Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Компактное уравнение Захарова 27
1.1. Каноническое преобразование. Удаление нерезонансных слагаемых в гамильтониане 29
1.2. Вывод компактного уравнения Захарова 34
1.3. Преобразование к физическим переменным 37
Глава 2. Аналитическое и численное исследование компактного уравнения для одномерных волн на глубокой воде 44
2.1. Бризеры 48
2.2. Неинтегрируемость компактного уравнения Захарова 54
2.3. Численный код для моделирования одномерного компактного урав
2.4. Нелинейная стадия модуляционной неустойчивости монохроматической волны 63
2.5. Устойчивость бризеров. Столкновения бризеров 68
Глава 3. Компактное уравнения для двумерных поверхностных
3.1. Монохроматическая волна. Анализ линейной устойчивости реше
3.2. Двумерное нелинейное уравнение Шредингера 81
3.3. Численный алгоритм решения уравнения для квазидвумерных
3.4. Численные эксперименты по формированию экстремальных волн 85
Заключение 88
Список литературы 92
- Вывод компактного уравнения Захарова
- Преобразование к физическим переменным
- Численный код для моделирования одномерного компактного урав
- Двумерное нелинейное уравнение Шредингера
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Работа посвящена изучению поверхностных волн большой амплитуды на глубокой воде - волнам-убийцам. Эти аномально высокие волны, чья амплитуда может превышать более чем в три раза среднюю амплитуду соседних волн, появляющиеся на морской поверхности на короткое время, представляют опасность для судоходства. Своеобразные черты волн-убийц не могут быть объяснены с помощью линейных теорий. Фокусировка океанских волн создает лишь предпосылки для процесса формирования волн-убийц, являющихся существенно нелинейными объектами.
Изучение вопроса в полной постановке задачи — путем решения уравнения Лапласа с нелинейными граничными условиями на неизвестной заранее свободной поверхности представляет собой сложную задачу. Часто используемые приближенные нелинейные модели, такие как нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), уравнение Дыстэ и другие модельные уравнения на огибающую, выведены в предположении малости отношения характерной длины волны к ширине волнового пакета. В реальных ситуациях с формированием волн-убийц на морской поверхности, это предположение заведомо нарушается, что ставит под сомнение некоторые результаты, полученные по этим моделям.
В настоящей работе применяется другой подход для изучения гравитационных поверхностных волн. Он заключается в использовании недавно полученного Дьяченко и Захаровым компактного нелинейного уравнения (Dyachenko and Zakharov 2011 [2]). Вывод этого уравнения основан на гамильтоновом формализме. Рассматривая волны, распространяющиеся в одном направлении, Дьяченко и Захаров продемонстрировали, что применением канонического преобразования от физических переменных (функции профиля свободной поверхности и значения потенциала скорости на свободной границе) к новой нормальной комплексной переменной можно существенно упростить вид гамильтониана для волн на глубокой воде, и записать уравнение движения к компактной форме, пригодной для аналитических и численных исследований.
Одним из вопросов, касающихся волн-убийц является вопрос статистики их появления. При этом наиболее важным представляется возможность вычисления вероятности появления волны-убийцы в определенном временном интервале в заданной пространственной области с некоторыми известными параметрами, определяющими картину волнения. Эта задача, имеющее большое практическое значение, может быть
решена проведением полномасштабных численных экспериментов, использующих в качестве начальных данных информацию со спутников.
Разработка кодов численного решения полной системы уравнений Эйлера для трехмерных течений идеальной жидкости со свободной поверхностью имеет важное значение с точки зрения изучения деталей появления и исчезновения волн-убийц. Но для решения статистических задач, например, определения функций распределения вероятностей амплитуд ветровых волн, необходимо проводить тысячи длительных численных экспериментов. Эта амбициозная задача может быть решена, по крайней мере при текущем состоянии компьютерной техники, только в рамках более простых приближенных моделей, требующих гораздо меньших вычислительных затрат.
Компактное уравнение Захарова с точки зрения численного моделирования, не сложнее решения НУШ или уравнения Дыстэ. Кроме того, при выводе этого уравнения, помимо предположения о малой крутизне исследуемых волн, не вводилось дополнительных ограничений. Поэтому исследование этого уравнения для описания формирования волн экстремальной амплитуды представляется актуальной задачей.
Цели и задачи диссертационной работы.
Целью настоящей работы являлось численное и теоретическое изучения одномерных и двумерных поверхностных океанских волн в рамках одномерного компактного уравнения Захарова и обобщенного для случая квазидвумерных волн уравнения Захарова. Особое внимание уделялось исследованию в рамках этих моделей образованию волн-убийц. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
Получение явного вида канонического преобразования от нормальной переменной компактного уравнения Захарова к естественным га-мильтоновым переменным (профилю свободной поверхности и потенциалу скорости).
Численное обнаружение в одномерном компактном уравнении Захарова нелинейных локализованных решений - бризеров - аналогов со-литонов огибающей НУШ. Исследование их устойчивости.
Исследование вопроса об интегрируемости компактного уравнения Захарова.
Исследование нелинейной стадии развития модуляционной неустойчивости периодических волн в рамках рассматриваемой нелинейной модели, путем численного решения эволюционного уравнения.
Поиск решений обобщенного квазидвумерного уравнения Захарова, исследование их устойчивости. Проведение численных экспериментов по изучению эволюции двумерных поверхностных океанских волн.
Научная новизна.
В работе впервые явно вычислены коэффициенты канонического преобразования, упрощающего гамильтониан для одномерных поверхностных гравитационных волн на глубокой воде, распространяющихся в одном направлении. Это позволяет восстанавливать физические параметры (форму свободной поверхности и потенциал скорости на границе) по решению рассматриваемого компактного уравнения Захарова.
Впервые найдены нелинейные локализованные стационарные решения компактного уравнения Захарова - бризеры различной амплитуды и крутизны. Показано, что в пределе малой крутизны, огибающая бри-зеров совпадает с классическим решением НУШ - солитоном огибающей. Такие решения могут рассматриваться как приближенные модели волн-убийц. Впервые исследованы столкновения разных бризеров и показано, что они являются неупругими.
Аналитически доказана неинтегрируемость компактного уравнения Захарова.
Впервые продемонстрирована применимость компактного уравнения Захарова для описания нелинейных поверхностных волн на глубокой воде путем сравнения результатов численного эксперимента по формированию волны экстремальной амплитуды с имеющимися результатами в рамках полностью нелинейной модели.
Выполнено исследование компактного уравнения Захарова, обобщенного для описания квазидвумерных поверхностных гравитационных волн на глубокой воде: проведен анализ линейной устойчивости решения в виде монохроматической волны и определены области волновых векторов неустойчивых возмущений. Обнаружено, что в пределе широких волновых пакетов, исследуемое уравнение сводится к хорошо известной, часто используемой модели описания двумерных гравитационных поверхностных волн - двумерному уравнению Шредингера на огибающую волн.
С помощью разработанного численного кода решения модифицированного уравнения Захарова проведены численные эксперименты, демонстрирующие образование двумерных волн-убийц на водной поверхности.
Теоретическая и практическая значимость.
Доказанное свойство неинтегрируемости компактного уравнения Захарова, а также существование в нем устойчивых нелинейных решений - бризеров являются новыми важными фундаментальными результатами в гидродинамике идеальной жидкости со свободной поверхностью в поле тяжести. С практической точки зрения, результаты, изло-
женные в диссертации, могут быть использованы для развития эффективных методов прогноза эволюции ветровых волн, а также предсказания появления волн-убийц.
Положения, выносимые на защиту:
Нелинейное каноническое преобразование от нормальной переменой компактного уравнения Захарова к физическим переменным - профилю свободной поверхности и потенциалу скорости на свободной границе.
Найденные методом Петвиашвили устойчивые нелинейные решения компактного уравнения Захарова - бризеры, огибающие которых в пределе НУШ совпадают с солитонами огибающей.
Результаты численного исследования задачи о взаимодействии найденных солитоноподобных решений - бризеров с разными параметрами, демонстрирующие появление ”излучения” бризерами при столкновениях, что говорит о неупругом характере их взаимодействия.
Доказанная неинтегрируемость компактного уравнения Захарова или эквивалентной ему системы нелинейных уравнений гидродинамики, описывающей одномерные гравитационные волны на глубокой воде в поле тяжести, распространяющиеся в одном направлении.
Результаты исследования применимости компактного уравнения Захарова в качестве модели для описания нелинейных океанских поверхностных волн, которые показали хорошее согласие данных в задаче о формировании волны-убийцы с наиболее точной моделью - полной нелинейной системой гидродинамических уравнений.
Выполненное аналитическое исследование обобщенного уравнения Захарова, описывающего квазидвумерные поверхностные гравитационные волны на глубокой воде. Анализ линейной устойчивости периодических волн, который показал устойчивость такого решения модельного уравнения относительно строго поперечных возмущений.
Разработанный алгоритм на основе псевдоспектрального метода Фурье решения обобщенного уравнения Захарова для случая квазитрехмерной гидродинамики, позволяющий эффективно исследовать задачи об эволюции двумерных океанских поверхностей.
Достоверность полученных результатов обусловлена использованием проверенных методик численного и аналитического решений. Исследуемые уравнения проверялись на соответствие с известными моделями в предельных случаях. Численные алгоритмы тестировались на аналитических решениях задачи линейной устойчивости монохроматической волны.
Апробация работы.
Основные результаты работы были доложены на следующих научных мероприятиях: Всероссийская конф. молодых ученых в рамках XII научной школы «Нелинейные волны - 2012» (Н. Новгород, 1-7 марта 2012 г.), Международная конф. «European Geosciences Union General Assembly» (Вена, 22 - 27 апреля 2012 г.), Международная конф. «Solitons, collapses and turbulence» (Новосибирск, 4-8 июня 2012 г.), Международная конф. «Nonlinear Waves in Fluids» (Лафборо, Великобритания, 12-14 сентября 2012 г.), XXI научная сессия совета по нелинейной динамике РАН (Москва, 24-25 декабря 2012 г.), Международная конф. «Fluxes and Structures in Fluids» (С.-Петербург, 25-28 июня 2013 г.), Международная конф. «Frontiers of Nonlinear Physics» (H. Новгород, 28 июля -2 августа 2013 г.), XXII научная сессия совета по нелинейной динамике РАН (Москва, 23-24 декабря 2013 г.), Международная конф. «Solitons, collapses and turbulence» (Черноголовка, 4-8 августа 2014 г.)
Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах: ”Законы сохранения и инварианты” ИВТ СО РАН (Новосибирск, 22 июня 2012 г.), Заседаниях ученого совета ИТФ РАН (Черноголовка, 21 июня и 20 декабря 2013 г.), Семинар отдела физической гидродинамики ИТ СО РАН (Новосибирск, 23 сентября 2014 г.)
Публикации.
Основные результаты работы опубликованы в 4 статьях в рецензируемых научных изданиях, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК.
Личный вклад автора.
Автором диссертационной работы получен явный вид канонического преобразования от классических гамильтоновых переменных к нормальной переменной компактного уравнения Захарова, проведено доказательство неинтегрируемости этого уравнения, а также выполнен анализ линейной устойчивости решения обобщенного на квазидвумерный случай уравнения Захарова. Численная реализация программных комплексов, проведение и обработка результатов численных экспериментов принадлежит автору полностью. Автор совместно с А.И. Дьяченко и В.Е. Захаровым участвовал в постановке целей и задач исследования, анализе полученных результатов, написании научных трудов.
Структура и объем диссертации.
Вывод компактного уравнения Захарова
Еще в 1968 году Захаровым в работе (Захаров 1968 [3]) было показано, что полная система уравнений гидродинамики для потенциальных течений жидкости со свободной поверхностью гамильтонова и эквивалентна двум гамильтоно-вым уравнениям на функции потенциала скорости ф(х,і) на свободной границе и на функцию свободной поверхности ф, t). Рассматриваемые волны длинные, так что капиллярными эффектами пренебрегаем. Кроме того, волны считаем не слишком крутыми, то есть крутизна волн есть малый параметр. Разложение полного гамильтониана по степеням г\ и ф до четвертого порядка имеет вид:
В работах (Dyachenko and Zakharov 2011 [33], Dyachenko and Zakharov 2012 [34]) было показано, что если рассматривать волны, распространяющиеся только в одном направлении, то каноническим преобразованием от естественных га-мильтоновых переменных ф и г] к нормальной комплексной переменной b{x,t) можно привести гамильтониан (1.2) к виду:
Тогда соответствующее уравнение движение в новой переменной примет следующую компактную форму: Символ означает производную по пространственной координате ж, а Р+ - оператор проектирования в верхнюю полуплоскость (Р+)2 = Р+ = -(1-.Я), (1.8) который возник в уравнении из-за предположения об однонаправленности поверхностных волн. В новых канонических переменных последнее означает, что в спектре Ъ(х) отличное от нуля значение имеют только те гармоники Ьк, для которых к 0. В уравнении (1.7) означает комплексное сопряжение, а оператор иок есть умножение на Jgk в Фурье-пространстве:
В работах (Dyachenko and Zakharov 2011 [33], Dyachenko and Zakharov 2012 [34]) не были вычислены коэффициенты канонического преобразования, позволяющие привести гамильтониан к форме (1.6), поэтому не было получено явное выражение, позволяющее восстанавливать физические переменные f](x,t) и ip{x,t) по известному решению b{x,t) уравнения (1.7). Вычисление всех коэффициентов преобразования, упрощающих исходный гамильтониан, а также получение компактного выражения преобразования г} ф і— 6,6 приводится в данной главе. Эти результаты опубликованы в книге ”Extreme Ocean Waves” под редакцией К. Харифа и Е. Пелиновского: Dyachenko A.I., Kachulin D.I., Zakharov V.E. 2015. Freak-waves: compact equation versus fully nonlinear one // Extreme Ocean Waves, eds. E. Pelinovsky and C. Harif. Springer. P. 23-44.
Построение канонического преобразования, упрощающего гамильтониан и соответствующее уравнение движения, удобно проводить в два этапа. На первом этапе строится линейное каноническое преобразование от двух вещественных гамильтоновых переменным к нормальным переменным (Захаров 1968 [3], Zakharov et al. 1992 [85]): щ = xf (ak + а _к) фк = -ixP (ak - а _к) (1.10)
После подстановки линейного преобразования в гамильтониан (1.2), разложенный в ряд до четвертого порядка по степеням г] и ф, гамильтониан в новых переменных также содержит слагаемые квадратичные, кубические и четвертого порядка по a(x,t) и a (x,t) (или (ak(t) и a k(t))):
Для дальнейшего упрощения гамильтониана (1.11), (1.12) и соответствующего уравнения (1.13) строится нелинейное каноническое преобразование от ак, ак к переменным Ьк, Ьк. Так как целью нового преобразование является удаление нерезонансных слагаемых третьего и четвертого порядков, а также максимально возможное упрощение четвертого порядка, то это нелинейное преобразование должно содержать члены линейные, квадратичные и кубические по новым переменным Ьк,Ь к. Ограничение на коэффициенты преобразования можно получить непосредственно потребовав выполнения условия каноничности преобразования через скобки Пуассона.
Другой способ получения ограничений на коэффициенты преобразования, использованный в данной работе, подробно описан в книге (Zakharov et al. 1992 [85]). Он основан на известном факте, что гамильтонова система обладает га-мильтоновыми свойствами на протяжении всего времени, а эволюцию канонических переменных можно рассматривать как каноническое преобразование. Строим вспомогательный гамильтониан со стандартными условиями симметрии для вещественных коэффициентов V
В статьях (Dyachenko and Zakharov 2011 [33], Dyachenko and Zakharov 2012 [34]) автором удалось еще больше упростить коэффициент (1.34), рассматривая волны, распространяющиеся в одном направлении. Из параметризованного решения системы резонансной поверхности (1.31) видно, что если в спектре новой канонической переменной b{x,t) ненулевыми являются только Ьк например с к 0, то bk с отрицательными значениями к 0 не появятся в результате четырехволнового резонанса. По этой причине, рассматривая только bk с к О, -функцию произведения волновых чисел можно заменить на произведение 6-функций, что позволяет упростить выражение до такого вида: также принимают компактную форму. 1.3. Преобразование к физическим переменным
После того, как были получены условия, приводящего исходный гамильтониан к виду (1.37) с коэффициентом Т кз, определяемым выражением (1.35), остается вычислить и упростить коэффициенты преобразования (1.17), а также по возможности записать в компактном виде взаимнооднозначное соответствие между новыми b(x,t), b (x,t) и старыми физическими r)(x,t), i/;(x,t) каноническими переменными:
Так как спектр Ъ(х) состоит только из гармоник с положительными к, преобразование (1.39) заметно упрощается. Вычисляем щ и фк для положительных к используя преобразования (1.10) и (1.17). Для обобщения щ и фк на случай отрицательных к пользуемся вещественностью этих функций:
Преобразование к физическим переменным
В данной главе представлены результаты аналитического и численного исследования компактного уравнения Захарова
Также в этой главе будет удобно пользоваться этим уравнением, записанным в / -пространстве: = шкЬк + [ T fibbbSk+b-b-bdhdhdh (2.2) с коэффициентом четырехволновых взаимодействий: fjtg3 = [-—(кк2\к - к2\ + kh\k - h\ + hhlh - к2\ + hh\h - h\) + + —(ifeifei(ife + iki) + k2h(k2 + jfe3))l e(k)e(h)e(k2)e(h) (2.3) Анализ нелинейных уравнений обычно начинают с поиска простых аналитических решений. В работах (Dyachenko and Zakharov 2011 [33], Dyachenko and Zakharov 2012 [34]) Дьяченко и Захаров привели такое простейшее решение в виде монохроматической волны: b(x,t) = Вое х- (2.4) При этом амплитуда волны Во может иметь произвольное комплексное значение и входит в нелинейную поправку к частоте UJQ. Действительно, решение в Фурье пространстве: bk(t) = л/2 В05к.кое-Шоі (2.5) Подставив его в уравнение (2.2) и проинтегрировав по к, воспользовавшись тем, что значение диагонального элемента четырехволнового коэффициента (1.32) Ткк = 2 , получаем следующее соотношение для частоты монохроматической волны: ш0 = шко + кц\В0\2 (2.6) Слагаемое к%\В0\2 - есть нелинейная поправка к частоте монохроматической волны амплитуды В0. Восстановив преобразование отЬккг)к,с учетом определений амплитуды волны (1.61), (1.58), получаем: uj0 = uJko(l + -k2\d\2). (2.7) Это известное соотношение Стокса для нелинейного сдвига частоты. Таким образом, простейшее решение исследуемого уравнения - монохроматическая волна соответствует разложению решения Стокса до третьего порядка.
Следующий стандартный шаг в изучении свойств нелинейного уравнения - исследование вопроса линейной устойчивости монохроматической волны был проведен в работах (Dyachenko and Zakharov 2011 [33], Dyachenko and Zakharov 2012 [34]). Рассматривая возмущенное решение в виде: (h0 + 6Ько+кре- г + 5Ько.кре-гП- )е- \ (2.8) где Ько - амплитуда основной Фурье гармоники с волновым числом ко, а Sbko±kp амплитуды Фурье компонент возмущения, отстоящих в спектре от основной на кр, авторы получили выражение для инкремента модуляционной неустойчивости 7А- гармоник возмущения:
На рисунке 2.1 приведен график инкремента модуляционной неустойчивости возмущения с волновым числом к, отсчитываемого от волнового числа ко = 100 несущей. Крутизна несущей волны / Инкремент модуляционной неустойчивости возмущений монохроматической волны с крутизной /І 0.1и волновым числом к0 = 100.
Первый раздел данной главы посвящен описанию бризеров - локализованных в пространстве решений исследуемого уравнения. Два параметра - групповая скорость V и частота Q полностью определяют решение. В этом разделе приводятся несколько бризеров, найденных численно с помощью итерационного метода Петвиашвили. Эти результаты опубликованы в статьях Dyachenko A. I., Kachulin D. I. and Zakharov V. E. 2013. Collisions of two breathers at the surface of deep water // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. Vol. 13. P. 3205-3210, Dyachenko A.I., Kachulin D.I. and Zakharov V.E. 2013 On the nonintegrability of the free surface hydrodynamics //Письма в ЖЭТФ Т. 98, № 1. С. 48-52.
В разделе 2.2 проведено аналитическое исследование интегрируемости компактного уравнения Захарова. К сожалению оказалось, что рассматриваемая модель неинтегрируема. Dyachenko A.I., Kachulin D.I. and Zakharov V.E. 2013 On the nonintegrability of the free surface hydrodynamics //Письма в ЖЭТФ Т. 98, № 1. С. 48-52.
Для численного исследования поведения одномерных поверхностных волн, описываемых в рамках рассматриваемой модели, был разработан численный код решения уравнения (2.1) псевдоспектральным методом Фурье. Подробности реализации этого метода применительно к компактному уравнению Захарова приведены в разделе 2.3.
В разделе 2.4, исследуется применимость компактного уравнения Захарова для описания нелинейных процессов на примере численного моделирования нелинейной стадии модуляционной неустойчивости и формировании волны-убийцы. Результаты этого моделирования сравниваются с решением аналогичной задачи в рамках точных, полностью нелинейных уравнений. Сравнение опубликовано в книге ”Extreme Ocean Waves” под редакцией К. Харифа и Е. Пелиновского: Dyachenko A.I., Kachulin D.I., Zakharov V.E. 2015. Freak-waves: compact equation versus fully nonlinear one // Extreme Ocean Waves, eds. E. Pelinovsky and C. Harif. Springer. P. 23-44.
В последней части главы численно демонстрируется устойчивость найденных в первом разделе бризеров, а также приводятся результаты экспериментов по столкновению двух разных бризеров. Столкновения являются ”неупругими”, однако форма бризеров после столкновения меняется незначительно. Это является демонстрацией того, что система неинтегрируема. Dyachenko A. I., Kachulin D. I. and Zakharov V. E. 2013. Collisions of two breathers at the surface of deep water // Nat. Hazards Earth Syst. Sci., Vol. 13. P. 3205-3210, Dyachenko A.I., Kachulin D.I. and Zakharov V.E. 2013 On the nonintegrability
Численный код для моделирования одномерного компактного урав
Нелинейная стадия формирования волны протекала существенно быстрее линейной. Амплитуда высоких гармоник росла, спектр быстро расширялся. В момент времени t = 874 ширина спектра была наибольшей (кривая (2) на рисунке 2.17), а фазы Ък скоррелированы (см. рисунок 2.19). Скоррелированность фаз Ьк означает появление некоторой локализованной структуры в х пространстве. Действительно, в момент времени t = 874 амплитуда сформировавшейся волны-убийцы достигла максимального значения. Крутизна волны (первая производная функции свободной поверхности rf(x)) в этот момент времени представлена на рисунке 2.18.
Поверхность в момент времени рис. 2.21. Поверхность в момент времени t = 802 из эксперимента в полной нелиней- t = 874 из эксперимента в исследуемой мо ной системе уравнений Эйлера дели
В данном численном эксперименте образовавшаяся волна не опрокинулась, а через примерно 15 периодов исчезла. В это время наблюдался возврат спектра к состоянию до появления экстремальной волны (сплошная кривая (3) на рисунке 2.17).
На рисунках 2.20 и 2.21 приведены профили свободной поверхности в момент регистрации максимальной амплитуды у волны-убийцы. Рисунки 2.20 взя 67
ты из статьи (Zakharov et al. 2006 [83]). Видно, что формы и амплитуды волн полученных в экспериментах в точной модели и компактном уравнении Захарова практически совпадают. Отличие времен их появления связано с небольшим различием начальных возмущений.
Дальнейшая эволюция поверхности изображена на рисунке 2.22. Видно, что с течением времени поверхность претерпевает существенные изменения -появляется все больше локализованных волновых пакетов, формой очень похожих на бризеры из рассмотренного выше раздела данной главы. Такие бри-зеры, с различными размерами, амплитудами и скоростями взаимодействуют друг с другом. Их столкновения приводит к частому появлению одиночных высоких волн большой крутизны, что можно наблюдать на нижнем графике рисунка 2.22. Такой сценарий характерен для ”квазисолитонной турбулентности” исследованной в работе (Zakharov et al. 2004 [82]).
В работе (Dyachenko and Zakharov 2008 [32]) численно были найдены гигантские сильнонелинейные бризеры в полной системе нелинейных уравнений. Оказалось, что в компактном уравнении Захарова существуют такие же узкие нелинейные бризеры, как в точных уравнениях. Для сравнения результатов были выбраны следующие параметры: V = 1/(2 50) и Q = /50/2 + 0.15. При таком значении V характерное волновое число несущей ко 50, как и в (Dyachenko and Zakharov 2008 [32]). Графики модуля и действительной части Ъ(х) бризера с такими параметрами приведены на рисунке 2.23. График амплитуды фурье гармоник \Ьк\ от волнового числа изображен сплошной кривой (1) на рисунке 2.24.
Форма поверхности, восстановленная с помощью преобразования (1.47) с точностью до второго порядка по Ь и график крутизны показаны на рисунках 2.26, 2.28. Крутизна найденного бризера очень большая - /І - 0.45. Прямое чис 69 ленное моделирование компактного уравнения Захарова с таким нелинейным бризером в качестве начального условия показало, что этот бризер является устойчивым решением уравнения: за время расчета более 1000 времен, его форма не изменилась. Это можно видеть на рисунке 2.24 где приведено сравнение спектров в начальный момент времени (сплошная кривая (1)) и через примерно 1000 времен расчета (показано точками (2)). Time = 3906
На рисунках 2.25, 2.27 приведены графики поверхности и крутизны бризе-ра в точных уравнениях из статьи (Dyachenko and Zakharov 2008 [32]). Сравнение рисунков 2.26, 2.28 c 2.25 и 2.27 показывает, что найденные в компактном уравнении Захарова сильно нелинейные решения неплохо качественно и количественно согласуются с решениями в полной нелинейной модели.
Как было показано в разделе 2.2, компактное уравнение Захарова является неинтегрируемым уравнением - коэффициент шестиволновых взаимодействий не зануляется на сооответствующей процессу 3 3 резонансной поверхности. В НУШ не только шестиволновой коэффициент равен нулю в условиях резонанса, но и все следующие порядки решения по теории возмущений. При этом 0.0002
НУШ является интегрируемым уравнением. Однако, наличие отличного от нуля шестиволнового коэффициента в компактном уравнении Захарова вносит поправки следующего порядка малости в решение, по сравнению с главенствующим четырехволновым процессом. Поэтому отличие в поведении, характерного для интегрируемых систем, в этом уравнении должно появляться в нелинейных задачах.
Хорошо изученной в рамках НУШ нелинейной задачей является задача о столкновении солитонов огибающих, имеющих разные скорости. При столкновении солитоны ведут себя почти как частицы сталкивающиеся упруго: их форма после взаимодействия не меняется. В компактном уравнении Захарова есть аналогичные солитонам НУШ решения - бризеры. Поэтому для исследования ”степени неинтегрируемости” уравнения (2.1) хорошей нелинейной задачей является задача о столкновении бризеров.
В работах (Dyachenko et al. 2012 [35], Fedele and Dutykh 2012 [39]) численно изучалось столкновение бризеров с разными параметрами. В них рассматривалось только одно столкновение двух не слишком крутых бризеров. И это 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0 -0.0001 -0.0002 -0.0003 столкновение казалось упругим. В дальнейшем, в работах (Dyachenko, Kachulin and Zakharov 2013 [25], Dyachenko, Kachulin and Zakharov 2013 [26], Dyachenko, Kachulin and Zakharov 2014 [27]) были проведены более точные длительные расчеты с большим числом столкновений бризеров со следующими параметрами: Vi = 1/16, Пг = 4.01 (волновое число несущей к0 64) и V2 = 1/18, П2 = 4.51 (волновое число несущей к0 81). Такие бризеры малой крутизны /І 0.07 сталкивались почти упруго, а изменения в их форме проявлялись после большого числа взаимодействий (см. рисунки 2.30, 2.31). С ростом нелинейности эти эффекты должны проявляться сильнее (и быстрее).
Для демонстрации этого утверждения, были проведены численные расчеты с другими начальными условиями. Постановка задачи в экспериментах по столкновению бризеров была следующей. В качестве начального условия задавались два бризера, удаленных друг от друга на расстояние 7Г. Первый бризер имел следующие параметры: Vi = 1/20 и Пг = 5.05 (волновое число несущей ко 100), характерная крутизна /І 0.15. Для второго бризера параметры име ли следующие значения: V2
Двумерное нелинейное уравнение Шредингера
Точка с координатами кх = 5, ку = 5 на рисунке 3.4 лежит в устойчивой области, а точка с кх = 5, ку = 2 - в неустойчивой. Из этого рисунка также видно, что относительно строго поперечных возмущений монохроматические волны устойчивы.
Как было показано в разделе 2.2, из компактного одномерного уравнения Захарова легко выводятся известные уравнения на огибающую волновых пакетов - уравнение Дыстэ и НУШ. Двумерное компактное уравнение Захарова (3.4) в пределе малой крутизны волн также сводится к известному двумерному уравнению Шредингера на огибающую широких волновых пакетов.
Уравнение (3.29) хорошо изучено. Помимо решения конденсата, в этом уравнении существуют такие решения как кинки и серые солитоны. В отличие от солитонов огибающей в НУШ с фокусировкой, эти решения являются периодическими по пространству.
Также как и в одномерном случае, двумерное компактное уравнение Захарова (3.4) численно удобно решать с использованием псевдоспектрального метода Фурье. Вычисления проводились в периодической квадратной области І [ь ( Уі)Ш Уі)2)
Для дискретизации уравнения в расчетной области вводилась прямоугольная равномерная сетка с количеством узлов Nx х Ny.
Для быстрого преобразования Фурье использовалась библиотека Fastest Fourier Transform in the West (Frigo and Johnson 2005 [42]). Интегрирование уравнения (3.4) по времени осуществлялось в к - пространстве методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с шагом т, удовлетворяющим критерию Куранта:
Основным преимуществом уравнения (3.4) при численных расчетах является то, что в нелинейной правой части отсутствуют производные по поперечной координате у. Поэтому вся нелинейная правая часть может независимо вычисляться для различных значений поперечной координаты у (см. таблицу 3.1) Также как и в одномерном случает, производные по координате х вычисляются в к - пространстве, а вычисление произведений функций в х, у:
(3.32) Здесь F-1 означает одномерное обратное преобразование Фурье. Оператор проектирования в верхнюю полуплоскость Р+, стоящий в правой части уравнения (3.4), оставлял в спектре функции Ь(х,у) гармоники Ькх:ку только с положительными волновыми числами кх 0.
Разработанный алгоритм решения уравнения (3.4) был распараллелен с использованием открытого стандарта OpenMP и программного интерфейса MPI. Вычисления проводились на суперкомпьютере ИВЦ НГУ. Максимальное достигнутое увеличение производительности распараллеленного кода по сравнению с нераспаралленной версией - 10 раз.
Тестирование разработанной программы осуществлялось на задаче о линейной стадии модуляционной неустойчивости монохроматической волны. Начальное условие в этих тестовых задачах имело вид: Ькхіку = 2жВ06кх,кхо6ку,куо + Sb5kxjkxo+kJkyAo+kyp + 6b5kxjkxo.kJkyjkyo.kyp (3.33) с амплитудой возмущений 5Ъ на несколько порядков меньше значения амплитуды основной волны BQ. В ходе расчетов вычислялись нелинейная поправка к частоте монохроматической волны, инкременты роста возмущений и сравнивались с выражениями (3.9), (3.19).
Во всех численных экспериментах помимо сохранения значения энергии контролировалось сохранение числа волн и импульса в продольном и поперечных направлениях:
Восстановление профиля свободной поверхности г){х,у) и потенциала скорости ф{х,у) по известной комплексной функции Ь{х,у) осуществлялось с ис 85 пользованием обобщенных на двумерный случай формул (1.42), (1.47) так, что поперечная координата у выступала в качестве параметра.
С помощью разработанной программы численного решения уравнения (3.4) были проведены эксперименты по изучению эволюции квазидвумерных гравитационных волн. Результаты одного из расчетов с формированием двумерной волны-убийцы приводятся в данном разделе.
В качестве начального условия в эксперименте задавалась монохроматическая волна (3.8) вместе с возмущением. Параметры монохроматической волны: кХ0 = 100, кУо = 0, Б0 = 1.5 10-4. Начальная крутизна поверхности /І 0.07. Проекции волновых векторов Фурье гармоник возмущения лежали в прямоугольной области с центром кХо, кУо. Размер этой области АкххАку = 11 хЗ. Амплитуда возмущений в начальный момент времени была на два порядка меньше амплитуды основной гармоники 5Ь(кх,ку) 1.5 10-6. Количество расчетных точек в х направлении Nx = 4096, в поперечном Ny = 1024. Шаг интегрирования обеспечивал сохранение значений полной энергии и остальных интегралов движения (3.34) с точностью до 9 знака после запятой.
Спектры функции Ь(х,у) в логарифмическом масштабе в моменты време 87 ни t = 240, t = 313 и t = 330 приведены на рисунке 3.5. В эксперименте спектр функции Ь(х, у) значительно расширялся вдоль направления кх, оставаясь при этом узким в поперечном направлении ку, до времени t 313. В это время на поверхности трехмерной жидкости сформировалась волна-убийца с амплитудой более чем в 3 раза превосходящей амплитуды соседних волн (рисунок 3.6). Время жизни этой волны составило примерно 20 периодов окружающих волн. С исчезновением волны, ширина спектра уменьшилась (см. нижний график на рисунке 3.5).