Введение к работе
Актуальность проблемы. В последние 'ода особое внимание как в России, так и зарубежом, уделяется технологии получения разноообразных композиционых полимерных материалов,- в том числе полимерных оптических волокон (ПОВ). Сфера применения таких материалов непрерывно расширяется, а об'єми производства резко возрастают, особенно в последние годы. В связи с атим возникает настоятельная необходимость разработки' новых прогрессивных технологий, создание которых немыслимо без построения соответствующей теоретической базы. Методы математического моделирования дают возможность, исходя из важнейших законов сохранения, получать качественную и количественную информацию о поведении и свойствах реальных, физических систем, в том числе информацию о единственности и неединственности их стационарных состояний, а также устойчивости к малым и конечным возмущениям без дорогостоящих лабораторных и производственных экспериментов. Методы нелинейного функционального анализа позволяют проводить исследование моделей, закладывая основу для построения численных и других приближенных методов решения соответствующих краевых задач, операторных уравнений и "неравенств, в том , числе с разрывными параметрами. Отдельные процессы, составляющие некоторую технологию, должны быть исследованы на основе единого методологического подхода. Изучение их устойчивости необходимо для повышения эффективности производства и повышения качества готовой продукци.' Важнейшие процессы, составляющие технологию производства полимерных оптических волокон и других композиционных полимерных материалов - это синтез исходных полимеров,- а также процессы многослойных течении в каналах формующих фильер и вне этих каналов. Задачи их изучения не являются частіший проблемами технологии производства полимерных композиционных материалов и уже давно составляют предмет интенсивных разработок . прикладного и теоретического характера, так . как лежат в основе разнообразных технологий энергетической, пищевой, строительной, химической, машиностроительной и других видов промышленности.. Все перечисленные выше процессы представляют собой нелинейные системы с распределенными параметрами. Модели многослойных течений включают в себя условия на свободных границах, в том числе на границах раздела слоев.
-«-
В настоящее время сложилось значительное число российских и зарубежных школ исследователей, использующих методы математического моделирования для анализа перечисленных выше проблем. Процессы полимеризации на основе математических моделей различных типов изучаются в работах Бабажданяна Д..С, Берлина А.А., Бостандаияна С.А., Бутакова А.А., Вольтера Б.В, Вольфсона С.А., Галягина К.С, Давтяна СП., Ениколопяна Н.С., Жиркова П.В., Зайцева СМ., Малкина А'.Я., Мержанова А.Г., Перлмуттера Д., Радугиной А.А., Сальникова Е.И. и других исследователей.
Математическому моделированию процессов течения полимерных материалов в каналах сложной формы посвящены работы Боярченко В.И., Первадчука В.П., Русяка И.Г., Торнера Р.В., Труфановой Н.М., Скульского О.И., Шерышева М.А., Янкова В.И. и других авторов.
Течения со свободными границами, в том числе многослойные течения, рассмотрены в работах Альеса U.K., Березина И.К., Ентова А.Л., Липанова A.M., Монахова В.Н., Овсянникова Л.В., Онянова В.А., Лухначева В.В., Радева СП., Ярина А.Л. и других многочисленных исследователей.
Течение растяжения на основе разнообразных нелинейных математических моделей изучается в работах Антуркара Н., Денна М.М., Жиганова Н.К., Зябицкого А., Касе С, Колпащикова В.Л., Матовича М.А., Матсуо Г., Пирсона И.Р.А., Фишера Р.Д., и других авторов.
Теория устойчивости Ляпунова применительно к системам с распределенными параметрами развивается в работах Азбелева Н.В., Зубова В.И., Красовского Н.Н., Максимова В.П., Мартышка А.А., Матросова В.М., Пановко Я.Г., Рахматуллиной Л.Ф., Сиразетдинова Т.К. и других исследователей.
Теория гидродинамической устойчивости продолжает интенсивно развиваться в трудах Вонга В.Т., Ганиева Р.Ф., Гольдштика М.Л., Демидовича Б.П., Джозефа Д., Колобова Б.П., Линя Ц.-Ц., Монина А.С, Пенкиной О.А., Ренарди Си М., Струминского В.В. и его учеников, Хусида В.М., Чена К., Штерна В.И., Шульмана З.П. и многих других. Исследованию конвективной устойчивости посвящены работы Гершуни Г.З., Хуховицкого Е.М., Любимова Д.В., Мартыненко О.Г., Тарунина Е.Л. и многие другие.
Вопросам математического обоснования методов гидродинамики посвящены работы Лаврентьева М.А., Ладыженской О.И., Лере Ж., Осколкова А.Н., Соболева С.Л., Шаудера D., Цдовича В.И. и других.
Методы функционального анализа применительно к уравнениям, моделирующим сложные системы, разрабатывались Абдуллаевым А.Р., Вайнбергом М.М., Гаевским X., Гохбергом И.Ц., Далецким Ю.Л., Красносельским М.А. и его многочисленными учениками, Крейном М.Г., Крейном С.Г., Мисюркеевым И.В., Садовским Б.Н., Соболевским П.Е., Треногиным В.А. и другими исследователями.
Однако обзор литературы указывает на необходимость изучения основных процессов в рамках единого подхода, так как различные исследователи рассматривают отдельные возникающие вопросы с разной степенью полноты и с различных методологических позиций. При реализации етой задачи возникает также целый ряд нерешенных проблем, связанных с построением и изучением моделей отдельных перечисленных выше процессов.
Цель работы. Построение математических моделей, учитывающих эффекты неоднородности, а также нелинейность поведения сложных гидродинамических систем в процессах синтеза полимерных композиционных материалов. Разработка комплексного подхода к расчету параметров устойчивых состояний рассматриваемых систем, включая изучение вопросов существования, единственности и ветвления стационарных режимов на базе операторных методов нелинейного анализа, а также построение численных алгоритмов и реализацию компьютерных моделей.
Основные нерешенные проблемы.
1. Не проведено теоретическое исследование процесса полимеризации в цилиндрическом химическом реакторе фронтального типа с внутренней подачей реагентов. Одна из трудностей состоит в необходимости исследования корректности и разработки высокоточного алгоритма решения нелинейной стационарной дифференциальной краевой задачи. Исследование ее ' устойчивости приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных и в линейном приближении требует изучения краевой задачи на собственные значения.
2. В литературе отсутствует математическая модель, теоретический и численный анализ условий существования и возможного ветвления стационарных режимов многослойных потоков жидкостей о сильной зависимостью вязкости от температуры .
3. Не проведено исследование стационарного изотермического двухслойного течения несмешивающихся нвньютоковских жидкостей с учетом различия их вязкоупругих свойств в цилиндрических каналах.
Постановка граничных условий на возмущенной границе раздела слоев для решения задачи об устойчивости требует аккуратного критического, пересмотра. Необходима разработка методов решения задачи на собственные значения для неклассического уравнения Орра -Зоммерфельда.
4. Отсутствует математическая модель . двухслойного
осесимметричного течения растяжения и ее анализ.
5. Оператор Грина двухточечной .краевой . задачи, возникавшей
в теории систем с бесконечным числом степеней свободы, не является
вполне непрерывным. Необходимы достаточные условия, при выполнении
которых он будет являться уплотняющим относительно некоторой меры
некомпактности и достаточные условия существования его неподвижной
точки. Математическая модель реакции свободно -радикальной
полимеризации в реакторе фронтального типа приводит к операторному
уравнению с нелинейным некомпактным . интегральным оператором.
В связи с этим возникает интерес к достаточным условиям
разрешимости интегрального уравнения Урысона с некомпактным
несжимавщим оператором.
Научная новизна выполненного исследования:
- получена новая математическая модель реакции свободно
-радикальной полимеризации в цилиндрическом реакторе фронтального
типа с внутренней подачей реагентов в форме нелинейного
операторного уравнения с интегральным оператором. На ее основе
впервые получены достаточные условия существования и единственности
решения соответствующей нелинейной стационарной дифференциальной
краевой задачи, представляющей модель указанной реакции
полимеризации с учетом протяженности фронта горения. Разработан и
реализован на ЭВМ новый приближенно -аналитический алгоритм
нахождения этого решения;
проведено исследование устойчивости стационарных режимов фронтальной полимеризации в проточном цилиндрическом химическом реакторе с внутренней подачей реагентов на базе нелинейной стационарной дифференциальной модели с непрерывно распределенными параметрами. Задача об устойчивости к малым возмущениям на основе указанной модели сведена к самосопряженной краевой задаче Штурма-Лиувилля;
исследовано явление гидродинамического теплового взрыва в стратифицированном течении типа Цуазейля для вязких жидкостей о сильной зависимостью от температуры. Получены аффективно
-r-
проверяемые необходимые и достаточные условия, при выполнении которых соответствующая нелинейная краевая задача имеет решение. Получены аналитические выражения этих решений вместе с условиями их существования и проведены расчеты на ЭВМ областей "глобальной устойчивостиj
проведено исследование линейной гидродинамической устойчивости двухслойного осесимметричного установившегося течения несмешиваюшихся неньютоновских жидкостей в бесконечном круглом цилиндре с учетом различия не только их вязких, но и упругих свойств. Сформулированы условия существования стационарного режима течения вязкоупругой жидкости, описываемой моделью максвелловского типа с производной Яумана, и выполнено исследование соответствующей задачи на собственные значения для уравнения типа Орра-Зоммерфедьда с разрывными коэффициентами для вязкоупругой жидкости. Критерий устойчивости найден как функция отношения времен релаксации и отношения других характеристик двухслойного потока. Проведены численные расчеты областей нестабильности в условиях, характерных для соекструзии полимеров в процессе производства ПОВ.
построена новая модель двухслойного течения растяжения вязких жидкостей с учетом неоднородности потока. Проведено ее аналитическое исследование, выяснена единственность решения соответствующей двухточечной нелинейной дифференциальной краевой задачи;
для некомпактного оператора Грина двухточечной краевой задачи в банаховом пространстве получены достаточные условия, при выполнении которых он будет уплотняющим относительно меры некомпактности в пространствах непрерывно дифференцируемых
функций;
- получены условия, при выполнении которых сильная
асимптотическая производная и производные по конусу (k,v)-
ограниченного оператора являются (k,v)~ ограниченными операторами.
Результаты применены к доказательству теорем существования решения
нелинейного интегрального уравнения Урысона с уплотняющим
оператором, действующим в пространствах непрерывных и суммируемых
функций.
Автор выносит на защиту: 1) математические модели гидродинамики реологически сложных сред с распределенными параметрами, а также процессов полимеризации в реакторах фронтального типа; 2) результаты теоретического исследования
корректности.построенных моделей' и других аналогичных систем с распределенными параметрами; 3) алгоритмы расчета стационарных состояний исследуемых систем и результаты их численного анализа; 4) алгоритмы расчета критериев устойчивости сложных гидродинамических течений; 5) результаты теоретического и численного анализа устойчивости исследуемых систем.
Достоверность научных, положений, выводов в результатов, полученных в работе, подтверждается следующим: 1) предложенные модели основаны на фундаментальных законах физики, химии я механики сплошной среда; .2) теоретические исследования опираются на научно обоснованные методы анализа; 3) расчеты на ЭВМ типа ПЗМУРС проведены с использованием стандартных процедур проверки точности результатов; 4) опытные данные находятся в согласии с результатами численного анализа и теоретическими выводами; 5) в частных случаях из полученных результатов вытекают известные.
Практическая в теоретическая ценность работы.
Полученные в работе условия тепловой гидродинамической устойчивости ' могут быть использованы при расчете параметров стационарных режимов в производстве многослойных полимерных волокон.
Математическая модель двухслойного течения растяжения и результаты ее анализа могут быть применены для расчета характеристик и контроля стационарных режимов вытягивания композиционных волокон. -
Результаты исследования стационарных режимов полимеризационных процессов могут служить тестовой проверкой численных методов, а также основой дальнейших теоретических и численных исследований устойчивости реакций фронтального типа.
Изложенные в диссертационной работе условия существования и единственности решений, а также разработанные алгоритмы поиска этих решений представляет методику применения абстрактной теории нелинейных операторных уравнений к конкретным интегральным уравнениям и нелинейным краевым задачам, возникающим в физике, химии и механике сплошной среды.
Реализованный в работе комплексный подход к изученив технологических процессов производства многослойных полимерных материалов совместно с новыми теоретическими результатами гл.7 расширяет сферу использования методов математического моделирования нелинейных систем с распределенными параметрами и может быть
-э-
применен к исследованию других технологических процессов.
Материалы по исследованию устойчивости двухслойных течений .в канале фильеры, вошедшие в диссертационную работу, внедрены в Инженером Центре полимерного оптического волокна (г.Тверь).
Апробация работы в публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на 5 Международном симпозиуме по химическим волокнам (Калинин, 1990); на Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды" (Новосибирск, 1991); 2 Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994); 19 Международном симпозиуме по передовым методам и задачам механики жидкости (Польша, Коцубник, 1989); 1 Международной конференции "Кол Іания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике" ( Минск, 1994); 2 Всесоюзной конференции "Реология и оптимизация процессов переработки полимеров" (Ижевск, 1989); Всесоюзной конференции с международным . участием "Полимермаш-91" (Киев, 1991); 4 Межреспубликанском симпозиуме "Остаточные напряжения: моделирование и управление" (Пермь, 1992); Республиканской конференции "Современное оборудование и процессы переработки полимерных материалов" (Киев, 1990); 2 Региональной конференции "Математическое моделирование в процессах производства и переработки полимерных материалов" (Пермь, 1990); Республиканской конференции "Современное оборудование и процессы переработки полимерных материалов" (Киев, 1988); 1,2 и 3 Уральских региональных конференциях по функционально -дифференциальным уравнениям" (Пермь, 1986,1987,1988); Всероссийской конференции о международным участием "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики и управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1994); на научной школе- семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990); Меядународной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов" (Пермь, 1994); 10 Зимней, школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995) и других конференциях.
Основные результаты диссертации опубликованы в 39 печатных работах, из которых 2 отчета о научно -исследовательской работе (номера гоо. регистрации №1860076375, N01890033071), 14 тезисов докладов и 23 статьи.
Структура И Об'ей работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Об'єм диссертации 256 о., из которых 56 рисунков, 1 о. приложения. Список
- 10-литературы содержит 263 наименования.
Автор выражает глубокую признательность профессору В.П.Первадчуку за помощь и ценные советы, а также профессору Н.В.Азбелеву и профессору Н.М.Матвееву за внимание к 'работе и поддержку.