Содержание к диссертации
Введение
Гл ава 1. Обзор существующих методов моделирования процессов электрохимического формообразования применительно к прецизионным технологиям 18
1.1. Некоторые замечания о средствах повышения точности копирования. Локализация процесса ЭХО 18
1.2 Общепринятые модели ЭХО 25
1.3. Краткий обзор решенных задач электрохимического копирования 32
Гл ава 2. Исследование распределения плотности тока в условиях немонотонной зависимости анодного потенциала 46
2.1. Плоская задача обработки точечным ЭИ 46
2.2. Плоская задача обработки стержневым ЭИ с круглым сечением (с постоянным потенциалом на ЭИ) 51
2.3. Плоская задача обработки стержневым ЭИ с круглым сечением (с переменным потенциалом на ЭИ) 56
Выводы по главе 2 62
Гл ава 3. Предельная квазистационарная обработка непрофилированными электродами-инструментами 64
3.1. Моделирование обработки горизонтально движущимся угловым ЭИ 64
3.2. Задача обработки горизонтально движущимся угловым ЭИ с изолированной вертикальной поверхностью 71
3.3. Задача обработки горизонтальным пластинчатым ЭИ 79
3.4. Задача обработки горизонтальным пластинчатым ЭИ с изоляцией 82
3.5. Задача обработки горизонтальным плоским ЭИ с изоляцией 89
Выводы по главе 3 95
Гл ава 4. Моделирование электрохимического копирования в ячейке конечной ширины 96
4.1. Модель и метод решения нестационарной задачи ЭХО 96
4.2. Метод решения стационарной задачи с учетом неравномерной поляризации анода 107
4.3. Постановка и метод решения задачи предельно-стационарного формообразования 112
4.4. Квазистационарное решение 120
4.5. Общее численное исследование 126
Выводы по главе 4 134
Заключение 135
Литература
- Общепринятые модели ЭХО
- Плоская задача обработки стержневым ЭИ с круглым сечением (с постоянным потенциалом на ЭИ)
- Задача обработки горизонтально движущимся угловым ЭИ с изолированной вертикальной поверхностью
- Постановка и метод решения задачи предельно-стационарного формообразования
Введение к работе
Актуальность. Решения задач Хеле-Шоу могут интерпретироваться как течения жидкости в пористых средах (полагая, что они описываются законом Дарси), процессы напыления металлов, анодного растворения при электрохимической обработке (ЭХО). Приложение в области ЭХО позволяет рассмотреть новые задачи, например, с переменным потенциалом границ, и этим дополнить теорию задач Хеле-Шоу. При моделировании ЭХО необходимо учитывать физико-химические особенности процесса, а также распределение электрического поля в межэлектродном пространстве (МЭП). Эти факторы влияют на точность копирования и необходимые энергозатраты. При решении задачи ЭХО векторное поле напряженностей можно получить из решения гидродинамической задачи о течении идеальной жидкости с проницаемыми границами.
Впервые ЭХО была предложена в 1928 году В.Н. Гусевым и Л.А. Рожковым. Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Г.А. Алексеев, В.М. Волгин, Ю.С. Волков, А.Д. Давыдов, А.И. Дикуссар, В.П. Житников, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, А.Х. Каримов, В.Д. Кащеев, В.В. Клоков, Г.И. Корчагин, Л.М. Котляр, А.Л. Крылов, В.С. Крылов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, Ф.В. Седыкин, В.П. Смоленцев, Е.И. Филатов, Л.М. Щербаков, Г.Р. Энгельгарт, J.A. McGeogh, J. Kozak, J. Deconinck и другие ученые.
Технологические схемы ЭХО на импульсном биполярном токе, синхронизированном с вибрацией электрода-инструмента (ЭИ), а также применение пассивирующих электролитов позволяют значительно улучшить точность ЭХО. Такие ЭХО применяются в прецизионных: субмикронной и нанотехноло-гиях в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности. В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные особенности прецизионных технологий.
Для моделирования прецизионного процесса ЭХО в данной работе используется ступенчатая функция выхода по току, определяющая скорость движения границы обрабатываемой поверхности (ОП). Одной их главных задач данной работы является объяснение появлений заострений на ОП, нетипичных для идеальной модели ЭХО.
Одной из важнейших задач математического моделирования является совершенствование методов оценки погрешности и обоснования достоверности этих оценок. В данной работе эти задачи решаются с помощью фильтрации численных результатов, полученных при различном числе узловых точек сетки, основанной на поочередном подавлении компонент погрешности.
Целью работы является:
Исследование влияния физических факторов на параметры процесса формообразования границ в задачах Хеле-Шоу. Объяснение явлений, возникающих при электрохимической обработке, с помощью построения математических моделей и гидродинамической аналогии.
2 Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать математическую модель, описывающую процесс прецизионной ЭХО с учетом зависимости потенциала границ от плотности тока. На основе предложенной модели сформулировать задачи Хеле-Шоу в нестационарной, стационарной и квазистационарной постановках.
Разработать численно-аналитические методы решения поставленных задач.
Исследовать особенности процессов формообразования ОП на основе предложенной модели с помощью разработанных методов решения задач.
На защиту выносятся следующие результаты:
Математическая модель, построенная на основе аналогии с течениями с проницаемыми границами, позволяющая прогнозировать процесс прецизионной ЭХО, учитывающая скачкообразную функцию выхода по току и непостоянство потенциала границ. Формулировки задач Хеле-Шоу на основе теории функций комплексного переменного.
Разработанные методы и комплекс программ численного решения задач Хеле-Шоу с физическими ограничениями на подвижность границ и учетом переменности их потенциала.
Результаты численного исследования решений задач Хеле-Шоу с различной конфигурацией недеформируемой границы и сопоставление с результатами натурного эксперимента. Обнаружение явления противоположного влияния физических факторов на точность копирования в области выпуклости и вогнутости обрабатываемой поверхности.
Научная новизна
Разработанная математическая модель прецизионной нестационарной ЭХО и сформулированные задачи, основанные на использовании ступенчатой функции выхода по току, отличаются от известных учетом непостоянства потенциала границ, что позволяет моделировать особенности формообразования ОП в реальных процессах.
Разработанные методы позволяют существенно уменьшить объем вычислений, в частности, за счет сплайн-интерполяции на различных этапах, например, для определения частных производных координат по времени.
Проведенные исследования позволили получить характеристики нестационарных процессов формообразования для оценки необходимой величины припуска. Использование предложенной модели позволило объяснить резкие очертания обработанной поверхности, не характерные для идеальной ЭХО, переменностью потенциала границ.
Достоверность результатов
Достоверность результатов подтверждается применением фильтрации для оценки погрешности численных данных, верификацией алгоритмов и программ решения путем сравнения оценок, полученных разными методами.
Практическая ценность
Автором поставлены и решены задачи моделирования прецизионной ЭХО; полученные результаты и выводы могут быть использованы при проектировании технологических процессов.
Значительная часть работы проводилась в содружестве с НИИ проблем теории и технологии электрохимической обработки УГАТУ.
Апробация работы
По основным результатам работы были сделаны доклады на Росс. научн. конф. «Мавлютовские чтения» (Уфа, УГАТУ, 2010, 2011, 2016); Междунар. шк.-конф. для студ., аспир. и молод. уч. «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, РИЦ БашГУ, 2011); V Всеросс. конф. «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2014); III, IV Междунар. науч.-практ. конф. «Теория и практика современных электрохимических производств» (СПб: 2014, 2016); V, VIII, XVI, XVII Междунар. научно-практ. конф. «Теоретические и прикладные аспекты современной науки» (Белгород, 2014 - 2016); 17-й семинар по компьютер. наукам и информ. технологиям (CSIT’2015) (Рим, 2015); III Междунар. научно-практ. конф. «Технические науки в мире: от теории к практике» (г. Ростов-на-Дону, 2016).
Публикации
Основные результаты диссертации отражены в 19 публикациях, в том числе в 4 статьях в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы
Диссертация (147 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (109), содержит 100 рисунков.
Общепринятые модели ЭХО
Если стенки клина непроницаемые (рис. В.4,а), то скорость на вершине клина A бесконечна. Если стенки проницаемые, то часть потока (от 0 до 1) проникает сквозь тело клина (рис. В.4,б). Можно найти такой закон проницаемости, чтобы линия тока, проходящая через вершину клина не терпела излома (рис. В.4,в). Таким образом, по гидродинамической аналогии существование достаточно острых выступов на обрабатываемой поверхности (рис. 4.5.1) можно объяснить неэквипотенциальностью этой поверхности.
Изучение процессов электрохимического формообразования имеет большое практическое значение в связи с обширным применением ЭХО во многих отраслях промышленности (например, машиностроительной, авиационной, станкостроительной и инструментальной, медицинской и т. д.) [88], [14], [49], [52], [55]. В настоящее время активно развиваются технологии прецизионной обработки (включая нанотехнологии) различных материалов и сплавов. Для этого применяют различные методы, улучшающие локализацию обработки и точность копирования. В последнее время применяются пассивирующие электролиты, импульсная ЭХО вибрирующим электрод инструментом (ЭИ), [37]. Использование коротких импульсов тока также способствует увеличению локализации [98, 85]. Это требует разработки новых математических моделей, а также постановки и решения новых задач.
Впервые ЭХО была предложена в 1928 году В.Н. Гусевым и Л.А. Рожковым. Существенный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Г.А. Алексеев, В.М. Волгин, Ю.С. Волков, А.Д. Давыдов, А.И. Дикуссар, В.П. Житников, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, А.Х. Каримов, В.Д. Кащеев, В.В. Клоков, Г.И. Корчагин, Л.М. Котляр, А.Л. Крылов, В.С. Крылов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, Ф.В. Седыкин, В.П. Смоленцев, Е.И. Филатов, Л.М. Щербаков, Г.Р. Энгельгарт, J. Deconinck, J. Kozak, J.A. McGeogh, и другие ученые.
При ЭХО пространство между электродами заполняется электролитом. При подключении к электродам источника тока или напряжения происходит растворение материала анода. Скорость растворения, согласно закону Фарадея, зависит от плотности тока в данной точке анодной поверхности. Необходимая форма детали получается за счет выбора определенной формы ЭИ и соответствующих параметров процесса. Для эвакуации загрязняющих продуктов реакции и газа (выделяющегося вследствие электролиза воды) необходимо обеспечить проточность электролита.
Активно применяемые в настоящее время технологические схемы ЭХО на импульсном токе с синхронной вибрацией ЭИ позволяют обеспечить подвод чистого электролита. За счет этого существенно повышается точность ЭХО. Проектирование технологических процессов ЭХО (выбор форм ЭИ, параметров процессов) представляет собой сложную задачу. Сложность выбора формы ЭИ осложняется тем, что формы обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО, определяются скоростью растворения материала заготовки в каждой точке поверхности, зависящей от плотности тока. Поэтому форма детали при ЭХО не повторяет точно профиль ЭИ (как при штамповке). Значения плотности тока в различных точках обрабатываемой поверхности определяются напряженностью электрического поля в различных точках межэлектродного пространства (МЭП). При этом приходится принимать во внимание физико-химические параметры процесса. Кроме того, расчет формообразования обрабатываемой поверхности значительно осложняет необходимость решения нестационарных задач, поскольку для установления стационарного режима требуется значительное время и снятие дополнительного припуска.
Поэтому исследование ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учета различных условий и режимов обработки. Это приводит к необходимости разработки новых численных и численно-аналитических методов, ускоряющих получение численного решения задач формообразования.
Аналогия уравнений и граничных условий при решении задач ЭХО и гидродинамики упрощает формулировку граничных условий для разных задач моделирования ЭХО. Ранее были развиты мощные методы решения задач гидродинамики, основы которых содержатся в работах М.А. М.И. Гуревича [13], Лаврентьева, Б.В. Шабата [59], П.Я. Полубариновой-Кочиной [92] и др. Это позволяет на их основе разработать эффективные численные методы расчета электрохимического формообразования. Задачи Хеле–Шоу часто решаются с помощью методов конечных разностей и конечных элементов [36, 45, 68, 76, 87, 91], а также граничных элементов [2, 4, 62, 57, 77, 93, 99, 100]. Применение аналитических и численно-аналитических методов на основе ТФКП позволяет в ряде случаев получать точные решения нестационарных задач, эффективно решать вопросы и оценки погрешностей полученных численных решений.
Для оценки погрешности часто применяются упрощенные методы, не обеспечивающие достоверность оценки. Некоторые данные, подтверждающие этот факт приведены в [29, 103]. В [28, 29, 30, 34, 103] разработаны методы фильтрации численных результатов. Эти методы заключаются в постпроцессорной обработке данных, полученных при различном числе точек коллокаций или узловых точек сетки. В данной работе методы фильтрации применяются для оценки погрешности полученных численных решений. Кроме того, для проверки на наличие ошибок в сложных программах используется сравнение решений и оценок погрешностей результатов, полученных разными методами.
В данной работе на основе ТФКП предлагается модель и постановка задачи нестационарного электрохимического формообразования с учетом непостоянства анодного потенциала. Для моделирования прецизионного процесса ЭХО используется ступенчатая зависимость выхода по току [18], [19], [26], [27], [33], с помощью которой определяется скорость сдвига границы обрабатываемо поверхности. Кроме нестационарных задач общего вида решаются квазистационарные, стационарные и предельно-стационарные задачи. Для решения задач моделирования ЭХО разработаны специальные численно-аналитические методы.
Плоская задача обработки стержневым ЭИ с круглым сечением (с постоянным потенциалом на ЭИ)
Как и выше считается, что электродный потенциал анода связан с плотностью тока, т.е. Jn =дФ/дп = F(Oa). При этом на плоскости комплексного потенциала W = Ф + ЛР (Ф - электрический потенциал, -функция тока) областью соответствующей межэлектродному пространству (МЭП) является криволинейный четырехугольник ширины U (напряжение между электродами), высоты 2у0 =1/к, где / - ток, протекающий в ячейке единичной толщины, - электропроводность электролита (рис. 2.2.1,б). В качестве параметрической области выберем кольцо плоскости (рис. 2.2.1,в). Конформное отображение физической плоскости Z на осуществляется функцией
Задача решается в безразмерном виде (2.1.6), где вместо //к используется U. При переменном анодном потенциале вектор плотности тока на анодной границе имеет как нормальную, так и тангенциальную составляющие. Как и выше, рассматривается аппроксимирующая зависимость вида (2.1.7). Задача, как и предыдущая, решается методом коллокаций. В суммах (2.2.3)-(2.2.5) сохраняется конечное число п слагаемых, а условие (2.1.7) выполняется в дискретных точках ( т=еЮт, т = 1,...,п. Полученная таким образом система нелинейных уравнений решается методом Ньютона с регулированием шага.
Результаты решения приведены на рис. 2.2.2 - 2.2.5. На рис. 2.2.2 показана расчетная конфигурация на плоскостях z и w. На рис. 2.2.3 показано распределение потенциала по поверхности анода, на рис. 2.2.4 - распределение тангенциальной составляющей и полной безразмерной плотности тока, на рис. 2.2.5,а - нормальной составляющей безразмерной плотности тока. а б
На рис. 2.2.5,б для сравнения приведено распределение плотности тока для эквипотенциального анода. Видно, что переменность анодного потенциала может приводить к существенному перераспределению нормальной составляющей плотности тока, участвующей в реакции электрохимического растворения. Перераспределение плотности тока также иллюстрируется на рис. 2.2.6, где изображены линии тока для переменного и постоянного анодного потенциала. Видно выдавливание линий тока от центра на периферию из-за переменности анодного потенциала. а – для зависимости (2.1.7); б – для эквипотенциального анода Оценки погрешности численного решения задачи с помощью формулы (1.3.6) показаны на рис. 2.2.7 в виде зависимостей оценки десятичного логарифма относительной погрешности вычисленных погрешностей от десятичного логарифма числа сохраняемых слагаемых n. а б
Рассмотрим плоскую задачу о распределении электрического поля между круглым ЭИ радиуса R и плоским анодом (рис. 2.3.1,а). Центр круга находится на расстоянии h от анода ADA . Формы области на плоскостях: а - физической; б - комплексного потенциала; в - параметрической плоскости
Примем во внимание, что электродные потенциалы анода и катода связаны с плотностью тока, т.е. Jn = дФа/дп = F(Oa), Jn =дФс/дп = F(Oc).
При этом на плоскости комплексного потенциала W = Ф + ЛР областью соответствующей межэлектродному пространству (МЭП) является криволинейный четырехугольник максимальной ширины U (напряжение между электродами), высоты 2у0 =1/к, где / - ток, протекающий в ячейке единичной толщины, - электропроводность электролита (рис. 2.3.1,б).
В качестве параметрической области выберем кольцо плоскости (рис. 2.3.1,в). Конформное отображение физической плоскости Z на осуществляется функцией (2.2.1). При С = peia, — = ipeia = it;, согласно (2.2.2), da dt;da ( -l)2 = arg = 1m In Коэффициенты cm выбираются так, чтобы удовлетворить условию на аноде (2.3.3) и катоде (2.3.4). Задача решается в безразмерном виде (2.1.6). Предполагается, что анодный потенциал зависит только от нормальной составляющей. В качестве примера рассмотрим аппроксимирующую зависимость вида (2.1.7). Для катодного потенциала (2.3.4) принимается линейная зависимость У„(фс)= іФс+с0. (2.3.8) Задача решается методом коллокаций. В суммах (2.3.4)-(2.3.6) сохраняется конечное число слагаемых при т\ п, условие (2.1.7) выполняется в дискретных точках С,т = еЮт , т = 1,...,и, а условие (2.3.8) - в точках т=реіат, т = 0,...,п. Полученная таким образом система 2п + \ нелинейных уравнений решается методом Ньютона с регулированием шага.
То есть, функцию У„(фс)-с0 необходимо представить в виде Фурье-разложения по косинусам. Отсюда для улучшения аппроксимации при разложении в ряд должно выполняться условие
Практически при численном решении параметр c0 является искомым наряду с другими коэффициентами cm.
На рис. 2.3.3 показано распределение потенциала по поверхности анода и катода, на рис. 2.3.4 – распределение тангенциальной составляющей и полной безразмерной плотности тока на аноде, на рис. 2.3.5,а – нормальной составляющей безразмерной плотности тока анода и катода. На катоде s представляет собой дуговую абсциссу, отсчитываемую от точки F.
Задача обработки горизонтально движущимся угловым ЭИ с изолированной вертикальной поверхностью
На плоскости комплексного потенциала образом МЭП является полуполоса шириной [/(рис. 3.4.2а).
При использовании функции выхода по току (3.1.1) и условия EQ=E\ на
поверхности анода образуются две зоны с двумя типами краевых условий. Первой зоне FMNG с постоянным модулем напряженности на плоскости Е = dW/dZ соответствует дуга окружности радиуса Е\ с центром в начале координат. Участкам AF (9=0) и GB (0=-тс/2), где отсутствует растворение, на плоскости Е соответствуют отрезки, соответственно, действительной AF и мнимой GB осей.
На поверхности ЭИ А С угол 9=-тг/2, на В С 9=тг. Поэтому на плоскости годографа Е имеем, соответственно, вертикальный и горизонтальный лучи. Область на плоскости годографа размещается на двулистной поверхности. Для наглядности можно изобразить каждый лист отдельно (рис 3.4.2б в). a б в
Формы образа МЭП на плоскостях: а – комплексного потенциала; б, в – годографа (б – первый лист; в – второй лист) Применив преобразование E \E\ Ex Ex (3.4.1) получим фигуру, граница которой содержит только части прямых, т.е. многоугольник с углами А, В, С, F, G, М, N, равными 0; 0; 0, тг/2; тг/2; 2тг, 2тг соответственно (рис. ЗЛ.З,а,б).
Формы образа МЭП на плоскости параметрического переменного: а - первый лист; б - второй лист; в - плоскость С, Конформное отображение верхней полуплоскости , (рис. 3.4.3,в) на этот многоугольник получим с помощью преобразования Шварца-Кристоффеля Vg - ft Yf - в Yf - 1/2 Поскольку формы областей на плоскостях Ж и для данной задачи (рис. 3.4.2,а и 3.4.3,в) полностью совпадают с аналогичными формами для задачи, решенной в разделе 3.2 (рис. 3.2.2,а и 3.2.3,в), то конформное отображение W(Q и производная определяются по формулам (3.2.16) и (3.2.17). dW Из (3.4.14) и (3.2.17) V(5 - Р)(5 - Ч, J J dZ = i—J(8-В)(5-l)vv ;,7V , \, С (3.4.15) l (-5)3/2 (e-p) (r+l) Интегрируя (3.4.15) численно от С=\, получим функцию Z(Q. Параметры заглубления кромки ЭИ L и S определяются следующим образом L = -ReZ(oo), 5 = bnZ(0), (3.4.16) безразмерное время x = L .
На рис. 3.4.4 приведены формы обрабатываемой поверхности в неподвижной относительно материала заготовки и подвижной (связанной с кромкой ЭИ) системах координат, соответствующие s = S— = О и т=-2; -1.5; -1; -0.5; 0; 0.5; 1; 1.5; 2;...; 5. На рис. 3.4.4,а при тн оо видно установление предельно-стационарной конфигурации с Е = Ех. Вблизи нерастворяемой зоны AF при возрастании т образуется предельная форма, аналогичная решению гидродинамической задачи об истечении из-под щита [13] (рис. 3.4.4,б, кривая о). а -0,5 / т? -1 / г-5 -2 0 -І -5 -4 -3 1 - ( 1 .Г Рис. 3.4.4. Формы обрабатываемой поверхности для s=0: а - в системе координат, связанной с кромкой ЭИ С(0,0); б - в неподвижной системе координат Следует отметить, что при КО образы точек перегиба -ц и -v совпадают и при дальнейшем уменьшении т становятся комплексно сопряженными (обозначим их ц = ц1+/уь V = LI1-ZV1 (3.4.10), (3.4.11)). При этом внутри области на плоскости Е появляется точка ветвления М, являющаяся образом точки С, = -їх + ю . а – первый лист; б – второй лист Линия «склейки» на плоскости Е начинается с некоторой точки на границе области, проходит через точку ветвления, разворачивается и уходит на бесконечность (рис. 3.4.5).
Как видно из рис. 3.4.4,б, при т- -оо длина обработанной части поверхности уменьшается и стремится к нулю.
Рассмотрим плоскую задачу формообразования обрабатываемой поверхности при обработке электрод - инструментом (ЭИ) в виде пластины AXZB с частично изолированной поверхностью СВ . ЭИ движется горизонтально вправо с постоянной скоростью Vet. Сечение МЭП показано на рис. 3.5.1.
Образом МЭП на плоскости комплексного потенциала для этой задачи является полуполоса ширины [/(рис. 3.5.2,а). При использовании ступенчатой функции выхода по току (3.1.1) при Е1, равном максимуму модуля напряженности ІІ на обрабатываемой поверхности, образуются две зоны с двумя типами краевых условий. Первой зоне FMNG с постоянным значением ЕІ = Е1 на плоскости Е = dW/dZ соответствует дуга окружности радиуса Е\ с центром в начале координат. Участкам AF (0=0, 9 - угол между вектором напряженности и осью X) и GB (0=-7г/2), где отсутствует растворение, на плоскости Е соответствуют отрезки, соответственно, действительной AF и мнимой GB осей.
На поверхности ЭИ А С угол 0=-тг/2, на В С 0=0 (вектор напряженности направлен по нормали от катода и вдоль изолированной его части). Поэтому на плоскости годографа Е имеем, соответственно, вертикальный и горизонтальный лучи. Область на плоскости годографа размещается на двулистной поверхности. Более удобно изобразить каждый лист отдельно (рис 3.5.2б в).
Постановка и метод решения задачи предельно-стационарного формообразования
Видно некоторое приближение предельной формы анода к ЭИ по сравнению со стационарной. При этом кривые сближаются вблизи точек, где касательная к ним параллельна оси х (6 = -7г/2) и расходятся при приближении Є к нулю. Такое поведение кривых можно объяснить следующим образом. Рассмотрим плоскость годографа напряженности E = dw/dz (рис. 4.3.5). На этой плоскости стационарной поверхности анода соответствует разрез по дуге окружности 7, проходящей через начало координат [52], предельной поверхности - разрез по дуге окружности 2, с центром в начале координат. При 9 = - к/2 значения модуля Е = 1. При приближении е к нулю модуль Е на дуге 2 сохраняет значение, равное 1, а на дуге 7 уменьшается. Уменьшение напряженности приводит к увеличению локального значения зазора, причем, чем ближе 9 к нулю, тем значительнее это увеличение. Это можно проиллюстрировать на рис. 4.3.6 для формы ЭИ заострением, определяемой формулой Сравнивая кривые для двух значений Я, нетрудно убедиться, что при уменьшении Я (и связанным с этим уменьшением модуля 0 + л/2) происходит уменьшение разности между кривыми 7 и 2.
Из сравнения видно, что при пропорциональном изменении размеров ЭИ разница между кривыми меняется мало, несмотря на относительное увеличение среднего зазора в два раза. Тем самым, основным фактором, определяющим точность копирования, является значение 0 + л/2 .
На рис 4.3.8 приведен результат обработки ЭИ с поверхностью в виде периодических клиновидных выступов (впадин) с углом наклона сегментов поверхностей /4. Сравнение стационарного «С» и предельно-стационарного «П» решений показывают, что верхняя часть кривых, соответствующих форме обрабатываемой поверхности скруглены. При этом учет неравномерности потенциала (кривая «pot») позволяет получить существенно более «острые» формы. где Уі(х) и У2(х) ординаты анода и катода, единица соответствует безразмерному значению зазора при стационарной обработке плоским горизонтальным ЭИ. Видно, что по сравнению со стационарным решением на большей части поверхности предельная форма имеет существенно меньшие (более чем в два раза) значения . Однако следует отметить, что при предельном режиме величина зазора 1 устанавливается не в вертикальном, а в нормальном к поверхности направлении. В зонах изломов поверхности ЭИ величина намного больше и мало отличается в решениях двух типов, т. е. изломы копируются плохо. При этом неравномерность анодного потенциала позволяет существенно уменьшить погрешность в верхней части анодной поверхности (кривая «pot»).
На рис. 4.3.9,б приведены аналогичные зависимости A(x/L) для ЭИ формы (4.3.8) при H=L/2 для трех значений L: L=5, 10, 20 (кривые 7, 2 и 3). Пропорциональное изменение Я и L, как отмечалось выше, слабо влияет на максимальную величину отклонения форм , хотя заметно некоторое увеличение в средней части кривых «ст», соответствующих стационарному решению, что можно объяснить увеличением 0 + 7г/2. Происходит также уменьшение в конечной части кривых при возрастании L. Максимальная величина в предельном решении примерно в 2 раза меньше, чем в стационарном. Рис. 4.3.9,б позволяет изучить, как влияет изменение рабочего зазора /, использованного при расчетах в качестве характерного размера на величину отклонения. Чтобы перейти к задаче обработки с помощью ЭИ одинаковой формы и размера с разными зазорами, достаточно изменить масштаб, одновременно умножая все геометрические размеры, включая зазор, на некоторый коэффициент g. Пусть для кривых 1 (Х=5) g=1, тогда для L=10 g=1/2, а для L=20 g=1/4. Таким образом, A (x/L) = g A(x/L) изменятся примерно пропорционально реальному зазору, величину которого определяет параметр g. 4.4. Квазистационарное решение 4.4.1. ЭИ произвольной формы Случай а = 1 следует рассмотреть отдельно (рис. 4.4.1,а). На рис. 4.4.1,б показана плоскость годографа безразмерной напряженности = dw/dz, где ввиду симметрии изображена только правая половина области, соответствующая левой половине области плоскости z. Области анода соответствует разрез по дуге окружности со = 1 АМН и части вертикальной прямой ЯЛ (рис. 4.4.1,б). Поскольку при со 1 растворения не происходит, а значение ЕI = Е0 является максимальным, на всех участках, где растворение происходит, в данном процессе со = 1. Это позволяет получать решения, соответствующие различным моментам времени т не решая нестационарной задачи, т.е. квазистационарно, аналогично [19, 20]. Разница заключается в том, что в данной задаче при а = 1 квазистационарное решение является точным, а не приближенным к нестационарному.
Образы МЭП при квазистационарном решении для а = 1: а - на физической плоскости; б - на плоскости годографа напряженности. Кривая FC - ЭИ (катод); AMHD - обрабатываемая поверхность (анод) Численно задача решалась методом коллокаций с помощью интеграла Шварца (4.1.9). Уравнение формы ЭИ (4.1.13) удовлетворялось в точках Х = ат+ф (т = 0,п2/2). Кроме того, требовалось выполнение уравнения (4.1.10). На части поверхности анода % = зт +Ю при з он (где зн - образ точки Н) требовалось выполнение условия dw/dz\ = 1, искомыми при этом являются значения vl1 ) = Imz1 (ara+zO) , 171 = 0 /4. При этом на нерастворенной части поверхности анода Imzl(am+iO)=Imzl{ani/4+iO), т = п1/А + \,щ]2. Дополнительным условием является равенство v заданной величине yD. При этом получается система V4 + T?2/2 + 4 нелинейных уравнений, которая решалась тем же методом, что и в разделе 4.1.2. Искомыми являлись параметры р, стя, v$ (т = 0,п2/2\ у$,т = 0,щ/4. При более сложных конфигурациях ЭИ (рис. 4.5.9) вводятся два параметра стЯ1, 5н2 и условие равенства ординат начала и конца «полки».
Поскольку решения для разных yD получаются независимо друг от друга, то отпадает необходимость вычислений с мелким шагом по времени, чем достигается существенное ускорение численного решения.
Квазистационарное решение может существовать и для а 1 (рис. 4.4.2). Однако существует ряд ограничений. Во-первых, точка пересечения окружности со - //2 = 1/2 (соответствующей выполнению условия стационарности) и окружности со = 1/ос фиксирована, и если она лежит на границе или вне области образа МЭП (как в случае, показанном на рис. 4.5.4,б), то такого решения не может существовать. В примере, рассмотренном на рис. 4.5.5б квазистационарное решение существует при \ а J2. Во-вторых, при а 1 квазистационарная форма не может возникнуть при малых т и не является заключительной (стационарной или частично стационарной, частично предельной). Поэтому процесс идет нестационарно, и квазистационарное решение (рис. 4.4.2) только в той или иной степени приближает этот процесс на ограниченном промежутке времени (см. раздел 4.5, рис. 4.5.5).