Введение к работе
Актуальность проблемы
Работа посвящена описанию поведения сильно неоднородных сред, в частности, смесей, композитов и пористых материалов. Такие среды широко распространены в природе и используются в технике, поэтому математическое моделирование различных физических процессов в них представляет важную и актуальную задачу.
Если линейный масштаб задачи /, например, размер тела, для которого рассматривается задача, пли типичная длина волны возмущения, много больше характерного размера неоднородности d, то есть є = j << 1, то прямое численное исследование проблемы практически невозможно. В этом случае обычно вводится эффективная однородная среда, поведение которой близко к поведению исходной неоднородной среды. При наличии достаточного количества экспериментальных данных математические модели эффективных однородных сред могут быть введены феноменологически на основе этих данных. Другой подход состоит в том, что если локальные физические свойства и геометрическая структура среды известны, то эффективные свойства находятся с помощью некоторого осреднения. Этот подход особенно важен в случаях, когда решается задача оптимизации структуры.
Проблема осреднения является одной из важных проблем не только в механике неоднородных сред, но и во многих других областях механики и физики.
За десятки лет изучения неоднородных сред предложены различные способы получения осредненных уравнении микронеоднородных сред. В основе многих из них лежат физические гипотезы о локальных полях. При этом часто границы применимости вводимых уравнений остаются не определенными. Многие способы осреднения относятся только к случаям малых концентраций включений или малого разброса свойств компонент.
Применяемый в этой работе путь вывода осредненных (эффективных) уравнений основан на использовании асимптотических методов,
связанных с наличием малого параметра є - отношения масштаба неоднородности к масштабу изучаемого процесса. Вывод, как правило, включает в себя строгое математическое обоснование и применим при произвольных концентрациях и при сильном отличии свойств компонент. Отметим, что этот алгоритм дает возможность получить не только осредненные уравнения, но и найти (после решения осреднен-ных уравнении) приближенные локальные распределения параметров в неоднородной среде.
Вид эффективных уравнений существенно зависит от масштаба изучаемых процессов, а также от требуемой точности описания. Как продемонстрировано, в частности, в этой работе, в общем случае эффективные свойства среды не только количественно, но и качественно отличаются от свойств составляющих ее компонент.
Цели исследования. Основными целями работы являются получение, строгое обоснование и исследование эффективных уравнений, описывающих различные процессы в мпкронеоднородных средах, в частности, процессы теплопроводности, распространения звука, деформирования и течения.
Методика исследования базируется на теории дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Задача ставится следующим образом. Пусть известны уравнения, описывающие поведение неоднородной среды. Эти уравнения содержат малый масштаб, так как сильно меняются на малых расстояниях. Требуется построить уравнения, не содержащие малого масштаба, решение которых позволяет найти функции, близкие в некоторой норме к решению исходных уравнений.
В случае сред с периодической структурой для вывода осредненных уравнений, а также приближенного нахождения локальных полей используется метод введения быстрых и медленных переменных и асимптотических разложений по параметру є. Этот метод является развитием известного метода Боголюбова, Крылова и Мнтропольского, предложенного первоначально для исследования нелинейных процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Ему посвящено много работ, появившихся, в основном, в последние два десятилетия, в частности, монографии А. Бенсуссана, Ж.Л. Лпонса и Ж. Папаннколау, Э. Санчес-Паленсип, Н. С. Бахвалова и Г. П. Пана-сенко, О. А. Олейннк, Г. А. Иоснфьяна и А. С. Шамаева и другие.
Алгоритм включает в себя следующие шаги. Во-первых, наряду с медленными переменными Х{ с характерным масштабом изменения / вводятся быстрые переменные iji с характерным масштабом изменения d. Обычно используются безразмерные переменные ж,- = xjl, у і = Xi/d, тогда є = d/l - безразмерный период. Решение и задачи для исходных уравнении рассматривается как функция независимых переменных Х{, у,-, t. Даяее и представляется в виде асимптотического ряда
и = v + ЄУ\ + ....
с коэффициентами, периодическими по у,-. Этот ряд подставляется в исходную систему уравнении и граничных условий. В результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях є возникают задачи для определения коэффициентов ряда как функций переменных у, (х,, t при этом рассматриваются как параметры). Эти задачи называют локальными задачами или задачами на ячейке. Решение этих задач и последующее использование осреднения по ячейке периодичности дает осредненные уравнения и алгоритм приближенного вычисления локальных полей. Подчеркнем, что эффективные модули среды в общем случае не являются средними по ячейке или некоторому представительному объему; они вычисляются через решение задач на ячейке.
Важным этапом в описываемом алгоритме является строгое обоснование: доказательство существования решений всех возникающих задач и получение оценок близости решений исходных и осредненных уравнений.
В работе этот алгоритм используется для вывода и обоснования эффективных уравнений различных процессов в микронеоднородных средах.
Особенностью ряда исследованных в диссертации проблем является
то, что в их постановке присутствуют, кроме малого параметра є, дополнительные малые параметры.
Научная нсжизна работы определяется следующими ее основными результатами
-
Исследованы модели, возникающие при осреднении, когда масштаб изучаемого явления но слишком велик, так что нужно учитывать члены порядка є и выше. В .числе определяющих параметров в таких моделях содержатся высшие производные от перемещений по координатам и времени. Показано, что если уравнения исходной неоднородной среды являются уравнениями Эйлера для некоторого функционала, и среда имеет периодическую структуру, то с любой точностью по є можно построить осредненные уравнения так, чтобы они тоже были уравнениями Эйлера для соответствующего функционала. Поэтому периодической микронеоднородной среде, определяемой голономным вариационным принципом, соответствует эффективная среда, также определяемая некоторым голономным вариационным принципом. Тем самым показано, что если уравнения для каждой из компонент не содержат диссипацию, а среда периодическая, то в любом приближении по малому параметру є осредненные уравнения также не содержат диссипацию.
-
Для одномерных процессов в лннейноупругнх слоистых локально изотропных периодических средах, свойства которых зависят от одной декартовой координаты, выведены явные формулы для главного коэффициента, определяющего дисперсию волн, распространяющихся перпендикулярно слоям. Исследован знак этого коэффициента при произвольной периодической зависимости плотности и сжимаемости среды от координаты. Доказано, что он одинаков для любой слоистой структуры.
-
Для смесей сжимаемых вязких теплопроводных жидкостей показано, что эффективные уравнения, которые описывают процессы с масштабом, много большим масштаба неоднородности, уже в нулевом приближении по є не являются уравнениями некоторой вязкой жидкости: смесь вязких сжимаемых жидкостей в общем случае не ведет
себя как вязкая жидкость. Выведены две различные формы систем эффективных уравнений таких смесей. Каждая из этих систем в общем случае является ннтегроднфференциальноп. Одна из них содержит только осредненные по ячейке искомые функции, причем в нее входят интегралы от этих функций по времени. Поэтому она соответствует среде с памятью. В другой форме системы эффективных уравнений присутствуют функции не только медленных, но и быстрых переменных. Она содержит интегралы от неизвестных функции по внутренним (быстрым) координатам. Соответствующая среда есть среда с дополнительными внутренними параметрами л дополнительными степенями свободы.
4) Показано, что эффективные уравнения для периодических
термо-упруго-пластнческнх упрочняющихся сред, локально описыва
ющихся теорией пластического течения, в общем случае представляют
собой системы интегродпфференцнальных уравнений. Они содержат
интегралы от неизвестных функций либо по пространству быстрых
переменных (эффективная среда с внутренними параметрами и вну
тренними степенями свободы), либо по времени (среда с памятью).
5) Получены и строго обоснованы эффективные уравнения статики
и динамики пористой среды из несжимаемого линейно упругого ма
териала. Эффективная среда является сжимаемой и анизотропной.
Исследованы трехмерные пористые среды с кубическими и сфериче
скими порами. На основе численного решения задач на ячейке рассчи
таны их эффективные упругие модули и предложены приближенные
формулы для эффективных модулей.
G) Исследовано влияние малой (стремящейся к нулю) сдвиговой упругости на вид осредненных уравнений, описывающих процесс распространения длинноволновых звуковых возмущений в микронеоднородных жидкостях. Сдвиговая упругость при этом явно не входит в эффективные уравнения, однако уравнения существенно различны при различных соотношениях между малыми параметрами, один из которых - параметр є, отношение линейного масштаба неоднородности к длине волны, а другой - отношение характерных значений ко-
/
эффпцнентов сдвиговой и объемной упругости. Рассмотрены смеси периодической и случайной структуры.
-
Для мнкронеоднородных жидкостей случайной структуры рассмотрено влияние малой вязкости на процесс распространения звука. Выписаны и строго обоснованы эффективные уравнения в случае, когда линейный масштаб неоднородности много меньше квадратного корня из произведения характерного значения кинематической вязкости на характерное время процесса. Получены оценки погрешности осреднения в форме, позволяющей оценить влияние большого разброса свойств компонент и их концентраций.
-
Исследовано влияние малой (стремящейся к нулю) теплопроводности на вид осредненных уравнений, описывающих процесс, распространения длинноволновых звуковых возмущений в микронеоднородных жидкостях. Получены эффективные уравнения при различных соотношениях между линейным масштабом неоднородности и длиной, определяемой квадратным корнем из произведения характерного значения коэффициента температуропроводности на характерное время процесса. В случае конечной теплопроводности получены выражения для эффективных коэффициентов теплоемкости, теплопроводности II теплового расширения смеси, проявляющихся при распространении длинноволновых возмущений.
-
Выведены явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов упругости и теплопроводности двумерных и трехмерных структур с. включениями в виде систем взаимно ортогональных анизотропных пластин и стержней при условии, что относительные толщины пластин и стержней, а также некоторые параметры, составленные из отношений модулей и относительных объемов фаз, малы. Получены оценки погрешности этих формул.
Для этих структур получены также явные приближенные решения локальных задач, позволяющие после решения осредненных уравнений найти локальное распределение температуры, перемещений, деформаций и напряжений. Проведено сравнение значений эффективных коэффициентов, найденных с помощью численного решения задач на ячейке
и с помощью предложенных явных формул.
Предельными случаями рассмотренных структур являются пористые среды и конструкции из пластин и стержней.
Обоснованность и достоверность результатов следует из строгих математических доказательств близости решений исходных и осредненных уравнении, согласования результатов в частных случаях с результатами других авторов, а также из сравнения с результатами проведенных в работе численных расчетов.
Практическая значимость работы определяется тем, что расчеты крупномасштабных процессов в сильно неоднородных средах в настоящее время могут проводиться только на основе осредненных уравнений. Поэтому развитие метода получения осредненных уравнении по сведениям о структуре материала и свойствах компонент чрезвычайно важно. Исследование моделей, возникающих при осреднении мпкронеоднородных сред, полезно особенно при решении проблемы создания сред с требуемыми эффективными свойствами. Для некоторых структур в работе получены явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов, удобные для практического использования.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры гидромеханики механико-математического факультета Московского Государственного Университета (рук. академик Л.II. Седов; чл-корр. РАН А.Г. Куликовский и проф. А.А. Бармпн); на семинаре кафедры механики композитов механико-математического факультета Московского Государственного Университета (рук. проф. Б.Е. Победря); на научном семинаре НИИ механики Московского Государственного Университета (рук. академик Г.Г. Черный); на семинаре кафедры математического моделирования Московского Энергетического Института (Технического Университета) (рук. проф. Ю.А. Дубпнскпп).
Результаты докладывались также на следующих конференциях: Международные конференции по механике композитных материалов,
(Рига, Латвия, 1987, 1990, 1993, 1995, 1998); Всероссийская конференция "Современные методы и достижения в механике сплошных сред" (Москва, 1997); Конференция "Пористые среды: физика, модели, вычисления". (Москва, 1997). Сессии Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского (Москва, 1994, 1995, 1997); Международные конференции Дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Москва, 199G и 1998 ); Ломоносовские чтения (Москва, МГУ, 1994, 1995, 199G, 1997, 1998, 1999); International Workshop on Advances in analytical methods in aerodynamics, (Miedzyzdroje, Poland, 1993); Second Workshop on Composite Media and Homogenization Theory (Trieste, 1993); ШТАМ Symposium Liquid-Particle Interactions in Suspension Flows, (Grenoble, France, 1994); 2-nd European Solid Mechanics Conference. (Genoa, Italy, 1994); Third International Conference on mathematical and numerical aspects of wave propagation. (Mandeleu, France, 1994); Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics (Hamburg, Germany, 1995); 12 Конференция Американского Общества композитов (Дирборн, США, 1997);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 45 работ. Основные результаты представленной работы содержатся в публикациях [1]-[28].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 305 страницах, содержит 12 таблиц, 12 фигур. Список литературы включает 135 наименований.