Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Влияние аппроксимационной вязкости на решение уравнения с малым параметром 17
1.1. Разностная схема экспоненциальной подгонки на неравномерной сетке для уравнения с малым параметром .17
1 2. Построение неравномерной сетки в задачах с погранслоем 31
1.3. О плохой обусловленности разностных уравнений в случае знакопеременного коэффициента при первой производной 36
Глава II. Уравнения пограничного слоя с малым параметром 45
2.1.Метод экспоненциальной подгонки для нелинейного уравнения параболического типа с малым параметром 46
2.2 Конечно-разностные схемы для расчёта уравнений Прандтля 56
Глава III. Разностная схема экспоненциальной подгонки для решения стационарных задач внутренней гидродинамики 65
3.1. УравненияНавье-Стокса в переменных ФИ .Постановка краевой задачи 65
3.2. Схема экспоненциальной подгонки для уравнений Навье Стокса 72
3.3.Решение уравнения для функции тока 80
Приложение 83
Литература
- Построение неравномерной сетки в задачах с погранслоем
- О плохой обусловленности разностных уравнений в случае знакопеременного коэффициента при первой производной
- Конечно-разностные схемы для расчёта уравнений Прандтля
- Схема экспоненциальной подгонки для уравнений Навье Стокса
Введение к работе
Разработка различных технических устройств авиамоторостроения, іспользующих в качестве рабочего тела жидкость или газ, оптимизация «жимов их работы вызывает необходимое численного моделирования [вижения этой среды в соответствующих условиях. Несмотря па то, что число г/бликаций, связанных с вопросами численного моделирования задач арогидродинамики очень велико, гем не менее остаётся достаточно много ерешёнпых проблем. В частности, одной из основных проблем является юкращение времени и объемов необходимых вычислений на ЭВМ, которое южет быть достигнуто как за счёт повышения быстродействия и возможностей іьічислительной техники, так и за счёт увеличения эффективности методов, іспользуемьгх при численном моделировании.
В данной работе описан и обоснован конечноразностный метод шеленного моделирования дозвуковых течений вязкой жидкости или газа, :оторый позволяет сократить объёмы вычислений, а следовательно, и время іьічислений. Такое сокращение достигается за счёт как повышения порядка іппроксимации разностных уравнений, так и за счёт построения равномерно годящихся по малому параметру (числу Рейнольдса) разностных схем.
Целью работы является разработка и обоснование метода решения сраевых задач для приближённых и полных уравнений Навье-Стокса в цироком диапазоне чисел Рейнольдса. Метод основан на идее использования іри аппроксимации дифференциальных уравнений разностными схемами шпарата «погранслойных» функций, что позволяет создать и обосновать класс тзностных схем с помощью которых можно адекватно моделировать движение іязкой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса, а также создании эазностных схем повышенного порядка аппроксимации.
Достоверность исследований вытекает из математической строгости тостановки рассматриваемых задач, обоснования методов их решения, а также ;равнения полученных результатов с известными решениями, жепериментальными данными и результатам других исследований.
Научная новизна: На основе аппарат «погршіслойньгх» функциі получен и обоснован класс разностных схем экспоненциальной нодюнки как ні равномерных, так и на неравномерных сетках для решения приближённых і полных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса Исследованы вопросы влияния числа Рейнольдса и методов линеаризации ш обусловленность разностных уравнений. Предложен алгоритм реализациі такііх разностных уравнений, учитывающий технические характеристики ЭВМ
Практическая значимость исследований. Па основе предложенньп алгоритмов решения приближённых и полных уравнений Навье-Сткок« возможно численное моделирование следующих практических задач:
а) внешней аэрогидродинамики - моделирование задач обтекания на баз<
стационарных уравнений поіраничного слоя;
б) внутренней аэрогидродинамики - моделирование стационарных геченш
вязкого газа или жидкости в задачах химической, нефтяной промышленности у
авиамоторостроении в широком диапазоне чисел Рейнольдса.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работь докладывались на V межреспубликанских туполсиских чтениях студентої «Актуальные проблемы авиастроения» (Казань, 1992г.), на Международно} научно-технической конференции «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении Моделъ-проект-95» (Казань,1995 г.), на Международной научно-техническо( конференции «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1995 г.), на 1\ encoutro regional de matematica aplicada e computional. ANAIS-1996. (Brazil), hi Второй республиканской конференции молодых учбных и специалистої (Казань, 1996г.), на научной конференции «Динамика сплошных сред ее свободными границами».( Чебоксары, 1996г.). на I Международно? конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные тсхнологш и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». (Казань 1997г.), на итоговых научных конференциях Казанского государственной технического университета в 1993-1997п\
з І Кпликации. Содержание диссертации опубликовано в 11 работах [l-
ч-
Сірукілра и обьем работы. Работа состоит из введения, трех гяав, филожения и списка использованной литературы. Работа изложена на 1*Ц границах машинописного текста, содержит jQ рисунков, И. таблиц, в рафиков.
Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского осударственного технического университета имА.Н.ТуполеЕа.
Построение неравномерной сетки в задачах с погранслоем
Во введении обосновывается актуальность темы, формируется цель работы, приводится краткий обзор содержания диссертационной работы.
В первой главе предложена разностная схема экспоненциальной подгонки для решения уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной для первой краевой задачи на неравномерной сетке, доказана монотонность, равномерная сходимость схемы. Проведён математический анализ построения разностных методов решения уравнений с малым параметром при старшей производной, когда коэффициент при первой производной меняет знак. Для численного решения возникающих в этом случае плохо обусловленных разностных уравнений предложены алгоритмы масштабирования и модификация классической прогонки. В этой же главе описан метод построения неравномерной сетки, сгущающейся в погранслойных областях в зависимости от значения малого параметра.
Вторая глава посвящена вопросу построения на неравномерной сетке монотонных разностных схем экспоненциальной подгонки для численного решения приближённых уравнений Навье-Стокса (уравнений Прандтля), позволяющих корректно проводить расчёты при малых значения малого параметра -«1 (больших числах Рейнольдса). Проведён анализ влияния аппроксимационной вязкости на решение в зависимости от порядка аппроксимации разностной схемы. Сформулированы теоремы о монотонности и устойчивости разностных схем экспоненциальной подгонки, а так же обусловленности систем разностных уравнений в зависимости от линеаризации нелинейного члена для подобных уравнений. Как правило, в области определения решения задач класса с малым параметром при старшей производной существyют подобласти вблизи стенки с большими градиентами и поэтому проблема построения разностных схем для параболических уравнений Прандтля является наиболее важной в вычислительной гидродинамике.
В третьей главе рассмотрен вопрос численного моделирования внутренних задач гидроаэродинамики на базе уравнений Навье-Стокса. Для численного решения подобных задач предложены разностные схемы экспоненциальной подгонки для уравнения переноса (так как эти уравнения относятся к классу уравнений с малым параметром) и классические схемы на неравномерной сетке для нахождения решения второго уравнения исходной системы (уравнения Пуассона). Доказаны условия монотонности исходных разностных схем. Численная реализация разностных уравнений осуществлена с помощью схем расщепления, а именно скалярной прогонкой. Расчётов некоторых модельных задач внутренней гидродинамики приведены в приложении.
В приложении приведены описания расчётов, подтверждающие работоспособность и хорошее совпадение результатов, полученных по предложенным схемам с известными точными решениями для ряда тестовых задач, описаны методы и алгоритмы решения некоторых задач гидроаэродинамики, проиллюстрированы результаты.
Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. Игнатьева И.В, Комплекс программ по решению жёстких и нежёстких обыкновенных дифференциальных уравнений и его использование.// В тез.докладов научно-технич. конференции КАИ по итогам работы за 1992-1993 гг. Казань, 1994 г.С.207.
2. Игнатьева И.В. О численном моделировании отрывных течений в плоском канале.// Сб. тезисов докладов Международной научно-технической конф. «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. Модель-проект-95». Казань. КГТУ. 1995. С.55-57.
3. Игнатьева И.В. Математическое моделирование процессов тепломассообмена в пористой влагосодержащей среде при воздействии на её поверхность концентрированным потоком энергии.// Сб. тезисов докладов Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения». Наб.Челны. КамПИ, 1995 г. С.60.
4. Игнатьев В.Н., Игнатьева И.В. Математический анализ модели и расчёта отрывных течений в канале с уступом.// В сб.статей «Динамики сплошных сред со свободными границами». Чебоксары, 1996г. С.126-137.
О плохой обусловленности разностных уравнений в случае знакопеременного коэффициента при первой производной
Проведём теперь анализ построения разностных методов решения уравнений с малым параметром при старшей производной для случая, когда коэффициент при первой производной меняет знак. В решениях таких уравнений появляются «внутренние» погранслои, и разностные уравнения требуют специальных методов их реализации. Дело в том, что система разностных уравнений при стремлении малого параметра к нулю становится плохо обусловленной. Для численного решения плохо обусловленных разностных уравнений предлагается алгоритм масштабирования и модификация классической прогонки [83, 88]. Предлагаемые алгоритмы апробируются и анализируются на конкретном численном алгоритме.
Систему алгебраических уравнений запишем в матричном виде Du = f. (1.3.1) Меру обусловленности матрицы D характеризует число обусловленности [79]. В соответствии с [79] число обусловленности Тодда матрицы D определяется следующим образом: max Д condD = р-. (1.3.2) minplf Здесь тіпд и тах4 соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа матрицы D. В соответствии с [82], отношение погрешности нормы изменения решения системы (1.3.1) к норме решения имеет вид : Ц соп4вЩ±. (1.3.3) Если мы возмутим матрицу D, а не правую часть /, то J , condJ . (1.3.4) Согласно (1.3.3) - (1.3.4), если матрица плохо обусловлена, то малые изменения в элементах матрицы D и правой части / влекут большие изменения в решении.
Перейдём теперь к обсуждению системы разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу: Считаем, что коэффициент а{х) в задаче (1.3.5) может менять знак, но не является тождественно нулевым в узлах сетки. В соответствии с этим сделаем ограничения: при всех n, то матрица является якобиевой, и все её собственные значения вещественны и различны. Определение . Матрицу о(е) назовём є - хорошо обусловленной, если condc{s) C, где постоянная С не зависит от є . Соответственно, матрицу п(е)будем считать є - плохо обусловленной, если ори .? -»о. Покажем, что матрица D(S) может стать є - плохо обусловленной при малых є , если а{х) меняет знак. , и существует точка х„ eQ\ в
Теорема 2 . Пусть в (1.3.6) Ше„ которой а(х,) = b(xk) = 0, ТО сотюЕ ( ) -» со при и- 0. Доказательство . Поскольку матрица о(є) является матрицей со слабым диагональным преобладанием, то все собственные числа 1, этой матрицы отрицательны, и для них справедливы неравенства
Учитывая, что для произвольной матрицы Z и Принимая во внимание (1.3.3), приходим к утверждению теоремы. Отметим, что число обусловленности существенно зависит от конкретного выбора єп в разностной схеме (1.3.6), знака производной а (х) в точках, в которых а{х) обращается в нуль. К примеру рассмотрим случай, когда а{х) один раз меняет знак с минуса на плюс. Итак, пусть ак О при к і , ак 0 при г +. Для простоты рассуждений рассмотрим разностное уравнение (1.3.6) при ( ,) = 0 при всех xkGQh. Матрица разностной схемы (1.3.6) в этом случае имеет вид аналогии с предыдущим случаем матрица D{Z) является є - плохо обусловленной. Масштабируем матрицу в(є), деля ; - тую строку на в, при і к. Нетрудно убедиться, что у масштабированной матрицы строки с номерами к и к +1 становятся пропорциональными при я 0. Поэтому det До) = 0, где о(є) - масштабированная матрица и её максимальное по модулю собственное значение отлично от нуля. В связи с чем масштабированная матрица Sis) является є - плохо обусловленной.
Теперь проведём анализ влияния ошибок округления на решение для системы разностных уравнений с є - плохой матрицей. Итак, рассмотрим модельную задачу d и . .du г+а{х)ґ. (1.3.8) и(0)=0 , іЦ) = В Предполагаем, что коэффициент а{х) - знакопеременный. Для численного решения краевой задачи (1.3.8) будем использовать \а \h разностную схему (1.3.6) с ea = j„ + - , где jn 0 при е О. Принимая во внимание условия теоремы Z матрица полученных разностных уравнений является е - плохо обусловленной. Для численной реализации разностной системы уравнений будем использовать метод правой прогонки. Запишем схему этого метода ulx = nuhn n=N+l,N,...,1 , и +1 = В , (1.3.9) где прогоночные коэффициенты вычисляются рекуррентно В [83] показано, что решения системы уравнений Duh = F с учётом наличия погрешностей округления в методе исключения Гаусса эквивалентно точному решению возмущённой системы уравнений {D + AD)uk = F + SF. Если матрица D плохо обусловлена, то в силу (1.3.4) небольшие погрешности AD и SF могут повлечь большие погрешности в решении. Покажем, как можно интерпретировать появление Ю и SF при вычислении прогоночных коэффициентов. Разностную схему запишем следующим образом :
Конечно-разностные схемы для расчёта уравнений Прандтля
Определение численного решения полных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса (Re 10 ) сопряжено с рядом трудностей. Эти трудности связаны с тем, что наряду с подобластями плавного изменения решения существуют подобласти с большими градиентами. Как правило, в этих подобластях происходят основные физические процессы: образование вихревых структур, интенсификация процессов тепло-массообмена, диссипации некоторых турбулентных характеристик и т.п. Важными численными алгоритмами, учитывающими анализ физических явлений в подобластях с большими градиентами, являются конечно-разностные схемы на неравномерных сетках [84 - 86], а также сплайновые схемы повышенного порядка аппроксимации [62]. Здесь же на неравномерной сетке строятся разностные схемы, точные на функциях пограничного слоя.
Первое уравнение системы (3.1.5) относится к классу уравнений с малым параметром при старшей производной. Поэтому, от численного алгоритма важно требовать, чтобы в своём решении он учитывал бы асимптотические свойства решения в области больших градиентов и обладал свойством монотонности. Для этого проведем «расщепление» первого уравнения системы (3.1.5) в виде следующих двух уравнений 1 #в дц/да
Аналогичным образом из разностных аналогов для производящей системы (3.2.1) в узлах расчётных точек (WJGQ» можно получить схему центральных разностей, аппроксимирующую это уравнение с порядкомо(пшф,. (»= D; ( ц-дй)- .( -- »), М «- )-М - - ) Перейдём теперь к рассмотрению вопроса построения монотонной разностной схемы экспоненциальной подгонки, имеющей такой же порядок аппроксимации, что и схема (3.2.5). Каждое уравнение производящей системы (3.2.1) аппроксимируем соответственно следующими разностными аналогами: или после исключения значений функции f{Xj,y) v(Wl) є Qh получаем: (3.2.6)
Прежде чем перейти к доказательству утверждения о монотонности разностной схемы (3.2.6), приведём вспомогательную лемму. Для этого введём понятие разностного числа Рейнольдса, которое определим соотношением
Принимая во внимание лзлшу 7 , получаем, что разностные числа Рейнольдса, определяемые выражениями (3.2.8) удовлетворяют неравенствам : а) Re hhl 2hj при 4 0 и \Щ 2 при и% О; в) Re? hM 2ht при V . О и Ref I 2 при , 0 . Из условия положительности коэффициентов разностного уравнения (3.2.12) и свойства нестрогого диагонального преобладания убеждаемся в её монотонности при любых Re 0, и в частности ReG(o,106).
Покажем, что система уравнений (3.2.13) устойчива к ошибкам округления при любом итерационном параметре т. Для этого запишем систему (3.2.13) в каноническом виде:
Покажем, что исходные матрицы системы разностных уравнений (3.2.14) имеют диагональное преобладание. Действительно, пусть utj О, Для коэффициентов А „В .С, выполнение условия C.ZA.+B. доказывается аналогичным образом. Численная реализация системы уравнений (3.2.14) осуществлялась методом скалярной прогонки. Перейдём теперь к вопросу численного решения второго уравнения системы (3.1.5), т.е. уравнению Пуассона:
Поскольку это уравнение не относится к классу уравнений с малым параметром при старшей производной, то аппроксимируем его следующей классической разностной схемой на неравномерной сетке:
Для численной реализации разностное уравнение (3.3.2) расщеплялось на следующую систему одномерных разностных уравнений [68, 89-90]: КТЇГ+ J ( \
Численная апробация предлагаемого в этой главе разностного алгоритма решения уравнений (3.1.5) проводилась на задачах: течение вязкой жидкости в канале с уступом, в прямоугольной «каверне». Результаты расчётов приведены в приложении. ПРИЛОЖЕНИЕ
С целью анализа эффективности разностных схем экспоненциальной подгонки для решения уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной (1.1.1) как на равномерных, так и на неравномерных сетках было проведено сравнение их результатов с результатами, полученными с помощью классических разностных схем и точным решением для следующей краевой задачи:
Схема экспоненциальной подгонки для уравнений Навье Стокса
Наряду с расчётом значений профиля скорости, результаты расчётов по местному коэффициенту сопротивления сравнивались с формулой Блазиуса [1,2] C f = - ==. Следует отметить также хорошее совпадение результатов как по алгоритму (2.2.8) - (2.2.10), так и по (2.2.14) - (2.2.16). Таким образом, как теоретический анализ, так и численные эксперименты позволяют утверждать об эффективности схем экспоненциальной подгонки для решения приближённых уравнений Навье-Стокса уравнения Прандтля.
В качестве численного эксперимента рассматривалось плоское течение вязкой несжимаемой жидкости в области вида (Рис.3): Для определения численного решения системы (3.1.5) с граничными условиями, изложенными в п.3.1, использовалась схема экспоненциальной подгонки (3.2.6) и схема (3.3.2). Разностные схемы строились на неравномерной сетке, сгущающейся по переменной у в подобластях у твёрдых границах, которые параллельны оси Ох, а по переменной х в окрестности уступа. Использовавшийся алгоритм мельчения сетки этих подобластей указан в п.1.2 данной работы.
Алгоритм реализации разностных уравнений был таков. В начале заданным начальным значениям и Ф вв осех внутренних узлах расчётной области итерационным процессом определялось решение разностных уравнений (3.3.2). При этом итерации велись до выполнения условия: Ц/ - . (4.1.13) Итерационный параметр о-, был постоянным (а, = 0.5). После выполнения условия (4.1.13), т.е. после определения значений yff во всех точках расчётной области, вычислялись значения &хч В узлах сетки по разностным уравнениям (3.2.6) с соответствующими разностными аналогами для граничных условий. Далее опять вычислялись итерационным процессом (3.3.3) значения yrf во всех узлах сетки для определения решения системы разностных уравнений (3.3.2), в правой части которых стоят значения Й "; при .у =1,2,.выполнения условия (4.1.14). Этот процесс расчёта в, и продолжался до выполнения условия:
В расчётах геометрические параметры области были следующими: длина плоского канала составляла 4 единицы, ширина 1. Величина уступа составляла половину ширины канала, т.е. была равна 0.5. Количество точек по ширине канала в расчёте было равно 20. Из них 6 располагалось в прилежащих зонах к твёрдым границам. Что касается количества точек в направлении переменных х, то их было 50. Ниже приведены некоторые результаты расчетов исходной системы уравнений (3.1.6). Так на рис.4 приведена структура потока при Re=10. За уступом наблюдается относительно большой одинокий вихрь. С увеличением числа Рейнольдса Re=100 (Рис.5) структура потока качественно не изменяется, однако вихрь за уступом несколько уменьшается, но увеличивается его интенсивность. При Re—500 (Рис.6) размеры вихря за уступом становиться в два раза меньше по сравнению с Re=100, линии тока интенсивнее прижимаются к верхней границе области. При Re=1000 (Рис.7) образовавшийся вихрь несколько уменьшается, незначительно меняя свою форму, а линии тока ещё теснее стремятся к твёрдой верхней границы области. Аналогичное поведение течения жидкости в канале с уступом отмечается [102].
Отметим, что число итераций по s для определения при начальных значениях = 0 вв осех хнутренних хзлах хасчётной сетки уменьшалось от ПО до 1, причём это имело место для всех чисел Рейнольдса ReG[l0;103], а «глобальных» итераций по « для Re=10 было 155, для Re=100 - 198, для Re=500 - 224, и для Re=1000 -250.
С целью анализа эффективности предлагаемого численного алгоритма для решения внутренних задач гидроаэродинамики были проведены расчёты течений вязкой жидкости в квадратной яме с движущейся верхней границей - (каверне). Следует заметить, что данная задача, с точки зрения структуры потока, является насыщенной вихреобразованиями. В соответствии с предлагаемой в диссертации алгоритмом построения неравномерной сетки, она строилась для этой задачи неравномерной вблизи твёрдых границ прямоугольной каверны. Причём неравномерность шагов сетки зависела от значения числа Рейнольдса. Так, при расчёте структуры потока в каверне при числах Re=1000 и Re 5000 общее количество точек было 50 х 50. Расчёты этой задачи проводились как для малых чисел Рейнольдса: Re=l, Re=10, Re=50; так и больших чисел
Рейнольдса: Re = 103, Re = 3-Ю3, Re = 5-103. При малых числах Рейнольдса в квадратной каверне, как показали расчёты, происходит образование одиночного вихря с центром в середине каверны интенсивность которого увеличивается с увеличением числа Re, Этот результат находится в полном соответствии с данными физического эксперимента, полученного Pan и Acrivos [100], и расчётами, приведёнными в [62, 101]. При числах Рейнольдса же Re 103 структура потока в квадратной каверне изменялась. Так, на рис.8 приведены линии тока которые свидетельствуют о том что кроме центрального вихря в нижних углах каверны формируются дополнительно ещё два вихря, а при Re =5- Id3 образуется ещё и четвёртый вихрь в правом верхнем угле. Аналогичные результаты были получены в работе [99].