Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи и основные положения методики расчета 30
1.1. Уравнения динамики среды 30
1.2. Параметры преобразования к характеристическому виду 36
1.3. Решения задач о поршне, вдвигаемом в сжимаемую среду 42
1.4. Решения задач о поршне, выдвигаемом из сжимаемой среды 47
1.5. Решения задач о распаде разрыва в сжимаемой среде 51
1.6. Метод консервативной интерполяции 58
Глава 2. Основные элементы методики расчета 62
2.1. Алгоритм построения сеток 62
2.2. Алгоритм расчета методом распада разрыва 66
2.3. Алгоритм расчета локально-характеристическим методом. 74
2.4. Разностная схема локально-характеристического метода. 77
2.5. Среднее состояние локально-характеристического метода. 88
2.6. Алгоритм расчета произвольным лагранжево-эйлеровым методом 95
2.7. Алгоритм консервативной интерполяции 100
Глава 3. Расчет методических задач 104
3.1. Задачи о распаде разрыва 104
3.2. Задача о слете холодного газа к точке 108
3.3. Задача о сходящемся сферическом поршне Ill
3.4. Задачи сверхзвукового обтекания клина и конуса , 114
3.5. Задача о раскрытии парашюта в потоке газа 119
Глава 4. Нелинейные колебания газового столба в закрытой трубе 131
4.1. Постановка задачи при периодическом возбуждении 132
4.2. Нелинейные колебания газового столба при амплитудах хождения поршня порядка 10 длины трубы 133
4.3. Нелинейные колебания газового столба при амплитудах хождения поршня порядка 10 длины трубы 140
4.4. Постановка задачи в случае непериодического возбуждения 148
4.5. Нелинейные колебания при большой массе поршня 150
4.6. Нелинейные колебания при средней и малой массе поршня 153
4.7. Влияние трения поршня о стенки трубы 157
Глава 5. Динамика пузырька газа в жидкости. модели идеальных газа и жидкости 160
5.1. Постановка задачи и ее приближения 161
5.2. Построение эффективной модели динамики пузырька 163
5.3. Изучаемые модели динамики пузырька 168
5.4. Динамика пузырька идеального газа в идеальной жидкости 170
5.5. Анализ эффективности развитой модели 174
Глава 6 Динамика пузырька газа в жидкости. модели реальных сред 181
6.1. Постановка задачи и уравнения состояния 181
6.2. Приближения 186
6.3. Методические особенности использования моделей реальных сред 189
6.4. Исследование условий перехода к приближениям 192
6.5. Эффект теплопроводности и уравнения состояния 196
6.6. Эффект теплопроводности и амплитуда возбуждения 203
Глава 7. Акустические течения и волны около выходного отверстия объемных резонаторов 210
7.1. Результаты экспериментальных исследований 211
7.2. Постановка задачи 214
7.3. Расчетные сетки и численная сходимость 216
7.4. Акустические течения и волны около объемных резонаторов 219
7.5. Влияние геометрических характеристик и параметров возбуждения 224
Глава 8. Пульсации газа во внешнем поле открытой резонансной трубы 228
8.1. Постановка задачи 229
8.2. Расчетная область и вычислительные сетки 230
8.3. Особенности пульсаций в области оси симметрии 234
8.4. Изменение газовых потоков на установившемся режиме 236
8.5. Структура среднего течения 244
Заключение 247
Литература
- Решения задач о поршне, вдвигаемом в сжимаемую среду
- Разностная схема локально-характеристического метода.
- Задача о сходящемся сферическом поршне
- Нелинейные колебания газового столба при амплитудах хождения поршня порядка 10 длины трубы
Введение к работе
Актуальность темы. При нелинейных колебаниях газа могут возникать ударные волны, средние течения, вихревые структуры и т.д. Недостаточный учет этих и других связанных с нелинейными колебаниями эффектов при разработке технических устройств может приводить к резкому сокращению сроков их функционирования, к возникновению аварийных ситуаций. Так па-пример, колебания в трубопроводных системах транспортировки газа или нефти в результате работы насосов или компрессоров могут привести к разрыву трубопроводов. В ракетных двигателях на твердом топливе возможно возникновение режимов вибрационного горения, приводящих к разрушению двигателя. Известны примеры вредных последствий схлопывания пузырьков газа в жидкости. Наиболее часто они проявляются в гидравлических системах. В частности, схлопывающиеся пузырьки вызывают эрозию внутренних поверхностей таких систем, что сокращает сроки их эксплуатации.
Целенаправленное применение особенностей резонансных колебаний газа и сопровождающих их явлений может приносить значительную пользу. Некоторыми примерами тому являются: холодильные установки, использующие термоакустический эффект в закрытой резонансной трубе; малогабаритные элементы струйной автоматики и измерительной аппаратуры, использующие эффект акустического течения около объемных резонаторов; горелки, технологии сушки и утилизации пастообразных сред, использующие эффект пульсирующей струи во внешнем поле открытой резонансной трубы; медицинская аппаратура для дробления камней во внутренних органах человека без хирургического вмешательства, в которой используется эффект несимметричного схлопывания пузырьков с образованием высокоскоростных струй в ходе колебаний пузырьков в жидкости.
Новые знания об особенностях нелинейных колебаний газа могут быть хорошей основой как для увеличения эффективности существующих, так и для создания новых перспективных приложений. Поэтому можно заключить, что тема настоящей работы является актуальной.
Целью работы является изучение особенностей интенсивных нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами на основе численного интегрирования уравнений газовой динамики в форме законов сохранения.
Научная новизна работы состоит в: - методике численного моделирования нелинейных колебаний газа в областях с подвижными границами на основе уравнений газовой динамики в форме законов сохранения;
установленных особенностях влияния нагрева газа ударными волнами на развитие нелинейных колебаний газового столба в закрытой трубе при периодическом движении поршня;
выявленных закономерностях нелинейных колебаний газового столба в закрытой трубе при непериодическом резонансном возбуждении;
модели динамики пузырька газа в жидкости, сочетающей уравнения газовой динамики и их приближения;
установленных особенностях схлопывания сферического пузырька газа в ходе его колебаний в центре сферического объема жидкости;
результатах численного моделирования средних течений и волн около вы-_ходных-отверстий -объемных резонаторов;
результатах численного моделирования пульсаций газа во внешнем поле открытой резонансной трубы.
Достоверность результатов обеспечивается математической постановкой, основанной на общих законах механики сплошной среды, применением разных методов численного решения, согласованием полученных численных решений ряда частных задач с известными аналитическими решениями, численными решениями и экспериментальными данными других авторов.
Практическая значимость работы. Разработанная методика расчета и результаты проведенных исследований могут использоваться при проектировании новых волновых аппаратов и технологий горения, сушки, распиливания, сильного сжатия, при создании элементов струйной автоматики.
Апробации работы. Материалы работы обсуждались на следующих семинарах и конференциях: семинар академика Х.А.Рахматулипа, НИИ механики МГУ, Москва (1984); семинар академика ААСамарского, кафедра вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, Москва (1984); VI Всесоюзная школа "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", Горький (1986); Всесоюзная летняя школа по теории взаимодействия, Казань (1986); VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент (1986); семинар НИИ Механики при ГГУ, Горький (1986); семинар в Институте прикладной механики АН СССР под рук. проф. В.И.Кукуджанова, Москва (1986); семинары аэродинамического отдела НИИ автоматических устройств, Москва (1982-1987); семинар филиала Института атомной энергии им. И.В.Курчатова под рук. проф. В.Е.Трощиева, Троицк (1986, 1987); Итоговые конференции КФТИ и ИММ КФ АН СССР / КНЦ РАН (1981-1991); семинар на факультете аэродинамики Нанкинского авиационного инстіпута, Нанкин, Китай (1990); семинары отдела МСС КФТИ и
5 ИММ КФ АН СССР / КНЦ РАН (1984-1992); Международная конференция по методам аэрофизических исследований, Новосибирск (1994); V Всероссийское совещание "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики", Казань (1994); I Поволжская научно-техническая конференция, Самара (1995); Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", Казань (1995); Международная научно-техническая конференция "Модель-Проект - 95", Казань (1995); Международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск (1996); Международный научно-технический семинар "Новые технологии-96", Казань (1996); Int. Conf. "Mean flow effects in acoustics", Keele, England (1996); First Russia-Japan Joint Simposium on Computational Fluid Dynamics, Novosibirsk (1996); Республиканская научная конференция "Проблемы энергетики", Казань (1997, 1998); IV Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (1997); First Int. Workshop ICE'97, Predeal, Romania (1997); семинар академика Р.И.Нигматулина, Уфа (1997-1999); Всероссийская конференция "Краевые задачи и их приложения", Казань (1999).
Объем и структура работы. Публикации. Диссертация изложена на 272 страницах машинописного текста, состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 103 рисунка. Список литературы включает 258 наименований. Основные результаты опубликованы в 33 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Решения задач о поршне, вдвигаемом в сжимаемую среду
Для описания динамики среды (газа, жидкости) используются две системы уравнений. Первая система включает уравнения сохранения массы, импульса и полной энергии. Вторая отличается от первой тем, что вместо уравнения сохранения полной энергии в ней используется уравнение сохранения энтропии. В литературе, как правило, при изучении нелинейных колебаний газа и жидкости применялась вторая модель. Наличие двух моделей позволяет глубже оценить влияние эффекта изменения энтропии на ударных волнах. Это полезно как при изучении новых задач, так и при анализе задач, решенных ранее в постановке с уравнением сохранения энтропии. Особенностью рассматриваемого класса задач является наличие подвижных границ. В литературе известно несколько подходов к решению задач с подвижными границами (см. Введение). В настоящей работе принят подход, в котором уравнения динамики среды представляются в криволинейных смешанных эйлерово-лагранжевых (подвижных) координатах. Криволинейные координаты выбираются так, чтобы координатные поверхности всегда оставались расположенными вдоль границ расчетной области. При таком подходе расчетная сетка перестраивается на каждом временном шаге, изменяясь вслед за изменением геометрии границ.
Обе системы уравнений, используемые в методике для описания динамики среды, можно записать в виде следующего векторного уравнения Q = xahq, = xah f, G = xah g, S = axaAh (0,p,0,0)T +t+W (1.1.1) где ГрЛ Pu{Vt+VxU + 7?yv)+r/xP pv(j]t+?]xU + 7]yv)+?]up pa pv ,f = (1.1.2) pu(gt + 4xu+Zyv)+%xp У1 Kg Модели с сохранением полной энергии соответствуют выражения q4 = E, f4 = Efe+%xu+%yv)+p(%xu+ tyv), g4 =E(Tjt+Tjxu+Tjyv)+p(Tjxu+Tjyv) (1.1.3) и уравнение состояния вида р = р{р,є). (1.1.4) Модели с сохранением энтропии соответствуют выражения q4=pS, f4=pSfa+txu+%yv), g4=pS(rjt+rjxu+rjyv) (1.1.5) и уравнение состояния вида p = p{p,S). (1.1.6) В (1.1.1)-( 1.1.6): х, у, t- эйлерова или неподвижная система отсчета (х, у- пространственные координаты, t- время), р- плотность, и, У-компоненты вектора скорости среды и относительно эйлеровых координат х, у, соответственно, р- давление, Е- удельная (на единицу объема) полная энергия, S = S(SJ- энтропийная функция, 5- энтропия, s — e — w. /2-удельная (на единицу массы) внутренняя энергия (е = Е/р), %, Г], т- смешанная эйлерово-лагранжевая (СЭЛ) или подвижная система отсчета (, г\ пространственные координаты, т- время), Xа - х в степени а (а=0,1,2 для плоской, осесимметричной и сферически симметричной постановок задачи, соответственно). Нижние индексы х, у, /, , TJ, т означают частные производные ( х =д,\дх и т.д.), а верхний индекс Т- операцию транспонирования.
Связь между эйлеровыми и СЕЛ координатами имеет вид Ъ={хтУ%-Утх{)/н rlx=-y /h, Vy= /h, где Н-\хуЛ —\хуЛ - якобиан преобразования. Векторы t и W учитывают влияние вязкости и теплопроводности, соответственно. В постановке большинства рассматриваемых задач полагается t=0, W=0. В таких задачах обобщенные решения систем (1.1.1)-(1.1.4) и (1.1.1), (1.1.2), (1.1.5), (1.1.6), о которых в настоящей работе идет речь, различаются лишь при наличии ударных волн. Иногда векторы t и W используются в качестве механизмов подавления нефизических осцилляции численного решения. В таких случаях конкретный вид выражений векторов t и W зависит как от рассматриваемой задачи, так и от используемого метода ее решения. В плоскости х,у расчетная область представляет собой совокупность криволинейных четырехугольников (зон). Принимается, что координатные линии = const и r\—const подвижной системы отсчета %,Г],т при любом т проходят в плоскости х,у вдоль сторон зоны (рис. 1.1.2). При этом противоположные стороны зоны являются отрезками координатных линий одного и того же семейства. Стороны зоны, расположенные на координатных линиях - 1 и = R (L R) считаются левой (Г4) и правой (Г2) сторонами соответственно. Аналогично, стороны зоны, расположенные на координатных линиях r/=rjg и Т]=пт {тів гІт) считаются нижней (/"і) и верхней (7"з) сторонами соответственно.
Сторонами зон могут быть элементы жесткой стенки (подвижной или неподвижной), стыка с соседней зоной (внутренней искусственной границы), границы раздела фаз (жидкости и газа), внешней искусственной границы, поверхности мягкой оболочки и др. Важно отметить, что стороной зоны может быть только элемент границы одного типа. Тип границы определяется способом ее обработки, который, в свою очередь, в значительной степени зависит от используемых на ней граничных условий. Не допускается, чтобы одна часть стороны зоны была, например, элементом искусственной границы, а другая - элементом жесткой стенки. Наложение указанного ограничения на конфигурацию стороны зоны значительно упрощает логику алгоритма в части постановки граничных условий. Кроме того, во многих задачах расчетная область довольно сложной (с точки зрения построения единой сетки) геометрии легко разбивается на ряд зон простой геометрии. В результате этого алгоритм построения сеток в зонах может быть существенно проще алгоритма построения единой сетки для всей расчетной области. По той же причине значительно сокращается и время построения сетки.
Разностная схема локально-характеристического метода.
Излагаются основные алгоритмы, входящие в методику расчета. Это алгоритм построения сеток, алгоритмы расчета методом распада разрыва, локально-характеристическим методом и произвольным лагранжево-эйлеровым методом, алгоритм консервативной интерполяции. Гибкость алгоритма построения сеток достигается за счет применения зонного принципа (расчетная область разбивается на ряд криволинейных четырехугольных зон относительно простой геометрии) и включения возможности использования разного числа ячеек вдоль границы соседних зон. При относительно небольших изменениях сетки интегрирование уравнений газовой динамики выполняется алгоритмами метода распада разрыва, локально-характеристического метода и произвольного лагранжево-эйлерова метода. При сильном различии сеток двух последующих моментов времени счета перевод решения с одной сетки на другую производится алгоритмом консервативной интерполяции. Для него характерны не только свойство консервативности, важное для расчета задач с разрывами, но и довольно высокая экономичность. Перевод решения на новую сетку в случае относительно небольшого отличия двух сеток путем интерполяции требует в 5-7 раз больше компьютерного времени, чем это нужно при использовании обычного пересчета конвективных потоков. Приводится анализ порядка точности и TVD свойства (неувеличения полной вариации решения) разностной схемы, лежащей в основе используемого алгоритма локально-характеристического метода. Дается вывод параметров вспомогательного среднего состояния локально-характеристического метода.
Расчетная сетка для всей расчетной области строится с применением зонного принципа. Построение сетки в зоне выполняется алгоритмом Кулачковой и Сахабутдинова [102] . В момент времени т=тп (/2 = 0,1, 2,...) результатом работы алгоритма построения сетки в зоне с номером k (k = l, К , К - число зон расчетной области в момент времени тп) является расчетная сетка й & = -\ k,i,h г = 1 1/г / = 1 Jk\- Здесь G ;- четырехугольник (ячейка) с вершинами г,/ г&+1,/ г+1,/+Ь rU/+l; 7 7 -число ячеек в зоне с номером k в направлениях и т] соответственно при т—т .
Дальнейшее изложение будет вестись в основном не относительно всей расчетной области, а относительно ее произвольной зоны. Поэтому в обозначениях индекс, указывающий на номер зоны, будет для краткости опускаться.
Будет опускаться также и индекс, указывающий на момент времени тп. Например, расчетная сетка отдельной зоны в момент т=тп будет обозначаться со, (Ь = {6ц\ і = 1,1, / = 1,/} Опорными узлами для алгоритма построения сетки со зоны являются ее узлы, расположенные на сторонах зоны. Каждая из 4-х сторон каждой зоны определяется самостоятельно. Пусть Гу (v=l, 4) - произвольная сторона произвольной зоны с номером v. Более точно нужно писать Г%у, где индексы указывают момент времени тп (я), номер зоны (k) и номер стороны (v). Вновь для краткости индексы k и п опускаются. Считается, что Гу определяется множеством узлов, ГУ = ІГУ(7, j = l,Kr + l\, соединенных между собой отрезками прямых. Здесь Кг - число отрезков (Кг \). Узлы Гу\ и ГУК +1 соответствуют краям стороны Гу. Если сторона Гу при любом т является отрезком прямой, то для ее определения достаточно задания одного отрезка (Кг =1). Для размещения узлов сетки со на границе Гу использует 64 ся дуговая координата. Принимается, что вдоль Гу она изменяется от 0 до 1, причем 0 соответствует точке Гу і, а 1 - точке 7" к +1. Узлы сетки & мо гут размещаться на стороне Гу равномерно или в соответствии с геометрической прогрессией. При использовании геометрической прогрессии первый элемент считается заданным, а знаменатель вычисляется. Первый элемент прогрессии может быть задан явно или в долях от шага равномерного разбиения.
В общем случае внутри каждой зоны сетка строится независимо от сеток в других зонах. Это относится как к общему количеству ячеек в зоне I х /, так и к количеству ячеек вдоль каждого координатного направления (/ и /). В соответствии с принятым принципом формирования расчетная область состоит из зон со сторонами, каждая из которых является фрагментом границы одного типа. В результате этого в ней, как правило, возникают внутренние искусственные границы. Внутренние искусственные границы также, как и внешние искусственные границы, в исходной дифференциальной постановке задачи отсутствуют. В отличие от внутренних, внешние искусственные границы возникают в результате замены неограниченной расчетной области дифференциальной задачи на ограниченную расчетную область разностной. В расчетной области они всегда внешние. Как известно (Ильгамов [93, 94]), на внешних искусственных границах ставятся те или иные неотражающие условия. Внутренние искусственные границы - это стыки между зонами. Поэтому они всегда являются внутренними. В методике принято, что любая зона через внутреннюю искусственную границу не может сообщаться более, чем с одной зоной. Подобное ограничение накладывается и на границу раздела фаз. Граничные условия на внутренней искусственной границе и границе раздела фаз наиболее просто ставятся тогда, когда и количество, и размер ячеек по обе стороны таких границ одинаковы. Вместе с тем, из соображений экономичности расчетов иногда бывает полезно отказаться от такой согласо 65 ванности сеток смежных зон. В методике подобная возможность допускается. Вдоль общей границы сетки смежных зон могут различаться как по количеству ячеек, так и по местоположению граничных узлов (размеру ячеек).
Задача о сходящемся сферическом поршне
Следует отметить, что получить аппроксимацию для уравнения (2.4.1а) можно и путем замены Щ+т на 5;+1/2 только в тех слагаемых разностных соотношений (2.4.2), (2.4.9), которые не включают функцию у/. При этом необходимо иметь ввиду, что, строго говоря, в этом случае свойство TVD будет нарушено, поскольку %1/2-%1/2+ И ) откуда следует (v ) v. +ОЫ 1. В силу этого вместо (2.4.4) будем иметь (2.4.16). На гладких решениях такое различие может быть незначительным. На разрывных решениях вместо Я;+1/2 — ai+\/2 - 0\А ) ВОЗМОЖНО flj+i/2 ai+l/2 0)-Тогда вместо (2.4.16) будет TVwn+ ) TVlqn) + 0(\), что означает, что осцилляции численного решения будут уже не порядка погрешностей аппроксимации, а порядка величины разрыва (исключая, естественно, частные случаи, когда di+y2 = +1/2) Далее построим для уравнения (2.4.1) схему типа (2.4.9), (2.4.15). Для этого всюду в (2.4.9) проведем замену аі+у2 на +1/2, заданное в соответствии с (2.4.17). В силу вышесказанного, одной такой замены может ока 87 заться недостаточно для того, чтобы полученная таким образом схема для уравнения (2.4.1а) удовлетворяла неравенству (2.4.16). Действительно, равенства (2.4.15Ь) получены, исходя из разложения і=і±і/2+{8;)- i/o / +Olzl I (см. выше), что в случае разрывов неверно. Вместе с тем соотношения (2.4.15Ь) дают некоторую свободу в выборе gi+l/2 Используем ее для определения gi+\j2 из области непрерывного участка функции g. Для этого примем #/±1/2 = Ё1±\/2 0.5тт(44±і)» (2.4.18) где тт( , у) = х при \х\ \у\; тт(х, у)-у при \х\ \у\. Функция тт(х, у) в равенстве (2.4.18) выбирает приращение с наиболее гладкого участка функции g. За меру гладкости принят модуль производной (так как Ag/A есть аппроксимация для (gA.). В случае разрыва имеем ge =оо. В расчетах вместо со будем иметь большие значения
Поэтому функция тт(х,г/) отфильтровывает разрывной участок, отдавая предпочтение непрерывному, что является необходимым условием удовлетворения неравенству (2.4.16). Подобные схемы, допускающие возникновение осцилляции разрывных решений лишь на уровне погрешностей аппроксимации, называют ENO (существенно безосцилляционными) схемами (Harten et al. [176]).
Отметим еще одну ENO схему. Это схема (2.4.9), (2.4.17), в которой gt вне окрестности экстремальных точек функции (р upр = Oj задается по (2.4.11), а возле них -в соответствии с (2.4.18).
В настоящей методике разностная схема локально-характеристического метода является обобщением TVD схемы (2.4.9), (2.4.11), (2.4.17). 2.5. Среднее состояние локально-характеристического метода
Параметры среднего состояния в выражениях типа (2.3.1) для векторов численного потока Fi±j/2 ,-, G;/+i/2 могут быть определены неединственным способом. Например, можно принять cjj+i/2,/ =(чїг,/ +Ч/+1,/)А Однако на разрывах такое осреднение может нарушать TVD свойство (см. параграф 2.4). Поэтому в настоящей работе используется другое осреднение. Ниже для простоты изложения применяются упрощенные обозначения. В частности, известные состояния слева и справа от разрыва обозначаются q ,q#, а неизвестное среднее состояние q. Применяется обозначение [b] = b# -b .
Используемый далее метод определения параметров среднего состояния предложил Glaister [171] для уравнений газовой динамики в декартовых координатах. В этом методе сначала задается аппроксимация а для вектора ],где й = 1а ,а ,а ,а I ,w = iw,w ,w ,w \ . Затем из системы [q]=Ra, [f] = ARa = Rdiag{am}a (2.5.1) находятся искомые параметры среднего состояния q. Здесь diagam - диа т тональная матрица, т - тым элементом диагонали которой является а . Рассмотрим определение параметров среднего состояния, удовлетворяющего системе (2.5.1), для уравнения (1.2.1) при q, f заданных выражениями (1.2.2) и с уравнением состояния общего вида р = р(р,є).
Нелинейные колебания газового столба при амплитудах хождения поршня порядка 10 длины трубы
О величине и характере проявления эффекта нагрева газа ударными волнами при l/L = 0.0161 можно судить по рис.4.3.5, где для модели с учетом этого эффекта представлены временные зависимости энтропийной функции вір ,S\. В отличие от случая 1/L = 0.00161, где отклонение от начального значения 20составляет лишь несколько градусов, здесь при cojQ= 1.13 оно достигает около 200. Иным является и характер изменения температуры вір , Щ во времени. Здесь в области tc /L 20 зависимость функции вір ,S\ от времени является нелинейной. Основные особенности ее изменения на всех представленных на рис.4.3.5 значениях безразмерной частоты coJQ можно проследить на примере частоты со/Q = 1.13. В соответствующей этой частоте зависимости можно выделить два участка: один - в области tc /L 100, другой - в области tc /L 100. С течением времени на отрезке 0 tc IL 100 интенсивность ударных волн увеличивается. Поэтому температура вір ,S\, возрастающая за счет прохождения ударных волн, здесь также возрастает. При tc /L «100 ударные волны в газе наиболее интенсивны (рис.4.3.3). Форма колебаний становится резонансной (рис.4.3.4). На отрезке 100 tc /L 200 интенсивность ударных волн ослабевает. Поэтому рост температуры вір , Sj на этом участке также уменьшается. Интервал частот, в котором вір , S) отклоняется от начального значения, определяется частотами, при которых возникают ударные волны.
Из совместного анализа рис.4.3.3-4.3.5 следует, что на частотах в окрестности резонанса в модели без учета нагрева газа ударными волнами после относительно недолгого переходного процесса наступает установление. В модели с учетом этого эффекта на тех частотах из области coJQ 1.1, на которых возникают ударные волны, значительные изменения происходят и в дальнейшем. Эти изменения определяются меняющейся интенсивностью ударных волн в ходе колебаний. Можно выделить три стадии изменения интенсивности. На первой стадии интенсивность ударных волн медленно увеличивается, на второй - сначала быстро возрастает, а затем также быстро убывает, а на третьей - медленно уменьшается. В ходе этого процесса форма колебаний последовательно принимает вид послерезонансных, резонансных и дорезонансных колебаний.
На рис.4.3.6 для разных моментов времени приведены зависимости размаха колебаний за период от частоты. Расчетные кривые модели с учетом нагрева газа ударными волнами относятся к периодам, содержащим моменты времени по экспериментальным данным работы Sturtevant [241]. Sturtevant [241] использовал алюминиевую трубу с L = 3.2M, / = 49MM, d = 76мм. Труба охлаждалась водой. Из рис.4.3.6 следует, что в модели без учета нагрева газа ударными волнами амплитуда колебаний со временем устанавливается. Для модели с учетом этого эффекта наблюдается следующая тенденция: с течением времени максимальное значение размаха колебаний возрастает и смещается вправо. При этом размах колебаний в области частот, находящихся слева от частоты, соответствующей его максимальному значению в фиксированный момент времени, в дальнейшем уменьшается, а в области частот, находящихся справа от этой частоты - увеличивается. Интересно отметить, что экспериментальная кривая 6 занимает некоторое промежуточное положение между кривыми 1-4 и кривой 5. В частности, ее максимальное значение больше, чем у кривой 5, но меньше, чем у кривых 1-4. Положение максимального значения кривой 6 на оси со/Q находится правее, чем у кривой 5, временем величина средней по длине трубы температуры возрастает, а скорость ее роста, также как и неравномерность распределения функции вір , S) вдоль трубы, убывают.
Таким образом, учет эффекта нагрева трубы ударными волнами приводит при 1/L = 0.0161 к развитию колебательного процесса, существенно отличному от того, что получается при пренебрежении этим эффектом. Если нагрев газа ударными волнами не учитывать, то на частотах в окрестности резонанса после сравнительно небольшого времени наступает установление. Его можно рассматривать физически как результат баланса между энергией, подводимой поршнем в трубу в результате совершаемой работы, и энергией, теряемой системой на скачках из-за предположения о сохранении энтропии. При учете нагрева трубы ударными волнами развитие колебаний является существенно неустановившимся. В интервале частот 1.15 со/Q 1.1 наиболее интенсивные изменения происходят после завершения начального переходного процесса. Увеличение температуры газа в результате прохождения ударных волн приводит к тому, что максимумум размаха колебаний со временем возрастает и сдвигается на оси частот в сторону больших значений.
Рассматриваются продольные колебания газа в закрытой трубе, на одном конце которой находится подвижный поршень (рис.4.4.1.). Перемещения поршня происходят в результате воздействия перепада давлений р-т — рех. Уравнение движения поршня имеет вид
В (4.4.1)-(4.4.3) trip- масса поршня, отнесенная к площади поперечного се чения канала трубы, /л - коэффициент трения, vp- скорость движения поршня вдоль осевой координаты у, t- время, рех, pin- внешнее и внутреннее давления на поршень, со, Лрех- частота и амплитуда колебаний внешнего давления. Для описания динамики газа используются системы с сохранением полной энергии (4.1.2) и энтропии (4.1.3) с соответствующими им уравнениями состояния р = (,у-1)р и p=prS, у-\Л. До момента вре-мени t — U газ с давлением р и плотностью р (и температурой У ) покоится (р =0).