Введение к работе
Диссертация посвящена к приближенно-численным методам решения уравнений электромагнитной газовой динамики.
Актуальность темы. За последние годы большое развитие получили такие разделы механики жидкосге/і и газа, как динамика вязкой жидкое;и, магнитная гидро-газодинамика и теория пограничного слоя. Особенно они бурно развивались благодаря с ростом производительности современноіі вычислительной техники и численных методов решения задачи механики. Таким образом, появление качественно новой вычислительной техники и совершенствование методов вычислительной математики приводили и постоянно приводят к новым возможностям в решении задач механики, сплошных сред, в частности, это относится к магнито-газодинамическим течениям вязкой геплопроводящен жидкости. Разработка приближенно-численных методов решения уравнений Навье-Стокса, описывающих процесс движения вязкого теплопроводящего газа в магнитном или электрическом поле, имеет важное практическое значение. Исследования движений электропроводящих жидкостей и газов в электромагнитном поле необходимы в связи с изучением ряда известных проблем физики и техники, таких, как исследование управляемых термоядерных реакции, задач астрофизнкн.ггофизики, проблем превращения энергии, радиосвязи и. т. д.
Основная трудность в решении этих задач связана со сложностью дифференциальных уравнений, описывающих процессы газодинамики. Эти задачи, как правило, являются нелинейными, решаются в многомерной области. Нахождение точных аналитических решений таких задач представляет большую трудность и получить их удается в редких случаях.
В связи с этим возникает проблема эффективного численного решения, т. е. возникает необходимость индивидуального подхода к каждой конкретной задаче.
Цель диссертационной работы. Разработка и математическое обоснование приближенно-численных методов решения систем уравнений одномерного течения вязкой жидкости в электромагнитном поле, в частности, исследование устойчивости и сходимости разностных схем, аппроксимирующих системы уравнений одномерного движения электромагнитной газовой динамики .В рамках поставленной цели решались следующие задачи:
провести нелинейный анализ устойчивости и сходимости разностных схем для одномерной модели магитнои газовой динамики в баротропном и изотермическом случаях;
исследовать качественные свойства разностного метода решения уравнения движения баротропного газа в электрическом поле с учетом теплопроводности и без учета ее;
провести вычислительный эксперимент с целью исследования сходимости разностных, схем для изучаемых моделей магнитной газовой динамики.
Методика исследования. Для решения поставленных задач были использованы теория уравнений в частных производных, основные законы механики, метод сеток, теория нелинейных уравнений газовой динамики, разностные и итерационные методы, разностные теоремы вложения и априорные оценки. Реализация численного алгоритма проводилась с помощью ПЭВМ на тестовых задачах. .
Научная новизна диссертационной работы.
- Впервые получена оценка решения классических разностных схем малом по времени для модели магнитной газовой динамики в
баротропном случае;
с помощью этой оценки доказаны устойчивость и сходимость разностных схем;
дано математическое обоснование устойчивости и сходимости разностной схемы для одномерной модели магнитной газовой динамики с учетом теплопроводности;
предложена конечно-разностная схема, апроксимирующая движения вязкого баротропного газа в электрическом поле;
получены априорные оценки разностного решения для уравнения движения теплопроводного газа в электрическом поле.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Исследование носит теоретический характер, результаты исследования способствуют дальнейшему развитию теории конечно - разностных схем. Предложенные конечно-разностные схемы могут быть использованы для численного моделирования широкого класса задач магнитной газовой динамики, при проведении теоретических расчетов и конструктировании МГД-генераторов. плазменных и лазерных установок, тепловых печей и.т.д.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
- научных семинарах по "краевым задачам механики сплошных сред" под руководством академика ИА РК , д. ф.-м.н., профессора Ш.С.Смагулова (КазГУ, Алма-Ата. 1991-1995);
- научном семинаре по "прикладному анализу" под руководством
чл.-корр. НАН РК, д. ф.-м.н., профессора М.О.Отелбаева (Алматы, 1995),
- научно-технической конференции КСХИ им.- К.И. Скрябина (Бишкек,
1995). о
- городском научном семинаре по механике сплошных сред под ру
ководством чл.-корр. HAH КР, д.ф.-м.н., профессора И.Б.Бийбосунова.
- международной научно-практической конференции "Проблемы механики и прикладной математики", посвященной памяти доктора физико-математических и технических наук, профессора Ф.И. Франкля (Бишкек, 1995).
Публикация. Результаты диссертации опубликованы в 5 научных статьях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, девяти параграфов, заключения и списка литературы, включающего 50 наименований.