Неоднородные крупномасштабные течения вертикально завихренной жидкости Просвиряков Евгений Юрьевич

Введение к работе

Актуальность работы. Движение вязкой несжимаемой жидкости, индуцированное различными силовыми полями, как правило, характеризуется геометрической анизотропией. В этом случае для течений жидкости в тонких слоях горизонтальный масштаб / доминирует над вертикальным характерным размером (толщиной слоя h). Течения, характеризующиеся показателем

геометрической анизотропии 5 = —, называют крупномасштабными.

Крупномасштабные движения в рамках математического аппарата геофизической гидродинамики, океанологии, динамической метеорологии и других направлений механики несжимаемой жидкости могут быть успешно описаны, как конвективные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае вектор скорости жидкой среды имеет вид:

V = (V_x (ж, у, z, t) , V_y (ж, у, z, t),0).

Устоявшейся точкой зрения является утверждение о том, что рассматриваемый класс слоистых течений размерности «два с половиной» может удовлетворительно описывать стратифицированную несжимаемую жидкость. В этом случае пренебрегают изменением вертикальной скорости V_z и строят различные математические модели движения воды в Мировом океане. Наиболее популярными уравнениями гидромеханики крупномасштабных течений являются определяющие соотношения, полученные из уравнений Навье-Стокса на основе гипотезы турбулентности Сен-Гили. За такими уравнениями закрепилось специальное название: «наивные уравнения», в которых удерживается вертикальная скорость во всех уравнениях Обербека-Буссинеска, за исключением проекции уравнения сохранения импульсов на вертикальную ось, и не учитываются перекрестные диссипативные эффекты, вызванные неоднородностью распределения температуры и концентрации соли. Иными словами, для описания крупномасштабных процессов принимается приближение гидростатики по толщине слоя. Альтернативный подход был разработан в Пермской гидродинамической школе (С. Н. Аристов, В. Д. Зимин, 1986; С. Н. Аристов, П. Г. Фрик, 1987; С. Н. Аристов, К. Г. Шварц, 2011), который заключался в построении квазидвумерных моделей, описывающих вращающиеся массы жидкости с учетом поперечной координаты, и обобщающих классические уравнения мелкой воды Сен-Венана.

Несмотря на чрезвычайную актуальность и важность описания и предсказания поведения крупномасштабных процессов, происходящих в атмосферах

и океанах планет, конвективной зоне Солнца, в жидком ядре планеты Земля, течений различных пленок, к настоящему времени известно очень мало точных решений уравнений Навье-Стокса и Обербека-Буссинеска, позволяющих строить новые теоретические и вычислительные модели. К тому же, все известные точные решения описывают течение вращающейся жидкости или ее движение на сфере. Неясным остается вопрос о генерации противотечений в экваториальной зоне мирового океана, где, как известно, сила Кориолиса принимает нулевой значение. Уже в 1960 году Чарни было осознано, что при формировании противотечений в океане, необходимо учитывать силы инерции в уравнениях Навье-Стокса. Им были предложены простейшие решения, которые позволяли оценивать скорость на одной вертикали. В своей статье Чарни обосновал,что при крупномасштабном движении вязких несжимаемых жидкостей у скоростей регистрируются профили с очень сложной топологией по поперечной координате, а в горизонтальном направлении течение практически не отличается от однонаправленного. Важность учета сил инерции при описании экваториальных течений объясняется свойствами точного решения Куэтта, которое описывает движение жидкости со свойствами вязкости. При выполнении условий прилипания на дне (на нижней границе) в нем отсутствуют противочения. Если учесть, что на нижней границе происходит проскальзывание, как было показано в работе Стоммела, противотечение, полученное теоретически, не наблюдается экспериментально.

При исследовании течений жидкости в экваториальных зонах были обнаружены участки, в которых происходит усиление скорости в сравнении с граничными значениями (например, со скоростью ветра и жидкости на границе океана и атмосферы). Любопытным оказывается тот факт, что формирование максимума профиля скорости довольно часто сопровождается противотечением, тем не менее, усиление скорости по толщине слоя жидкости является самостоятельным физическим эффектом, объяснение которого, как и противотечений, строится в настоящее время только при помощи численного моделирования. Объяснение усилений скоростей в жидкости может обосновать эффекты подсасывания на морском дне, где не следует применять точное решение Стокса о быстром затухании движения от вибрационного возмущения. В этом направлении современной гидродинамики катастрофически не хватает новых точных решений нелинейных уравнений Навье-Стокса, позволяющих объяснить расслоение гидродинамических полей на зоны положительных и отрицательных значений и существование внутренних экстремальных значений.

Цель диссертационной работы заключается в разработке аналитиче-

ских методов интегрирования уравнений Навье-Стокса в приближении Бусси-неска при помощи новых классов точных решений для описания крупномасштабных течений жидкостей, в которых выражены диссипативные свойства; построении новых математических моделей описания слоистых изотермических и конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости, для которых существенными являются инерционные эффекты в отсутствии поля силы Ко-риолиса; установление условий, при которых в жидкости будет наблюдаться расслоение гидродинамических полей, в частности, существование противотечений, и усиление скоростей в бесконечно протяженной полосе в горизонтальном направлении.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней впервые разработаны математические модели, позволяющие описывать крупномасштабные стационарные и нестационарные течения вязкой несжимаемой в однородной и неоднородно стратифицированной жидкости при учете сил инерции и наличии вертикальной компоненты завихренности на экваторе. Основной акцент в исследовании сделан на исследовании локализации и числа нулей точных решений системы Обербека-Буссинеска.

Научная новизна определяется следующими результатами:

1. Впервые получены новые классы точных решений уравнений термодиффузии вязкой несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска, в которых скорости являются линейными формами по горизонтальным координатам, а поля давления, температуры и концентрации растворенного вещества описываются квадратичными формами. Коэффициенты линейной и квадратичной форм — функции, зависящие от поперечной (вертикальной) координаты и времени. Показано обобщение открытого класса точных решений для описания движущейся проводящей жидкости в поле сил Кориолиса и произвольных силовых полях при наличии источников и стоков.

2. Впервые приведено условие разрешимости переопределенной системы уравнений Навье-Стокса и ее точные решения для неоднородных крупномасштабных слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости в классе скоростей, линейных по горизонтальным координатам. Показано, что обобщение течения Куэтта при неоднородном распределении скоростей на верхней (свободной) границе возможно при учете диссипативных процессов и сил инерции в жидкости и может описывать экваториальные изотермические противотечения при постоянном давлении в океане конечной глубины. Рассмотрено градиентное крупномасштабное неодно-

родное движение жидкости в бесконечном слое на примере течение Ку-этта (неоднородное течение Пуазёйля). Найдено новое точное решение нелинейной системы уравнений Навье-Стокса, анализ которого позволяет сделать вывод о существовании двух застойных точек при течении жидкости.

3. Приведены обобщения точного решения Остроумова - Бириха для конвективного (концентрационного) слоистого течения Марангони вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном слое, описываемого переопределенной системой Обербека - Буссинеска. Показано, что при задании горизонтальных компонент градиента температуры на разных границах слоя жидкости для конвективного течения не существует преобразования, позволяющего свести исходную двумерную задачу к одномерной. Иными словами, рассматриваемая краевая задача является существенно неодномерной. Найдено точное решение, описывающее неоднородное крупномасштабное конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жидкости для вертикально завихренного потока. Показано существование нескольких застойных точек (не более двух) у каждой компоненты скорости крупномасштабного конвективного течения Куэтта вязкой несжимаемой жидкости. Исследованы поля давления и температуры, которые могут расслаиваться на три зоны за счет влияния градиента соответствующего поля, поскольку одна из горизонтальных компонент градиента обращается в нуль.

4. Впервые показана возможность усиления колебаний вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое жидкости конечной толщины при наличии поля сил инерции. Данный эффект отсутствует в поле сил Кориолиса. Построены точные решения, позволяющие описывать нестационарные экваториальные противотечения при широком классе возмущений верхней границы (базис Фурье), которые возможны благодаря учету параболического ветра.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Открытые новые классы точных решений уравнений Навье-Стокса позволяют исследовать свойства термодиффузионных течений в вертикальных и горизонтальных слоях в широкой области постановки начально-краевых и краевых задач и внесут определенный вклад в развитие теоретической и прикладной гидродинамики, поскольку позволят моделировать неоднородные течения океанических и морских вод посредством учета перекрестных диссипативных эффектов Соре и Дюфора в

нелинейной постановке. В настоящее время математические модели с таким свойством отсутствуют в океанологии и геофизической гидродинамике.

Выведенные в диссертационной работе точные решения неоднородного изотермического и конвективного течения Куэтта вертикально завихренной жидкости могут быть положены в основу при объяснении образования экваториальных противотечений в Мировом океане, генерации восходящих закрученных потоков в несжимаемом газе, поскольку они получены при нелинейной постановке задачи без упрощающих гипотез (обобщение течений Экмана и Чарни) как при постоянном давлении, так и в присутствии градиентов давления, температуры и концентрации. Данные решения позволяют описывать непрерывно стратифицированный океан и объясняют многослойные экспериментальные и теоретические модели движения стратифицированной жидкости.

Построение нового точного решения неоднородного течения Пуазёйля вертикально завихренной жидкости может объяснить известное несоответствие между классическим параболическим профилем и экспериментально наблюдаемым движением жидкости в трубах. Данный результат может быть использован при создании нового типа аппаратов ультразвуковой диагностики сердца (эхокардиографии), поскольку в существующих заложены классические формулы однонаправленных потоков и идеальной жидкости, что входит в противоречие с реологическими свойствами крови и характером ее движения по сердечно-сосудистой системе.

Результаты диссертационного исследования позволяют говорить о возможности постановки задач теории управления и стабилизации по рациональному перемешиванию жидкости при течении в каналах и вращении за счет противотечений, усилению колебаний и открытому эффекту отсутствия трения в произвольном слое при строго определенной (возможно и не единственной) толщине слоя.

Положения, выносимые на защиту. Автор диссертационной работы защищает:

1. Новые классы точных решений уравнений термодиффузии с учетом массовых сил и тепловыми и концентрационными источниками и стоками, описывающие течение проводящей жидкости во вращающейся прямоугольной декартовой и цилиндрической системах координат;

2. Результаты исследования противотечений и регистрации усилений скоростей крупномасштабных течений изотермической вязкой несжимаемой жидкости при постоянном давлении и ненулевых горизонтальных ком-

понентах градиента давления в отсутствии силы Кориолиса;

3. Результаты исследования, позволяющие объяснить формирование противотечений при неоднородном распределении температуры или концентрации в рамках обобщения точного решения Остроумова-Бириха (линейная задача по скоростям) и Сидорова-Аристова (учет инерционных эффектов);

4. Результаты исследования возможности усиления колебаний Стокса вязкой несжимаемой жидкости и нестационарные точные решения, описывающие противотечения при отсутствии вращения.

Методы исследования. Для качественного и количественного изучения математических моделей, описывающих линейные и нелинейные эффекты движения изотермических и конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости в инерциальной и вращающейся системах координат, использовался математический аппарат теории уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, математической физики, математического анализа, локализации корней многочленов (проблемы Рауса-Гурвица) и графо-аналитических методов решения задач с параметрами.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается физически обоснованными, непротиворечивыми математическими моделями геофизической и прикладной линейной и нелинейной гидродинамики несжимаемой жидкости, точным выполнением законов сохранения импульсов при течении диссипативных жидкостей в различных силовых ПОЛЯХ и высоким уровнем согласованности точных решений уравнений Навье-Стокса с известными экспериментальными данным по экваториальным противотечениям и колебаниям жидкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, съездах и семинарах: Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения», посвященной 70-летию со дня рождения чл.-корр. РАН В.М. Тешукова (Новосибирск, 2016); VII, VIII Всероссийских конференциях, посвященных памяти академика А.Ф. Сидорова, «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2014, 2016); X Школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2016); XXI-XXV Всероссийских школах-конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2012

2016); Десятой научно-технической конференции «Люльевские чтения» (Екатеринбург, 2016); X Международной конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2016); XVIII, XIX Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 2013, 2015); Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 115-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2015); XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015); Девятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2013); Международной научно-технической конференции «Инновационные машиностроительные технологии, оборудование и материалы» (Казань, 2013-2015); Четвертой международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2014); VIII Всероссийской научно-технической конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2014); Заба-бахинских научных чтениях (Снежинск, 2014); IV Международной школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 2014); Пятой международной научной школе молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 2014); Международной конференции, посвященной памяти академика А. М. Обухова, «Турбулентность, динамика атмосферы и климата» (Москва, 2013); Семинаре Института механики сплошных сред (руководитель академик РАН В.П. Матвеенко, Пермь, 2014, 2015, 2016); Семинаре Института гидродинамики СО РАН «Прикладная гидродинамика» (руководитель член-корреспондент РАН В.В. Пухначёв, Новосибирск, 2015); Семинаре отдела динамики атмосферы Института физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН (руководитель академик РАН Г.С. Голицын, 2016); Семинаре отделения оперативной океанографии Морского гидрофизического института РАН (руководитель член-корреспондент НАН Украины Г.К. Корота-ев, 2016); Семинаре кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского политехнического университета им. Петра Великого (руководитель профессор A.M. Кривцов, Санкт-Петербург, 2015); Семинаре Института вычислительной математики «Математическое моделирование в механике» (руководитель профессор В.К. Андреев, Красноярск, 2015); Семинаре докторантов Уральского государственного университета путей сообщений (руководитель профессор СП. Баутин, Екатеринбург, 2015); Видеосеминаре по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбГПУ - НИИМ МГУ (руководители: член-корреспондент РАН А.И. Егоров, академик РАН В.М. Фомин, профессор Е.М. Смирнов, профессор СВ. Гувернюк, Москва - Новосибирск - Санкт-

Петербург, 2015); Семинаре по механике сплошных сред (руководители: академик РАН А.Г. Куликовский, член-корреспондент РАН О.Э. Мельник, профессор В.П. Карликов, Москва, 2015, 2016); Семинаре по математическим вопросам гидродинамики (руководитель профессор М.Ю. Жуков, Ростов-на-Дону, 2015); Семинаре отдела прикладных задач Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН (руководитель профессор А.И. Короткий, Екатеринбург, 2015); Семинаре кафедры аэрогидромеханики Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева - КАИ (руководитель профессор С.А. Михайлов, 2015); Семинаре Института машиноведения УрО РАН (руководитель академик РАН Э.С. Горкунов, 2015).

Исследования по теме диссертационной работы выполнялись в рамках следующих грантов, проектов, программ и государственных заданий: Научный проект Российского фонда фундаментальных исследований, поддержанный в 2012-2014 гг., № 12-01-00023-а «Точные решения уравнений свободной конвекции»; Научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в рамках программы УМНИК Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере в 2011-2012 гг. «Разработка методов решения задач конвекции и фильтрации вязкой несжимаемой жидкости»; Научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в рамках программы СТАРТ Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере в 2013-2014 гг. «Разработка математической модели и программного обеспечения для расчета адвективных и конвективных потоков для гидрометеорологического прогноза»; Научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в рамках программы СТАРТ Инвестиционно-венчурного фонда Республики Татарстан в 2013-2015 гг. «Разработка математической модели и программных модулей нахождения точных решений уравнений термодиффузии, описывающих течение вязких бинарных стратифицированных несжимаемых жидкостей»; Грант «Проектная часть государственного задания в сфере научной деятельности» (No 9.1694.2014/К) Министерства образования и науки Российской Федерации в 2015-2016 гг.; По теме выполнения государственного задания, ГР № 01201354600 в 2016 г.

Часть результатов диссертационной работы были отмечены премиями: Премия за II место в номинации «Информационные технологии» конкурса разработок молодых ученых на Всероссийском форуме молодых ученых U-NOVUS, Томск, 2014; Премия Губернатора Свердловской области для молодых ученых за лучшую работу в области механики и машиноведения «Точные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие крупномасштабные течения

и колебания завихренных вязких несжимаемых жидкостей» за 2015 год.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ в статьях, входящих в издания из перечня ВАК [1 — 16] , и 32 работы в материалах конференций.

Личный вклад автора заключается в самостоятельной постановке исследуемых проблем, проведении аналитических исследований и определяющей роли при интерпретации полученных результатов во всех печатных работах по теме диссертации [1 — 16] .

Благодарности. Автор диссертационной работы чрезвычайно признателен научному консультанту С. Н. Аристову (Институт механики сплошных сред УрО РАН), посвятившему своему ученику последние годы жизни, которые прошли в непрерывном внимании к научным исследованиям, высказыванию конструктивных замечаний и проведении регулярных дискуссий. Автор благодарен всем участникам семинаров и конференций, на которых присутствовал и выступал, и постарался учесть все замечания, высказанные на научных мероприятиях.