Введение к работе
В работе обсуждаются результаты и анализируются возможности описания турбулентных сдвиговых течений несжимаемой вязкой жидкости нестационарными численными решениями трехмерных уравнений Навье-Стокса. Построены эффективные, высокоточные и мало чувствительные к ошибкам округления алгоритмы интегрирования этих уравнений. Проводится детальное исследование интегральных характеристик и пространственно-временной структуры рассчитанных турбулентных течений.
Актуальность проблемы. Подавляющее большинство течений вязкой жидкости в природе и инженерных приложениях имеет турбулентный характер. Их иространственно-временная структура очень сложна, они нестационарны и непериодичны во времени, имеют внутренние и пристеночные погралслои, в них вовлечены движения многих масштабов. Задача теоретического описания турбулентности является настоящим вызовом научному сообществу, которое пытается решить ее уже в течении столетия. Вместе с тем, как может быть для немногих задач, понимание природы и механизмов турбулентных течений, а следовательно возможное! ь управляй, ими, практически мгновенно скажутся на повседневной жи'эш; людей. Ясно поэтому, что умение рассчитывать турбулентные режимы течі-ііий на основе первых принципов (в данном случае на «-нове полной системы трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса) и анализировать результаты расчетов является актуальной и практически зпачимой задачей. В том числе актуальны проведенные в диссертации расчет и тщательное изучение турбулентных режимов течений в простейших геометриях: бесконечных плоском и кольцевом каналах, в прямой круглой трубе. Исследование закономерностей, механизмов и пространственно-временной структуры турбулентности в модельных задачах может помочь в построении математических моделей более сложных течений.
Значительная часть материала диссертации посвящена численному моделированию и изучению турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в бесконечной круглой трубе при сверхкритических числах Рейнольдса. Задл -ча описания ламинарно-турбулонтного перехода и установившейся гурбулент-
ности в круглой трубе является классической. Более столетия назад Осбори Рейнольде предположил, что неустойчивость стационарных течений в круглой трубе (т.н. течений Пуазейля) может быть причиной перехода к турбулентности, и с тех пор было предпринято множество попыток проверить эту гипотезу. Несмотря па большое количество работ, результаты диссертации являются одним из немногих теоретических свидетельств неустойчивости стационарного течения Пуазейля по отношению к конечноамплитудяым возмущениям при сверхкритических числах Рейнольдса. Постоянный интерес к проблеме основан на желании изучить механизмы и сценарии ламинарпо-турбулентного перехода в ситуации, когда базовое стациопарпое течепие асимптотически устойчиво в линейном приближении. Задача об устойчивости течения Пуазейля в бесконечной трубеагредставляет d этом отношении специальный интерес т.к. является одной из простейших математических идеализации знаменитых экспериментов Рейнольдса.
Для решения задач теории гидродинамической устойчивости и перехода к турбулептности методами вычислительной математики необходимы особо точные, экономичные и мало чувствительные к ошибкам округления численные методы. Дополнительным осложняющим обстоятельством дня задачи о турбулентных течениях в круглой трубе является необходимость описания полей скорости и давления в непосредственной окрестности координатной сингулярности. Разработка обеспечивающих спектральную точность и высокую эффективность алгоритмов интегрирования уравнений Навье-Стокса в цилиндрической геометрии при наличии координатных сингулярпостей является актуальной и имеющей гораздо более широкие (чем исследование гидродинамической турбулентности в круглой трубе) приложения задачей. Такие алгоритмы разработаны в диссертации, их точность и устойчивость скрупулезно тестируются.
В минувшее десятилетие достигнут значительный прогресс в расчетах турбулентных сдвиговых течений в тех ситуациях, когда в направлении среднего потока могут быть поставлены периодические граничные условия для ноля скорости. Сейчас.полным ходом разворачиваются работы по числепному моделированию сжимаемой турбулентности, по решению т.н. задач со входом и выходом (предполагающих непериодические, граничные условия для поля ско-
рости), по описанию турбулентных режимов течений в областях сложной конфигурации. Несмотря на это, использование математических моделей течений с периодическими граничными условиями в двух из трех пространственных направлениях для описания сдвиговой турбулентности по настоящему только начинается. К настоящему времени опубликованы достоверные результаты расчетов, касающиеся лишь основных интегральных характеристик турбулентности. Почти пе проводилось исследования тонких деталей пространственной и временной структуры течений, нет удовлетворительных физических и математических моделей процессов, происходящих в турбулентном пограяслое, не проведены параметрические исследования описывающих турбулентность численных решений уравнений Навье-Стокса. Парадокс состоит в том, что при современном состоянии алгоритмов и компьютерных систем вычислительная трудоемкость параметрических исследований не многим ниже, чем у пробных расчетов в задачах со входом и выходом или в каналах со сложной геометрией.
Поэтому следует признать актуальным проведенные в диссертации параметрические исследования математической модели турбулентных течений в круглой трубе, в ходе которых впервые установлена необходимость включения в рассмотрение супердлинноволновых движений в направлении среднего потока. На наш взгляд актуальна также предложенная в диссертации упрощенная волновая модель для пульсаций скорости в турбулентном погранслое у стенок трубы. Эта модель объясняет многие известные экспериментальные факты по структуре погранслоя, проясняет кинематику турбулентного течения.
Наконец, очевидна актуальность впервые проведенного в диссертации прямого численного моделирования турбулентных режимов течений в кольцевых трубах, возможность потенциального использования результатов расчетов и комплексов программ в технологических целях, например, в задачах ядерной энергетики. То же можно сказать относительно проведенного в диссертации прямого численного моделирования турбулентного теплопереноса в плоском канале.
Целью работы является разработка математических моделей и алгоритмов интегрирования трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса, проведение с их помощью прямого численного моделирования турбулентных
сдвиговых течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах, анализ и интерпретация полученных результатов.
Основные результаты работы:
1. На основе полной системы трехмерных нестационарных уравнений
Навье-Стокса впервые проведено полномасштабное численное моделирование
турбулентных и переходных режимов течений вязкой несжимаемой жидкости в
прямой круглой трубе. Полученные результаты являются одним из немногих
теоретических свидетельств неустойчивости ламинарного течения Пуазейля по
отношению к возмущениям конечной амплитуды при сверххритических числах
Рейнольдса. Расчеты проведены в рамках математической модели с периодиче
скими граничными условиями для поля скорости по оси трубы. В этих условиях
удалось провести вычисления с точностью, которая достаточна для адекватно
го описания не только базовых интегральных характеристик турбулентности
(коэффициента сопротивления, сдвигового напряжения Рейнольдса, интенсив-
ностей пульсаций компонент скорости, завихренности и давления, всех членов
уравнения баланса кинетической энергии Type'^nenTHOcTH и т.п.), но и важных
деталей пространственно-временной структуры турбулентных течений.
-
Разработано семейство псевдослектральных алгоритмов интегрирования уравнений Навье-Стокса (описывающих течения несжимаемой жидкости) в цилиндрической геометрии при наличии координатных сингулярностей. Алгоритмы обосновываются и тщательно тестируются на сложной модельной задаче описания ламинарно-турбулентного перехода и турбулентных течений в круглой трубе, однако потенциально могут иметь более широкое применение. Предложена новая замена зависимых переменных для уравнений Навье-Стокса, позволившая, несмотря на наличие особенностей, обеспечить высокую точность, которая присуща псевдоспектральяой технологии вычислений. Дня алгоритмов семейства характерна также исключительно низкая чувствительность к ошибкам округления, а их вычислительная трудоемкость сравнима с трудоемкостью лучших алгоритмов для моделирования турбулентности в декартовых координатах.
-
Предложена упрощенная волновая модель для поля скорости турбулентных сдвиговых течений в трубах и каналах. На основе частотного анализа
амплитуд и фаз всех фурьс-комионснт разложения поля скорости впервые установлено, что в каждой точке по нормали к стенке трубы (канала) пульсации скорости описываются суперпозицией бегущих и стоячих волн специального вида. Структура и параметры (амплитуды волн, их фазовые скорости, дисперсионные соотношения и т.п.) волнового пакета детально проанализированы. Обсуждается связь полученных результатов с известной гипотезой Тейлора, в том числе на основе полученных данных оценивается точность и пределы применимости этой гипотезы. Специальное внимание уделено тому, чтобы математическая модель течения содержала все существенные при рассматриваемых числах Рейнольдса масштабы турбулентных движений. В частности, анализ волновых движений впервые основан на расчетах, допускающих сверхмалые продольные волновые числа, которые не были разрешены в многочисленных предыдущих расчетах турбулентных течений в каналах и трубах. Показано, между тем, что параметры волновой модели и структура турбулентного погранслоя сильно зависят от того, включены или нет в рассмотрение длинные волны.
4. Проведено прямое численное моделирование двумерных вторичных и трехмерных турбулентных режимов течений несжимаемой вязкой жидкости в каналах кольцевого сечения. Показано, что двумерные численные решения уравнений Навье-Стокса лишь качественно верно описывают реальные турбулентные течения. Трехмерные же решения позволяют получать удовлетворительное согласие между расчетом и экспериментом. Проведено параметрическое исследование двумерных режимов в широком диапазоне чисел Рейнольдса, интервалов периодичности, отношений радиусов внутренних и внешних труб, образующих кольцевой канал и т.п.. Показано, в частности, что коротковолновые двумерные решения (т.е. решения с малым интервалом периодичности вдоль оси канала) являются периодическими функциями времени, представляя собой бегущую волну. Длинноволновые же двумерные решения представляют собой волновой пакет с несоизмеримыми фазовыми скоростями. Для предельного случая плоского канала впервые проведено численное моделирование турбулентного тенлопереноса на основе совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнения переноса тепла. Получены двумерные и трехмерные нестационарные решения, причем характеристики трехмерных решений хорошо
согласуются с экспериментом по турбулентному тешюнереиосу в каналах а трубах.
Научаая коввзыа. Все основные результати диссертации получены впервые.
Практическая п^иеость. Полученные о диссертации результаты численного моделирования турбулентных течений вязкоЯ жидкости в трубах и каналах, результаты расчета турбулентного теплонереяоса иогут н&ёти применение для построения математических моделей течений з более елсяхных геометриях,, для выработки рекомендаций по управлению турбулеяткьаш режимами течений, а также для тестирования новых турбулентных мсдагбЭ замыкания. Разработанные в диссертации алгоритмы шггегриронаяия уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах при наличии особенностей могут найти широкое применение при решении прикладных задач.
Авробадня |>абоїиі. Основные результаты диссертация докладдеались на научно-исследовательских семинарах в ИММ РАН, в ИПМ ем. М.В. Келдыша РАИ, в Акустическом институте РАН, в ИКИ РАІІ, на семинаре В.Л. Рождественского, В.А. Тупчиева в МГУ, на семинаре Г.И. Шрекблатта в Институте океанологии, па семинаре Г.Н. Абрамовича в ЦИАМ, па Всесоюзных школах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости (Москва, 19S6, 1988, 1990), на Всесоюзных конференциях "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики" (Москва, 1934, 1SS6), па Всесоюзной конференции по проблемам турбулентных течений (Жданов, 1384), на 6-м Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), на 18-м Симпозиуме по динамике жидкости (Мрагово, Польша, 1937), на Российско-Японских симпозиумах по вычислительной гидродинамике (Владивосток, 1S32; Tsukuba, Japan, 1990; Kioto, Japan, 1994), на "5-th European Physical Society Liquid State Conference" (Москва, 1989), на "6-th bxtemat. Symposium on Comput. Fluid Dynamics'' (Lake lahoe, Nevada, USA, 1995).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 191 наименования. Работа изложена на 285 страницах машинописного текста, включает в себя 70 рисунков и 30 таблиц.