Введение к работе
Актуальность теми. Настоящая работа посвящена исследованию внутренних гравитационных волн в двухслойной жидкости, параметрически возбуждаемых вертикальными колебаниями сосуда. Впервые экспериментальное исследование возникающих при вертикальных колебаниях сосуда стоячих волн на поверхности жидкости было проведено в 30-е годы прошлого века М.Фарадеєм, который обнаружил, что частота возбуждаемых волн равна половине частоты колебаний сосуда. Однако, линейная теория наблюдавшихся Фарадеєм волн была построена только в 50-е годы нашего столетия Т.Бенджамином и Ф.Эрселлом. Нелинейная теория параметрически возбуждаемых поверхностных волн впоследствии была разработана в 70-е и 80-е годы в работах Дж. и Х.Окендо-нов, В.Хэнстока и Р.Сани, Ф.Доджа, Д.Кана и Н.Абрамсона, Дж.Майлса, С.В.Нестерова.
Работы Дж.Майлса и его последователей объединяет метод теоретического анализа. Этот метод основан на использовании вариационной формулировки задачи и минимизации соответствующего действия на определенном классе функций. В работах С.В.Нестерова и С.Я.Секерж-Зеньковича развивался другой теоретический подход, основанный на применении методов усреднения к исходным уравнениям и граничным условиям, описывающим волновые движения.
Нелинейная теория параметрического возбуждения внутренних волн в двухслойной жидкости развивается в работах С.Я.Секерж-Зеньковича (с 1983 г.). Модель двухслойной жидкости, с одной стороны, позволяет описывать и поверхностные волны (если считать, что плотность верхней жидкости равна нулю), а, с другой стороны, дает представление о характере волновых движений стратифицированной жидкости. Таким образом, результаты, полученные в рамках модели двухслойной жидкости, могут охарактеризовать сходство и различие внутренних и поверхностных волн в жидкости. С.Я.Секерж-Зеньковичем было изучено пара-
метрическое возбуждение волн в одномодовом приближении и в предположении, что глубины слоев жидкости бесконечны.
Представляет значительный интерес вопрос о том, каков будет характер волновых движений жидкости в том случае, когда условия возбуждения допускают возникновение волн двух (или более) мод с различными собственными частотами. Постановка такого вопроса приводит к задачам о так называемом взаимодействии волн. Эти задачи в последнее время привлекают внимание широкого круга исследователей и актуальны как с точки зрения теории, так и для практических приложений.
Эффективным методом исследования проблем взаимодействия волн явлется переход к системам гидродинамического типа. Этот метод, предложенный А.М.Обуховым и эффективно разрабатывавшийся его сотрудниками, заключается в том, что вместо самой гидродинамической системы исследуется система ОДУ, моделирующая основные характеристики движения жидкости. В том случае, если изучаются движения близкие к периодическим (или квазипериодическим), такая система ОДУ получается из исходной с помощью различных методов усреднения. Исследование этой системы ОДУ, т. е. системы гидродинамического тізіа, гораздо проще, чем исходной задачи, и позволяет получить содержательные результаты.
Кроме того, представляет интерес вопрос о влиянии конечности глубин слоев на характер параметрического возбуждения волн. Известно, что при возбуждении волн на поверхностных волн в однородной жидкости резонансная кривая , т. е. зависимость амплитуда волн от частоты возбуждения, может менять свой наклон при изменении глубины жидкости. Интересно знать, будет ли аналогичное явление иметь место для внутренних волн в двухслойной жидкости, а также при какихсооношениях плотностей и глубин слоев оно может происходить.
Целью диссертационной работы является изучение эффектов взаимодействия мод и учет влияния конечности глубин слоев при параметрическом возбуждении внутренних волн в двухслойной жидкости.
Работа выполнена в соответствии с плановой тематикой Института проблем механики АН СССР "Волновые процессы в неоднородных, стратифицированных и гранул; среда*Я.-.№0109.10.007316
Методы исследования. В основу исследования положены уравнения движения идеальной несжимаемой двухслойной жидкости в поле силы тяжести, записанные в переменных Лагранжа. Для построения решений задач применялись асимптотические метода теории нелинейных волн подобные методу Крылова-Боголюбова. Выкладки проводились на компьютере с помощью пакета "Полимех--символ", разработанного в Институте проблем механики АН СССР на базе системы аналитических вычислений Reduoe-З. Системы ОДУ,, описывающие изменение во времени амплитуд и фаз главных гармоник волн анализировались метоами качественной теории дифференциальных уравнений, а также численно.
Научная новизна данной работы состоит в том, что исследованы асимптотические представления решений нелинейных задач о параметрическом возбуждении волн на границе раздела двухслойной тяжелой жидкости в вертикально колеблющемся сосуде с учетом конечности глубины слоев жидкости и взаимодействия двух нелинейных волновых мод.
Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут найти применение в океанологии. Выявленные в работе общие закономерности развития и взаимодействия внутренних волн имеют. отношение к процессам волнообразования в тармокли-не океана при прохождении по нему длинных поверхностных волн, процессам генерации краевых волн на отмелях и, вообще, процессам перемешивания в океане. Ери этом большое значение имеет тот факт, что, как было выяснено, внутренние волны взаимодействуют гораздо сильнее поверхностных.
Полученные в работе результаты могут также иметь технические приложения. Это относится к проблемам добычи нефти на океанском шельфе и ее транспортировки в танках, а также, вообще, к проблемам транспортировки неоднородных жидкостей. Кроме того, исследовавшиеся в работе гидродинамические системы могут моделировать нелинейные волновые процессы в плазме.
Апробация работы. Изложенные в работе материалы докладывались на 3-Й Всесоюзной школе-семинаре "Методы гидрофизических исследований" /май 1989, г. Светлогорск/, на 2-й Всесоюзной школе "Нелинейные волны" /сентябрь 1989, г. Светлогорск/, в Институте проблем механики АН СССР на семинаре группы волновых процессов в жидкости, семинаре по теории нелинейных колебаний и волн, семинаре по механике систем твердых тел и гироскопов, в Институте физики атмосферы АН СССР на семинаре теоретического отдела.
Публикация. Материалы диссертации изложены в трех публикациях (четвертая статья сдана в печать).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, одного дополнения и заключения, изложена на 123 страницах, из которых 15 составляют рисунки. В конце работы приведен список использованной литературы из 88 наименований.