Математическое моделирование высокочастотного емкостного разряда при повышенных и пониженных давлениях в аргоне Чебакова Виолетта Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Обзор литературы 21

1.1. Экспериментальные и теоретические исследования ВЧЕ-разря дов 21

1.2. Обзор работ по математическому моделированию явлений в электрических разрядах (гидродинамическое, статистическое, гибридное моделирование)

1.3. Выводы по первой главе 43

ГЛАВА 2. Численное моделирование ВЧЕ-разряда в аргоне при пониженных давлениях (нелокальное приближение) 44

2.1. Постановка задачи моделирования ВЧЕ-разряда в нелокальном приближении при пониженных давлениях 46

2.2. Обзор численных методов решения задач, входящих в постановку модели ВЧЕ-разряда 52

2.3.Численный алгоритм решения задачи 60

2.4. Разностная схема для уравнения конвекции-диффузии атомарных ионов. 62

2.5. Разностная схема для уравнения конвекции–диффузии электронного газа 67

2.6. Вычисление плотности потоков заряженных частиц 68

2.7. Разностные схемы для уравнения Пуассона, уравнения баланса концентрации метастабильных атомов, задачи теплопроводности атом но-ионной температуры

2.8. Разностная схема для уравнения теплопроводности электронной температуры 72

2.9. Пакет программ расчета параметров ВЧЕ-разряда при пониженном давлении. 73

2.10. Результаты численного решения и их анализ 74

2.11. Выводы по второй главе. 78

ГЛАВА 3. Численное моделирование ВЧЕ-разряда в аргоне при по вышенных давлениях (локальное приближение) 80

3.1. Постановка задачи моделирования ВЧЕ-разряда в локальном приближении (атмосферное давление) 81

3.2. Численный алгоритм решения 87

3.3. Разностные схемы для краевых и начально-краевых задач и задач Коши, входящих в систему . 89

3.4. Результаты численного решения модельных задач и их анализ. 94

3.5. Результаты и выводы по третьей главе 98

Заключение 99

Список литературы

• Обзор работ по математическому моделированию явлений в электрических разрядах (гидродинамическое, статистическое, гибридное моделирование)
• Обзор численных методов решения задач, входящих в постановку модели ВЧЕ-разряда
• Разностные схемы для уравнения Пуассона, уравнения баланса концентрации метастабильных атомов, задачи теплопроводности атом но-ионной температуры
• Разностные схемы для краевых и начально-краевых задач и задач Коши, входящих в систему

Введение к работе

Актуальность работы. Низкотемпературная неравновесная плазма широко используется для создания микро- и наноструктур, а также модификации поверхностей (например, для обработки материалов с целью повышения срока службы и надежности изделий машиностроения, создания легких и прочных полимерных композиционных материалов, полиэтиленпла-стиков, получения нанодисперсионных порошков металлов и соединений и т.д.). Разработка установок для обработки материалов связана с проведением большого количества экспериментальных исследований по подбору параметров плазменных установок. Несмотря на то, что к настоящему времени разработаны теоретические основы различных плазмохимических процессов, в каждом конкретном случае требуется проведение специальных исследований. Натурные эксперименты, как правило, не дают детальной информации о внутренних параметрах плазмы. Поэтому для исследований применяются экспериментально-расчетные методики, которые, взаимно дополняя друг друга, позволяют решать многие задачи физики и химии низкотемпературной плазмы. Именно такой подход позволяет связать внутренние и внешние параметры разрядов. Эта задача особенно важна для оптимизации параметров плазмохимических процессов. В связи с этим большое внимание уделяется разработке моделей разного уровня для исследования механизмов процессов, происходящих в плазме, определяемых процессами в газовой фазе и взаимодействием плазмы с поверхностями.

Для моделирования разрядов используют нуль-, одно-, двух- и трехмерные модели разрядов (Castonos Martinez E et al, 2004; Lymberopoulos Dimitris P., Economou Demetre J., 1993; Швейгерт В.А., 1993; Исламов Р.Ш., 1991; Boeuf J.P. , Pitchford L.C.,1995; Salabas А., Gousset G., Alves L.,2002; Суржиков С.Т.,2008; Shigeru Yonemura, Kenichi Nanbu, and Naoaki Iwata, 2004; Epstein I. L. et al, 2014 и т.д.). Первые, как правило, служат для детального исследования кинетики процессов в плазме и содержат кинетические схемы, включающие в себя тысячи кинетических уравнений. Эти схемы неизбежно должны упрощаться при переходе к моделям высшей размерности. Двухмерные и трехмерные модели позволяют детально описать пространственную структуру разрядов, однако следует отметить, что их реализация требует значительных затрат машинного времени, при этом моделирование проводится лишь в упрощенной постановке, когда не учитывается ряд эффектов, присущих разрядам. Одномерные модели позволяют с относительно малыми затратами для своей реализации описать физическую картину процессов в разряде при условии, что такие модели адекватно описывают разряд.

Для получения плазмы используются различные типы разрядов, в их числе широко применяются высокочастотные разряды и, в частности, высокочастотные емкостные (ВЧЕ) разряды (Абдуллин И.Ш., Желтухин В.С., Кашапов Н.Ф., 2000; Райзер Ю.П., Шнейдер М.Н., Яценко Н.А.,1995; Савинов В.П. 2013; Fridman A., 2008; Pascal Chebert, Nicholast Braithwaite, 2011). В ВЧЕ-установках наиболее часто в качестве плазмообразующего газа используется аргон. Так как концентрация метастабильных атомов в аргоне сопоставима с концентрацией заряженных частиц, то сверхупругие столкновения этих атомов с электронами приводят к изменению средней энергии и коэффициентов скороcтей всех процессов под действием электронного удара (Karoulina E., Lebedev Yu., 1992; Дятко Н.А. и др., 2005; Ferreira C.M., Lourei-ro J., Ricard A., 1985; Байсова Б.Т.и др., 2003). ВЧЕ-разряды при различных диапазонах давлений отличаются как различными значениями характеристик разряда (концентрация заряженных частиц, газовая температура, энергия электронов), так и механизмами внутренних процессов.

Отметим, что достаточно подробно исследованы модели ВЧЕ-разряда среднего и низкого диапазонов давлений, описывающие пространственное распределение характеристик разряда c учетом минимального количества внутренних плазмохимических реакций и без учета изменений распределения газовой температуры в пространстве. ВЧЕ-разряды повышенного и пониженного давления практически не исследованы. В последнее время усиливается интерес к ВЧE-разрядам пониженного давления (Xi-Ming Zhu and Yi-Kang Pu, 2010; Lauro-Taroni L. еt al, 2004; Bora B. et al, 2011), это обусловлено появлением возможности обработки натуральных материалов (ткани, кожевенно–меховые полуфабрикаты) вследствие небольшого значения атомной температуры в разрядах такого типа, а также к ВЧЕ-разрядам атмосферного давления (Seo B.H., Kim D.W. et al, 2015; Balcon N. et al, 2008). Однако используемые диффузионно-дрейфовые модели при пониженных давлениях, как правило, учитывают зависимости коэффициентов от электронной температуры и лишь небольшой набор плазмохимических реакций; наличие зависимостей скоростей реакции от атомной температуры и изменение атомной температуры в пространстве не принимается во внимание. При атмосферном давлении установлен факт зависимости отношения молекулярных и атомарных ионов от температуры, но в основном это кинетические модели, в которые атомная температура является входным параметром. Из-за специфических особенностей ВЧЕ-разряда математические модели в диффузионно–дрейфовой постановке обладают рядом особенностей, осложняющих их численное решение, и требуют существенной адаптации существующих алгоритмов.

Таким образом, с одной стороны, ВЧЕ-разряды при пониженных и повышенных давлениях широко используются на практике, а с другой стороны, математические модели таких разрядов недостаточно разработаны.

Цель работы. Целью работы является создание самосогласованных математических моделей неравновесной низкотемпературной плазмы ВЧЕ-разряда в аргоне в широком диапазоне давлений, позволяющих рассчитывать структуру и внутренние параметры ВЧЕ-разрядов для управления параметрами ВЧЕ-разряда при решении целевых задач, а также создание соответствующих эффективных численных алгоритмов, реализованных в виде прикладного программного обеспечения, для анализа изменения компонент ионизированного инертного газа в зависимости от диапазонов давления, выявления основных факторов, влияющих на внутренние процессы в ВЧЕ-разрядах.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Самосогласованные модели неравновесной низкотемпературной плазмы ВЧЕ-разряда в аргоне при повышенных и пониженных давлениях, включающие в себя различные кинетические схемы расчетов, адаптированные для пониженных и повышенных давлений.

2. Численные алгоритмы реализации разработанных моделей, основанные на конечномерной аппроксимации с помощью разностных схем с последующим применением для реализации итерационных процессов.

3. Комплексы программ для решения поставленных задач на основе предложенных алгоритмов.

4. Результаты численного моделирования, показавшие, что в случае существенного нагрева газа (при повышенных давлениях, а также в случае больших межэлектродных расстояниях при пониженных давлениях) изменение газовой температуры в межэлектродном пространстве начинает существенно влиять на соотношение вкладов различных плазмо-химических процессов в образование и гибель частиц, а, следовательно, на распределение и

долю заряженных (электронов, атомарных и молекулярных ионов) и возбужденных частиц в разрядном промежутке. Научная новизна.

5. Построены самосогласованные математические модели в широком диапазоне давлений ВЧЕ-разряда в аргоне, в которых учитывается пространственное изменение газовой температуры. В случае повышенных давлений модель включает в себя уравнения для расчета концентрации молекулярных ионов и димеров.

6. Разработан численный метод, основанный на использовании неявной разностной схемы, построенной интегро-интерполяционным методом с применением направленных по потоку конечных разностей, и метода Гуммеля, с последующим использованием для решения разностной схемы итерационного процесса.

7. Разработан программный комплекс, позволяющий рассчитывать характеристики ВЧЕ-разряда в широком диапазоне давлений.

8. Определены условия, при которых математические модели должны учитывать нагрев газа.

Достоверность. Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов обеспечивается анализом физической постановки модели и корректным применением численных методов, соответствием полученных результатов физической картине ВЧЕ-разряда, а также хорошим согласованием найденных численных решений ряда задач с известными данными натурных экспериментов и с данными других авторов.

Теоретическая и практическая значимость. Практическая ценность состоит в возможности применения разработанного прикладного программного обеспечения для расчета основных параметров ВЧЕ-разрядов при повышенных и пониженных давлениях с целью управления производственным процессом.

Теоретическая ценность состоит в возможности применения разработанных математических моделей и численных алгоритмов для анализа механизмов процессов в плазме аргона в широком диапазоне давлений.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 11-01-00864, 14-01-00755, 15-41-02672, 16-31-00378)

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Девятая Всероссийская и Десятая Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012, 2014 г.г.); Международная научная конференция «Плазменные технологии исследования, модификации и получения материалов различной физической природы» (Казань, 2012 г.); IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2012) (Алушта, 2012 г.); XVIII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2013) (Алушта, 2013 г.); II Международная конференция «Высокопроизводительные вычисления – математические модели и алгоритмы», посвященная Карлу Якоби (Калининград, 2013 г.); Двенадцатая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения-2013» (Казань, 2013 г.); XLI–XLII Международные звенигородские конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу и УТС (Звенигород, 2014-2015 г.г.); Международная конференция «Advanced mathematics, computations and applications-2014» (Новосибирск, 2014 г.); Всероссийская (с международным участием) конференция «Физика низкотемпературной плазмы» ФНТП-2014 (Казань, 2014 г.); VII Международный симпозиум по теоретической и прикладной плазмохимии (Плес, 2014 г.), Международные конференции

«Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна» (Воронеж, 2014, 2016 г.г.); FDM’14: Sixth Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications (Lozenetz, 2014 г.); XXVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-27» (Тамбов, 2014 г.); Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2015 г.); Всероссийская конференция с международным участием, посвященная памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонко-ва «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2015 г.); Четырнадцатая Всероссийская молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения-2015» (Казань, 2015 г.); VI Всеросийская молодежная конференция по фундаментальным и иннова-ционым вопросам современной физики (Москва, 2015 г.)

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 123 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, одного приложения и списка литературы, включающего 165 работ.

Обзор работ по математическому моделированию явлений в электрических разрядах (гидродинамическое, статистическое, гибридное моделирование)

Особенностями представленной математической модели, осложняющими разработку численных методов решения задачи, являются: 1) Системы состоят из задач разного типа: начально–краевых задач для уравнений с частными производными параболического типа и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которые время входит как параметр. Дополнительная сложность обусловлена разными временными рамками изменения основных характеристик установившегося состояния ВЧЕ-разряда пониженного давления. 2) Характерной особенностью задачи является наличие больших градиентов плотности заряженных частиц и напряженности электрического поля, электронной температуры в приэлектродных слоях на границах расчетной области, то есть, если в квазинейтральной области мы имеем процесс с доминированием диффузии (регулярно возмущенная задача), то в приэлектродных областях наблюдается случай сильного доминирования конвекции (сингулярно возмущенная задача). Это приводит к появлению областей сильного изменения решения. 3) Представленная система задач является нелинейной как по отдельным входящим в нее уравнениям, так и в целом. 4) Требуется проводить вычисление потоков в областях сильно меняющихся коэффициентов при наличии больших градиентов решения. Проведен обзор численных методов, позволяющих преодолеть указанные трудности. Разработан численный алгоритм решения рассматриваемой нелинейной системы краевых и начально–краевых задач. Для его построения использовался приближенный метод, основанный на конечномерной аппроксимации задачи с помощью разностных схем с последующим применением итерационного процесса. Неявная разностная аппроксимация построена ин-тегро–интерполяционным методом с применением метода направленных разностей. Линеаризация системы проведена по методу типа Зейделя, при этом численный алгоритм основан на опускании нелинейности всех коэффициентов на нижний слой. Нелинейные квадратичные слагаемые в правых частях были линеаризованы с помощью схемы Ньютона. Плотности потоков для ионного и электронного газа рассчитаны по методу типа Гуммеля.

Приведено описание разработанного программного комплекса, который реализует численный алгоритм нахождения основных параметров нестационарного высокочастотного разряда пониженного давления в одномерном приближении. Для его создания использована среда MatLab. В результате работы комплекса визуально выводятся распределения концентрации ионов, электронов, метастабильных атомов, атомной и электронной температуры на каждом временном слое, полный ток. Дополнительно пользователь может рассчитать усредненные по периоду параметры ВЧЕ-разряда.

Приведены результаты расчетов, проведенных с помощью разработанного программного комплекса, и проведен их сравнительный анализ с данными других авторов, в частности, с данными натурных экспериментов. Результаты расчетов ВЧЕ-разряда в плазмотроне с межэлектродным расстоянием 0.022 м, при давлении 13.3 Па, амплитуде приложенного напряжения 65 В сравнивались с имеющимися с данными натурных экспериментов. Результаты расчетов при давлении 133 Па, амплитуде приложенного напряжения 100 В, межэлектродном расстоянии 0.0254 м с данными других авторов, рассчитанными по модели, не включающей в себя уравнение газовой температуры.

В третьей главе дано обоснование для включения плазмохимических реакций с участием димеров и молекулярных ионов в модель ВЧЕ-разряда при повышенных давлениях в аргоне (Ar +Ar Ar2++e; 2Ar+Ar+Ar2++Ar; Ar2++eAr +Ar++e; Ar2++eAr +Ar; Ar2 2Ar+hv; Ar +2ArAr2 +Ar; Ar2 +Ar2 e+2Ar+Ar2+; Ar2 +Ar e+Ar+Ar2+; e+Ar2 2Ar +e; Ar +2Ar 3Ar+hv; Ar2++Ar2Ar +Ar+). Приведенная в главе самосогласованная модель ВЧЕ-разряда при повышенных давлениях содержит следующие начально-краевые задачи.

Обзор численных методов решения задач, входящих в постановку модели ВЧЕ-разряда

В [41] рассмотрены вопросы моделирования экспериментов, проводимых с целью исследования процессов эмиссии электронов с граничных поверхностей объектов, облучаемых ионизирующим излучением. Разработаны алгоритмы компьютерного моделирования процессов радиационной эмиссии электронов. Сравнительный анализ результатов моделирования и экспериментальных данных показал применимость разработанных методов для математического сопровождения рассматриваемых экспериментов.

Кроме прямого статистического моделирования кулоновских столкновений, кинетическое моделирование плазмы включает в себя модели на основе стохастических дифференциальных уравнений, учитывающие изменение функции распределения во времени, описываемое уравнением Больцма-на.

В [29] представлена математическая модель переноса электронного каскада. Она разработана для исследования предпробойной стадии газового разряда на основе кинетического уравнения для электронов в самосогласованном электромагнитном поле. Учтено упругое рассеяние электронов, возбуждение молекул электронным ударом и ионизация. В качестве начального распределения свободных электронов использован естественный фон ионизации. Результаты вычислительного эксперимента сопоставлены с данными измерений дрейфовой скорости и средней энергии электронов разряда, а также коэффициента Таунсенда в плоском заряженном конденсаторе, заполненном разреженным ксеноном. Сравнение показало, что модель не противоречит эксперименту. Для сокращения объема вычислений полного тока разряда построено транспортное приближение, основанное на усреднении углового рассеяния. Исследована применимость транспортного приближения для моделирования полного тока капиллярного разряда. В работе [32] метод МК применен для прямого статистического моделирования кулоновских столкновений в случае двухкомпонентной плазмы. В работе рассмотрена релаксация системы, состоящей из двух сортов частиц с разными массами и разными начальными температурами, к равновесному распределению Максвелла. Представлены результаты моделирования методом МК релаксации изотропного начального распределения для двухкомпо-нентной плазмы, состоящей из электронов и ионов. Предполагалось, что количество модельных частиц каждого сорта одинаково. В целях проверки адекватности работы алгоритма произведены расчеты зависимости моментов ионной и электронной функции распределения от времени для основных расчетных параметров. Результаты моделирования сравнивались с численными расчетами, основанными на полностью консервативных разностных схемах для уравнения Ландау–Фоккера–Планка.

В [12] проведено компьютерные эксперименты по моделированию движения ансамбля электронов в гелии в однородных электрических полях. В основе расчетов лежит следующая модель: в газоразрядной трубке между анодом и катодом находится газ (гелий) с заданным давлением, электрическое поле во всем газоразрядном промежутке однородно и направлено перпендикулярно плоскостям поверхности электродов, с катода с заданной функцией распределения эмитируются электроны, которые под действием электрического поля дрейфуют к аноду, испытывая три вида соударений с атомами газа: упругие, возбуждающие, ионизирующие. В качестве алгоритма расчета кинетических характеристик был выбран метод МК. Основа алгоритма – моделирование движения отдельных электронов лавины в газе в электрическом поле. Учет столкновений проводился при помощи техники нулевых сечений. Расчет методом МК дает устойчивые значения параметров электронного ансамбля, хорошо согласующиеся с экспериментом. Полученные данные могут быть применены для верификации приближений при решении уравнения Больцмана другими методами. В работе [157] проведено моделирование ассиметричного двухчастотно-го разряда (1.937 и 27.118 МГц) в неоне и водороде методом «частица в ячейке» при давлениях, меньших 1 Ра.

В работе [156] осуществлено моделирование двухчастотного емкостного разряда, исследован переход от - к - форме горения разряда. Показано влияние двойной частоты на нагрев электрона и процессов ионизации и возбуждения атомов.

Наиболее распространенными методами решения данного класса задач являются метод МК, метод «частица в ячейке» (PIC - particle-in-cell method) и метод прямого моделирования, разработанный Г.Бердом. Однако этот метод требует значительных вычислительных ресурсов, знания физических констант в законах межмолекулярных взаимодействий и релаксационных процессов при соударениях молекул.

Гибридные модели представляют собой комбинацию кинетической и гидродинамической модели. В работе [121] методами спектроскопии КАРС (когерентное антистоксово рассеяние света) и оптической интерферометрии измерена поступательная температура в плазме тлеющего и контрагирован-ного разряда. Плотность тока в разряде определена путем измерения концентрации электронов методами оптической интерферометрии и эмиссионной спектроскопии. Функции распределения молекул азота по колебаниям и вращательным уровням в основном электронном состоянии и электронов по энергии, а также зависимость температуры газа от времени определялись численно на основе модели, включающей в себя однородное уравнение Больцмана и уравнения баланса для концентрации заряженных и возбужденных частиц и температуры газа.

Разностные схемы для уравнения Пуассона, уравнения баланса концентрации метастабильных атомов, задачи теплопроводности атом но-ионной температуры

Методам построения сеточных схем для уравнения диффузии с конвекцией и их решению уделяется большое внимание. Это связано с большим количеством приложений для таких уравнений в различных областях и трудностями, которые возникают при их численном решении. Разработано множество подходов к построению неосцилляционных схем высокого разрешения, которые во многих случаях позволяют хорошо воспроизводить те или иные особенности решений. Среди свойств, определяющих качество конструируемых схем, выделяют их консервативность. Подходы, положенные в основу методик конструирования сеточных схем для указанных задач, как правило, основаны на балансных соотношениях, вытекающих из исходного дифференциального уравнения, и их аппроксимации. Разнообразие подходов задается, главным образом, использованием различных методов, аппроксимации и способов коррекции потоковых слагаемых. Сингулярно возмущенные параболические уравнения исследованы в работах [123, 125, 127]. В работе [124] рассмотрена задача Дирихле для параболического уравнения конвекции–диффузии; данная задача содержит малый параметр перед диффузионным слагаемым, принимающий произвольные значения из полуинтервала (0, 1]. Для краевой задачи построены разностные схемы на апостериорно адаптирующихся сетках. Использованы классические аппроксимации уравнения на равномерных сетках на основной области, а также на областях, в которых производится переизмельчение с целью уточнения сеточного решения. Переизмельчаемые подобласти определяются по разности сеточных решений промежуточных задач, решаемых на вложенных сетках. В работе [23] предложены различные варианты решения стационарных уравнений конвекции–диффузии с малым параметром при младшей производной, связанные как с различными способами аппроксимации конвективных членов, которые существенно влияют на свойства получаемой несимметричной матрицы, так и с построением специальных сеток, необходимых для решения задач с пограничными слоями. В работе [126] рассмотрена задача Дирихле на отрезке для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции– диффузии. Первая производная от «начальной» функции, терпит разрыв I-го рода. В этой задаче, когда малый параметр при старшей производной стремится к нулю, в окрестности той части границы, через которую характеристики предельного уравнения (дифференциального уравнения без малого параметра) покидают область, возникает пограничный слой; в окрестности характеристики, проходящей через точку разрыва производной начальной функции, появляется переходный слой. Отмечено также, что, в отличие от задач реакции–диффузии, в задачах конвекции–диффузии положение переходного слоя меняется во времени. Такое поведение переходного слоя затрудняет использование техники сгущающихся сеток. В работе [43] отмечено, что при решении одномерных сингулярно возмущенных задач быструю сходимость и численную устойчивость даже при наличии резких погранслоев демонстрируют методы, основанные на использовании локальных функций Грина; кроме того, на примере двумерных задач конвекции–диффузии дано описание варианта метода Петрова–Галеркина, высокая эффективность которого обеспечивается использованием локальных функций Грина в качестве проекторов. Приближенные методы решения уравнений конвекции– диффузии, включая вопросы применения многосеточных методов, вопросы разностной аппроксимации, исследованы также в работах [80, 20].

В работе [18] представлен обзор явных методов решения нестационарных уравнений конвекции–диффузии с условиями, возникающими относительно шага по маршевой координате для уравнений с постоянными коэффициентами. В работе [95] рассмотрены основные аспекты построения консервативных схем методом направленных разностей, представлены трехслойные разностные методы. В [154] изложен метод, основанный на точном решении, представляющий собой комбинацию таких методов, как метод направленных разностей, и экспоненциальной схемы. Данный метод имеет второй порядок аппроксимации для сеточных чисел Рейнольдса (отношение произведения коэффициента конвекции на шаг по пространственной координате к диффузионному коэффициенту) от нуля до десяти и первый порядок при больших числах Рейнольдса. Так как уравнение конвекции–диффузии для электронного газа содержит нелинейность в правой части, большой интерес для нас представляет работа [28]. В ней метод квазилинеаризации применен для линеаризации слабых нелинейностей в правой части и в свободном члене дифференциального уравнения. Метод квазилинеаризации сведен к решению последовательности линейных задач; он представляет собой дальнейшее развитие метода Ньютона и его обобщенного варианта, предложенного Л.В. Канторовичем. Рассмотрено применение данного метода к решению нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задачах для параболических уравнений в частных производных. Большое внимание уделено вопросам сходимости данного метода и его численной реализации.

Еще одна сложность при проведении расчетов связана с необходимостью вычисления потока в областях сильно меняющихся решений, а также в задачах с сильно меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают, в частности, при численном моделировании контактного взаимодействия сжимаемых сред, расчете волн в жидкости и газе [13–15]. Примером такой задачи является задача расчета гидродинамики с теплопроводностью, когда коэффициенты теплопроводности (электропроводности) заранее не известны и могут сильно зависеть от термодинамических параметров среды, определяемых гидродинамикой. При решении разностных уравнений второго порядка, к которым сводятся разностные схемы для таких задач, по формулам обычной прогонки и последующем использовании численного дифференцирования для вычисления потока часто происходит значительная потеря точности, поэтому для решения подобных задач используется потоковой вариант метода прогонки. Данный способ приведен в [39, 47, 85, 94, 96] для уравнений теплопроводности без конвективного слагаемого. В [48] рассмотрен «потоковый» вариант метода прогонки, применимый для решения тепловых задач с большим коэффициентом теплопроводности (допускается наличие изотермических участков, где теплопроводность среды бесконечно велика), в [42] – с учетом конвективного слагаемого, но с занесением коэффициента диффузии электронов под знак первой производной.

Разностные схемы для краевых и начально-краевых задач и задач Коши, входящих в систему

Здесь – коэффициент вторичный электронной эмиссии с электродов, Te – температура электронов, me – масса электрона.

При нормальных условиях считаем, что в газе содержится 104 см-3 заряженных частиц. Это значение примем за начальные условия для полной концентрации заряженных положительных частиц и электронов.

Здесь qe - заряд электрона, є0 - электрическая постоянная вакуума, Va ам плитуда колебания напряжения на нагруженном электроде, со - круговая частота электромагнитного поля. 11. Уравнение баланса концентрации метастабильных атомов: d]\L _ д&т_ = Кбщ + R nen2 - R2n 2 m - R3nmne - R1nm - R%Nnm - R9nmne -Rl0n2m - Rl5N2nm - Rl7nmn2 - Rl9nmN2, 0 x b,t 0 где Gm =Dm дпт/дх- плотность потока метастабильных атомов, Dm - коэффициент диффузии метастабильных атомов аргона. Граничные условия для данного уравнения, имеют вид Будем считать поверхность электрода абсолютно каталитической, когда метастабильные атомы полностью дезактивируются на ней, и тогда в начальный момент времени nm(x,0) = 0. (3.14) 12. Кинетическое уравнение для концентрации димера аргона Ar2 16«2 дп2 R19nmN2+R15N2nm-R14n2 -R (3.15) R17nmn2 R18nen2 , 0 X b,t Начальные условия, выберем нулевыми, так же, как и для метастабильных атомов: и2 (х,0) = 0. (3.16) 13. Уравнение теплопроводности атомно-ионного газа j)E + QynNne дх{ а дх (3.17) где Ji=e(G++G2+) - ионный ток, Ла- коэффициент теплопроводности атомно-ионного газа, Qyn - энергия, получаемая тяжелыми частицами при упругих столкновениях с электронами. Будем считать, что электрод охлаждается водой. Тогда граничные условия для данного уравнения, запишутся в виде -Хад = -Х(Та-Тв), JC = 0, -хад = х(та-тв), x = b. (3.18) Здесь х - полный коэффициент теплоотдачи, Тв - температура охлаждающей электрод воды. 14. Кинетическое уравнение для нейтральных атомов — = -R1neN + R2n 2 m + R4nen+ + R5n 2 n+ - R6Nne + R7nm + R8Nnm + + R9nmne - R11n+N2 + R12nen2+ + R13nen2+ + R14n2 - R15N2nm + Л16/і2 + (3.19) Начальные условия будем ставить в виде P/kTa(x) = N(x,0). (3.20) При проведении расчетов в качестве системы единиц, выбрана система СИ. Данные для аппроксимации коэффициента диффузии De, подвижности электронов /ие, коэффициентов скоростей процессов прямой ионизации R1 и возбуждения метастабилей R6, вклада, вносимого упругими соударениями в нагрев газа Qyn, средней энергии є = 3кТе /2 определяются с учетом зависимости от приведенной напряженности электрического поля с учетом электрон-электронных соударений с помощью пакета BOLSIG+ версия 1.2 [142]. Для удобства зависимости указаны в приложении 1.

Численный алгоритм решения задачи при повышенных давлениях почти аналогичен алгоритму решения задачи при пониженных давлениях, изложенному во второй главе. В течение периода колебания приложенного напряжения уравнения решались в следующей последовательности: уравнение конвекции–диффузии для атомарных ионов, уравнение конвекции–диффузии для молекулярных ионов, уравнение конвекции–диффузии для электронов, уравнение Пуассона для потенциала электрического поля, уравнение баланса для метастабильных атомов, кинетическое уравнение для димеров аргона и кинетическое уравнение для нейтральных атомов. После расчетов по периоду рассчитывалось уравнение теплопроводности атомно–ионной температуры по значениям характеристик, усредненных за рассчитываемый период.

Разностная аппроксимация для уравнений конвекции–диффузии заряженных частиц строилась интегро–интерполяционным методом [93] с применением метода направленных разностей [95]. Для решения задач Коши использовалась неявная схема Эйлера. При аппроксимации квадратичной нелинейности в правых частях уравнений использовалась линеаризация по Ньютону. Плотности потоков для ионного и электронного газа рассчитывались по методу Гуммеля [147] от решения, найденного по неявной схеме.

Численный алгоритм основан на опускании нелинейности по входящим коэффициентам (коэффициенты диффузии, подвижности и скорости плазмо-химических реакций) на нижний слой. Линеаризация системы проводилась по методу типа Зейделя.

Линеаризация уравнения теплопроводности для атомной температуры проводилась методом простых итераций, в котором за начальное приближение выбиралось значение атомно–ионной температуры на предыдущем периоде.

Расчеты проводились до выхода процесса на стационарный режим, когда достигался полный баланс заряда в межэлектродном промежутке, а именно, заряд, который выносится за период колебания поля на электрод электронами, в точности компенсируется выносом положительного заряда ионами. 3.3. Разностные схемы для краевых и начально-краевых задач, а так же задач Коши входящих в систему.

Введем на отрезке [О, Ь] пространственную равномерную сетку coh = {х, = IhJ = 0,1,2,...,М}, h = (b-0)1 М, а также временную сетку o)z ={ts = sг,s = 0,1,....}, т - временной шаг. На сетке o)hxa t определим сеточные функции (для которых сохраним те же обозначения, что и для дифференциальных функций). Значения сеточных функций ср в точках JC/ ={xlJs)ecohx at будем обозначать через q \.