Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель течения газовзвеси в однородной и пористой областях .. 30
1.1. Уравнения ламинарного течения газовой среды в однородной области 32
1.2. Уравнения движения газовой среды в пористой области 34
1.3. Ячеечная модель Кувабара .35
1.4. Лагранжевы уравнения движения взвешенных частиц 39
1.5. Эйлеровы уравнения переноса взвеси 44
1.6. Полный лагранжев метод расчета траекторий и концентрации частиц 45
Глава 2. Обтекание одиночного пористого цилиндра потоком газовзвеси .48
2.1. Постановка задачи 49
2.2. Результаты расчетов .53
2.3. Выводы 60
Глава 3. Обтекание периодического ряда пористых цилиндров
3.1. Постановка задачи 62
3.2. Результаты расчетов .63
3.3. Выводы 74
Глава 4. Расчет полей концентрации взвешенных частиц при обтекании периодического ряда цилиндров 76
4.1. Постановка задачи 77
4.2. Метод решения .79
4.3. Результаты расчетов .82
4.4. Выводы 88
Глава 5. Осаждение аэрозольных частиц в канале внутри пористой среды 89
5.1. Постановка задачи о течении газа 92
5.2. Задача о переносе дисперсной фазы .96
5.3. Расчет коэффициента пропуска аэрозольных частиц .102
5.4. Выводы .104
Заключение .106
Литература
- Уравнения движения газовой среды в пористой области
- Результаты расчетов
- Выводы
- Расчет коэффициента пропуска аэрозольных частиц
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В настоящее время теория течений газовзвеси является хорошо разработанным разделом современной механики многофазных сред. Вместе с тем в связи со сложностью и разнообразием многофазных течений остается множество нерешенных задач, и появляются новые, имеющие теоретическое и практическое значение. Относительно малоисследованными являются задачи, посвященные моделированию течений газовзвеси в областях с пористыми включениями, характеризующиеся тем, что в них возникает необходимость рассматривать перенос дисперсной фазы как в однородной, так и пористой областях одновременно. Подобные задачи важны в области фильтрации дисперсных воздушных загрязнений или аэрозолей. Системы очистки воздуха на основе аэрозольных фильтров широко встречаются в промышленности и бытовых условиях вокруг человека. Такие фильтры составляют один из элементов систем мониторинга окружающей среды, основанный на осаждении взвешенных частиц для анализа их концентрации в окружающей среде. Проблемы мониторинга атмосферных аэрозолей освещались, например, в работах Белана Б.Д., Ивлева Л.С., Довгалюк Ю.А., Лушникова А.А., Загайнова В.А. и др.
Математические модели течений газовзвесей при малых концентрациях
взвешенной фазы были сформулированы в известных книгах Фукса Н.А.,
Левина Л.М., Волощука В.М. Развернутое описание теории течений
многофазных сред дано Р.И. Нигматулиным. Задачи моделирования течений с
твёрдыми частицами рассмотрены также в ряде монографий авторов:
Вараксин А.Ю., Зайчик Л.И., Алипченков В.М., Волков К.Н., Емельянов В.Н.,
Логачев И.Н., Логачев К.И. и других. Исследованиям двухфазных
газодинамических течений посвятили свои работы следующие авторы:
Осипцов А.Н., Ватажин А.Б., Шапиро Е.Г., Гилинский М.М., Крайко А.Н.,
Асмолов Е.С., Циркунов Ю.М., Волков А.Н., Фомин В.М., Губайдуллин Д.А.,
Мазо А.Б., Федяев В.Л., Моренко И.В. и многие другие. Теоретический анализ
основных механизмов осаждения взвешенных частиц в аэрозольных фильтрах
приводится, например, в работах Фукса Н.А., Левина Л.М.,
Brown R.C.,Wang C.S., Williams M.M.R., Loyalka S.K. Математические модели
течений газа с взвешенными частицами в пористых средах развиты Стечкиной И.Б., Киршем А.А., Киршем В.А.
Целью работы является развитие математических моделей течения газовзвеси в областях с пористыми включениями применительно к задачам фильтрации аэрозолей, расчет интегральных характеристик (эффективности осаждения и коэффициента пропуска частиц) в зависимости от геометрических параметров и свойств несущей среды и дисперсной фазы.
Методом исследования является математическое моделирование
движения газовзвеси с использованием аналитических и численных полей
течений несущей среды. При предположении малых концентраций дисперсной
фазы моделирование дисперсных воздушных течений сводится к решению
задач о течении несущей среды и движении взвешенных частиц в найденном
поле скоростей. Течение в однородной области описывается в приближении
уравнений Навье-Стокса, осредненное течение в пористой области
рассчитывается в приближении модели Дарси или расширенных уравнений
Бринкмана. Для моделирования движения дисперсной фазы используются
траекторный метод Лагранжа и эйлеровы уравнения конвективно-
диффузионного переноса. Численная реализация достигается на основе метода конечных объемов в среде CFD пакета ANSYS Fluent и методов конечных разностей.
Научная новизна:
-
Решена задача об обтекании пористого цилиндра газовзвесью при варьировании числа Рейнольдса и проведены параметрические исследования зависимости эффективности инерционного осаждения взвешенных частиц от числа Стокса при различных числах Дарси. Дана оценка эффективности осаждения взвешенных частиц в пористом цилиндре с учетом осаждения на его поверхности и внутри пористой среды.
-
Решена задача об инерционном осаждении аэрозольных частиц в периодическом ряду пористых цилиндров на основе численной и аналитической ячеечной моделей течения несущей среды и проведены параметрические исследования зависимости эффективности инерционного осаждения взвешенных частиц от числа Стокса при различных числах Дарси и пористости периодического ряда. Предложена приближенная формула для эффективности осаждения как функции чисел Стокса и Дарси, пористости ряда и параметра зацепления.
-
Решена задача об определении полей концентраций взвешенных частиц для течения газовзвеси в периодическом ряду цилиндров на основе полного лагранжевого метода. Исследованы распределения концентрации частиц в
окрестности цилиндра и на его поверхности для различных значений
пористости периодического ряда и чисел Стокса дисперсной фазы.
4. Решена задача об осаждении взвешенных частиц в круговом канале внутри
пористой среды на основе приближенной модели течения Пуазейля и
уравнения конвективно-диффузионного переноса частиц. Получена
приближенная формула для коэффициента пропуска взвешенных частиц.
Теоретическая и практическая значимость работы. Проведенные исследования имеют теоретическое значение в области моделирования течения газовзвеси в областях с пористыми включениями. Полученные результаты работы могут иметь практическую значимость при прогнозировании характеристик аэрозольных фильтров и создании новых фильтров с улучшенными свойствами.
Достоверность полученных результатов. Сформулированные в работе математические модели основаны на фундаментальных законах и уравнениях механики сплошных сред. Для решения поставленных задач применяются апробированные численные методы. Результаты исследований находятся в хорошем согласии с известными расчетными данными других авторов.
Соответствие паспорту специальности. Согласно паспорту
специальности 01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы – область
естественных наук, изучающая на основе идей и подходов кинетической теории
и механики сплошной среды процессы и явления, сопровождающие течения
однородных и многофазных сред при механических, тепловых,
электромагнитных и прочих воздействиях, а также происходящие при взаимодействии текучих сред с движущимися или неподвижными телами. К областям механики жидкости и газа относятся ламинарные и турбулентные течения; течения многофазных сред (газожидкостные потоки, пузырьковые среды, газовзвеси, аэрозоли, суспензии и эмульсии); фильтрация жидкостей и газов в пористых средах; аналитические, асимптотические и численные методы исследования уравнений кинетических и континуальных моделей однородных и многофазных сред (конечно-разностные, спектральные, методы конечного объема, методы прямого моделирования и др.). []. Диссертационная работа отвечает задаче механики жидкости, газа и плазмы и относится к вышеперечисленным областям.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Математические модели течения газовзвеси при обтекании свободного пористого цилиндра и пористого цилиндра в периодическом ряду, а также зависимости эффективности осаждения взвешенных частиц, в том числе с учетом внутреннего осаждения, от числа Дарси, Стокса и пористости ряда.
-
Обобщенная приближенная формула для эффективности осаждения взвешенных частиц в ряду пористых цилиндров за счет инерционного механизма и эффекта зацепления.
-
Постановка и решение задачи об определении полей концентраций взвешенных частиц для течения газовзвеси в периодическом ряду цилиндров на основе полного лагранжевого метода и в стоксовом приближении для течения несущей среды. Результаты исследований распределений концентраций частиц на поверхности и в окрестности цилиндра для различных чисел Стокса и пористости периодического ряда.
-
Постановка и приближенное аналитическое решение задачи о течении газовзвеси в круговом канале внутри пористой среды. Приближенные аналитические выражения для пространственного распределения концентрации взвешенных частиц и коэффициента пропуска частиц как функций числа Дарси и коэффициента скольжения на границе однородной и пористой сред.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере получения
докладывались на семинарах лаборатории «Аэрозоли» Института математики и
механики Казанского университета и на всероссийских и международных
конференциях: IV и V молодежные международные научные конференции
«Тинчуринские чтения» (КГЭУ, г. Казань, 2009, 2010); XIV международная
научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника,
электротехника и энергетика» (МЭИ, г. Москва, 2010); XХIV научная
конференция стран СНГ «Дисперсные системы» (г. Одесса, Украина, 2010); VII
Международная конференция «Естественные и антропогенные аэрозоли –
2010» (г. Санкт-Петербург, 2010); научно-практическая конференция студентов
и аспирантов «Наука и инновации в решении актуальных проблем города»
(г. Казань, 2010); Международная конференция по методам аэрофизических
исследований ICMAR-2012 (г. Казань, 2012); Европейские аэрозольные
конференции EAC-2012 и EAC-2013 (Granada, Spain, 2012, Prague, Czech
Republic, 2013); Международных конференциях «Девятые Петряновские
Чтения» и «Десятые Петряновские и Первые Фуксовские Чтения» (НИФХИ им.
Л.Я. Карпова, г. Москва, 2013, 2015); Вторая Всероссийская научная
конференция с международным участием «Окружающая среда и устойчивое
развитие регионов» (г. Казань, 2013); конференция «Обратные краевые задачи и
их приложения» (г. Казань, 2014); ХI Всероссийский съезд по
фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Казань, 2015).
Личное участие. Автор диссертационной работы принимал участие в постановке задач, выборе математических моделей и методов решения
поставленных задач, а также в анализе полученных результатов и написании статей совместно с научным руководителем. Все численные расчеты проведены автором диссертации.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ. Четыре статьи в журналах из списка ВАК [1-4] и 14 материалов и тезисов конференций [5 - 18].
Исследования течений газовзвеси в областях с пористыми включениями, результаты которых включены в диссертацию, выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 12-01-00333, 15-01-06135, 14-01-31118) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МК-6235.2015.1. Автор выражает благодарность указанным фондам. Автор работы удостоен диплома финалиста конкурса «Республиканский Молодежный Форум 2011» за разработку проекта «Повышение эффективности осаждения дымовых частиц в волокнистых фильтрах» (Казань, 14-17 ноября, 2011 г.)
Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка используемых обозначений, введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Уравнения движения газовой среды в пористой области
Зависимость эффективности осаждения взвешенных частиц для течения газовзвеси в периодической полосе ряда пористых цилиндров от числа Стокса исследовалась для различных значений числа Дарси. Показано, что появление дополнительного потока воздуха через пористый цилиндр увеличивает поток частиц на его поверхность. В случае сплошного цилиндра поток частиц на поверхность понижается до очень малых значений близких к нулю при малых числах Стокса. Для пористого цилиндра даже для малых чисел Стокса поток частиц на поверхность цилиндра не будет нулевым. Возрастание числа Дарси ведет к значительному возрастанию потока частиц через границу пористого тела. Однако некоторые частицы, которые достигли поверхности пористого цилиндра, могут проходить через него без инерционного оседания внутри. Чтобы оценить эффективность осаждения внутри пористого тела рассчитано течение газовзвеси в приближении уравнений Навье-Стокса через цилиндр, составленный из множества случайно упакованных волокон одинакового радиуса. Показано, что общая эффективность осаждения ограничена эффективностями инерционного улавливания при обтекании пористого и сплошного цилиндра. Это означает, что преимущество в общей эффективности осаждения пористого цилиндра относительного сплошного уменьшается из-за способности некоторых частиц, которые достигают поверхности тела, проходить через пористую среду без оседания.
Обобщена приближенная формула из работы [124] для эффективности осаждения аэрозольных частиц на сплошном цилиндре в периодическом ряду с помощью механизма инерции и эффекта зацепления на случай пористого цилиндрического волокна. Формула определяет эффективность осаждения частиц в периодическом ряду пористых цилиндров как функцию числа Стокса, числа Дарси, параметра зацепления и плотности упаковки.
В четвертой главе решена задача об определении полей концентраций взвешенных частиц для течения газовзвеси в периодическом ряду сплошных цилиндров. Движение несущей среды вокруг цилиндра при малых числах Рейнольдса в приближении течения Стокса описывается бигармоническим уравнением для функции тока у/. Для определения распределения функции тока ц/(х,у) использован метод коллокаций на основе мультиквадратичных функций. Для моделирования движения дисперсной фазы применен полный лагранжев метод, описанный в первой главе. Использование безсеточного метода коллокаций для мультиквадратичных функций позволяет получить аналитически непрерывные функции первых и вторых производных компонент скорости течения несущей среды, что обеспечивает высокую точность расчета концентрации частиц полным лагранжевым методом.
Исследованы распределения концентрации частиц в окрестности цилиндра и на его поверхности для различных значений параметров ряда цилиндров (пористости ряда) и дисперсной фазы (число Стокса). Показано, что с увеличением числа Стокса среднее значение концентрации частиц на поверхности цилиндра уменьшается, но растет область оседания. При малых числах Стокса максимум концентрации частиц наблюдается перед цилиндром. С ростом числа Стокса происходит сдвиг по течению области максимальных концентраций. Обнаружено также, что за цилиндром появляются области с концентрацией ниже начальной, обусловленные разрежением траекторий.
В пятой главе решена задача о движении газовзвеси в круговом канале внутри пористой среды в предположении малости концентраций дисперсной примеси. Такая задача возникает в связи с необходимостью оценки характеристик аэрозольных фильтров при нарушении их целостности в результате образования в них отверстий. Для течения несжимаемого газа получено приближенное аналитическое решение для скорости на случай кругового канала с пористыми стенками.
Получено приближенное решение задачи об осаждении взвешенных частиц в круговом канале внутри пористой среды на основе модели уравнения конвективно-диффузионного переноса примеси. Построены выражения для распределения концентрации и коэффициента пропуска частиц, включающие в качестве параметра число Дарси и коэффициент скольжения пористой поверхности. Проведено сравнение полученных распределений скорости и концентрации частиц с численным решением задачи о переносе дисперсной примеси. Показано, что увеличение числа Дарси (рост проницаемости пористой среды) уменьшает осаждение частиц в канале в результате увеличения скорости несущей среды.
Автор выражает благодарность научному руководителю за постоянное внимание к работе, критические замечания и неоценимую помощь в подготовке работы. Автор признателен коллегам – сотрудникам лаборатории «Аэрозоли» Института Математики и Механики Казанского (Приволжского) федерального университета за неоднократное обсуждение вопросов по тематике диссертации и методов решения поставленных задач. Автор в особенности благодарит профессора кафедры моделирования экологических систем, доктора физико-математических наук Э.В. Скворцова, а также доцента кафедры аэрогидромеханики Р.Ф. Марданова за оказанную помощь в решении задач 4 и 5 главы диссертации. Отдельная благодарность Российскому фонду фундаментальных исследований за финансовую поддержку исследований по теме диссертации.
Результаты расчетов
Большинство работ, посвященных движению взвешенных частиц в пористой среде, касается осаждения на элементах фильтра, представляющих собой сплошное тело. Для широко используемых волокнистых фильтров такими элементами являются тонкие цилиндрические волокна. В процессе работы фильтра, частицы, оседающие на отдельных волокнах, формируют пористый слой, который оказывает влияние на гидродинамику обтекания одиночного волокна и процесс оседания частиц. Кроме того, в качестве отдельных элементов фильтра могут использоваться проницаемые тела – проницаемые волокна. В работе [107] показано, что использование пористых цилиндров в качестве элементов аэрозольных волокнистых фильтров заметно повышает эффективность улавливания малых аэрозольных частиц в случае диффузионного осаждения. Задача расчета эффективности инерционного оседания взвешенных частиц при обтекании пористого цилиндра является мало исследованной. Она рассматривалась лишь в одной работе Кирша В.А. [19].
В настоящей главе решается задача об обтекании пористого цилиндра кругового сечения газовзвесью и проводится исследование эффективности инерционного осаждения взвешенных аэрозольных частиц. Поле течения несущей среды вне цилиндра описывается в приближении вязкого течения несжимаемого газа в рамках уравнений Навье-Стокса, внутри проницаемого цилиндра используются расширенные уравнения Бринкмана для осредненной скорости. Проведены исследования зависимости эффективности инерционного осаждения частиц от числа Стокса при различных значениях числа Дарси. 2.1 Постановка задачи
В предположении малости концентраций частиц влиянием дисперсной фазы на газовое течение пренебрегается. Для описания движения несущей газовой среды используются уравнения (1.10-1.11) с граничными условиями, определяемыми в программном комплексе ANSYS Fluent как «velocity inlet», «pressure outlet», «symmetry» на левой, правой и верхней (нижней) границе соответственно. Указанные граничные условия соответствуют следующему: на левой границе расчетной области задается скорость набегающего потока UX=U0= const, Uy = 0, а также статическое давление р = р0, на правой границе задается равенство нулю избыточного давления др/дх = 0, dUjdx 0, диу/дхк0, на верхней и нижней границе задаются условия симметрии (8Ujdy = 0, 8Uy/dy=0, др/ду = 0). Система уравнений движения несущей среды (1.10-1.11) решается методом конечных объемов в CFD пакете ANSYS Fluent. Движение взвешенных частиц описываются уравнениями (1.35)-(1.36). Рис. 2.2. Разбиение на конечные объемы вблизи границы пористого цилиндра. Для расчетов использовались разбиения расчетной области на конечные объемы размером 400000-500000 четырехугольных ячеек. Для получения устойчивого численного решения обеспечивается более детальное разбиение на конечные объемы вблизи границы пористой области (рис. 2.2).
Система уравнений (1.35)-(1.36) численно интегрируется в найденном поле скоростей несущей среды вне цилиндра. Значения составляющих скорости газа в текущей точке траектории частицы находятся на основе интерполяции во множестве значений, полученных из численного решения уравнений Навье-Стокса.
Для проведения расчетных исследований выбран цилиндр с радиусом Rc = 500 мкм. Скорость невозмущенного потока принималась равной С/0 є[0.0146;0.146;0.292;0.438;1.46;2.92] м/c, что соответствовало диапазону чисел Рейнольдса Re є [1; 10; 20; 30; 100;200]. На рис. 2.3 приведены линии тока газового течения, рассчитанные при числе Дарси Da = к I Rc2 = 10"2 (к проницаемость среды, Rc - радиус цилиндра) для четырех значений числа Рейнольдса. Нижняя половина рисунка соответствует результатам из работы [62].
Линии тока течения газа при Da = 10"2 для Re = 1 (а), 10 (б), 20 (в), 30 (г). Наблюдается хорошее согласование рассчитанных в двух работах линий тока течения газа. При увеличении числа Рейнольдса, как и в случае непроницаемого цилиндра, за проницаемым цилиндром появляется вихревое течение. Результаты детального исследования картины вихревого течения за проницаемым цилиндром в зависимости от чисел Рейнольдса и Дарси даны в работе [62].
Выводы
При решении настоящей задачи возникает дополнительная трудность, связанная с удовлетворением граничных условий. На границе для бигармонического уравнения четвертого порядка необходимо два граничных условия. Таким образом, количество уравнений в системе становится больше, чем количество неизвестных, которое совпадает с количеством базисных точек. В настоящей задаче добавлены дополнительные базисные точки, расположенные вне рассматриваемой области. Количество дополнительных базисных точек равно количеству базисных точек на границе области, что делает систему уравнений замкнутой.
Отыскав из указанной системы уравнений величины о,, по формуле (4.8) определим искомую функцию у/(х,у). Компоненты скорости их и иу несущей среды запишутся через функцию тока согласно (4.3) в виде ду drj(x,y) В найденном поле течения несущей среды рассчитываются траектории и концентрация частиц на основе численного интегрирования системы уравнений (1.35, 1.36, 1.42, 1.44) методом Гира [82]. Схема периодической области и базисные точки со сгущением вблизи поверхности цилиндра, а также пример рассчитанных линий тока для а = 0.05 приведены на рис.4.3.
Для тестирования развитого метода расчета концентраций рассчитана эффективность Е осаждения аэрозольных частиц на цилиндре на основе метода предельных траекторий и по значениям концентраций на цилиндре. В традиционном методе предельных траекторий вдали от цилиндра стартует множество частиц с начальной ординатой в пределах миделева сечения цилиндра. Частица, попадающая на поверхность цилиндра, считается осевшей. Эффективность Е осаждения частицы определяется как отношение числа осевших частиц к общему числу стартовавших. В случае известного распределения концентрации с \xs{e),ys{6)j частиц на поверхности цилиндра величина Е может быть найдена по формуле в Е= \cps(xs{elys{e))vn(xs{elys{e))de, (4.10) где vn - нормальная компонента скорости частицы, yxs(6),ys(6)) координаты текущей точки поверхности цилиндра.
Зависимости (St) для трех значений плотности упаковки цилиндров а = 0.001, 0.01, 0.05, рассчитанные методом предельных траекторий (сплошные кривые) и по формуле (4.10) (штриховые кривые) приведены на рис.4.4. Наблюдается хорошее согласие кривых, полученных по двум подходам, что подтверждает высокую точность расчета концентраций частиц на поверхности цилиндра. 1.0
На рис.4.5 приведены графики зависимости концентрации с 0 частиц на поверхности цилиндра при 0 = 0 от числа Стокса cps0 (St) для моделей течения Стокса и потенциального обтекания свободного цилиндра. С увеличением числа Стокса наблюдается рост концентрации с 0 частиц. При некотором критическом числе Стокса частицы начинают оседать на поверхности цилиндра, и неограниченный рост концентрации сменяется падением. Значение критического числа Стокса для модели потенциального обтекания цилиндра соответствует теоретической величине St = 0.125, найденной из аналитического решения уравнения движения частиц на оси симметрии [5]. Рис.4.5. Зависимость c 0(St). Кривая 1 соответствует модели потенциального течения для свободного цилиндра а = 0, кривые 2 - 4 значениям а = 0.05, 0.01, 10"3. Результаты параметрических исследований распределений концентрации частиц на поверхности и в окрестности цилиндра для различных а и St представлены на рис.4.6 - 4.9. На рис.4.6 приведена зависимость cps(6) при различной плотности упаковки для St = 5.5. При малой плотности упаковки [а = 0.001) минимальная концентрация частиц наблюдается в передней точке цилиндра при в = 0. С ростом в концентрация растет, что характерно для обтекания свободного цилиндра газовзвесью [167]. Вместе с тем видно, что для а = 0.01, 0.05 зависимость cps(9) является немонотонной. Незначительное падение концентрации сменяется ростом. Представление о зависимости cps{6) с изменением числа Стокса дает рис.4.7, где приведены кривые для чисел Стокса, при которых величина ii(St) не равна нулю. С ростом числа Стокса распределение cps (в) выравнивается и стремится к значению с = 1.
Поля концентрации частиц в окрестности цилиндра в виде изолиний даны на рис.4.8-4.9. Штриховой линией показана предельная траектория, разделяющая поток оседающих частиц. Рис.4.8 соответствует потенциальной модели обтекания свободного цилиндра. В этом случае наблюдается типичная картина возмущений концентрации частиц в окрестности цилиндра [89]. Изолинии, начинающиеся на поверхности цилиндра, уходят на бесконечность по потоку. Во всей области концентрация частиц принимает значения больше начального [5].
В случае стоксовой модели вязкого обтекания цилиндра картина изолиний концентраций частиц заметно отличается (рис.4.9). В отличие от случая потенциального обтекания концентрация частиц в окрестности цилиндра может быть как больше, так и меньше начальной концентрации равной единице. Высокие значения концентраций частиц наблюдаются перед цилиндром. При St=1.5, когда частицы не оседают, наблюдается сильный рост концентрации частиц перед цилиндром. Поток несущей среды тормозится и перед цилиндром его скорость минимальна. Попавшие в эту область слабо инерционные частицы также затормаживаются и начинают очень медленно двигаться вдоль границы цилиндра. Попадание новых частиц в эту зону приводит к их накоплению и росту величины с (х,у). При увеличении числа Стокса (St = 3, 10), участок с повышенной концентрацией частиц начинает смещаться от цилиндра вниз по потоку газа. В то же время за цилиндром наблюдаются зоны со значениями концентрации частиц меньше начального значения в невозмущенном потоке. Такие значения концентраций обусловлены разрежением траекторий частиц в этих зонах за цилиндром (рис. 4.9, б, г).
Расчет коэффициента пропуска аэрозольных частиц
Аэрозольные частицы внутри каналов (отверстий) могут оседать на стенках в результате различных механизмов: диффузии, инерционного осаждения, гравитационного оседания и электростатических сил. Рассмотрим диффузионное движение малых взвешенных частиц в пренебрежении механизмами инерционного и гравитационного осаждения. Приближение может быть применено для аэрозольных частиц субмикронного диапазона размеров при низких скоростях фильтрации.
Движение дисперсной фазы в круговом канале описывается уравнением конвективно диффузионного переноса для концентрации частиц, которое в пренебрежении осевой диффузией и радиальной конвекцией может быть записано в форме
Аппроксимация для профиля концентрации аэрозольных частиц в потоке в цилиндрической трубе с твердыми стенками представлена в статье [52]. Следуя этой работе, построим приближенное решение уравнения (5.12) с условиями (5.12а–5.12c) и получим аналитические выражения для распределения концентрации частиц. В работе [51] показано, что профиль концентрации частиц в трубе с твердыми стенками становится полностью развитым на длине LD=0ARcPQ. Полностью развитый профиль концентрации в трубе формируется, начиная с x J3D/J3, где J3D=02.
Задача (5.12) с граничными условиями (5.12а–5.12c) была решена численно с помощью неявной разностной схемы Кранка-Николсона. Для определения расстояния LD от входа, где профиль концентрации становится развитым в случае канала с пористыми стенками, область A под профилями концентрации для различных значений т была рассчитана по формуле [51]: і A(x) = jc(r,x)/cmax(x)dr. Функция A{x) асимптотически стремится к о минимальному Amin. Считается, что значение x , при котором величина A на 1% больше, чем Атт соответствует LD. С помощью приближенной функции LD(T), определенной численно, получено PD = 0.2 + 0.9ІГ + 0.078г15. Можно считать, что отношение f(r) = c(r,x)/cmax(x) зависит только от радиальной координаты r , начиная с безразмерного расстояния от начала трубы х = /3D I /3 (cmax(x) = с(0,х) - максимальное значение концентрации частиц), то есть
Константы 8 и Я в решении (5.15) определяются подстановкой значений с(0,x), полученных из численного решения задачи (5.12-5.12с) для различных значений т. В дальнейшем без потерь для общности безразмерный коэффициент /3 принимается равным единице. Чтобы принять во внимание различие в /? полученное решение может быть изменено с использованием формулы
Значения ЗиЛ, полученные при различных г, используются для построения аналитических аппроксимаций 3(т)и Л(т) методом наименьших квадратов На рис.5.3 изображены кривые с(х,0) = cmax(x) максимальной концентрации аэрозольных частиц для различных значений Da. Сплошные кривые соответствуют численному решению уравнения (5.12) с условиями (5.12а-5.12с). С ростом Da концентрация с(х,0) = cmax(x) вдоль оси аэрозольных частиц падает медленнее. В рассматриваемой постановке при Da Ф 0 в пористой среде начинается движение газа, приводящее к ненулевой скорости на границе канала U(Rc) = TRcAp/2juL. Поэтому для течения аэрозоля в канале растет вклад конвекции по потоку в переносе частиц, что приводит к уменьшению осаждения. Радиальные распределения концентрации частиц в нескольких сечениях по х (x = 0.3; 0.5; 1) при Da = 0.1 показаны на рис.5.5. Наблюдается удовлетворительное согласие численных и приближенных аналитических кривых для x