Введение к работе
Работ* .посещена проблеме уравнений математической физики для случая задания- граничных условий на подвижных границах.
Актуальность проблемы,. Уже <Йолее двух столетий перед математиками срзоят проблемы решения нелинейных задач, описываемых уравнениями в частных .производных, сложнейшая из которых - проблема подвижных границ - граничные условия удовлетворяются на движущихся границах. Даже в том случае, когда основное уравнение, описывающее исследуемый процесс, линейное, наличие подвижных границ делает задачу существенно нелинейной, и, как известно, в этом случае сумма двух решений не является решением. Это явилось причиной того, что до настоящего времени не было методов точного аналитического решения таких задач. Точные решения задач подобного рода, полученные з основном при ійомоди удачных догадок, известны лишь в очень ограниченном числе случаев, притом обычно лишь для какого-либо частного вида граничных условий. Исследователям приходилось принимать различные допущения: изменять граничные условия, сносить граничные условия на неподвижные граниш, либо заменять действие движущихся границ системой особенностей. Это приводило к ограниченности решений, а в некоторых случаях и к неприемлемым результатам. Показательно, что еще Даламбером (1747 г.) было получено решение волнового уравнения {задача Коши), в котором, естественно, вид функции, зависящий от граничных условий, оставался неизвестным. В известном обобщении общего метода конечных интегральных преобразований (Кошляков Н.С., Гринберг Г.А.) используется разложение по "мгновенным" собственным" функциям. Однако, это приводит к решению бесконечной системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Актуальность работы заключается также в том, что решение проблемы позволяет построить аналитические решения: сложных существенно нелинейных задач с одной и двумя подвижными границами; обратных задач для этих случаев; задач с подвижными границами, описываемыми уравнениями параболического типа; перейти к решению нелинейных обыкновенных»диффе-
ренциальных уравнений и дважды нелинейных задач, задач с проницаемыми и подвижными границами - которые ранее в математической физике не рассматривались.
Необходимость решения этих вопросов и решения проблемы подвижных границ диктуется, в частности, их многочисленными приложениями в различных областях физики, механики, задач управления движением границ,гидрогазодинамики, сейсмоакусти-ки, акустики. Позволяет рассмотреть процессы плавления и отвердевания, фильтрации, нестационарных движений вязкопласти-ческих сред, диффузии, теплопроводности и т.д., описываемые уравнениями параболического типа с подвижными границами. -Развитие численных методов, реализуемых на ЭВМ, не снимают остроты вопросов получения количественных результатов при . решении задач с подвижными границами. Не противопоставляя аналитические методы численным, отметим известные преимущества точных аналитических решений при анализе исследуемых явлений, вычислениях, связанных с большими временами и расстояниями, а также многократными отражениями волн возмущения; при решении обратных задач; вопросов управления движением границ и во многих других случаях.
Целью работы является разработка нового подхода к решению проблемы подвижных границ уравнений математической физики и методов точного аналитического решения нелинейных прямых и обратных задач с одной и двумя подвижными границами.
Автором сделана попытка, по-видимому, впервые разработать' общий метод точного аналитического решения задач с подвижными границами, использующий общий для всех подобных задач факт распространения возмущений в сплошных средах с конечной скоростью. Не претендуя на полный охват этих направлений, автор стремился показать работоспособность и пер- . спективность предложенного метода решения проблемы подвижных границ уравнений математической физики. Основное внимание уделено гидродинамике импульсных процессов.
Общая методика исследований нетрадиционна, состоит в нахождении зависимостей между значениями исследуемых функций на подвижных границах и в других точках, аргументы которых имеют сложную структуру. Аргументы взаимодействуют
между собой и определяются с учетом реальных величин запаздываний.
[Научная новизна работы заключается в создании впервые: -нового нетрадиционного подхода к решению проблемы подвижных границ уравнений математической физики - методов обратных задач с учетом взаимодействия нелинейных аргументов;
методов аналитического решения класса задач для волнового уравнения с одной и двумя подвижными границами, одна движется, а вторая неподвижна, прямых и обратных задач для этих случаев, при произвольных величинах перемещений, начальных радиусов и законах движения границ;
методов аналитического решения важного класса задач, описываемых волновым уравнением, для случая задания нелинейных дополнигельных условий в областях с подвижными границами, а также .нелинейными условиями на подвижных границах,при этом закон движения границы неизвестен и подлежит определенна;
методов аналогического решения класса задач для волнового уравнения с подвижными и проницаемыми границами,прямых и обратных, при произвольных законах изменения скорости и проницаемости границы.
Теоретическое и прикладное значение определяется тем,что волновое уравнение описывает многие важные в научном и прикладном плане процессы, оно является основным уравнением математической физики.полученные решения могут быть использованы для описания других физических процессов.
До настоящего времени было известно лишь одно аналитическое решение Дж.Тэйлора (1946 г.) волнового уравнения с подвижной границей - частный случай расширения сферы в безграничной среде с постоянной скоростью.
Авторский метод позволил впервые:
получить аналитическое решение задачи восстановления полей скорости и давления расширяющейся сферической полости (а также цилиндрической и плоской случаев симметрии) в сжимаемой среде, включая поверхность подвижной границы,по давлению (или скорости) в фиксированной точке волновой зоны;
решить комплекс обратных задач восстановления законов: расширения полости, давления на подвижной границе и
ввода энергии в полость, расширяющейся в тонкой о.болочке, заполненной и погруженной в сжимаемую жидкость, по давлению в точке вне оболочки;
- получить аналитические зависимости для оценки возмож
ности получения.заданных волн давления за счет выбора.необ
ходимого закона ввода энергии в расширяющуюся полость;
- аналитически учесть влияние конечной величины началь-
, ного радиуса на гидродинамические характеристики расширяю
щейся полости в сжимаемой среде;
определить границы применимости волнового уравнения и его решений в задачах импульсной гидродинамики, показана корректность решаемых обратных задач;
поставить и решить прямые и обратные задачи с подвижной и проницаемой границей;
решить задачу восстановления полей скорости и давления расширяющейся сферической полости, включая подвижную границу, по давлению в ближней зоне (нелинейное дополнительное условие);
произвести учет влияния вязкости и теплопроводности на волновые процессы расширяющейся полости в сжимаемой среде (без ограничения. k.r»-f , где к. - волновое число, ґ -радиус сферы);
- получить аналитические решения задачи расширения цилиндра в сжимаемой среде и показать возможность использования волнового уравнения Р = 2 для описания импульсных процессов;
-.решить аналитически классическую задачу определения волновых движений сжимаемой среды между двумя движущимися границами с учетом месторасположения и величин фронтовых разрывов. Законы изменения скоростей, величины начальных радиусов и перемещений могут быть произвольными.
Достоверность полученных результатов обеспечивается: - адекватностью в рамках принятых допущений матемятичес- них моделей и реальных объектов физических явлений и исследуемых процессов;
- удовлетворительным качественным и количественным сов
падением результатов решений волнового уравнения в областях
с подвижными границами с
а) экспериментальными данными,
б) известными в литературе частными решениями изве-
'ными аналитическими и численными методами более сложных
іавнений и систем нелинейных уравнений;
корректностью решаемых обратных задач, доказаны соот-(тствующие теоремы единственности и устойчивости решений;
тем, что полученные решения:
при подстановке в волновое уравнение переводят его лето часть в нуль,
при устремлении скорости распространения возмущений к ісконєчности переходят в известные решения для несжимаемой
>еды,
при устремлении скорости проницаемости к нулю переходят соотношения для непроницаемых границ,
для случая сферической симметрии могут быть приведены к ірмулам Дж.Тэйлора частного случая расширения сферы с посто-іной скоростью,
при устремлении коэффициентов сдвиговой и объемной вяз-істи, теплопроводности к нулю переходят в решения для иде- . ьной сжимаемой жидкости.
Квалификация работы. Широкий круг вопросов, связанных с іучением и использованием решений задач с подвижными.грани-іми, отсутствие единого теоретического подхода к решению юблемы подвижных границ уравнений математической физики, сут'ствие даже приближенных подходов к решении таких задач lk с двумя подвижными границами, обратных и прямых, с неличными граничными условиями на подвижных границах, многочис-нные технические приложения полученных решений - все это ізволяет квалифицировать поставленную задачу как новое пер-іективное направление прикладной математики и механики.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, іти глав, разбитых на 32 параграфа, заклнзчения. Изложена на 3 с. машинописного текста, имеет 47 рисунков, список из 157 іименований литературных источников.
Апробация результатов. Основные результаты работы докла-шались на П и Ш Всесоюзных симпозиумах по физике акустико-дродинамических явлений и оптоакустике (.Суздаль, 1979 г.; шкент, 1982 г.). Всесоюзном совещании "Электроимпульсная
технология и электромагнитные процессы в нагружённых твердых телах" (Томск, 1982 г.). На ІУ Всесоюзном симпозиуме "Методы
. теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии" (Новосибирск, 1985 г.). На Всесоюзных совещаниях "Электрогидравлический эффект и его применение" (Николаев, 1980, 1984, 1988 г.г.). На семинарах профессора Н.Н.Калитки-на в Институте прикладной математики АН СССР (1978 г.), на семинаре профессора М.А.Исаковича в Акустическом институте АН СССР (1980 г.), на семинарах академика АН УзССР Х.А.Рах-матулина на механико-математическом факультете МГУ (1981, 1986 г.г.), на семинаре профессора Е.В.Захарова на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ (1983 г.), на семинаре профессора А.Я.Сагомоняна на механико-математическом факультете МГУ (1987 г.), на семинаре профессора А.Г. Горшкова в Московском авиационном институте (1987 г.), на
-семинарах академика Б.И.Шемякина на механико-математическом факультете МГУ (май, октябрь 1992 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 работ, в том числе одна монография.'