Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена развитию и расширению возможностей метода линий уровня и решению с его помощью ряда интересных и важных задач дмеханики жидкости и газа, на актуальность которых указывается во многих руководствах. Метод линий уровня является одним из аналитических методов газовой динамики и гидродинамики. Аналитические методы играют важную роль в механике? жидкости и газа. Они дают точные решения, позволяют сделать вывод о существовании или несуществовании тех или иных режимов течений. Аналитические методы необходимы при оценке правомерности численных методов и при интерпретации экспериментальных фактов.
С математической точки зрения метод линий уровня относится как к методам качественной теории дифференциальных уравнений эллиптического и эллиптико-пшерболического типа, так и к активно развивающемуся направлению, которое, следуя монографии В. И. Арнольда и Б. А. Хесина 1998 г., может быть названо "Топологические методы в гидродинамике". Поэтому любое заметное развитие метода линий уровня и расширение его возможностей может рассматриваться и как вклад в развитие указанных математических направлений.
Основы метода линий уровня для двумерных течений базируются на использовании монотонного изменения одной из рассматриваемых функций вдоль линии уровня другой функции. Первой работой данного направления является статья А. А. Никольского и Г. И. Таганова (ПММ-1946) в которой для дозвуковых плоских потенциальных течений газа было установлено свойство монотонности модуля вектора скорости q и угла наклона вектора скорости в, состоящее в монотонном изменении каждой из этих функций при движении вдоль линии уровня другой функции. И в этой же работе данное свойство было эффективно использовано для доказательства несуществования безударных локальных сверхзвуковых зон, примыкающих к твердой стенке, при наличии на ее сверхзвуковом участке сколь угодно короткого прямолинейного отрезка, а также ряда других интересных утверждений. После этого указанные результаты прочно вошли в учебники по газовой динамике как теоремы А. А. Никольского и Г. И. Таганова.
Здесь уместно отметить одно досадное недоразумение. В известном учебнике Н. Е. Кочина, И. А. Кпбеля и Н. В. Розе (Часть 2) на стр. 170 ошибочно утверждается, что при движении вдоль звуковой линии монотонно меняется угол между вектором скорости и звуковой линией.
Если исправить доказательство, приведенное на этой же странице, то рассматриваемое утверждение перейдет в теорему А. А. Никольского и Г. И. Таганова о монотонном изменении угла наклона вектора скорости. Это ошибочное утверждение было включено в издание указанной книги 1948 г., а затем и во все последующие издания.
В 1949 г. А. А. Никольский (Труды ЦАГИ-1949) установил свойство монотонности функций р (давление) и в для вихревых дозвуковых течений и с его помощью показал, что при сверхзвуковом обтекании заостренного тела потоком с числом Маха М^ < 1,7 может реализоваться лишь присоединенная ударная волна слабого семейства. При этом естественно предполагалось, что угол в в каждой точке стенки не превосходит предельный угол ударной поляры. К сожалению, этот важный результат в открытой печати был опубликован лишь в 1981 г.
Отмеченные выше работы А. А. Никольского и Г. И. Таганова важны еще и тем, что в них естественным образом были заложены основы направления, которое может быть названо "Исследование качественных свойств течений жидкости и газа с использованием свойства монотонности функций риб". С математической точки зрения это направление является одним из разделов "Качественной теории уравнений с частными производными", в котором основную роль играет совместный анализ линий уровня рассматриваемых функций и граничных условий.
Указанные свойства монотонности, помимо отмеченных работ, использовались также в работах Э. Г. Шифрина (МЖГ-1966, ПММ-1969) и в ряде других работ. Кроме того, почти в каждой работе, в которой рассматривается звуковая линия в плоском потенциальном течении, используется отмеченная выше теорема А. А. Никольского и Г. И. Таганова.
Диссертация обобщает деятельность автора в обсуждаемой проблематике. Его первые работы в данном направлении, посвященные в основном исследованию дозвуковых вихревых течений между телом и ударной волной при сверхзвуковом обтекании заостренных и затупленных тел [1-4, 6,7,10], непосредственно развивали работу А. А. Никольского 1949 г. Помимо чисто газодинамических результатов, характеризующих различные свойства изучаемых течений, данные работы, а также статья [5], посвященная обтеканию тел дозвуковым потоком, поставили перед автором ряд вопросов, без решения которых дальнейшее развитие и совершенствование метода линий уровня было бы затруднено. Речь идет о следующем:
1. Какие иные функции или комбинации функций, кроме ;; и в, обла
дают свойством монотонности в плоских дозвуковых течениях?
-
Каково влияние газодинамических параметров и, в частности, сжимаемости, на структуру линий уровня?
-
Какова связь между структурой линий р = const, в = const на бесконечности и асимптотиками при дозвуковом обтекании тел?
-
Решения каких систем и в каких областях обладают свойством монотонности?
-
Распространимы ли свойства монотонности на осесимметричные течения, а если не распространимы, то какие преобразования зависимых переменных необходимы для возможности такого распространения?
-
Возможно ли вовлечение в метод линий уровня компонент вектора ускорения или некоторых их комбинаций?
-
Насколько принципиально условие о дозвуковых скоростях течения для работоспособности метода линий уровня с функциямп р и 0 или с другими возможными парами функций?
Очевидно, что даже частичная разработка указанных вопросов позволит существенно расширить возможности метода линий уровня и даст новую информацию о свойствах решений систем уравнений в частных производных и, как следствие, о новых свойствах течений жидкости и газа.
Основные цели диссертации сформировались под влиянием перечисленных выше вопросов.
-
Распространение метода линий уровня на решение произвольных квазилинейных однородных эллиптических, а затем, с некоторыми оговорками, эллиптико-гиперболических систем.
-
Построение алгоритма преобразования неоднородных спетом в однородные. Построение и всестороннее; изучение однородных систем для осесимметричных течений и для плоских течений, у которых зависимые переменные выражены через компоненты вектора ускорения.
-
Исследование структуры линий уровня до-и сверхзвуковых течений.
-
Построение асимптотик плоских и осесимметричных течений.
-
Детальное изучение (в продолжение и развитие работы А. А. Никольского 1949 г.) качественных свойств дозвуковых вихревых течений, реализующихся при сверхзвуковом обтекании между телом, удар-
ной волной и звуковой линией.
Основные результаты и их научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.
-
Показано, что решение произвольной квазилинейной однородной эллиптической системы двух уравнений первого порядка обладает свойством монотонности, согласно которому каждая из двух функций монотонна вдоль линии уровня другоіі функции. Более того, показано, что это свойство справедливо в области знакопостоянства якобиана отображения плоскости независимых переменных на плоскость решения, при этом вся область эллиптичности является составной частью одной из областей знакопостоянства якобиана [8-10,22,23].
-
Для плоских потенциальных течений показано, что вся область до- и сверхзвукового течения разбивается на области лишь двух типов, в соответствии со знаком указанного якобиана. Границами областей являются характеристики. В каждой из областей давление и угол наклона вектора скорости обладают свойством монотонности и, как следствие, для них справедлив принцип максимума. В частности, при дозвуковом обтекании тела с образованием локальных безударных сверхзвуковых зон вся эллиптико-гиперболическая область течения является однородной с точки зрения свойств монотонности и принципа максимума [22,23].
-
Построен алгоритм преобразования неоднородных систем в однородные. Алгоритм предполагает существование некоторых двупараме-трических решений исходной системы. Приведен целый ряд примеров таких преобразований для уравнений плоских и осесимметричных течений [8-12,16,17].
-
Более детально рассмотрено построение однородных систем для осесимметричных течений газа, а также для плоских течений с зависимыми переменными, являющимися рациональными функциями компонент вектора ускорения. Для последнего построения было использовано известное двупараметрическое решение, описывающее "спиральное течение". Характерно, что в естественной системе координат обе построенные системы практически идентичны друг другу и исходной системе для плоских течений. Также отмстим, что в сверхзвуковом случае условия совместности системы для компонент вектора ускорения полностью совпадают с транспортными уравнениями [9,10-12,14,16,20,23].
-
Построен ряд соотношений, характеризующих зависимость струк-
туры линий уровня от газодинамических параметров, самые эффектные пз которых звучат так:
В сверхзвуковом плоском вихревом течении тангенс угла Маха равен среднему геометрическому тангенсов углов, образуемых изобарой и изоклиной с вектором скорости, в то время как в дозвуковом течении модуль косинуса угла между изобарой и изоклиной не превосходит число Маха. [20,23].
6. При дозвуковом обтекании определенных в работе плоских симметричных тел с "колоколообразной" образующей и, в частности, выпуклых тел доказано отсутствие в поле течения точек ветвления изобар и изоклин. Для более широкого класса тел с "одновершинной" образующей и в плоском, и в осеспмметричном случаях доказано отсутствие в поле течения точек ветвления нулевых изоклин. Одновременно и для плоских, и для осесимметричных течений с помощью метода линий уровня вычислено точное значение! важного параметра N, равного числу нулевых изоклин, уходящих от тела с одновершинной образующей на бесконечность. Этот параметр является определяющим при построении асимптотик для дозвукового обтекания указанных плоских и осесимметричных тел [5,18-21].
Т. Предложен критерий подобия асимптотик, позволяющий при построении асимптотик использовать известные точные решения для несжимаемой жидкости (суперпозиция источника и однородного неограниченного потока, обтекание цилиндра и сферы) при условии совпадения числа нулевых изоклин, проходящих через бесконечно удаленную точку. Критерий особенно полезен для осесимметричных течений. Для некоторых классов плоских и осесимметричных тел построены асимптотики. Для плоских течений введено понятие площади вытеснения, ограниченной линией тока на всем ее протяжении и ее горизонтальной асимптотой. Показано, что при удалении рассматриваемой линии тока на бесконечность значение предельной площади вытеснения при обтекании "одновершинных'' тел стремится к конечному пределу, который, в свою очередь, входит в виде сомножителя в отмеченные выше асимптотики. Для осесимметричных тел введено аналогичное понятие объема вытеснения, при этом, как оказывается, предельный объем вытеснения играет такую же роль в асимптотиках для тел вращения [18-21].
8. При обтекании симметричных заостренных плоских тел, в каждой точке которых угол наклона стенки не превосходит значение предельного угла ударной поляры при некоторых естественных предположе-
ниях доказано, что при любых сверхзвуковых числах Маха набегающего потока исключены режимы сверхзвукового обтекания как с отошедшей ударной волной, так и с: ударной волной сильного дозвукового семейства [1-3,6,10].
9. Для широкого класса плоских тел с выпуклой, вогнутовыпклой, вогнутой, и предельно наклонной головными частями доказано, что при сверхзвуковом обтекании данных тел дозвуковой участок ударной волны будет выпуклым. Для симметричного обтекания клина с изломом образующей доказано, что звуковая линия выходит строго из точки излома образующей [3,4,6,7,10].
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации существенно развивают и расширяют возможности метода линий уровня как одного из математических методов исследования качественных свойств решений систем уравнений механики жидкости и газа. Приведенные в работе газодинамические результаты расширяют объем новой информации о свойствах течений. Все это может быть использовано при решении новых теоретических задач механики жидкости и газа, при оценке возможностей численных методов и при интерпретации экспериментальных фактов. Эти результаты могут быть использованы в университетских курсах по газовой динамике и в смежных математических курсах.
Апробация работы. Все результаты по теме диссертации получены и опубликованы автором лично, без соавторов.
На различных стадиях выполнения работа полностью или частично докладывалась и обсуждалась на семинарах Г. Г. Черного. Л. В. Овсянникова, Ю. Д. Шмыглевского, на конференциях "Современные проблемы механики жидкости и газа" (1989, рук. Г. Г. Черный). "Модели механики сплошных сред" (1989, В. П. Мясников), "Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике" (Москва, 1991. Г. Г. Черный, В. Я. Нейланд, А. Н. Крайко), "Аналитические методы газовой динамики" (1992, А. Ф. Сидоров), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (конференция им. И. Г. Петровского, МГУ. 1995, 1996, 1998, О. А. Олейник), "Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике" (1994, 1996, 1998, М. М. Лаврентьев), "Сибирская школа "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика"" (1996, 1997, Ю. Г. Решетняк), "Современные методы и
достижения в механике сплошных сред" (Москва, 1997, Г. Г. Черный, В. А. Садовничий), "Математика в приложениях" (Новосибирск 1999,
A. Ф. Сидоров), "Анализ и геометрия" (Новосибирск 1999, А. Д. Алек
сандров, О. А. Ладыженская, С. П. Новиков) и на ряде других. Кроме
участников и руководителей этих семинаров и конференций автор
считает своим приятным долгом поблагодарить С. К. Годунова,
B. И. Арнольда, П. И. Плотникова, Г. А. Тирского, Ю. Б. Лифшица,
В. В. Сычева, А. М. Блохина, С. И. Чернышснко, Г. Ю. Степанова,
В. В. Серебрякова, В. А. Топоногова, Е. В. Радкевича, В. А. Алек
сандрова, В. Н. Гребенева, Л. И. Кононскко за полезные обсуждения,
советы и помощь на различных этапах выполнения работы.
Автор также считает необходимым поблагодарить редакцию журнала ПММ, в котором опубликованы почти все результаты данной работы, и одна из статей автора в числе первых была отмечена премией журнала ПММ за лучшую статью 1992 года.
Значительная часть работы выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 95-01-00958 и 97-01-00833).