Введение к работе
Актуальность темы. Теория длинных волн является важным нелинейным приближением при исследовании волновых процессов в жидкостях. Это приближение применяется для описания течений газов в узких каналах (трубах), крупномасштабных движений атмосферы, поверхностных волн. Следует подчеркнуть, что реальные движения жидкостей со свободной границей являются вихревыми (появление завихренности обусловлено влиянием вязкости вблизи твердой поверхности). Кроме того, при моделировании крупномасштабных движений атмосферы, для которых характерная высота может достигать высоты всей тропосферы, необходимо учитывать сжимаемость. В связи с рядом прикладных задач представляет интерес изучение совместного движения двух или нескольких потоков газов с разными параметрами в канале переменного сечения. Такие течения наблюдаются, например, при истечении газов из сопла Ла-валя, в эжекторах, на выходе реактивного двигателя. В силу сказанного, исследование вихревых течений сжимаемых неоднородных жидкостей является актуальным.
Цель исследования состоит в развитии теории простых волн для уравнений движения слоя баротропноп завихренной жидкости в поле силы тяжести и неоднородного потока газа в узком канале, моделирование процессов распространения особенностей в потоке баротропной завихренной жидкости (задача о распаде произвольного разрыва).
Научная новизна. Основное отличие подхода, используемого в данной диссертационной работе, от классических, связано с учетом эффектов нелинейности и завихренности, что приводит к необходимости изучения нестандартных систем интегродифференциальных уравнений. В литературе известны точные решения типа простых волн системы уравнений
завихренной баротропной жидкости, однако общего результата получено не было. В данной диссертационной работе впервые доказано существование простых волн конечной амплитуды, отвечающих дискретным значениям спектра характеристических скоростей. Новым является также результат о существовании простых волн, распространяющихся по сдвиговому потоку газа в узком канале. Кроме того, для этих волн и простых волн, распространяющихся в слое баротропной завихренной жидкости, выявлено следующее важное свойство : в общем случае, даже когда уравнение состояния среды удовлетворяет условию выпуклости, поведение простых волн может быть аналогично поведению простых волн в газе с аномальными термодинамическими свойствами. Для уравнений баротропной завихренной жидкости построена простая волна, скорость распространения которой лежит на отрезке непрерывного спектра характеристических скоростей, и установлена разрешимость задачи о распаде произвольного разрыва (ЗРПР) малой амплитуды для специального класса начальных данных.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты исследований вносят определенный вклад в знания о волновых процессах в неоднородных жидкостях и в развитие новых элементов теории гиперболических систем интогродифференциальных уравнений. Они могут использоваться при анализе поверхностных волн и неоднородных потоков газов в узких каналах.
Апробация работы. Результаты работы докладывалась на семинарах Лаборатории дифференциальных уравнений под руководством академика Л. В. Овсянникова, Отдела прикладной гидродинамики под руководством чл.-корр. В. В. Пухначева в Институте гидродинамики СО РАН, Лаборатории математических методов механики сплошной среды под руковод-
ством д.ф. м.н. В. П. Шапеева в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, на семинаре "Волны в неоднородных средах" под руководством д.ф.-м.н. В. Ю. Ляпидевского и д.ф. м.н. В. М. Тешукова, на заседании Сибирской школы-семинара "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997, 15-19 декабря), на V конференции молодых исследователей "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики" (Новосибирск, 1998, 27-30 апреля).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Объем работы 146 стр.. 1-5 рис. Перечень литературы включает 92 наименования.