Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Вывод уравнений длинноволнового приближения 35
1.1. Вывод уравнений 35
1.2. Сводка результатов главы 1 40
ГЛАВА 2. Движение жидкости в ядрах верти кальных торнадоподобных вихрей 41
2.1. Постановка задачи. Вывод основных уравнений 41
2.2. Движение жидкости в ядре без закрутки (в вертикальной струе) 43
2.2.1. Структура решений 43
2.2.2. Модель распада вертикальной струи 46
2.3. Движение вращающейся жидкости в ядре верти кального вихря 49
2.3.1. Доказательство локальной разрешимости уравнений 49
2.3.2. Структура решений 53
2.4. Обсуждение результатов. Сравнение с данными лабораторных экспериментов и наблюдений в природе 57
2.5. Сводка результатов главы 2 60
ГЛАВА 3. Полые вихри и осевые струи вовращающейся жидкости 64
3.1. Полый вихрь с осевой скоростью в трубе переменного радиуса 64
3.1.1. Постановка задачи. Исследование решений 64
3.1.2. Обсуждение результатов. Аналогия с течениями идеального газа 69
3.2. Осевая струя в потенциально вращающемся потоке в трубе переменного радиуса 72
3.2.1. Постановка задачи 73
3.2.2. Исследование структуры решений 75
3.2.3. Сравнение теории с экспериментами по торнадоподобным вихрям в трубах 81
3.3. Сводка результатов главы 3 86
ГЛАВА 4. Гидравлические прыжки на полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках 89
4.1. Гидравлический прыжок на полом вихре 89
4.1.1. Постановка задачи. Формулировка условий на разрыве 89
4.1.2. Разрешимость условий на разрыве 95
4.1.3. Сравнение с экспериментами 100
4.2. Гидравлический прыжок на осевой струе во вращающемся потоке 102
4.2.1. Постановка задачи. Формулировка условий на разрыве 103
4.2.2. Разрешимость условий на разрыве 107
4.2.3. Обсуждение результатов
4.3. Сводка результатов главы 4 114
4.4. Заключительные замечания к главам 1-4 115
ГЛАВА 5. Стационарное течение плазмы в магнитном поле с вакуумным зазором у стенок 118
5.1. Постановка задачи 119
5.2. Случай, когда не равно нулю только продольное поле снаружи струи 123
5.3. Учет азимутальной компоненты магнитного поля в зазоре и поля внутри плазмы 126
5.4. Обсуждение результатов 128
5.5. Сводка результатов главы 5 131
ГЛАВА 6. Экспериментальные исследования торнадоподобных вихрей и осевых струй в закрученных потоках 132
6.1. Экспериментальные исследования торнадоподобных вихрей 132
6.1.1. Экспериментальная установка и методика измерения поля скорости 136
6.1.2. Методика, измерения температуры 142
6.1.3. Результаты экспериментов 146
6.1.4. Анализ экспериментальных данных 150
6.1.5. Сравнение экспериментов с интенсивными атмосферными вихрями и теоретической моделью 153
6.2. Взаимодействие незакрученной осевой струи с потоком в вихревой камере 157
6.3. Сводка результатов главы 6 161
ГЛАВА 7. Конические автомодельные решения уравнений навье-стокса со свободной границей 165
7.1. Взаимодействие линейного вихря со свободной поверхностью 166
7.1.1. Постановка задачи 167
7.1.2. Структура решений 171
7.1.3. Существование решений 177
7.2. Коническое вихревое течение, индуцируемое тангенциальными напряжениями на плоской свободной поверхности 180
7.2.1. Постановка задачи 180
7.2.2. Структура решений 184
7.2.3. Существование решений 189
7.2.4. Сравнение с натурными наблюдениями 190
7.3. Сводка результатов главы 7 193
Заключение 196
Литература
- Движение жидкости в ядре без закрутки (в вертикальной струе)
- Обсуждение результатов. Аналогия с течениями идеального газа
- Гидравлический прыжок на осевой струе во вращающемся потоке
- Учет азимутальной компоненты магнитного поля в зазоре и поля внутри плазмы
Введение к работе
Актуальность темы. Предметом исследования в настоящей диссертации являются течения во вращающейся жидкости некоторого специального вида: торнадонодобные, полые вихри и осевые струи. Их отличительным признаком является наличие внутри жидкости двух характерных областей: первой — вблизи оси вращения, по форме близкой к цилиндрической, и окружающей ее второй областью, вращение в которой происходит по закону, близкому к закону вращения в потенциальном вихре. Далее последнюю будем называть внешним течением или потоком. В случае торнадоподоб-ных вихрей приосевая область называется ядром, и жидкость в ней движется как вдоль оси, так и вращается вокруг нее. При этом движение вдоль оси сдвиговое, а закон вращения близок к твердотельному, В полых вихрях приосевая область представляет собой пространство с постоянным давлением, не заполненное жидкостью. Внутри осевой струи вращение, в основном, сосредоточено вблизи границы с внешним потоком.
Научный интерес к изучению рассматриваемых течений обусловлен важностью понимания динамики завихренности, являющейся актуальной проблемой гидродинамики, а также большим разнообразием возникающих в них явлений, полного понимания которых нет до настоящего времени. Наряду с общенаучным, данные исследования представляют и прикладной интерес ввиду широкого распространения подобных течений в природе и технике. Их примерами в природе являются интенсивные атмосферные вихри — ураганы, смерчи или торнадо, пыльные вихри, в технике — течения в вихревых камерах и трубах, циклонах и других вихревых устройствах. Новые знания об особенностях течений рассматриваемого вида как продвигают понимание динамики завихренности, так и могут служить основой для получения аналитических оценок, необходимых в практических приложениях.
Целью работы является исследование торнадоподобных, полых вихрей и осевых струй во вращающихся потоках путем построения теоретических (аналитических) и экспериментальных моделей, отражающих различные существенные особенности изучаемых объектов, необходимые для понимания происходящих в них явлений.
Научная новизна работы состоит в:
формулировке модели движения жидкости в ядрах торнадоподобных вихрей, полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках, выводе уравнений, описывающих эти движения, в приближениях идеальной жидкости и длинных волн;
аналитическом решении задач о стационарном вращательно - симметричном движении стратифицированной жидкости в ядрах вертикальных тор-
надоподобных вихрей в поле тяжести, однородной жидкости в полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках в трубах переменного радиуса;
построении модели распада вертикальной струи в поле тяжести;
построении моделей гидравлических прыжков на сдвиговом течении в полом вихре и осевой струе во вращающемся потоке;
аналитическом решении задачи в длинноволновом приближении о стационарном осесимметричном течении идеальной несжимаемой МГД плазмы в магнитном поле в идеально проводящем сопле с вакуумным зазором у стенок;
экспериментальном определении структуры течения в вертикальных тор-надоподобных вихрях, получаемых при взаимодействии ограниченного объема почти твердотельно вращающейся жидкости с нагретой нижней поверхностью, установлении зависимостей между их характерными параметрами, обнаружении новых качественных эффектов, присущих данным вихрям;
экспериментальном установлении некоторых особенностей истечения не-.закрученной струи вдоль оси во вращающийся поток вихревой камеры;
- решении в точной автомодельной постановке на основе стационарных
уравнений Навье - Стокса двух задач: о взаимодействии полубесконечной
прямой вихревой нити со свободной поверхностью и о воздействии вра
щательных тангенциальных напряжений определенного вида на плоскую
свободную поверхность.
Достоверность результатов обеспечивается;
В теории — использованием общепринятых гидродинамических моделей либо таких, как идеальная жидкость и длинноволновое приближение, либо системы Навье - Стокса; математической строгостью исследования полученных уравнений; согласием некоторых теоретических и экспериментальных результатов.
В эксперименте — наглядностью результатов, представленных на фотографиях; применением известных методик; оценкой погрешностей.
Практическая значимость работы. Проведенные аналитические і: экспериментальные исследования могут использоваться при проектировании новых вихревых аппаратов и технологий, при изучении интенсивны* атмосферных вихрей, разработке методов прогноза эволюции и воздействіп на данные атмосферные вихри.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на IV X, XIII школах - семинарах по нелинейным задачам теории гидродина мической устойчивости (Колюбакино, 1982, Зеленоград, 1993, Зеленоград 1998), VII Всесоюзной школе по нелинейным волнам (Горький, 1985), Все союзной конференции "Современные вопросы информатики, вычислитель
ной техники и автоматизации" (Москва, 1985), школе - семинаре по тропическим циклонам и вихревым движениям в атмосфере (Обнинск, 1987), международной конференции " Задачи со свободными границами в механике сплошной среды" (Новосибирск, 1991), симпозиуме "Актуальные проблемы астрофизической и геофизической гидродинамики" (Светлогорск, 1994), II Сибирском семинаре по устойчивости гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 1995), II и III Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998), V международном семинаре "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 1998), международном симпозиуме "Актуальные проблемы физической гидродинамики" (Новосибирск, 1999), на научных семинарах Института механики МГУ (рук. чл.-корр. РАН А.Г. Куликовский, проф. А.А. Бармин), кафедры физики моря МГУ, Института проблем механики РАН (рук. проф. ЮЛ. Чашечкин), Института теплофизики СО РАН (рук, чл.- корр. РАН 3-ІХ. Волчков), Института гидродинамики СО РАН (рук. акад. Л.В. Овсянников, рук. чл,- корр. РАН В.В. Пухначев).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. В конце глав помещены сводки, представленных в них результатов. Общая сводка результатов приведена в заключении. Работа изложена на 200 страницах машинописного текста, содержит 22 рисунка и фотографии, 3 таблицы, список литературы из 220 наименований. Общий объем диссертации 249 страниц.
Движение жидкости в ядре без закрутки (в вертикальной струе)
Во введении формулируется предмет исследования, его цели и задачи, обосновывается актуальность работы, показывается ее научное и прикладное значение. Также содержится обзор литературы, имеющей отношение к теме диссертации. Отмечаются вопросы, которые еще недостаточно прояснены и по которым имеется недостаток материалов. В связи с этим формулируются задачи, на решение которых направлена настоящая работа. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней в рамках идеальной жидкости в длинноволновом приближении выведены основные уравнения, используемые далее в главах 2-4. В главе 2 аналитически исследовано стационарное вращательно -симметричное движение стратифицированной жидкости в ядрах вертикальных торнадоподобных вихрей и в вертикальных осевых струях во вращающейся однородной жидкости в поле тяжести. Выявлено качественное поведение течений, доказано существование решений. Проведено сопоставление оценок для высоты вихря с данными экспериментов и наблюдений за атмосферными вихрями. В главе 3 аналитически исследовано стационарное вращательно -симметричное течение однородной жидкости в полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках в трубах переменного радиуса. Установлено качественное поведение течений, доказано существование решений. В главе 4 построены модели вращательно симметричных гидравли ческих прыжков на сдвиговом течении в полом вихре и осевой струе во вращающемся потоке. Прыжок моделируется разрывным решением уравнений длинноволнового приближения. Сформулированы условия на разрыве, доказана их разрешимость (во втором случае - если струя достаточно тонкая).
Пятая глава примыкает к первым четырем. В ней развитый метод применен к описанию движения стационарной осесимметричнои струи несжимаемой МГД плазмы в сопле с вакуумным зазором у стенок, заполненным магнитным полем. Плазма и стенки идеально проводящие. Доказано существование качественно различных режимов течения в зависимости от условий на входе.
В большей ее части представлены материалы, полученные при исследовании конвективных торнадоподобных вихрей. Вихри образуются при взаимодействии ограниченного объема жидкости, вращающейся почти как твердое тело, с нагретой нижней поверхностью. Установлены экспериментальные зависимости, связывающие их характерные параметры. Целью экспериментов является получение информации о структуре течения в конвективных вихрях, ограниченных по высоте твердыми границами, и сопоставление экспериментальных данных с предсказаниями модели из главы 2. В конце шестой главы сообщаются результаты наблюдений за истечением незакрученной струи вдоль оси во вращающийся поток вихревой камеры. Они носят, в основном, иллюстративный характер. Их цель выяснить: возможно ли скачкообразное изменение диаметра струи при ее взаимодействии с потоком в камере. Предположение о существовании скачка использовано в модели гидравлического прыжка на осевой струе. В итоге, помимо установления такой возможности, получены некоторые новые качественные результаты.
Глава 7 имеет самостоятельное значение. С предыдущим материалом ее объединяет общий объект исследований. В отличии от глав 1-4, здесь используется другой теоретический подход. В точной автомодельной постановке на основе стационарных вращательно симметричных уравнений Навье - Стокса выполнены строгие исследования двух задач: о взаимодействии полубесконечной линейной вихревой нити со свободной поверхностью и о воздействии вращательных тангенциальных напряжений определенного вида на плоскую свободную поверхность, ограничивающую полупространство, заполненное вязкой жидкостью. Установлены качественные структуры течений. Доказаны теоремы существования. Таким образом, в отличии от глав 1 -4, исследуются вязкие эффекты, возникающие при взаимодействии вихрей со свободной поверхностью. Достоинством материала является то, что математически строго анализируются решения системы Навье - Стокса.
В заключении сформулированы основные результаты диссертации. Более подробные сводки результатов приведены в конце каждой главы. Материалы диссертации докладывались на IV, X, XIII школах - семинарах по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчи зз вости (Колюбакино, 1982, Зеленоград, 1993, Зеленоград, 1998), VII Всесоюзной школе по нелинейным волнам (Горький, 1985), Всесоюзной конференции "Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва, 1985), школе - семинаре по тропическим циклонам и вихревым движениям в атмосфере (Обнинск, 1987), международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды" (Новосибирск, 1991), симпозиуме "Актуальные проблемы астрофизической и геофизической гидродинамики" (Светлогорск, 1994), II Сибирском семинаре по устойчивости гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 1995), II и III Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998), V международном семинаре "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 1998), международном симпозиуме "Актуальные проблемы физической гидродинамики" (Новосибирск, 1999), на научных семинарах Института механики МГУ (рук. чл.-корр. РАН А.Г. Куликовский, проф. А.А. Бармин), кафедры физики моря МГУ, Института проблем механики РАН (рук. проф. Ю.Д. Чашечкин), Института теплофизики СО РАН (рук. чл.- корр. РАН Э.П. Волчков), Института гидродинамики СО РАН (рук. акад. Л.В. Овсянников, рук. чл.- корр. РАН В.В. Пухна-чев), а также изложены в работах [9, 76 - 92, 126, 167, 193, 194].
Обсуждение результатов. Аналогия с течениями идеального газа
Таким образом, результаты теории качественно подтверждаются данными наблюдений. Количественный расчет высоты вихря по формулам модели по порядку величины согласуется с результатами лабораторных измерений и наблюдений в природе за пыльными вихрями. Оценки, полученные для вертикальной струи с вращением и без него, близки по порядку величины. Можно предположить, что модель распада вихря качественно описывает начальную стадию реального распада, поскольку при растекании жидкости в области III (рис. 1) ее толщина быстро убывает, течение становится неустойчивым, и поэтому быстро перемешивается с окружающей средой; струя становится невидимой, что наблюдается в реальности.
В главе 2 в длинноволновом приближении исследовано стационарное вращательно - симметричное движение стратифицированной жидкости в ядрах торнадоподобных вихрей и в вертикальных струях во вращающейся жидкости в поле тяжести.
В разделе 2.2 рассмотрено движение жидкости в вертикальной струе. При этом задаются условия на некотором начальном уровне, исследуется эволюция течения в зависимости от вертикальной координаты. Считается, что внутри струи жидкость не вращается, ее плотность отличается от плотности окружающей, а течение вдоль оси сдвиговое. Вне струи вращение происходит по закону потенциального вихря, вертикальные движения отсутствуют. В пункте 2.2.1 исследована структура решений. Доказано, что, в зависимости от условий на начальном уровне, решение может быть продолжаемо на конечный или бесконечный интервал, качественное поведение решений различным. В частности, радиус струи может как возрастать с высотой, так и убывать. Получены строгие критерии, выражающие условия продолжаемости или непродолжаемости решения и разделяющие случаи их качественно разного поведения. Получены аналитические оценки высоты, до которой продолжаемо решение. В пункте 2.2.2 для определенного случая непродолжаемого решения, последнее аналитически продолжено таким образом, что полученное течение можно трактовать как распад струи. Даны строгие неравенства, ограничивающие сверху и снизу высоту подъема струи.
В разделе 2.3 рассмотрен более общий случай, когда жидкость в струе пространственно неоднородна и может вращаться вокруг оси. В пункте 2.3.1 доказывается локальная разрешимость уравнений вблизи начального уровня. В 2.3.2 исследуется структура решений. Показано, что в отличие от предыдущего случая профиль осевой скорости может деформироваться по мере движения вдоль оси. Установлено, что поведение течения в зависимости от начальных качественно различно, может быть продолжаемо или непродолжаемо на бесконечный интервал. Получены строгие критерии, выражающие условия качественно различного поведения решений. Дана оценка сверху на высоту, до которой продолжаемо решение.
В разделе 2.4 теоретические результаты обсуждаются, сравниваются с лабораторными экспериментами других авторов и наблюдениями за пыльными вихрями. Отмечается, что оценки высоты вертикальной струи и высоты, до которой продолжаемо решение при течении в ядре вихря, по порядку величины совпадают. Эти оценки сравниваются с данными экспериментов и наблюдений. Получено удовлетворительное согласие.
Отметим, каково на наш взгляд значение материалов главы с точки зрения исследования вертикальных торнадоподобных вихрей. В модели выделено три фактора: осевое движение в ядре вихря или струе, действие подъемной силы и вращение. Показано, что наличие только этих трех факторов дает многообразие возможных движений, что говорит о сложности всей прблемы в целом. Сравнение с экспериментами показывает, что в некоторых случаях с помощью только их учета возможно описание наблюдаемых эффектов, что говорит о существенном их влиянии на течение. В чем проявляется такое влияние, исследовано в данной главе. Кроме того, полученные аналитические оценки могут быть полезными для приложений.
Гидравлический прыжок на осевой струе во вращающемся потоке
В предыдущей главе рассматривалось движение жидкости в ядрах вертикальных торнадоподобных вихрей, где динамика течения была обусловлена действием силы тяжести. В данном случае динамика определяется взаимодействием потока в осевой струе с окружающим вращающимся потоком. В результате получается большее разнообразие возможных движений, чем в вертикальных вихрях.
В настоящем разделе рассматривается невращающаяся осевая струя в потенциально вращающемся потоке окружающей жидкости. Однако предполагается, что движение жидкости в струе может качественно отражать некоторые важные закономерности осевого движения жидкости в ядре торнадоподобного вихря, хотя жидкость в ядре вихря вращается по закону, близкому к твердотельному. Это связано с тем, что течение в трубе вне ядра вихря близко к потенциально вращательному, а внутри ядра носит струйный характер [99, 147, 175]. В то же время в рамках рассматриваемой задачи учитываются два фактора: вращение внешнего потока и его взаимодействие с течением в струе. Оба эти фактора могут оказывать существенное влияние на движение жидкости в ядре торнадоподобного вихря. Тогда можно ожидать, что теоретические результаты для струи, по крайней мере качественно, будут соответствовать экспериментальным данным, полученным для торнадоподобных вихрей в трубах переменного радиуса. Такое сравнение проводится в конце раздела. В результате оценивается влияние рассматриваемого механизма на течение в ядре вихря.
Рассматривается идеальная однородная жидкость. Течение считается стационарным и вращательно - симметричным. Сила тяжести отсутствует. Жидкость занимает область z О, г VQ(Z), где TQ(Z) - радиус трубы, заданная функция z. В качестве характерной скорости берется вращательная компонента скорости на границе трубы на входе, характерной плотности - плотность жидкости, характерного радиального масштаба - радиус трубы на входе. Область, занимаемая течением, разбивается на две: область I (г r\(z)) и область II (r\(z) г ro(z)). Область I - струя, II - внешнее течение. На границе г\ может наблюдаться разрыв касательной к ней компоненты скорости. Параметры течения при z = 0 считаются известными. Исследуется его эволюция в зависимости от координаты z. Таким образом, должна решаться система (1.10) с д = 0, р = 1, которая в этом случае принимает вид:
Здесь Ai, pi, R\ - значения соответствующих величин при v = 1 (на границе между областями I и II). Отметим, что уравнения будут иметь одинаковый вид (3.7) в областях I и II. Разными могут быть значения Аь поскольку при переходе через границу допускается скачок касательной к ней компоненты скорости. Значения р\ и R\ в областях I и II одинаковы в силу непрерывности давления и определения R. Первоначально строим решение некоторого специального вида в области II: w = w2(z), A = l, R=(l-v)r}0(z) + i n1(z). (3.8) Заметим, что решения (3.8) хорошо аппроксимируют реальные течения вне ядра вихря [175]. Подставляя (3.8) в (3.7), найдем p\z: -2plz = (і/туї) + («4(1 - 7]W)2/{m - m)2)z. Здесь u 2o = 2(0), 7710 = 771 (0), щ(0) — 1. Полученное значение ріг подставляется в систему (3.7) для области I. Окончательно для области I получим уравнения {w2 + (А2 - 1)/т7і - «4(1 - vw)2/(m - т)2 - \] R-\A\dv}z = о, {wRv)z - 0, (3.9) где А\ - значение А при v — 1 в области I (в общем случае оно не равно 1); величина R\ заменена на 771. Таким образом, исследование течения в струе свелось к изучению поведения решений системы (3.9). Уравнения (3.9) решаются с начальными данными при z = 0. Чтобы понять основные закономерности поведения струи, первоначально ограничимся случаем Av — 0. Легко видеть, что из условия Av — 0 следует А — 0, т.е. в этом случае жидкость в струе не вращается и не имеет компоненты завихренности вдоль оси.
Положим А = 0 (тогда также А\ =0). Проинтегрируем (3.9) от 0 до z. Далее первое уравнение решается относительно щ. Из второго интегрированием по v с учетом того, что 7/1 = R(z, 1), выражается щ. В результате получаем f(if ) = w2Q{l - Що)(ю20 + ф- 1/771 + 1Л?юГ1/2 + г/ь (3.10) Ш = JQ wo(v)mo(wo + Ф) 1/2(ІІУ. Здесь введены следующие обозначения: ф = w2 - w2, WQ - значение w при z = 0. Таким образом, задача свелась к исследованию зависимости ф(щ), которая неявным образом выражается уравнениями (3.10).
Первоначально исследуем зависимость ф (а следовательно, w и т/і) от т/о при малых изменениях т/о в окрестности т/о = 1 (т/о = 1 при 2 = 0); ф{\) = 0 согласно определению ф. В окрестности нуля поведение /(ф) определяется значением первой производной в нуле. Тогда ф (т/о - 1)/ А при ф 1, где л = Ло) = lz (±/ _ і) _/ 1 . v у 2w0 VT/IO O 2wg У л) 2wg Отсюда следует, что в зависимости от знака Л поведение ф при изменении т/о качественно различно. Например, при Л 0 с ростом т/о (т.е. радиуса сопла) ф, w возрастают, а щ убывает; при Л 0 ф, w убывают, а щ возрастает.
Учет азимутальной компоненты магнитного поля в зазоре и поля внутри плазмы
Установка для получения и исследования торнадоподобных вихрей представляет собой цилиндрический стакан из термостойкого стекла, рис. 6-1. Высота стакана 130 л-ш, диаметр - 100 мм. Сосуд устанавливается вертикально в поле тяжести, наполняется водой и подогревается снизу. Нагревательный элемент 2 представляет собой закрытую электрическую спираль, на которую подается заданное напряжение. Жидкость приводится в движение вращающимся прозрачным диском 3, установленным со стороны верхней открытой части сосуда, соосно с ним. Диаметр диска 90 мм.
Течение, получающееся в эксперименте, близко к вращательно -симметричному. Для удобства изложения введем цилиндрическую систему координат (г, (р, z), г — радиус, ср — азимутальный угол. Ось z совпадает с осью симметрии течения. Через (и, v, w) обозначаются компоненты скорости, соответствующие координатам (г, (р, z). Скорости течения измеряются методом водородных пузырьков [205]. Используются медные проволочки диаметром 50 мкм. (Введение краски показало, что проволочки достаточно тонкие, так что не искажают линий тока и не влияют на структуру течения). Проволочки натягиваются внутри жидкости, как показано на рис. 6: 4 — горизонтально по диаметру сосуда на различных высотах, 5 — вертикально, на разных расстояниях от центра сосуда. Вертикальная проволочка сверху крепится к стальной проволоке 6, снизу к капроновой нити 7.
На проволочки подается отрицательное напряжение. В качестве положительного электрода используется полоса латунной фольги, шириной 10 мм, толщиной 0,1 мм. Фольга наклеена вертикально на боковую поверхность сосуда по всей его высоте, симметрично относительно концов горизонтальной проволочки. Измерения проводятся в дистиллированной воде с примесью NCI2SO4 для создания проводимости. (Концентрация — 10 г соли на 1 л воды). При подаче напряжения возникает электролиз. Последний приводит к образованию мелких пузырьков водорода на проволочках. Образующиеся пузырьки срываются течением и двигаются вместе с жидкостью. При этом по линии пузырьков можно определять профиль скорости в нужном сечении. Напряжение в экспериментах подается импульсно (100 вольт, 1 -5 мс). Величина напряжения и длительность подбираются так, чтобы пузырьки были достаточно большими и свободно отрывались течением, но достаточно маленькими, чтобы скорость их всплывания была малой [205].
Измерения в неподвижной воде показывают, что скорость всплывания пузырьков не превышает 2 мм/с. Последняя мала по сравнению с характерными скоростями в вихре. Во всех случаях при измерениях профилей скорости линия пузырьков снимается на фотопленку с некоторым временем задержки г после подачи импульса напряжения. Величина т меняется от ПО мс до 530 же.
В экспериментах определяется качественный вид функций v(r), w(r) при фиксированных z и v(z) при фиксированных г, количественные значения максимумов азимутальной и вертикальной компонент скорости, радиус ядра. Для нахождения v(r) и w(r) производятся съемки линии пузырьков, порождаемых горизонтальной проволочкой 4, рис. 6. В первом случае пузырьки фотографируются сверху, под углом 10 к оси z, во втором — сбоку, по нормали к проволочке. Профиль v(z) определяется путем съемки пузырьков от вертикальной проволочки. Последняя отстояла от центра сосуда на расстояниях 20 и 30 мм. При этом линия пузырьков фотографируется сбоку вдоль радиуса, проходящего через проволочку. Съемки v(r) производятся при различных значениях частоты вращения диска / и глубины воды в сосуде /. Характерная величина / - 1 об/с, / принимает четыре значения — 2; 5; 8,5 и 12 см. Съемки w(r), v(z) осуществляются для / = 0,8 об/с, I = 12 см. В этом случае профили v(r) и w(r) снимаются для трех различных высот над дном сосуда — 1, 3 и 9 см. При I = 8,5 еж, / = 0,9 об/с v(r) определяется на двух высотах 1 и 5 еж, при / = 2 и 5 еж — на одной, равной 1 еж. В остальных случаях — на высоте 3 см.
Визуализация вихря осуществляется введением краски вблизи нижней границы сосуда (в пограничный слой на нижней поверхности).
Отметим особенности и погрешности измерений радиуса ядра, максимумов азимутальной и вертикальной компонент скорости.
В настоящих экспериментах линия пузырьков устойчиво образуется, начиная с длительностей импульса 1 мс. Согласно [205], время образования и срыва пузырьков в условиях, подобных настоящим, менее 1 мс. Также, для контроля, при съемках сверху, были проведены отдельные эксперименты, в которых время задержки между образованием пузырьков и их съемкой увеличивалось до 260 мс вместо обычных 110 мс. В пределах точности измерений результаты в обоих случаях не отличались. Таким образом, погрешности за счет конечности времени образования и срыва пузырьков пренебрежимо малы. Основные погрешности возникают из-за возможности несовпадения центра вращения с проволочкой, блуждания вихря, при обработке фотоснимков и из-за конвективного переноса пузырьков.
Первоначально оцениваются ошибки в измерениях в измерениях г0 и VQ. Вертикальная конвекция в этом случае не влияет на результаты, поскольку го и VQ практически не зависят от высоты, а расстояние, на которое поднимутся пузырьки за время задержки, менее 2 мм, то есть много меньше высоты вихря. Проанализируем, в чем проявляется несовпадение центра вращения вихря с проволочкой. Пусть центр отстоит от проволочки на расстоянии /г, рис. 7 (Линия АВ совпадает с проволочкой, О — центр вращения, отрезок 00 перпендикулярен АВ и его длина рана /г, начало координат помещается в точку О, ось х — вдоль АВ, ось у — вдоль ОО , окружность описана вокруг точки О ,