Введение к работе
Актуальность темы
Уравнение Больцмана является основным уравнением кинетической теории газов. Получение достаточно надежных решений для него дает возможность строить базис последующих математических исследований в динамике разреженных газов. С другой стороны, разработка методов прямого интегрирования кинетического уравнения (и некоторых его модельных модификаций) позволяет получить ряд алгоритмов, которые могут служить инструментом для исследования сложных течений.
Необходимость математического моделирования для изучения течений разреженного газа связана со многими теоретическими и прикладными проблемами. Актуальными остаются уже имеющие традицию задачи, связанные с потребностями высотной авиации, космонавтики. Интенсивно изучаются явления, которые могут иметь приложения в новых химических и вакуумных технологиях. Чисто научный аспект,'связанный с вычислительной механикой, ' заключается в создании эффективных подходов для решения уравнения Больцмана. Консервативные численные схемы и детерминистический метод вычисления интегралов столкновений являются важными вычислительными процедурами, которые исследуются и используются в современных алгоритмах для задач динамики разреженных газов. В этом смысле методы прямого решения являются альтернативой (и дополнением) получившим большое распространение методам статистического моделирования.
Метод решения уравнения Больцмана позволяет уже изучать различные сложные проблемы, в которых ведутся экспериментальные исследования. Он способен не только подтверждать опытные данные, но и приносить новую информацию для таких режимов течений, которые еще затруднены для опытов. Тем самым определяется и перспектива последующих исследований (примером может служить решавшаяся в работе задача о нестационарном отражении ударной волны от клина).
Все больший интерес вызывают, например, внутренние и струйные течения в диапазоне' от свободномолекулярного до сшюшносредного. В работе изучались задачи, связанные со свободными струями. Представлены также .двумерные и трехмерные задачи о течении газа в полости криогенного откачивающего устройства, что может служить
основой для дальнейших приложений.
Различные задачи для гиперзвуковых течений стимулируются (помимо традиционных проблем обтекания) изучением движений при сильных выбросах газа, импульсных пучках и экспериментами с инжекцией вещества в верхних слоях атмосферы. Здесь возможны новые постановки задач, основанные на учете сильного различия в скоростях групп молекул между' собой.
В общетеоретическом плане перспективны исследования существенно нелинейных неравновесных структур в открытых системах, что требует новых постановок задач и способов их решения. Уравнение Больцмана имеет фундаментальный статус, и поэтому решение задач на его основе может пролить свет на ряд сложных неравновесных явлений в механике и термодинамике жидкости-и газа, а также в смежных областях. Цель работы
Состоит в построении эффективных численных алгоритмов в динамике разреженного газа, с помощью которых изучаются течения (от простейших релаксационных задач до трехмерных) для кинетического уравнения Больцмана. Научная новизна
-
Новым является построенный консервативный метод расщепления, на основе которого решалась большая часть задач в диссертационной работе. Данный подход позволил существенно улучшить точность вычислений. Были построены решения одномерных задач с контролем сходимости по численным параметрам, получены решения двумерных" и трехмерных задач, которые носят исследовательский характер.
-
Предложен метод регулярного интегрирования, заключающийся в использовании кусочно-постоянной аппроксимации в пространстве скоростей. Это позволяет провести полезное аналитическое двукратное инте-
грирование по углам столкновений. Правая часть уравнения Больцмана при этом приближается квадратичной формой с постоянными коэффициентами, что дает возможность в некоторых задачах ускорить процесс решения.
-
Для задачи о теплопередаче и структуре ударной волны при некоторых параметрах течения получены решения, которые можно считать тестовыми, и которые могут служить опорными при использовании других методов.
-
Впервые поставлена и решена задача о неоднородной' релаксации. В отличие от классической пространственно-однородной релаксационной
задачи здесь аналогичный процесс развивается в пространстве, при этом большой интерес вызывает неоднородное поведение макропараметров. При некоторых условиях было обнаружено немонотонное пространственное поведение энтропии.
-
Были предложены и опробованы асимптотические по числу Кнудсена алгоритмы, позволившие на основе консервативной схемы расщепления аппроксимировать уравнения Эйлера, а также правильно моделировать течения, близкие к газодинамическим.
-
Впервые изучены параллельные схемы для консервативного метода расщепления для двумерной и трехмерной задач, параллельные алгоритмы показали высокую эффективность.
-
На основе точной постановки для уравнения Больцмана решалась задача об отражении ударной волны от клина и изучался переход к маховскому отражению, решения сравнивались с результатами по методу статистического моделирования других авторов. Обнаружено существенное влияние температуры твердой поверхности на характер отражения.
-
Впервые получено решение для уравнения Больцмана в некоторых задачах о свободной струе при малых числах Кнудсена. Наблюдается стабилизация течения вблизи оси струи при изменении параметра разреженности. Проведено сравнение с экспериментальными данными, показавшими качественное и количественное соответствие с решениями по уравнению Больцмана.
Э. Впервые построены решения для сложных трехмерных течений в камерах с криогенными панелями .при температуре жидкого гелия и стенками при температуре жидкого азота, при этом получены достаточно сложные картины течения.
10. Предложены и реализованы численные алгоритмы в задачах при очень больших числах Маха, решены задачи о структуре ударной волны до числа Маха 100 (на основе модельного уравнения) и о распаде высокотемпературного слоя. В задачах о распространении частиц и взаимодействии их с фоном неподвижных молекул показан выход на газодинамическое решение о сильном взрыве, получены некоторые точные асимптотические решения. Достоверность
Результаты, полученные в работе, проверялись в многочисленных расчетах с изменением параметров, а также сравнением с решениями других авторов и с имеющимися экспериментальными данными. Разработанные
численные схемы изучались теоретически с установлением аппроксимации, в процессе счета подтверждалась устойчивость. В некоторых сложных задачах были предложены аналитические подходы, позволившие проверить достоверность численных решений для асимптотик рассматриваемых процессов. Научная и практическая ценность
Разработанные численные методы решения уравнения Больцмана могут быть использованы при изучении неравновесных течений в широком диапазоне параметров. Консервативный метод расщепления был применен и развит в работах отечественных ученых (в ВЦ РАН, МГУ, ЛГУ, ИТПМ СО РАН, МЭИ), и за рубежом (в ФРГ, США, Италии). Детерминистический метод интегрирования представляется весьма перспективным, что показали аналогичные результаты, полученные позже в исследовательских группах в США и во Франции. Некоторые результаты диссертационной работы вошли в монографическую литературу и учебные курсы, например, МЭИ. Консервативный метод расщепления используется на кафедре криогенной техники МЭИ при математическом моделировании течений в камерах с криогенными поверхностями. Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на ряде всесоюзных (всероссийских) и международных конференций, в том числе на:
Всесоюзных конференциях по динамике разреженного газа (IV — Звенигород, 1975; VI — Новосибирск, — 1979г.; VIII — Москва, 1985г.; X— Москва, 1989г., XI —.Ленинград, 1991г.), Международных симпозиумах по динамике разреженного газа (13-м, Новосибирск, 1982г.; 17-м, Ахен, Германия; 1990г., 19-м, Оксфорд, Англия, 1994г.), VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986г.), XVII Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Гренобль, Франция, 1988г.), Всесоюзной школе-семинаре по кинетическим методам в механике сплошной среды (Байкальск, 1988), Международной конференции по математическим моделям в биологии и медицине (Калькутта, Индия, 1989), Европейских конференциях по механике жидкости (1-я, Кембридж, Англия, 1991г.; 2-я, Варшава, Польша, 1994), 2-ой Международной конференции по параллельным технологиям (РАСТ-2, Обнинск, 1993), 1-ой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994), 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в струях и
соплах (Москва, 1995),
а также на различных научных семинарах ВЦ РАН, МПМ им. М.В.Келдыша
РАН, Московского Государственного Университета, Санкт-Петербургского
Государственного Университета, Варшавского Государственного
Университета, НИИ Механики МГУ.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 52 печатные работы, в том числе одна монография. Основные результаты содержатся в [1-44]. Структура и объем диссертации
Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Полный объем диссертации — 322 стр., который содержит 238 стр. текста, приложение включает в себя 3 таблицы и 132 рисунка, в списке литературы — 272 наименования.