрывные решения. Условие сохранения массы на разрыве имеет вид w - скорость разрыва. Такие разрывы мы будем называть кинематическими. Поведение решения уравнения (2.7) существенно зависит от вида функции a(s). Вид этой функции удобно наглядно изучать с помощью графика функции sV(s). При этом тангенс угла наклона касательной к функции sV(s) есть a(s). Из формулы (2.8) видно, что скорость распространения разрыва, для которого значения функции s по разные стороны есть si и s2, есть тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки (si,siV"i) и (s2,s2V2).
Рассмотрим некоторые примеры. Для русла с сечением в виде треугольника, рассмотренного в разделе 1.1.3, функции, описывающие русло и поток в крупномасштабном приближении имеют вид
Русло с сечением в виде изломанного треугольника Для русла с сечением в виде изломанного треугольника, рассмотренного в разделе 1.1.3, при h ho формулы совпадают с формулами пункта
Отметим следующие особенности поведения функции a(s) для канала с сечением в виде изломанного треугольника. 1) При условии (2.9) функция a(s) является не монотонной. 2) В точке s — SQ функция a(s) имеет разрыв. 3) Можно указать такие состояния s\ SQ С ОДНОЙ стороны скачка и такие скорости скачка, для которых условие (2.8) определяет три возможных состояния 5-2 с другой стороны скачка для одной и той же величины w. Единственное значение S2 можно определить с помощью исследования структуры разрыва [17, 19, 20]. Такое исследование про -38 водится с использованием уравнений Сен-Венана или Буссинеска, дополненных членами, учитывающими трение жидкости о стенки и внутреннее трение, в разделе 2.4 этой работы.
Очевидно, что свойства 1-3 функции a(s), полученные в предыдущем пункте для русла сложного сечения, могут возникать за счет неравномерной шероховатости бортов. Пусть, например, шероховатость участков стенок канала, соответствующих z а, о z b, z b, разная, причем при а z b она больше, чем на остальных участках. Тогда при h а коэффициент С/ есть константа, при а h b коэффициент С/ есть возрастающая функция h, а при h b коэффициент С/ снова убывает.При этом функция sV(s) может оказаться такой, что a(s) - немонотонна. В этом рассуждении предполагается, что и для русла с неравномерной шероховатостью бортов можно ограничиться рассмотрением средних по сечению характеристик потока.
Известно [30, 33], что если малые возмущения описываются уравнениями Сен-Венана, то при условии амплитуда малых возмущений не растет. Здесь а - скорость распространения крупномасштабных волн малой амплитуды, и - скорость потока, с - скорость распространения малых мелкомасштабных возмущений однородного потока. При условии (2.11) однородный поток является устойчивым. В этом разделе выводятся условия устойчивости в предположении, что поведение возмущении описываются уравнениями Буссинеска.
Исследование особых точек системы уравнений Буссинеска
Точки, где a(s) — 0, являются критическими, так как в них \и — w\ = с. Обозначим критические значения s через 5 г-. УСЛОВРІЄ a(s) = 0 можно переписать в виде 52с2 = Q2. Рассмотрим функцию R-j = с s . Для этой функции имеем Для русел, в которых д2Р, о(Ц у (2-43) уравнение a(s) = 0, то есть R? = Q2, имеет только один корень, следовательно существует только одно критическое значение 5 , причем величина 5 увеличивается с увеличением Q. Условие (2.43) верно, например, для русел прямоугольного, треугольного, трапецеидального сечения.
Для русел с сечением в виде изломанного треугольника (фиг.2) при s SQ условие (2.43) выполнено; при s SQ два критических значения s, если Q2 = c2(se)s2 или Q2 = c2(so)s2, и одно критическое значение s если Q2 c2(se)s2 или Q2 C2(SQ)S2.
Если же Л -, то критическая точка только одна при любом Q. 6 Рассмотрим случай, когда имеется только одна критическая точка. Обозначим соответствующее значение s через s . Если особая точка лежит левее точки s , то в ней а 0 ("сверхзвук"), если правее, то в ней а 0 ("дозвук").
Дальше рассматриваются ситуации, когда существуют 4 особых точки (si S2 53 54), причем в точках si и S3 имеем а ги, то есть 7 0, а в точках S2 и S4 имеем а w, то есть 7 0 (фиг.16). Из про Si S2 S3 S4 Фиг. 16: веденного в пункте 2.4.4 исследования видно, что в случаях, когда 1) SV ( S ) -65 все Si s или 2) si s , Si s , (г = 2,3,4) потоки, соответствующие всем особым точкам могут быть устойчивыми. В случаях, когда 3) s\, s2 s S3? s4 или 4) si, 52, s3 5 s4 поток, соответствующий s2, является неустойчивым. В случае, когда 5) все s s , потоки с s = S2 и s = S4 являются неустойчивыми.
Перечислим типы особых точек S{ в зависимости от расположения критической точки. 1) s si. Во всех особых точках а 0. Для точек s\, S3 имеем 7 0, для точек «2, S4 имеем 7 0. Поэтому точки Si, S3 - седла с одним выходящим и двумя входящими направлениями (при — —со), а точки S2 и S4 являются обобщенными узлами с входящими направлениями (при -»-оо). 2) si s S2- Тогда в точке si имеем а 0, 7 0. Однако типы всех точек такие же как и в случае 1). 3) S2 s S3. Тогда в точке S2 будет а 0, 7 0, поэтому точка S2 - седло с одним входящим и двумя выходящими направлениями (при — —оо). Типы всех (кроме S2) точек такие же, как в 1) и 2), причем точка S2 соответствует теперь неустойчивому потоку. 4) S3 s S4- Случай полностью аналогичен случаю 3). 5) s S4- В этом случае в точке S4 имеем а 0, 7 0? поэтому точка s4 - седло с одним входящим и двумя выходящими направлениями (при — —сю). Типы остальных точек остаются такими же, как и в случае 4). Точка s4 становится неустойчивой.
Найдем условия, когда все три корня характеристического уравнения, возникающего при исследовании особых точек, действительны, то есть вблизи особой точки нет колебаний. Используя формулы Кардано, это условие запишем в виде
Для выполнения неравенства (2.44) необходимо, чтобы Если (2.45) выполнено, то для того, чтобы все корни были действительны необходимо, чтобы 2(з+т) -% + Ц (2-46) Это условие можно рассматривать как условие на коэффициент вязкости //, величине которого пропорционален коэффициент j3.
В предположении мелкой воды в уравнениях Буссинеска члены, связанные с Д и с внутренней вязкостью, представляют собой малые поправки к уравнениям Сен - Венана. Если этими поправками пренебречь, то вместо системы (2.29) будем иметь одно уравнение вида (также близкие к оси s в силу малости всех производных от s) интегральные кривые. В случае, когда имеются четыре особые точки, причем w а в точках s\, S3 и w а в точках 2, s±, схемы входящих и выходящих направлений для всех особых точек показаны на фиг. 17. Стрелками показано направление изменения s при —у — со.
При описании движения с помощью уравнений Сен - Венана в решении могут появляться скачки (гидравлические прыжки). В руслах с возможны только гидравлические прыжки повышения уров -68 ня. При использовании уравнений Буссинеска гидравлический прыжок заменяется непрерывным решением, описывающим его структуру. В силу относительной малости длины зоны гидравлического прыжка, при описании его структуры в уравнениях (2.29) можно пренебречь членами, не содержащими производных(то есть положить Т = 0). Исследование структуры гидравлического прыжка для одномерного движения по плоскому дну проведено в [30].
Нелинейное взаимодействие волн в каналах
Производная d2u/dk2 в точках Лп равна нулю, если пп = z , положительна, если птт z , и отрицательна, если птт 2 .
Нетрудно убедиться, что при кх — 0 для всех дисперсионных кривых, кроме нулевой моды, выполнено d2u/dk2 0. Поэтому на всех дисперсионных кривых, соответствующих тем симметричным собственным функциям, для которых птт 2#, существует по крайней мере одна точка, лежащая в области и kxy/gh,2, в которой d2u/dk2 = 0.
Численное исследование показывает, что точки, где d2u/dk2 = 0, существуют на всех дисперсионных кривых.
В случае линейных волн для каждого значения кх имеется бесконечное число значений и = cvn: п = 0,1,2.... Таким образом, решение имеет вид Заметим, что действительные физические параметры волны представляются в виде суммы выражения, данного этой формулой и соответствующего комплексно сопряженного.
Подход, применяющийся при описании нелинейного взаимодействия волн малой амплитуды, состоит в том, что решения системы (3.1) представляются в виде [51, 4, 12, 34, 36, 40, 60, 39, 24]
Здесь kx и un удовлетворяют дисперсионному соотношению линеаризованной СРІСТЄМЬІ. Если существуют кхі и соп{, удовлетворяющие соотношениям кХп = kxi + kxj И LOnk = Un + Umj (3-14) то может возникнуть резонансное взаимодействие таких трех волн [23]. Пусть kxi,kX2,kxz удовлетворяют условиям (3.14). Обозначим соответствующие о/л, ит2, wn3 через wb w2, w3, а Фа, Фт2, Фпз через Фь Ф2, Фз- Рассмотрим сумму волн с волновыми числами кх\,кХ2: частотами u i, CJ2 и амплитудами Сі, С2. Подставим эту сумму в (3.1), перенесем нелинейные члены в правую часть PI будем рассматррівать их как вынуждающую силу. Эту силу можно записать в ВРІДЄ F = ClFne2ih + C22F22e2 2 + СіС2іч2Єг ((?1+ 2)
Здесь ві = кх{Х — turf, F{j определяются через Фі(г/), &2(y)- Поскольку кхі + кХ2 = kxz, CJ1+U2 = с з удовлетворяют по условию дисперсрюнному соотношению, то такая сила может пррівестрі к разврітию волны вріда (3.13) с волновым числом кхз. Очевидно, что развріваться будет только волна с частотой сь з, так как только эта волна находится в одной фазе с вынуждающей силой.
В общем случае может оказаться, что дисперсионному соотношению удовлетворяют также пара 2кх\, 2со\ или пара 2кХ2, 2w2. Тогда возможно развитріе волн с такими (удвоенными) частотами и волновыми числами (самовоздействие). Для канала со ступенчатым дном для некоторых длин волн самовоздействие возможно. Это явление возможно и в более простых системах, например, в каналах с постоянной в поперечном направлении глубиной. Здесь будет рассматриваться взаимодействие волн с некратными частотами, только с кратными частотами.
Чтобы исследовать поведение решения системы (3.1) под действием силы F, подставим в систему ряд (3.13) и умножим результат на Фз собственную функцию системы, сопряженной системе (3.2). В силу ортогональности собственных функций основной и сопряженной систем получим dt — (ф3Фз) Так как дисперсионное соотношение четно относительно кх и со, то существуют волны с —kxi, —кХ2, —кхз и амплитудами, сопряженными амплитудам рассмотренных волн. Это означает, что волна с кх\ может изменяться за счет присутствия волн с кх% и —кХ2. Аналогично, волна с кХ2 может изменяться за счет волн с kxz и —кх\. Таким образом для амплитуд взаимодействующих волн получается система —г— = AnCiC2 , —j— = A CiCz , —— = А31С3С1 (3.15) где Aij (коэффициенты связи) есть функции от кх\, кХ2, кхз. CJb CJ-2, Со»з, зависящие от формы сечения канала. В силу ортогональности собственных функций волны разной четности не взаимодействуют.
При исследовании поведения решений системы (3.15) удобно перейти к действительным переменным. Положим В общем случае исследование этой системы, например, методом нели нейного потенциала [4], показывает, что в зависимости от значений qij возможно либо колебательное изменение амплитуд, либо неограниченный рост амплитуд (взрывная неустойчивость). Взрывная неустойчивость имеет место тогда, когда знаки всех трех коэффициентов ац оказываются одинаковыми. Если они не одинаковы, то волна, соответствующая dij, знак которого отличается от знаков двух других коэффициентов, является особенной в этой тройке. Именно, если амплитуды двух волн в начальный момент много меньше, чем амплитуда третьей волны, то в дальнейшем они существенно растут, если третья волна особенная, и остаются малыми в противоположном случае.
Для канала со ступенчатым дном резонансные некратные частоты и длины волн кхі,Ші, удовлетворяющие условию (3.13), существуют и могут быть найдены, например, геометрическим способом, описанным в работе [34]. Именно, возьмем на выбранной ветви дисперсионной кривой ( пусть, например, это первая мода) точку cui,kxi, соответствую -93 щую одной из участвующих во взаимодействии волн. Сдвинем плоскость и, кх так, чтобы начало координат переместилось в эту точку. Все волны, которые могут взаимодействовать с первой, определяются точками пересечения сдвинутой первой ветви с любой из первоначальных (не сдвинутых) остальных ветвей. Выберем одну из точек пересечения, назовем ее координаты а з, МеЗ- Тогда