Введение к работе
Актуальность темы исследования. При разработке угольных пластов для добычи попутного газа – метана, применяют закачку под давлением воды с последующей быстрой откачкой. Это позволяет извлекать из щелей (кливажей) и микротрещин метан1. Однако при закачке водой скважины прочностные свойства угля могут измениться, в результате уголь может разрушиться и закупорить кливажи, затрудняя извлечение газа из угольных пластов.
Подобная проблема возникает также при сооружении глубинных построек или использовании глубинных аппаратов. Экспериментальные исследования П. Бриджмена2 показали, что при больших давлениях вода может проникать даже в твердые тела. По его наблюдениям, если стекло некоторое время подвергается высокому давлению воды, то при снятии нагрузки происходит помутнение и отслаивание стекла.
Не менее актуальным в настоящее время является использование различного рода фильтров, фильтрующих плит и настилов в различных технологических процессах, например, для очистки сточных вод от загрязнений. Вследствие нагрузки плита может деформироваться, что повлечет за собой деформацию пор и как следствие изменение ее фильтрующей способности (коэффициента фильтрации). Поэтому актуальность исследования фильтрации в упруго-пористых средах не вызывает сомнения.
Следует отметить, что исследование фильтрации жидкости ранее, как правило, проводилось в дисперсионных средах типа грунт. Однако даже в слабо пористые упругие тела под действием гидравлического напора может проникать жидкость. Следствием изменения напряженного состояния среды будет изменение порового пространства и коэффициента фильтрации.
К настоящему времени фильтрация жидкости в пористой среде достаточно хорошо и всесторонне исследована в статьях и монографиях Б.К. Ризен-1 Боскович Д., Кларк П., Льюис Р. и др. Метан угольных пластов: чистая энергия для всего мира // Нефтегазовое обозрение. 2009. Т. 21. №2. С. 4-17.
2 Бриджмен П. Новейшие работы в области высоких давлений // УФН. 1947. Т. XXXI. Вып. 2. С. 210-263.
кампфа, П. Бриджмена, П.Я. Полубариновой-Кочиной, Б.И. Баренблатта,
В.М. Ентова и В.М. Рыжик, К. Терцаги, М. Био, М.Т. Нужина и Н.Б. Ильинского, Г.В. Голубева и Г.Г. Тумашева, В.И. Аравина, Л.М. Котляря и Э.В. Сквор-цова, а также в современных работах ученых Казанского Федерального университета: И.Б. Бадриева, А.Г. Егорова, А.Г. Егорова и Ш.X. Зарипова, А.В. Косте-рина и других. В отдельности проблемы фильтрации и методы их исследования достаточно полно освещены Г.В. Голубевым и Г.Г. Тумашевым3. Авторами была предпринята попытка систематизировать некоторые аналитические и численные методы, разработанные, в основном, казанскими авторами под руководством Г.Г. Тумашева, В.Я. Булыгина, Г.С. Салехова. В качестве численных методов авторы отдают предпочтение разностным схемам и вариационным методам, в качестве приближенных аналитических используют метод Христиано-вича, метод разложения по собственным функциям и некоторые другие.
Следует отметить, что консолидация пор при фильтрации предусматривает описание нестационарных процессов с учетом фильтрационных, упругих и сжимаемых свойств среды, однако, не дает математическое описание среды в целом, как модели фильтрации в упруго-пористой среде. Модели упругой среды и фильтрации по отдельности хорошо изучены во многих работах по теории упругости и теории фильтрации, но модель фильтрации с учетом упругой деформации еще изучена недостаточно полно.
В настоящей работе сделана попытка восполнить этот пробел в механике сплошных сред и на основе совместного рассмотрения уравнений теории упругости и простейшей модели фильтрации сформулировать простейшую модель фильтрации в упруго пористой среде и применить аналитические и численные методы исследования.
Целью настоящей работы является построение новых математических моделей фильтрации в упруго-пористой среде и алгоритмов их исследования в
3 Голубев Г.В, Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. – Казань: Казан. ун-т, 1972. – 195 с.
рамках гипотезы о зависимости коэффициента фильтрации среды от первого инварианта тензора напряжений при малых упругих деформациях.
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
– исследование зависимости между средним радиусом капилляра и коэффициентом фильтрации в рамках существующего представления порового пространства в виде совокупности прямолинейных капиллярных трубок4 малого радиуса и связи коэффициента фильтрации среды с возникающими в среде напряжениями;
– построение математических моделей фильтрации в упруго-пористой среде, в том числе построение плоских математических моделей фильтрации в насыщенной упруго-пористой среде, исследование которых предполагает решение краевых задач для систем полигармонических уравнений;
– разработка численного алгоритма решения системы полигармонических уравнений для произвольных областей и его адаптация к решению системы дифференциальных уравнений, возникающей при исследовании математической модели фильтрации при плоской деформации;
– проведение вычислительных экспериментов по моделированию исследуемого явления и сравнение полученных численных результатов с известными точными решениями для круга;
– применение разработанного численного алгоритма к определению скоростей фильтрации и определению объема жидкости, поступающей внутрь полого цилиндрического тела при установившейся фильтрации;
– применение разработанного численного алгоритма для моделирования контуров обводнения области от источника с выпуклой гладкой замкнутой границей при неустановившейся фильтрации;
4 Kozeny, J. Grundwasserbewegung bei freiem Spiegel, Fluss- und Kanal-versickerung. Wasserkraft und Wasserwirt-schaft. 1931. – H.3. – P. 28-31.
– исследование фильтрации жидкости через упруго-пористую нагруженную плиту на упругом основании численными (метод граничных элементов) и аналитическими методами (метод, основанный на обобщенном дискретном преобразовании Фурье и аппарате почти-периодических по Бору функций, и метод Чарного).
Научная новизна результатов диссертационного исследования заключается в следующем:
– на основе упрощенной модели одномерной фильтрации в рамках закона Дарси и представления порового пространства как совокупности прямолинейных капиллярных трубок малого радиуса определена зависимость между средним радиусом поры и коэффициентом фильтрации, а также зависимость коэффициента фильтрации от первого инварианта тензора напряжений;
– построена новая математическая модель фильтрации в упруго-
пористой среде в рамках гипотезы о зависимости коэффициента фильтрации от первого инварианта тензора напряжений;
– построены плоские математические модели фильтрации в насыщенной упруго-пористой среде;
– построен на основе метода граничных элементов эффективный численный алгоритм решения системы полигармонических уравнений для произвольных областей с замкнутой границей, в том числе и многосвязных;
– построен численный алгоритм моделирования фильтрации в упруго-пористой насыщенной среде при плоской деформации;
– на основании разработанного численного алгоритма определены скорости фильтрации и определен объем жидкости, поступающей внутрь полого цилиндрического тела при установившейся фильтрации;
– разработан численный алгоритм расчета контуров обводнения области от источника при неустановившейся фильтрации;
– построены решения задач фильтрации жидкости через нагруженную упруго-пористую плиту на упругом основании, имеющую форму полосы, чис-6
ленными (метод граничных элементов) и аналитическими методами (метод, основанный на обобщенном дискретном преобразовании Фурье и аппарате почти-периодических функций, и метод Чарного);
– применяемые в работе методы могут быть общими для целого класса задач механики сплошной среды.
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, обеспечивается: во-первых, сходимостью решений, полученных внутри областей, к граничным значениям; во-вторых, хорошей согласованностью численных результатов с точными решениями, полученными аналитически в тестовых примерах. Разработанные алгоритмы основаны на уже апробированных к другим классам задач методах.
Теоретическая и практическая ценность результатов работы. Теоретическая ценность результатов диссертационного исследования заключается в построении математической модели фильтрации, учитывающей влияние малых упругих деформаций на фильтрующую способность среды и построении аналитических и численных алгоритмов решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и их систем, в том числе, систем полигармонических уравнений. Рассмотренные численные методы и алгоритмы могут быть использованы для решения задач теории гетерогенных сред, теории упругости, теории диффузии, теплопроводности, гидродинамики.
Практическая ценность заключается в том, что рассмотренные математические модели имеют важное приложение в таких отраслях, как нефтедобывающая и угледобывающая промышленности, мелиорация, строительство гидротехнических сооружений, освоение морских глубин и глубоководное строительство. Исследование одновременно упругих и пористых сред с точки зрения их фильтрующей способности, которая непосредственным образом влияет на их прочностные свойства, позволяет контролировать процесс разрушений. Фильтрация жидкости через изогнутые под действием внешней нагрузки упру-
го-пористые плиты малой толщины представляет практическую ценность в вопросах, связанных с фильтрацией загрязненной жидкости, очищении среды от твердых фракций, подпочвенного полива и, наоборот, извлечения жидкости из грунта. Фильтрация через мелкопористый материал может использоваться, например, для извлечения кислорода из воды. Определение контуров обводнения области от источника позволяет обеспечить управление процессами обводнения областей, а также высокую эффективность мелиорации, нефтедобычи.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности 01.02.05.
В соответствии с паспортом специальности 01.02.05 «Механика жидкости, газа и плазмы» в рамках диссертационного исследования построены новые математические модели фильтрации несжимаемой жидкости в упруго-пористой среде, а также предложены численные и аналитические методы их исследования. В рамках этих моделей определена зависимость коэффициента фильтрации от возникающих в среде напряжений и исследована фильтрация жидкости в упруго-пористой насыщенной среде (определены давление жидкости и скорости фильтрации внутри области и на границах, объем фильтрующейся жидкости); построены контуры обводнения области от источника при неустановившейся фильтрации для контроля и прогноза технологических и природных явлений; изучен вопрос фильтрации жидкости через нагруженную упруго-пористую плиту малой толщины на упругом основании; построены аналитические и численные алгоритмы решения краевых задач для областей различной конфигурации; получены и интерпретированы экспериментальные результаты.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных научных работ, 1 работа в электронном сборнике; из них 4 статьи опубликованы в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК РФ.
Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования докладывались на следующих конференциях:
- Международная научная конференция «Краевые задачи для дифферен
циальных уравнений и аналитических функций -2014» (Казань, 2014);
Всероссийская научно-практическая конференция «Механика: современное состояние, проблемы, перспективы» (Чебоксары, 2014);
Двенадцатая международная Казанская летняя научная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2015);
Международная конференция «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» (Улан-Удэ, 2015);
XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015);
Четвертая международная конференция "Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений" (Уфа, 2016);
- Международная конференция «Современные проблемы механики
сплошной среды» (Москва, 2017).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (110 наименований). Нумерация формул, таблиц и рисунков сквозная в каждой главе. Общий объем диссертации составляет 114 страниц.