Введение к работе
Актуальность тематики. Многие раэяовид -гости нестационарных процессов переноса; теплопроводности в твердої теле, диффузии и упругого реяима фильтрации (пиезопроводности) і пористой среде, некоторые электромагнитные процессы и ряд лру-'их описывается однотипными уравнениями в частных производных, менуемыми либо уравнением теплопроводности безотносительно к фи-яческой природе рассматриваемого явления, либо с указанием физи-;и процесса - уравнениями диффузии, пьезопроводностп и т.п.
Уравнения данного типа выводятся в предположении гемогеннос-и среды протекания, процесса. В то же время многие природные и ехиодогические среды является гетерогенными, представлявшими со->ой различного рода смеси и композиции двух или нескольких гомо -енных составлявши с различными физическими свойствами, использование для подобных сред уравнения теплопроводности с "осреднен-ыми" коэффициентами в общем случае не мовет быть сколь-либо трого обосновано, а при резко отличающихся по физическим пара -іетрак составляющих чревато, как показало сопоставление опытных :а:шых с расчетными, ошибками качественного характера. -Возникла еобходимость в специальных исследованиях процессов нестационар ого переноса в гетерогенных средах.
Наиболее естественным началом таких исследований могли бы ітать репения задач переноса в составных средах в классической [остановке, когда искомая функция отвечает уравнениям теплопро » юдноста на участках гомогенности и условиям согласования ( чет <-ієртого рода «» по функции и потоку) на поверхностях контакта со -ітавляющих. Однако решение подобных задач даке для сред с прос » 'ейией периодической структурой сопряжено с большими трудностями. С тому же строение реальных гетерогенных сред нерегулярно и, как іравилс, не моїет быть детально определено. В этих условиях клас-іический подход к проблеме казался неперспективным н разработка :еории нестационарных процессов переноса в гетерогенных средах юила по пути их зоделирования с использованием дополнительных чшотез фенокенологического характера или, как сейчас принято го-зорит"ь, на физическом уровне строгости.
Были предложены две модели. Одна из них, первоначально ис юльзованная Л.И.Рубинштейном применительно к процессам тепло -іроводности в конгломератах, получила дальнейшее развитие в ра»
ботах Г.И.Баренблатта, Ю.П.Іелтова, И.Н.Кочиной в актуальном дл нефтяной промышленности приложении к теории упругого реки-ма фильтрации в трещиновато-пористых средах. Вторая феномен о -логическая модель в том же приложение была предложена автором и защищена им в кандидатской диссертации.
Данные модели, являясь до последнего времени единственным и общепринятым средством изучения рассматриваемых процессов, позволили установить многие их свойства. Вместе с тем, со врем нем выявился и ряд негативных сторон моделей * ограниченность -их применимости при неопределенности способов обобщения, спе » цкфике некоторых свойств, не согласующаяся с физикой процессов рассматриваемого типа и т.п. Более того, апробация моделей на контрольных примерах в классической постановке приводит к про тиворечиям, не устранимым в рамках феноменологических п ос трое ний.
Целью диссертационной работы является создание внут ренне непротиворечивой модели нестационарных процессов перенос в бинарной среде на базе точных ревений задач в классической постановке для структурной модели среды. Иными словами, пред принимается попытка моделирования процесса исключительно за счет моделирования структуры среды без каких-либо дополаитель ны* гипотез относительно свойств самого процесса.
Предстояло выбрать модель среды, способную отразить осноі нус специфику процесса, разработать методы ревения задач тепле проводи ос ти для бинарных сред, получить ревения и на их основе попытаться установить континуальные уравнения переноса. При этом задача осложнялась требованием, чтобы искомые уравнения имели достаточно простой вид, без чего намеченная программа ві многом теряла бы свои ценность. В эти? условиях надеяться на успех можно было только при удачном выборе модели и математичі ких средств исследования. Интуитивно было очевидным и обратної простота модели в сочетании с удачно выбранными методами дол» были привести и к простым итоговым уравнениям переноса.
Научная новизна работы:. Отсутствие в лите ратуре каких-либо точных решений задач теплопроводности для, г терогенных ере*, подсказывало, что математические методы доли носить нестандартный характер. При ретроспективном взгляде ст новится очевидной оптимальность найденного подхода х решению поставленной задачи в целом через установленные автором свя
іежду процессами теплопроводности, случайного блуадания и ко » іебания для сред и систем с подобной структурой. Эти зависи » (ости позволили упростить решение многих задач, дать ряд фи » шчески ясных интерпретация, полезных для контроля и осмысли » >ания формально полученных результатов, а главное «определять іа отдельных этапах исследования направления поиска, не оче -(ндные под иным углом зрения.
другим узловым этапом в выполнении намеченной программы шилось построение решений задач волнового типа в непрерывных г дискретных переменных, а вместе с тем (в силу отмеченных ра-іее связей) и первых точных решений задач переноса в бинарных ;редах. Установленные автором новые рекуррентные соотношения іля классических ортогональных многочленов Кравчука, Чебышева» >рмита и некоторых других специальных функций позволили полу» іить решения в простои аналитическом виде, установить их предельные представления, соответствующие последним уравнения и ітруктуру среды » континуальные аналоги исходных. Примечатель-[0, что полученные уравнения нестационарного переноса в пре » іельннх случаях согласуются с соответствующий феноменологи -іескими уравнениями, выгодно отличаясь от них сочетанием общ — гости, непротиворечивости и простоты, стандартность!) (для про» іессов рассматриваемого типа) постановок задач и свойств их ре-вений, а также "физической замкнутостью" » определенностью вы-)ажения коэффициентов уравнения через значения физических па» іаметров составляющих сред.
На базе доказанных зависимостей между решениями задач ко» іебаний и нестационарного переноса установлены специфические гвойства последних, в том числе получены автомодельные решения : нестандартной комбинацией независимых переменных. Впервые доведенное исследование одного процесса в многосторонней ор » панической связи с другим, отличным от исходного не только физической природой, но и математическим типом соответствующих сравнений, позволяет сформулировать развиваемое новое научное іаправление в совпадающем с названием работы виде.
Уместно отметить, что значение многих результатов работы выходит за рамки вспомогательных средств при исследовании процессов тепло» и массопереиоса и может рассматриваться автономно в теории колебаний и некоторых иных приложениях. Так, впер» вые., несмотря на классический характер вопроса, получены урав» аения распространения возмущений (прогибов и количеств движе »
ния) для струнных сеток. Найдены их решения, имеющие удобный для анализа вид и как функции Грина обладающие определенной фундаментальностью - на их основе могут быть построены решения других краевых задач. В качестве примера назовем изяшув функцию влияния сосредоточенного импульса для сетки с ромбическими ячейками, выражающуюся просто квадратом нормированных много -членов Кравчука.
На основе предельных представлений точных решений для сет> ки, образованной двумя системами струн, установлена структура ее континуального аналога. Проведено сопоставление с результа тами континуализации, осуществляемой на физическом уровне стро> гости. Показано, что распространенный прием "размазывания"» подмены дискретно распределенной величины непрерывной - в итог приводит к усложнению уравнений в сравнении с тестовыми.
Два результата работы представляются небезинтересными с точки зрения теоретической физики. Во-первых, определена струк тура волновых систем, колебания которых отвечают уравнениям теплопроводности, случайного блувдания и сопряженным уравнения (с обращенным временем). Во-вторых, подучено решение одной из волновых задач, выражаемое через квадраты функций Чебышева- Эр мита, что согласуется с решением уравнения Шредингера для кван тового осциллятора в физически интерпретируемом виде. На той ж основе построена функция, с точностью до обозначений совпадаю вал с распределением вероятностей для квантовостатистического осциллятора,
В теории классических ортогональных многочленов и прилояе ниях должен представить интерес новый тип рекуррентных соотно пений для квадратов функций Чебыпева» Ярмита к квадратов норми рованных многочленов дискретной переменной Кравчука. Убеаден ность в этом обусловлена простотой и высокой степенью симметри зтех соотношений относительно аргументов.
Разноплановость результатов, полученных на одной и той і бинарной модели, свидетельствуют о ее физичности - удачно отра женной специфике, единой для целого ряда явлений. При этой ра бота, затрагивающая вопросы тепло» и массопереноса, случайного блувдания и колебаний, квантовой механики и математики, може рассматриваться как междисциплинарное исследование, перспектиі ность которых в настоянеє время обеепризнана, что и зафиксиро вано в новой редакции Программы КПСС.
Основные защищаемые положения:
-
Новая модель нестационарных процессов тепло- и массе— переноса в бинарной среде, базирущаяся исключительно на моделировании структуры среда.
-
Точные аналитические решения задач переноса для модели бинарной среды в классической постановке.
-
Двучленные континуальные уравнения переноса в бинарной среде.
-
Точные аналитические решения краевых задач для конти -нуальных уравнений переноса. Решение обратной задачи теории пьезопроводности.
-
Зависимость между решениями задач теплопроводности и колебаний для сред и систем с подобной структурой.
-
Парные зависимости между решениями задач теплопроводности, случайного блуждания и колебаний для областей сеточного типа.
-
Вторая форма связи между процессами волнового и диффузионного типов: колебания механических систем, отвечающие ура -внениям теплопроводности, случайного блуждания и сопряженным уравнениям ( с обращенным временем).
-
Уравнения распространения возмущений (прогибов и количеств движения) для струнных систем, их частные разновидности и континуальные аналоги.
-
Точные аналитические решения волновых задач для струнных систем и их континуализация на базе предельных представле -ний.
-
Математический формализм, приводящий к дискретному и непрерывному аналогам квантового гармонического осциллятора.
-
Новые рекуррентные соотношения для классических ортогональных многочленов Кравчука и Чебышева-Эрмита.
Практическая ценность работы, носящей в основном теоретический характер, состоит в ее прикладной направлен -ности - создании единой, непротиворечивой и к тому же наиболее простои из существующих основы для расчетов нестационарных процессов тепло» и массопереноса в бинарных гетерогенных средах. Получены решения конкретных задач, иллюстрирующих специфику явления, установлены ранее не известные особенности исследуемых процессов. При решении т.н. обратной задачи теории упругого режима фильтрации » определении фильтрационных параметров трещи-
новато-п op истых пластов по данным о неустановившемся притоке жидкости к скважине доказана возможность увеличения информативности гидродинамических испытаний скважин за счет наиболее характерных для гетерогенных сред начальных участков кривых вое» становления давления. Как известно, до недавнего времени ис -пользовалась только их асимптотическая ветвь. Разработанный на этой основе метод, определения фильтрационных характеристик применяется на практике, что подтверждено актом внедрения.
Апробация работы. По теме диссертации автором опубликовано 18 работ, из них 2 монографии (в соавторстве), а ее основные положения проходили апробацию на научном семинаре в МГУ под рук, Г.И.Баренблатта (г.Москва, 1969), на научном семинаре под рук. А.И.Лурье (г.Ленинград, 1974), на 'И Международном симпозиуме по фильтрации воды в пористых средах (г.Киев, 1976), на научном семинаре в ИПМ АН СССР под рук. С.А.Христиа-новича (г.Москва, 1977), на научном семинаре в.КГУ под рук.Ю.М. Молоковича (г.Казань, 1977), на У Всесоюзном съезде по теоре -тической и прикладной механике (г.Алма-Ата, 1981), на научном семинаре в МІГ под рук.Р.И.Нигматуллина (г.Москва, 1983), на научном семинаре в ЛІШ под рук. К.М.Арефьева (г,Ленинград,19ВЗ'> на Всесопзном семинаре "Современные проблемы,и математические методы теории фильтрации" (г.Москва, 1984).
Структура работы Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, обзора результатов и выводов, списка литература, содержит 125 страниц машинописного текста, 15 ри -сунков; в списке литературы 54 наименования.
Изложение построено таким образом, что содержание каждого из разделов определяется задачами предыдущего и служит обоснованием для последуеших. Принцип разбиения работы на главы обусловлен ранее отмеченным автономным значением отдельных частей исследования. В то же время в целях сохранения целостности из » ложения в текст были включены только наиболее интересные побочные результаты.
"ля определенности терминологии и в соответствии с профилем института, в котором выполнялась работа, исследование не -стационарного массо- и теплопереноса проводится преимукествен-но в фильтрационном приложении. Однако отдельные части работы, включая главу П, написаны с параллельным использованием естественных для них- терминов теории теплопроводности.