Содержание к диссертации
Введение
1 Метод термерав задаче о динамике заряжен нойчастицывсуперпозиции дипольного и однородного магнитных полей 16
1.1. Разрешённые области в координатном пространстве 16
1.2. Области разрешённых начальных импульсов 23
2 Задача о динамике ведущего центра заряженной частицы в суперпозиции поля магнитного диполя и однородного магнитного поля 45
2.1. Вывод квадратуры для дрейфа ведущего центра 45
2.2. Условия применимости дрейфовых уравнений движения 55
3 Области высыпания заряженных частиц в геомагнитномполе,представленном первы мигар мониками ряда Гаусса 62
3.1. Области высыпания заряженных частиц в поле магнитного диполя в зависимости от безразмерных координат и импульсов 62
3.2. Построение областей высыпания электронов высокой энергии в случае представления потенциала геомагнитного поля суммой первых четырёх гармоник ряда Гаусса 70
Заключение 87
Список литературы
- Области разрешённых начальных импульсов
- Вывод квадратуры для дрейфа ведущего центра
- Условия применимости дрейфовых уравнений движения
- Построение областей высыпания электронов высокой энергии в случае представления потенциала геомагнитного поля суммой первых четырёх гармоник ряда Гаусса
Области разрешённых начальных импульсов
Как известно, дифференциальные уравнения динамики заряженной частицы неразрешимы в квадратурах даже для простейшей дипольной модели магнитного поля Земли. В то же время интегралы энергии и обобщённого углового момента частицы, справедливые, как показано в [39,72,80], и для магнитного поля, представляющего собой суперпозицию дипольного и однородного магнитных полей, позволяют получить важные сведения об особенностях распространения заряженных частиц. С использованием этой информации удалось, в частности, объяснить основные эффекты, связанные с вторжением заряженных частиц солнечных и галактических космических лучей в геомагнитное поле (жёсткости геомагнитного обрезания, восточно-западную асимметрию и др.).
В работах [18,35] с использованием метода Штермера были получены аналитические выражения для областей разрешённых импульсов заряженных частиц в произвольных точках дипольного поля при заданном положении точечного источника частиц. Во второй части настоящей главы исследованы свойства сечения области разрешённых начальных импульсов для суперпозиции дипольного и однородного магнитных полей в случаях, когда индукция магнитного поля параллельна или антипараллельна магнитному моменту диполя, а также разработан алгоритм численного построения указанных сечений, показано его применение на конкретных примерах.
Пусть в начальный момент времени рассматриваемая заряженная частица находится в точке с расстоянием до начала координат 0, долготой 0, широтой 0 сферической системы координат. Также пусть задано положение прицельной точки со сферическими координатами Поставим задачу определить импульсы p, при которых возможные траектории заряженной частицы, выходящие из точки R0, проходят через прицельную точку Rc.
Пусть - угол, который образует вектор начальной скорости v0 с ор 24 том ev местной системы координат. Тогда из (1.5) и определений обобщённого импульса Рср и постоянной интегрирования 7 следует, что1 1 / COS2 0 2 2 і \ 7 = — т0 cos щ cos в z \- ctr0 cos щ , (1.27) 2 г0 где f0 — начальное значение радиальной координаты, измеренной в штермеров ских единицах длины.
Определим функцию Q(r ,j,a): (2 COSI/J 27 \ —т ar cos ip-\ . (1.28) r2 r COS Ц) Из (1.16) и (1.28) следует, что неравенство Q(r ,j,a) 0 определяет области А(а,7). Вычислим значение функции Q(f, ф, ,а) в прицельной точке: Q(r,ifj,ry,a) = 1 — Q , (1.29) где гл ( 1 \ cos Ф0 Ґ л cos ф0 2 \ Q = cosine —2 — агс + г0 cos 0 Ь от0 совф0 , (1.30) гс гссоъфс г0 гс — значение координаты прицельной точки, измеренной в штермеровских единицах длины.
Определим постоянную /3 как отношение индукции однородного магнитного поля к удвоенному значению индукции на магнитном экваторе 2ВЕ: B0R% В0 р =— = , (1.31) 2М 2ВЕ где НЕ — радиус Земли. Очевидно, что р = a {RE/ st) . Запишем штермеровскую единицу длины в виде Сч+ = -т=, где к = \/—. Перейдём к размерным координатам RC, R0: Rc = RE CstTci R0 = RE CstT0- (1.32)
Поскольку Q зависит только от абсолютного значения импульса р и угла в между векторами р и е ,, то область разрешённых начальных импульсов Ф (Ro, Rc,/3) в импульсном пространстве обладает симметрией относительно оси е р. Будем рассматривать сечение E(Ro,Rc,/3) области Ф(Ro,Rc,/3) плоскостью, содержащей орты е и ег.
С учётом (1.34) неравенство для областей A(a,j) можно представить в виде (Л — /3) + С cos # 1. (1.35) 1 рЩ Неравенство (1.35) задаёт области, границами которых являются кривые второго порядка. Тип кривой определяет число С, представляющее собой экс А-В/З центриситет. Постоянная р2 является параметром кривой второго порядка. кЕ Ограничимся сначала случаем, когда область Е (Ro, Rc, (3) задаётся только неравенством (1.35) (когда это не так, будет обсуждаться далее). Границами областей Е (Ro,Rc,/3) в этом случае являются 1. гиперболы, если С 1; 2. парабола, если С = 1; 3. эллипс, если 0 С 1; 4. пара пересекающихся прямых, проходящих через начало координат, если А—В/3 = 0 (в дипольном магнитном поле последнее условие эквивалентно равенству А = 0).
Отметим, что тип невырожденных кривых второго порядка, являющихся границами области Е (Ro, Rc, (3), не зависит от параметра /3. Представим (1.35) в виде системы неравенств
Исследуем более подробно свойства областей S(Ro,Rc,/3), задаваемых системой неравенств (1.36).
Если С 1, то система уравнений (1.37) задаёт эллипс, один из фокусов которого совпадает с началом координат. В случае А — В(3 0 вершины эллипса, лежащие на горизонтальной оси, находятся от начала координат на расстояниях (А — В(3)/(1 — С) и (А — В(3)/(1 + С) соответственно. Большая по площади часть эллипса лежит в правой полуплоскости (предполагается, что полярная ось направлена вправо). В случае А — В(3 0 расстояния от фокусов до вершин горизонтальной оси равны (В(3 — А)/(1 — С) и (В(3 — А)/(1 + С) соответственно, большая по площади часть эллипса лежит в левой полуплоскости, длина горизонтальной полуоси равна d = 2\А — В{3\/(1 — С2). Если С 1, то границы области Е (Ro,Rc,/3) представляют собой ветви гиперболы, вершины которой находятся в одной полуплоскости: в левой, если А — В(3 0 и в правой, если А — В(3 0. Расстояния от вершин до фокуса, находящегося в начале координат, равны (А — В(3)/(С — 1) и (А — В(3)/(С + 1) при А — В(3 0; (В(3 — А)/(С — 1) и (В(3 — А)/(С + 1) при А — В(3 0, расстояние между вершинами d = 2\А — В/3\/(С2 — 1).
Если С = 1, то граница области S(Ro,Rc,/3) — парабола с вершиной в левой полуплоскости, если А — В(3 0 и в правой полуплоскости, если А — В(3 0. Расстояние от фокуса до вершины параболы d = \А — В(3\/2.
Отметим, что во всех приведённых случаях d является кусочно-линейной функцией /3.
Чтобы установить, принадлежит ли импульс р области (Ro,Rc,/3), когда соответствующая область A(a,j) является однокомпонентной, достаточно проверить выполнение условия неотрицательности функции Q в точке Rc. Если А(а, 7) является двухкомпонентной, то помимо указанного условия необходимо установить, принадлежат ли точки Ro и Rc одной и той же компоненте А(а,г)). Математическая формулировка условия двухкомпонентности разрешённой области при а 0 (Во ti М) дана в [39]. В [80] и [29] соответствующая формулировка дана для случая а 0 (Во tt М). Сопоставление указанных формулировок позволяет записать условие двухкомпонентности области A(a,j) в виде
Вывод квадратуры для дрейфа ведущего центра
Отметим некоторые свойства областей в импульсном пространстве, задаваемых системой неравенств (1.42) при фиксированном значении /3.
Нетрудно видеть, что если при фиксированных значениях До, Фо и /3 система неравенств (1.42) относительно модуля импульса р и угла в не имеет решений, то границами области Е (Ro,Rc,/3) являются только кривые второго порядка. Известно, что при /3 = 0 не существует таких До и фо, при которых область А(а,7) является однокомпонентной для любых р и угла #. Докажем, что последнее утверждение справедливо и для суперпозиционного магнитного поля.
будет выполнено при достаточно больших р и cos в 0. Поскольку уже была доказана справедливость первого неравенства (1.45) при р — оо, для любой точки Ro найдутся такие р и #, что соответствующая область А(о;,7) будет двухкомпонентной и, таким образом, сформулированное утверждение для случая /3 О доказано.
Если /3 0, то достаточные условия двухкомпонентности задаются системой неравенств 7 {р, в, /3) О, (1.50) 7 (р, в, /3) —Гз (р, /3). Из (1.47) следует, что при cos# 0 первое неравенство (1.50) будет выполнено при достаточно больших р. При р — оо параметр /І (р, /3) стремится к 0, поэтому уравнение для корня примет вид откуда следует, что радиус круговой орбиты — 1 при — оо. Поскольку —з (, ) = —з ((,)) — 1 при — 0, система (1.50) оказывается выполненной для Є (/2,3/2) и достаточно больших и, таким образом, утверждение доказано полностью.
Сформулируем теперь четыре следующих важных утверждения о структуре области (Ro, Rc, ).
1. а) Если при фиксированных значениях о, c, о, с и 0 система неравенств (1.43) относительно модуля импульса и угла выполнена для любых и из пересечения областей (1.35) и (1.42), то границами области (Ro,Rc,) являются только кривые второго порядка.
б) Если при фиксированных значениях Q, C, о, с и 0 система неравенств (1.44) относительно модуля импульса и угла выполнена для любых и из пересечения областей (1.35) и (1.42), то границами области (Ro,Rc,) являются только кривые второго порядка.
2. а) Если при заданных Q, C, о, с и 0 существует пара (, ), для которой выполнены (1.35) и (1.42) и не выполнена система (1.43), то границы области (Ro, Rc, ) не являются кривыми второго порядка.
б) Если при заданных Q, C, о, с и 0 существует пара (, ), для которой выполнены (1.35) и (1.42) и не выполнена система (1.44), то границы области (Ro, Rc, ) не являются кривыми второго порядка. 3. а) Пусть /3 О, л / п R%P гъ ґ п п -л f п R%P n / л п ґтіп (/З) = mm о tt-bl ІР, ", Р) , Г max (Р ) = ПіаХ Щ\ (р, t/, /3) . р,в Ърк1 р,в Ърк1 Тогда если Ro cos фо Fmin (/3), I RQ COS фо Fmax (/3), или (1.51) Rc cos c FTO n (/3); I i?c cos фс Fmax (/3), то границами области E (Ro, Rc, /3) являются только кривые второго порядка. б) Пусть /3 О, гат (у) = mm 7 Rb2 \Р, v, /3) , тоаж \и) = ІШП Rb2 \Р, #, р) . р,в JPRE pfi Л/PRE Пусть также фо 0, или 1 фо 0, фс 0; \ фс 0. (1.52)
Тогда если верна система (1.51), то границами области Е (Ro,Rc,/3) являются только кривые второго порядка.
Если /3 О, то в круге радиуса ЗА;2-у (З2/R2E границы области Е (Ro, Rc, /3) являются только кривыми второго порядка.
Обсудим более подробно 3-е утверждение. Результаты расчётов показывают, что Fmin (0) = 0, Fmax (0) = +оо и, следовательно, в случае дипольного магнитного поля нельзя сделать никакие определённые заключения о структуре области E(Ro,Rc,/3), руководствуясь только приведённым критерием. Но в общем случае существуют такие значения /3, для которых Fmax (/3) +оо и может быть выполнена первая система (1.51). Например, Fmax ( 4 10-4 ) = 12.6, значит, при /3 = 4- 10-4, RQCOSIJJQ 12.6 и Rcco ipc 12.6 границами области E (Ro, Rc, 13) являются только кривые второго порядка. Утверждение 3 является достаточным условием совпадения границ области E(Ro,Rc,/3) с кривыми второго порядка.
При численном построении области Е (Ro, Rc, ІЗ) вместо проверки выполнения условий (1.42)–(1.44) можно также использовать следующий метод.
Соединим точки о и с кусочно-гладким путём Г. В качестве Г возьмём объединение дуг, составляющих силовые линии суперпозиционного поля, и дуг, ортогональных к силовым линиям.2 Проверим, лежит ли Г целиком в области А(а, 7), т. е. выполено ли условие Г С А (а, 7). Для этого выберем на Г п точек с радиусами-векторами fj7 на расстояниях друг от друга Dj, 1 j п. Для каждой точки j7 проверим выполнение условия Q {гА ,фл ,7,а) 0, (1.53) где г и ф — координаты точки У.
Очевидно, что при j — 00 max г м —ft = Dj — 0 и построенная таким образом область будет стремиться к искомой области Е (Ro,Rc,/3). Перейдём теперь к конкретным примерам построения областей Е (Ro, Rc, ІЗ). Положим, что в начальный момент времени частица находится в точке с координатами Ro = 4, фо = 30. Исследуем области E(Ro,Rc,/3) для различных положений исследуемой точки Rc и параметра /3. В Табл. 1.1 приведены значения координат Rc и фС, соответствующие Рис. 1.4-1.9. В Табл. 1.2 для каждого рисунка указаны значения параметров А, , С, /3 и А — В(3.
Условия применимости дрейфовых уравнений движения
Дадим общую формулировку дрейфовых уравнений движения. Рассмотрим частицу массы3 т и заряда е, движущуюся в магнитном поле В и поле сил немагнитной природы F. Будем предполагать, что выполнены условия слабой неоднородности поля В (см. [5]): PL(V-B)J_ С В, (2.1) fT5(V-B) С В, где Рь = mv±/eB — ларморовский радиус, Тд = 2-кт/еВ — период ларморов-ского вращения, v± — проекция скорости частицы на плоскость, перпендикулярную В, г ц — составляющая скорости частицы в направлении В, (V )_L — модуль проекции градиента В на плоскость, перпендикулярную В, (У )ц — модуль проекции градиента В на направление В. В однородном поле, как известно, движение можно рассматривать как наложение вращения по ларморов-ской окружности на движение центра ларморовской окружности вдоль силовой линии поля. Если обозначить через г радиус-вектор текущего положения частицы, то г = а + с, (2.2)
Для релятивистских частиц будем, не умаляя общности, считать, что т = то геї, где mo – масса покоя, 7rei – лоренц-фактор где a - вектор, проведённый из центра вращения (ведущего центра) в точку, в которой находится частица; c - текущее положение ведущего центра.
При выполнении условий (2.1) движение частицы сохранит вид (2.2), но, в отличие от движения в однородном поле, величины a и c медленно меняются со временем: a = a(), c = c(), а ведущий центр может двигаться поперёк магнитного поля, перемещаясь с одной силовой линии на другую.
Скорость частицы v будет состоять из двух частей: скорости вращения w и скорости дрейфа u: r a c v==+=w+u. (2.3) С помощью метода усреднения [8] из точного уравнения движения частицы могут быть получены уравнения динамики ведущего центра (см. [9,31,36]): du rab— = Fb — /ibV-B, at z" 2U_L cB с/ш,, ( U-L = F — /І 1 H 7Г VВ — m— x — -\ Tp-yrottlj , wz at еВг wzeB где b = B/, величины с индексами обозначают проекцию на плоскость = , движущуюся вместе с частицей (будем называть такую плоскость ведущей), = 2/2 - эквивалентный магнитный момент частицы, который при выполнении условий (2.1) является приближённым интегралом движения (см. [5]).
При этом продольное движение ведущего центра описывается первым уравнением (2.4), а поперечное - вторым уравнением (2.4).
В [36] уравнения (2.4) выведены в предположении, что = 0. В суперпозиционном поле в отличие от дипольного существуют точки, удовлетворяющие условию = 0. В связи с этим возникает вопрос о корректности уравнений (2.4) в суперпозиционном поле. Вернёмся к данному вопросу, когда будем проводить исследование уравнения силовых линий поля.
Поскольку в рассматриваемом случае учитывается воздействие на частицу только сил магнитной природы, F = 0. Также равно нулю и последнее слагаемое в правой части второго уравнения (2.4) (вследствие безвихревого характера поля). Кроме того, будем во втором уравнении (2.4) пренебрегать слагаемыми, содержащими производную du±/dt (вследствие малости и± по сравнению с v).
Пусть (г, ф, р ) — сферическая система координат, где г —расстояние до центра Земли, ф — магнитная широта, р — магнитная долгота. Тогда из (2.4) следует, что u_L имеет одну отличную от 0 азимутальную составляющую и : dip cm ( w2 2\ ҐТ-ГГ}. Ucn = г cos ф— = т Ь щ (V-B) j_. (2.5) dt еВг 2 " Угол р будем отсчитывать в направлении дрейфа частицы. Поскольку в рассматриваемом случае проекция u_L на ведущую плоскость равна 0, в этой плоскости ведущий центр в процессе движения остаётся на фиксированной силовой линии. Как и в случае дипольного поля, ведущий центр колеблется между двумя „зеркальными точками“, причём функция X(t) является периодической. Будем рассматривать участок траектории, на котором dX/dt 0, а затем используем соотношение \(T/2 + t) = —X(t), 0 t Т/2, где Т - период функции X(t).
Пусть в начальный момент времени частица находится на магнитном экваторе (ф = 0) и обладает скоростью v, направленной под углом 6 к направлению местного магнитного поля. Тогда начальные значения w и щ равны соответственно Wo = v sin 6 и гіцо = v cos д. Учитывая, что в магнитостатическом поле модуль скорости v остаётся постоянным и используя сохранение магнитного момента /І, можно показать (см. [5]), что текущее значение продольной компоненты скорости дрейфа 2fi(Bmax — В) щ = \ , (2.6) V m где Bmax = Bmin/ sin S — значение индукции в «зеркальной» точке, где происходит отражение частицы от магнитного зеркала, Bmin - значение индукции суперпозиционного поля при ф = 0. Введём безразмерную индукцию ту, связанную с индукцией В и экваториальным параметром Де, равным расстоянию от начала координат до точки пересечения местной силовой линии с экваториальной плоскостью, посредством формулы В = Mrj/Re, (2.7) где М - дипольный магнитный момент. Аналогично (2.7) запишем Втах: Втах = Mr]max/Re = m(un + w )/2/І, (2.8) где Цтах значение функции т? в точке, где происходит отражение от магнитного зеркала. Скорость движения вдоль силовых линий поля равна г——J \Jdr1 + r2difj2 f dr\ dt у difj I о о о 2 v dr1 + r1di\)1 dr 0 difj Щ = = — + rl —. (2.9) dt dip dt
Построение областей высыпания электронов высокой энергии в случае представления потенциала геомагнитного поля суммой первых четырёх гармоник ряда Гаусса
Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c магнитной широтой 25 и нулевой магнитной долготой при = 45 ГэВ: а) = 1, б) = 4. При п = 1 и Ek = 7 ГэВ (Рис. 3.4 а) область достижимых долгот представляет собой множество [—180, —49] (J[17, 47] (J[101, 144] (J[167, 180), область допустимых широт - множество [—60,—27] (J[27, 60]. В структуре области высыпания можно выделить восемь связных компонент. Учёт в разложении потенциала V (3.7) гармоник со 2-й по 4-ю приводит к тому, что области достижимых долгот и широт становятся равными [—180,—50] У [9, 62] У [101, 148] и [—60, — 27] У [25, 64] соответственно (Рис. 3.4 б). Помимо изменения указанных областей при переходе отп = 1кп = 4 также происходит уменьшение числа связных компонент области высыпания с восьми до шести и появление асимметрии (количество точек высыпания в полосе ф 0 становится существенно меньше количества точек высыпания в полосе ф 0, происходит изменение формы компонент).
Вид областей высыпания при Ek = 15 ГэВ и п = 1 показан на Рис. 3.5 а. Как видно из рисунка, в этом случае для электрона, запускаемого с геостационарной орбиты, оказывается достижимой достаточно протяжённая область земной поверхности, соответствующая интервалу долгот [—180, 180) и интервалу широт [—56, 56]. В структуре области высыпания условно можно выделить три связные компоненты, симметричные относительно оси ф = 0. При добавлении в выражение для V членов с 2 п 4 происходит изменение формы компонент области высыпания и их поворот друг относительно друга (Рис. 3.5 б). Число компонент области высыпания при этом остаётся неизменным и равным трём.
На Рис. 3.6 показаны области высыпания для электронов с Ek = 30 ГэВ. Для указанной кинетической энергии ф Є [—180, 180], ф Є [—65, 65], в области высыпания выделяются три компоненты, две из которых соединяются на магнитном экваторе. При п = 4 достижимыми являются любые долготы, а множество допустимых широт совпадает с интервалом [—65, 74].
При Ek = 45 ГэВ и п = 1 (Рис. 3.7 а) точки области высыпания преимущественно сосредоточены в одной области, содержащей начало координат в плоскости (ф,ф). Из результатов расчётов следует, что из инжектора оказывается доступным участок земной поверхности с ф Є [-72, 72] и любыми долготами. При п = 4 (Рис. 3.7 б) доступны по-прежнему все долготы, а диапазон допустимых широт становится равным [-73,80].
Перейдём теперь к описанию областей высыпания в случае положения инжектора на низких высотах h над поверхностью Земли. Пренебрегая h по сравнению с RE (h С RE), будем считать, что расстояние от инжектора до центра Земли равно RE.
Положим сначала фто = срто = 0, что соответствует нахождению инжектора в точке пересечения магнитного и географического экваторов. Вид областей высыпания в этом случае приведён на Рис. 3.8 - 3.11, соответствующих значениям Ek = 7, 15, 30 и 45 ГэВ. Диапазоны достижимых широт ф и долгот ф для приведённых примеров даны в табл. 3.6.
Расчёты показывают, что для данного положения инжектора [,] = [0, 90], [, ] = [-180, 180). Из Рис. 3.8 - 3.11 видно, что при 0 = и 0 = 0 область допустимых широт является ограниченной. При переходе от га = 1 к n = 4 возможно качественное изменение структуры областей высыпания, выражающееся в исчезновении одноточечных компонент и появлении новой связной компоненты, что подтверждается данными Рис. 3.8, на котором представлены области высыпания при Ek = 7 ГэВ (для дополнительной связной компоненты ф Є [30, 37].
Рассмотрим, наконец, случай положения инжектора на поверхности Земли в точке с геомагнитными координатами срто = 0, г[)то = 25. Области высыпания электронов на земную поверхность для указанного положения инжектора представлены на Рис. 3.12 - 3.15, а области достижимых геомагнитных координат приведены в табл. 3.7. Результаты численного моделирования показывают, что для 7 ГэВ Ek 45 ГэВ имеет место качественное отличие областей высыпания при п = 4 от соответствующих областей при п = 1. В частности, происходит изменение формы и относительного положения компонент области высыпания: исчезает U-образная структура при Ek = 15 ГэВ (Рис. 3.13), происходит поворот и смещение компонент при Ek = 30 ГэВ (Рис. 3.14), изменяется число точек высыпания, что особенно заметно при Ek = 45 ГэВ (Рис. 3.15).