Введение к работе
Актуальность темы.
Эффективность работы современных газовых турбин в большой степени определяется качеством, потока, формирующегося на выходе из соплового направляющего аппарата. Наличие в этом потоке скачков уплотнения, а также отрыв погранслоя отрицательно сказываются на полезных характеристиках всей многоступенчатой турбины.
Распространенный подход к профилированию решетки сопловых лопаток состоит в следующем: проектировщик выбирает контур лопатки, исходя из тех или иных инженерных соображений, находясь под влиянием существующих традиций. Затем, если есть возможность, для спрофилированной решетки решается прямая задача, то есть определяется течение газа в межлопаточных каналах при заданной геометрии лопатки и шаге решетки. При таком подходе качество потока, обеспечиваемое сопловым аппаратом, определяется в конечном итоге физической интуицией и удачей проектировщика. На этом пути иногда удается получить поток удовлетворительного качества, но добиться теоретически идеального результата (т.е. гладкого безотрывного результирующего сверхзвукового потока) невозможно. Не приводят к этой цели и локальные процедуры перепрофилирования каких-либо участков контуров имеющихся лопаток, основанные на (численном) решении обратных задач газовой динамики в плоскости течения. Теоретическому исследованию поддается, к сожалению, лишь достаточно узкий круг проблем: сюда входят задачи гидродинамической теории плоских решеток (стационарные и некоторые нестационарные), некоторые вопросы плоскопараллельного обтекания решеток газом Чаплыгина и ряд других; трехмерные эффекты частично удается изучить в рамках модели профилей, расположенных в. слое переменной толщины на поверхности вращения. Отметим, что эти результаты достигнуты благодаря применению мощного математического аппарата: теории аналитических и псевдоаналитических функций, сингулярных интегральных уравнений и др. Однако в представляющем практический интерес случае трансзвуковых течений идеального газа неизвестны корректные постановки даже для модели плоскопараллельных безвихревых изэнтропи-ческих движений. Поэтому наиболее широко используемым1 методой решения и исследования таких задач стало численное моделирование.
Этим способом сейчас пытаются изучать даже трехмерные отрывные течения как в неподвижных так н в подвижных ступенях турбин. Именно результаты компьютерного моделирования вместе с реальными физическими экспериментами дают окончательный ответ на вопрос об эффективности спрофилированной турбинной решетки, в частности, соплового аппарата.
Цель работы научная новизна.
В настоящей работе используется радикально иной подход к профилированию решетки сопловых лопаток турбины в рамках представляющей реальный интерес модели плоских безвихревых движений идеального газа. Исходным пунктом для нас была не та или иная форма лопатки, кажущаяся "хорошей" по каким-то признакам, а окончательные характеристики трансзвукового течения в межлопаточном канале соплового аппарата. Это:
і. монотонность изменения модуля скорости вдоль линий тока, совпадающих со стенками лопатки;
ii. наличие в потоке прямой звуковой линии, разделяющей области до- и сверхзвукового течений;
ill. отсутствие ударных волн в сверхзвуковой части течения и равномерный сверхзвуковой поток на выходе из решетки.
Первое из этих свойств по современным представлениям является достаточным для безотрывности потока при любых числах Рейнольдса. Отсутствие второго свойства, как показывает анализ, невозможно совместить с выполнением первого, кроме того при наличии ii. задача профилирования расщепляется на независимые дота сверхзвуковую подзадачи, что дает возможность легко добиться выполнения третьего базового условия.
Оказывается, что удовлетворить этим условиям очень легко, если использовать переход с физической плоскости на плоскость годографа. (Этот прием дает чрезвычайно эффективное средство для теоретического исследования задач плоского течения идеального газа — он использовался, в частности, в работах С.А.Чаплыгина, Ф.И.Франкля,— но непопулярен среди вычислителей — по-видимому, из-за кажущейся математической сложности.) В рассматриваемом случае наиболее сложная задача профилирования дозвукового (т.е. примыкающего к области дозвукового течения)
участка контура лопатки может быть сведена к некоторой корректной сингулярной краевой задаче для линейного эллиптического уравнения (уравнения Чаплыгина) в некоторой подобласти D рииановой поверхности логарифмического типа в переменных годографа (задача А). Искомый дозвуковой контур лопатки получается по решению задачи А с помощью обратного преобразования на физическую плоскость при условии, что построенное решение в области D таково, что это преобразование однолистно.
В связи с таким подходом меняется и акцент в применении компьютера. Последний используется для реализации алгоритма решения корректной краевой задачи А для линейного уравнения Чаплыгина и если удастся доказать сходимость используемого для решения задачи А численного метода (хотя бы в областях D некоторого специального вида)— предположение подкрепляемое результатами тестовых расчетов,— то это означало бы, что нами восстанавливается существующее в строгом математическом смысле гладкое решение задачи обтекания плоской решетки профилей трансзвуковым потоком идеального газа с точностью, ограниченной лишь разрядностью процессора. Таким образом в этом случае можно говорить не о компьютерном моделировании течений, а об алгоритме вычисления некоторого класса точных гладких решений уравнений плоского потенциального изэнтропического течения идеального газа с прямой звуковой линией, подобно тому как вычисляются решения дифференциальных уравнений по готовым формулам.
Многообразие профилируемых решеток сопловых лопаток по методу предлагаемому в представленной диссертационной работе определяется большой свободой выбора области на плоскости годографа, в которой решается задача А, а также несколькими возможными способами профилирования сверхзвуковой части контура.
В рамках реализации намеченной схемы решения задачи профилирования, исходя из условий i.-iii. получены следующие результаты, научная новизна которых определяется самой постановкой.
Доказана корректность основной сингулярной краевой задачи А в односвязной области с разрезом на плоскости годографа. Изучен вопрос о поведении решения в окрестности точки ветвления годографа. -
Исследованы критерии, обеспечивающие однолистность отображения на физическую плоскость; получены соотношения, связывающие некоторые характеристики решения задачи А с физическими параметрами потока через профилируемую решетку и самой решетки.
Аналитически построена сингулярная функция, которая, подчиняясь некоторой заданной асимптотике логарифмического типа, дает гладкую правую часть при подстановке в уравнение Чаплыгина (и таким образом лишь на гладкую функцию отличается от точной особенности). Эта сингулярность использована в численном алгоритме решения задачи А. При этом одна из известных схем учета особенности при численном решении была модифицирована с учетом локального характера
. задания сингулярности.
На основе метода разностных потенциалов построен эффек
тивный численный алгоритм решения задачи А, позволяющий
быстро и с высокой точностью выделять физически реализуе
мое решение.
Научная и практическая ценность работы.
Ценность решеток сопловых лопаток, которые получаются на основе предлагаемого алгоритма определяется свойствами гладкости потока, обеспечиваемого ими. Отметим, что в реальности для достижения теоретически предсказанного качества течения может понадобиться высокоточная технология изготовления лопаток. В данном случае возможное увеличение затрат должно оправдываться экономическим эффектом.
Представленный метод профилирования решеток сопловых лопаток турбины позволяет минимизировать необратимые потери внутренней энергии газа в сопловом направляющем аппарате, сведя их лишь к тепловым потерям в тонком пристеночном слое. По нашему мнению именно в построенном классе турбинных решеток следует х) искать ответ на вообще говоря нерешенный вопрос: как необходимо
''в тех случаях, когда применение модели плоских движений для описания реального трехмерного течения в межлопаточных каналах соплового аппарата возможно и оправдано
профилировать лопатки соплового направляющего аппарата с точки зрения эффективности работы всей многоступенчатой турбины?
Полученный класс гладких трансзвуковых решений уравнений плоского потенциального изэнтропического течения газа может использоваться для тестирования имеющихся программ решения прямых задач о течении газа через решетки.
На защиту выносятся:
Основные результаты диссертации, перечисленные в конце автореферата.
Апробация диссертации. .
Основные результаты докладывались на VIII Всесоюзной школе-
семинаре памяти К.И.Бабенко (Московская обл. 1990), а так
же на научно-исследовательских семинарах в Институте При
кладной Математики РАН (руководитель семинара — профессор
Р.П.Федоренко), Институте Математического Моделирования РАН,
Вычислительном Центре РАН, , и на
семинаре кафедры прикладной математики в Российском открытом университете.
Публикации.
По результатам работы имеется 3 публикации, перечисленные в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.