Введение к работе
Данная диссертация по проблематике принадлежит к теории нелинейных волн, вопросы которой занимают центральное место в механике сплошной среды.
Основными объектами изучения в работе являются нелинейные уравнения, описывающие волновые процессы в диспергирующих средах и их решения типа уединенных волн, вопросы существования которых относятся к числу малоисследованных.
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы. Настоящая диссертация посвящена теории существования и устойчивости уединенных волн трех различных типов в диспергирующих средах. Речь пойдет о классических уединенных волнах - решениях типа солитонов уравнения КдП, обобщенных уединенных волнах - продуктах нелинейного резонанса классической уединенной волны и периодической волны и, наконец, уединенных волнах с осциллирующей структурой фронтов (далее называемых уединенными волнами третьего типа). Существование обобщенных уединенных волн, которые сами по себе не могут служить результатом эволюции локализованных возмущений, тем не менее, связано с рядом интересных особенностей нестационарных процессов, присутствующих в системах, где волны этого типа имеют место. Эти процессы характеризуют эволюцию локализованных по пространству (имеющих конечную энергию) возмущений: распад возмущений подобного рода сопровождается излучением периодической волны, период которой связан с периодом осциллирующей составляющей обобщенной уединенной волны. Наличие уединенных волн третьего типа связано с присутствием в системе модуляционной неустойчивости; бегущие уединенные волны этого типа возникают из нестационарных волновых пакетов при равенстве скоростей огибающей и скоростей монохроматической волны, распространяющейся под огибающей. ГЗ диссертации сформулированы достаточные условия существования уединенных волн трех упомянутых типов для достаточно общих диспергирующих сред.
Результаты диссертации могут непосредственно применяться для исследования нелинейных волновых процессов в гидромеханике, теории упругости, физике плазмы, геофизике, а также в других механических и физических процессах. В частности, классификация уединенных волн, возможных в данной диспергирующей среде, позволит характеризовать нестационарные волновые процессы, связанные с существованием этих уединенных волн.
Основными результатами диссертации являются:
-установление эффекта взаимосвязи модуляционной неустойчивости, присутствующей в диспергирующей системе с наличием уединенных волн третьего типа;
-формулировка общего подхода к теории существования трех типов плоских уединенных воли: собственно уединенных, обобщенных уединенных и уединенных волн третьего типа. Сформулированы достаточные условия существования всех трех перечисленных типов уединенных волн в изотропных диспергирующих средах. Проанали-
зированы свойства устойчивости уединенных волн и уединенных волн третьего типа, а также излучаемых локализованным возмущением периодических волн (последний эффект имеет место в результате существования обобщенных уединенных волн).
Все результаты диссертации являются новыми.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, оформленного в виде пятой главы, и списка литературы. Общий объем диссертации - 115 страниц машинописного текста.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в виде 11 работ, шесть из них в соавторстве. В диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и получили высокую оценку на:
-Ш-ем съезде советских океанологов (Ленинград, декабрь 1987);
-Всесоюзном школе-семинаре "Математическое моделирование в естествознании и технологии" (Владивосток, сентябрь 1989);
-Международной конференции "Geometric methods in theoretical and computational mechanics" (Обервольвах, июль 1993);
-ШТАМ симпозиуме "Structure and dynamics of nonlinear waves in fluids" (Ганновер, август 1994);
-Международной конференции "Problems in the theory of nonlinear hydrodynamic waves" (Марсель, май 1995)
-семинаре профессора А.В. Рухадзе (ИОФРАН, 1990);
-семинаре академика B.C. Владимирова (МИРАН, 1990);
-семинаре профессора СИ. Кружкова (МГУ, 1991);
-семинарах чл.-корр. РАН А.Г. Куликовского и профессора А.А. Бармина (НИИ-Мех МГУ, 1993-1995);
-семинарах кафедры гидромеханики МГУ (1993-1995);
-семинаре академика СМ. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИРАН, 1995):
-семинаре чл.-корр. РАН В.Ф. Журавлева и профессора СВ. Нестерова (ИПМех, 1995);
-семинаре профессора В.Н. Николаевского (ИФЗ, 1995)