Колебательная и химическая кинетика в многотемпературных потоках воздуха за ударными волнами Шарафутдинов Ильдар Закирович

Содержание к диссертации

Введение

1. Многотемпературные модели неравновесной кинетики в воздухе 12

1.1. Колебательные распределения Тринора и Больцмана 12

1.2. Система уравнений для макропараметров

1.2.1. Четырехтемпературное приближение 20

1.2.2. Трехтемпературное приближение 24

1.2.3. Однотемпературное приближение 26

1.3. Составное распределение в случае сильной колебательной неравновесности 26

Выводы главы 1 31

2. Коэффициенты скорости переходов энергии и химических реакций 32

2.1. Коэффициенты скорости переходов колебательной энергии 32

2.1.1. Формулы обобщенной теории Шварца, Славского, Герцфельда 32

2.1.2. Модель нагруженного гармонического осциллятора 34

2.1.3. Аппроксимационные соотношения Капителли и соавторов 35

2.2. Коэффициенты скорости химических реакций 40

2.2.1. Уровневые коэффициенты скорости диссоциации и обменных реакций 40

2.2.2. Осредненные по колебательным распределениям коэффициенты скорости химических реакций 44

Выводы главы 2 51

3. Результаты численного моделирования течений воздуха за ударными волнаминаоснове многотемпературных моделей 52

3.1. Основные уравнения и условия во фронте ударной волны 52

3.2. Результаты расчетов макропараметров потока воздуха в релаксационной зоне за ударной волной

3.2.1. Влияния колебательных распределений на макропараметры потока в релаксационной зоне 58

3.2.2. Влияние моделей энергообменов и химических реакций на параметры течения воздуха за ударными волнами 67

3.2.3. Влияние колебательного возбуждения молекул воздуха в набегающем потоке на макропараметры за ударной волной 75

3.3. Течения бинарных смесей 80

Выводы главы 3 84

Заключение 86

Список литературы

• Четырехтемпературное приближение
• Формулы обобщенной теории Шварца, Славского, Герцфельда
• Результаты расчетов макропараметров потока воздуха в релаксационной зоне за ударной волной
• Влияние моделей энергообменов и химических реакций на параметры течения воздуха за ударными волнами

Введение к работе

Актуальность темы. При численном моделировании потоков воздуха за ударными волнами у поверхностей высокоскоростных летательных аппаратов, в соплах и струях важен учет неравновесного возбуждения внутренних степеней свободы молекул и химических реакций. Наиболее строгий подход основан на совместном решении уравнений газовой динамики и уравнений для заселенностей уровней внутренних энергий молекул смеси. В этом направлении в последние годы достигнуты большие успехи. Однако применение поуровневого описания в расчетах течений многокомпонентных смесей вызывает трудности, связанные, во-первых, с необходимостью интегрирования большого числа уравнений для заселенностей энергетических уровней молекул смеси в каждом конкретном случае и, во-вторых, с недостатком данных о коэффициентах скорости химических реакций и энергетических переходов, зависящих от внутренних энергий молекул разных сортов. Поэтому разработка эффективного упрощенного подхода для описания течений высокотемпературного воздуха, учитывающего основные неравновесные эффекты и в то же время пригодного для выполнения серийных расчетов при решении практических задач, является актуальной современной проблемой. Переход от поуровневого к многотемпературному описанию течений ударно нагретого воздуха позволяет сократить число неизвестных параметров течения и соответственно число решаемых уравнений. При этом важен выбор многотемпературных колебательных распределений, обеспечивающий наилучшую точность упрощенных моделей в разных условиях неравновесности. До настоящего времени не изученным оставалось влияние неравновесных колебательных распределений на параметры многокомпонентного воздуха в релаксационной зоне за ударной волной и не оценивались упрощения, принимаемые при выводе уравнений многотемпературной колебательной и химической кинетики. В связи с этим актуальной проблемой является создание обоснованных моделей многотемпературной кинетики в потоках воздуха и их применение в расчетах течений за ударными волнами при разных условиях в набегающем потоке.

Цель работы:

1. Разработка квазистационарных моделей, описывающих течения воздуха при высоких температурах с учетом сильной химической и колебательной неравновесности.

2. Исследование коэффициентов скорости неравновесных химических реакций в пятикомпонентном воздухе на основе двухтемпературных и од-нотемпературных колебательных распределений, справедливых в разных условиях неравновесности.

3. Применение разработанных моделей для решения задачи о течении пя-тикомпонентной воздушной смеси N₂/O₂/NO/N/O за сильными ударными волнами.

4. Оценка влияния колебательной неравновесности, выбора моделей энергообменов и химических реакций на колебательные распределения и газодинамические параметры за фронтом ударной волны на основе сравнения результатов, полученных при трехтемпературном и однотемпера-турном описании.

Научная новизна определяется, во-первых, использованием многотемпературного подхода, учитывающего сильные и умеренные отклонения от равновесия, при численном моделировании течений пятикомпонентного воздуха за ударными волнами. Предложенный подход сочетает упрощения многотемпературных моделей при выводе уравнений для макропараметров и строгость поуровневого описания при вычислении осредненных коэффициентов скорости реакций. Во-вторых, новыми являются оценки влияния колебательных распределений на осредненные коэффициенты скорости обменных реакций при разных отклонениях от равновесия, а также введение факторов неравновесности для обменных реакций и их расчет. В-третьих, новыми являются оценки влияния двухтемпературных колебательных распределений и моделей переходов энергии и реакций на эволюцию макропараметров за фронтом ударной волны в воздухе. В-четвертых, впервые показано сильное влияние колебательной неравновесности в набегающем потоке на макропараметры воздуха за фронтом ударной волны при трехтемпературном описа-4

нии. В-пятых, новым является сравнение колебательной температуры молекул кислорода, найденной в расчетах, с имеющимися экспериментальными данными.

Достоверность обеспечивается сравнением результатов диссертации с данными, полученными при использовании наиболее строгого подхода, учитывающего детальную поуровневую колебательную и химическую кинетику. Получено удовлетворительное согласие результатов, найденных в рамках предложенного в диссертации трехтемпературного подхода и поуровневого описания. Использованное в диссертации многотемпературное приближение имеет строгое обоснование в кинетической теории газов.

Достоверность результатов подтверждается также использованием в расчетах моделей переходов энергии и реакций, которые основаны на аппроксимациях экспериментальных данных и на строгих траекторных расчетах. Колебательные спектры молекул воздуха рассчитывались на основе строгой модели с учетом ангармоничности колебаний. На основе выполнения законов сохранения массы, импульса и полной энергии проверялась погрешность численного решения уравнений, которая не превышала 0.05%. Также достоверность результатов подтверждается их сравнением с экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность диссертации. Разработан многотемпературный подход для описания течений воздуха за ударными волнами при разных отклонениях от равновесия в диапазоне температур от 2000 К до 14000 К: представлены замкнутые системы уравнений для макропараметров, детально изучены двухтемпературные коэффициенты скорости диссоциации и обменных реакций Зельдовича, показано влияние колебательных распределений на эти коэффициенты.

Трехтемпературная модель использована для численного решения задачи о течении пятикомпонентного воздуха за ударными волнами, возникающими в равновесном и колебательно возбужденном газе. Разработана численная схема и программный код для расчета параметров ударно нагретого воздуха в трехтемпературном приближении. Результаты расчетов показали влияние колебательных распределений, моделей энергообменов и химических реакций, условий в набегающем потоке на изменение температуры, скорости

потока, состава воздуха и колебательных температур молекул азота и кислорода в релаксационной зоне за ударным фронтом. Представлено сравнение полученных результатов с данными экспериментов на ударных трубах. Также показано сравнение с результатами, найденными при поуровневом описании неравновесной кинетики и в однотемпературном термически равновесном газе. Даны рекомендации по выбору моделей переходов колебательной энергии, химических реакций и колебательных распределений при моделировании течений воздуха за ударными волнами.

Результаты проведенного исследования могут быть использованы при моделировании течений не только ударно нагретого воздуха, но и потоков в соплах и струях, а также при решении задач лазерной и химической физики.

Положения, выносимые на защиту:

5. Четырехтемпературная и трехтемпературные модели течений ударно нагретого воздуха, учитывающие неравновесные реакции диссоциации, рекомбинации, обмена атомами и переходы колебательной энергии в разных условиях неравновесности.

6. Двухтемпературная модель обменных реакций Зельдовича, основанная на осреднении уровневых коэффициентов скорости реакций по неравновесным колебательным распределениям. Результаты расчета факторов неравновесности и двухтемпературных коэффициентов скорости обменных реакций на основе разработанной модели с учетом разных колебательных распределений и их анализ.

7. Результаты применения трехтемпературных моделей, учитывающих сильные и умеренные отклонения от равновесия, при численном моделировании течений воздуха за ударными волнами при M = 10,13, 16. Оценки влияния колебательных распределений, моделей энергообменов и химических реакций в пятикомпонентном воздухе на изменение скорости, температуры и состава воздуха за фронтом ударной волны.

8. Модифицированные условия совместности на фронте ударной волны с учетом обменов колебательными квантами внутри фронта.

5. Оценка влияния колебательной неравновесности набегающего потока на параметры воздуха за фронтом ударной волны в трехтемпературном приближении.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих Всероссийских и международных конференциях:

9. Международная конференция по механике "Шестые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2012);

10. Всероссийская конференция с участием иностранных ученых "Современные проблемы динамики разреженных газов"(Новосибирск, 2013);

11. 29th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Xi’an, China, 2014);

12. 21st International Shock Interaction Symposium (Riga, Latvia, 2014);

13. Международная конференция по механике "Седьмые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2015);

14. XIX Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам, ВМСППС15 (Алушта, 2015);

15. XXIV Всероссийский семинар с международным участием по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Новосибирск, 2015);

16. 9-я Всероссийская школа-семинар «Аэротермодинамика и физическая механика классических и квантовых систем» (Москва, 2015);

17. XI Международная конференция Неравновесные процессы в соплах и струях, NPNJ’2016 (Алушта, 2016).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, из них три статьи в изданиях, индексируемых в SCOPUS (1, 3, 4), и одна статья (2) в журнале, входящем в перечень рецензируемых научных

журналов, рекомендованных ВАК. Зарегистрирована программа (16) в государственном Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации. Список работ приведен в конце автореферата.

В совместных публикациях автором получены системы уравнений для трехтемпературного, двухтемпературного и однотемпературного описания потока воздуха и бинарных смесей за ударными волнами, написана расчетная программа, получены численные решения рассмотренных в работе задач, их сравнение с существующими в литературе данными, автор принимал участие в обсуждении результатов, подготовке печатных работ и докладов на конференциях. В работах (1, 4 – 10, 12, 14, 15) Нагнибеда Е.А. принадлежат основная идея исследований, постановка задач и обсуждение результатов. В работах (1, 7 – 9) Куновой О.В. принадлежит расчет макропараметров воздуха за фронтом ударных волн в поуровневом приближении. В публикациях (4, 11) Кустовой Е.В. принадлежит основная идея работ, постановка задачи и обсуждение результатов. Савельеву А.С. принадлежит разработка модели описания коэффициентов скорости диссоциации молекул кислорода и азота в (4). В работах (4, 11) Облапенко Г.П. принадлежит обобщение модели Ландау – Теллера и выражений для времен релаксации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 69 наименования. Общий объем диссертации составляет 99 страниц, включая 42 рисунка и 6 таблиц.

Четырехтемпературное приближение

Здесь M = N2,O2,NO,N,O – партнер по столкновению, i, k, i , k – колебательные уровни молекул до и после столкновения соответственно. Одновременные TRV обмены поступательной, вращательной и колебательной энергией происходят со значительно меньшей вероятностью [27] и поэтому в работе не учитываются.

В высокотемпературных и высокоэнтальпийных течениях возбуждение внутренних степеней свободы молекул и химические реакции приводят к нарушению термодинамического равновесия. При этом релаксационные процессы, ведущие к установлению равновесных состояний, протекают с разными скоростями, некоторые из которых оказываются сравнимыми с характерными временами изменения газодинамических параметров. В таких условиях уравнения газовой динамики и неравновесной кинетики необходимо решать совместно, и выбор кинетической модели неравновесных процессов становится особенно важным при определении основных макропараметров течения [22]. Построению теоретических моделей неравновесной кинетики в потоках газов уделяется большое внимание в физической газодинамике. Обычно выбор кинетической модели осуществляется на основе существующих экспериментальных и численных данных о характерных временах релаксации.Из экспериментальных данных, полученых для смесей О2 / О и N2 / N [27, 7, 38, 45], хорошо известно, что при высоких температурах время релаксации поступательных степеней свободы Ttr имеет порядок среднего времени свободного пробега TQ , а для времени релаксации вращательных и колебательных степеней свободы выполняются соотношения Trot 5т0, ттЬг ЮООто [27]. В возбужденном газе характерное время VV обменов колебательными энергиями при столкновениях двух молекул значительно меньше времени релаксации за счет VT переходов колебательной энергии в поступательную и химических реакций. В этом случае в широком диапазоне температур выполняется следующее условие для времен релаксации: Пг Trot Туу Тут Tread 0, (1.12) где Туу - среднее время VV обменов колебательными энергиями, TVT среднее время VT переходов колебательной энергии в поступательную, тгеасі - время химической релаксации, в - характерное время изменения газодинамических параметров.

В многокомпонентных смесях помимо VV C обменов колебательными энергиями при столкновениях молекул одного химического сорта, происходят VVf обмены колебательными энергиями при столкновениях молекул разных сортов, при этом выполняется условие [29, 43, 22]: Пг Trot Tv Vi ту2 Тут Treact 0. (1.13) При условиях (1.12), (1.13) из кинетической теории выведены многотемпературные модели неравновесной колебательной и химической кинетики в потоках газов [22]. В условиях, когда все переходы внутренней энергии с характерным временем Tint происходят намного быстрее, чем химические реакции, для характерных времен справедливо соотношение [23, 22]: Пг Тш Treact - в. (1.14) В этом случае неравновесная химическая кинетика может быть рассмотрена при сохранении термически равновесных распределений по поступательным и внутренним степеням свободы [14, 23, 22].

В настоящей работе неравновесная колебательная и химическая кинетика в воздухе изучается на основе распределений, устанавливающихся при условиях (1.13), (1.14). В работе не учитываются процессы ионизации и электронного возбуждения, так как рассматриваются диапазоны температур, при которых влияние этих процессов на параметры потока оказывается слабее, чем влияние колебательного возбуждения и химических реакций [27].

Рассмотрим распределения молекул высокотемпературного воздуха по уровням колебательных энергий, которые реализуются в условиях (1.13), (1.14). В настоящей работе колебательная энергия е\ молекул сорта с на уровне г вычисляется на основе модели ангармонического осциллятора Морзе [6]: he где h - постоянная Планка, с - скорость света, ujce, ufexce - спектроскопические постоянные, характеризующие частоту и ангармоничность молекулярных колебаний, с = N2} 02, NO. Обычно в (1.15) учитываются два первых члена: в\ = єс0 + he {ujce - фсе - фсеі) і, (1.16) где єс0 = he (-исе - фі). (1.17) Для гармонических осцилляторов в разложении (1.15) сохраняется только первый член: ес{ = 1 + Нсш% (1.18) п = hc—cu„. о 2 е В расчетах в качестве последнего колебательного уровня 1С выбирается максимальное целое число, для которого выполняется неравенство єс( Dc (Dc - энергия диссоциации). Тогда для ангармонических осцилляторов /дг2 = 46, 1о2 = 35, lNO = 38, а для гармонических /дг2 = 32, lCh = 25, lNO = 26. В таблице 1.1 приведены молекулярные постоянные для компонентов воздуха, Orotic = 87r2/fc - характеристическая вращательная температура, 1С - момент инерции, /J-постоянная Больцмана.

При быстром обмене колебательными квантами в системе сталкивающихся молекул сохраняется число колебательных квантов. С учетом этого условия в однокомпонентном пространственно-однородном газе в работе [67]

Формулы обобщенной теории Шварца, Славского, Герцфельда

Коэффициенты скорости переходов колебательной энергии, входящие в уравнения многотемпературной кинетики, рассмотренные в Главе 1, выражаются через вероятности переходов при одном столкновении [27, 22]. Аналитические методы определения вероятностей переходов колебательной энергии подробно обсуждаются в [27]. В теории Шварца, Славского, Герцфельда [65] выражения для вероятностей VT переходов поступательной энергии в ной энергией для ангармонических осцилляторов [7, 29]. Модель основана на колебательную первоначально были выведены для столкновений гармонических осцилляторов. Позднее были получены обобщенные формулы с учетом ангармоничности колебаний и представлены выражения для коэффициентов скорости не только V T переходов, но и V V1c,c , V V2c,d обменов колебатель 33 решении задачи о столкновении частиц в квазиклассическом приближении.

В четырехтемпературном и трехтемпературном приближениях течения воздуха изучаются при условии (1.13) при быстрых VV?C обменах колебательными энергиями и замедленных VV обменах и VT переходах. В этих условиях уравнения многотемпературной кинетики (1.36), (1.37) содержат в релаксационных членах коэффициенты VV d обменов и VT переходов энергии [22].

Коэффициенты скорости одноквантовых VT, VV d обменов на основе обобщенной теории Шварца, Славского, Герцфельда для модели ангармонического осциллятора имеют вид [65, 27, 7, 29]: ki+1_+i = (г + l)A;cM10exp( Ti). (2.1) fcy = {i + l){k + 1)к$ exp{-\6vvk - Scvvi + 6cvvp\) eM6cvvp), (2.2) где 1 — 1 P = А 2AEC dm Коэффициенты kc10, к" ы определяются формулами [65, 27]: — \ 2 fcf0 = 1.294—( — ) —(і + 1.1- -) т 1/2ехр-3х + + Й (2.3) #? Ui = —AfAo—— , (2.4 с іи п fflUJ2 fi здесь Z/n = 2d2(2nkT/р)112 - число столкновений молекулы в единицу времени, d = 2 , rfi и G?2 - диаметры сталкивающихся частиц, є - глубина потенциальной ямы в потенциале Леннарда-Джонса, г - координата точки поворота, ZQ = 3 ориентационный фактор, ио - круговая частота осцил 1/3 2 / \ -і/з лятора, х = ЬМт) , ( г") = ( \А ё— ) , ffi – приведенная масса осциллятора, для молекул N2 и 02 Ai = А2 = 1/2. 2.1.2. Модель нагруженного гармонического осциллятора

В работе Адамовича, Мачерета, Рича, Тринора [30] на основе решения волнового уравнения Шредингера предложена модель переходов колебательной энергии, учитывающая ангармоничность колебаний и названная авторами моделью нагруженного гармонического осциллятора FHO (Forced Harmonic Oscillator). Преимущество этой модели заключается в том, что она справедлива при высоких температурах [30, 29], а также применима для многоквантовых переходов.

Формулы для коэффициентов скорости VT переходов колебательной энергии на основе этой теории записываются в виде [29]:

Коэффициенты скорости VV2c4 энергообменов при столкновении молекул сорта eиd определяются соотношениями:

Сыу =У ( ЇІЇ Г Йехр {-{вЫс )) Рассмотренная выше модель более затратна в вычислительном плане по сравнению с формулами Шварца, Славского, Герцфельда, так как для каждого колебательного перехода необходимо решать трансцендентные уравнения для нахождения коэффициентов Ccdyv2 и C VT.

Далее представлены соотношения для коэффициентов скорости переходов колебательной энергии, предложенные в работах М. Капителли и соавторов [31, 40] на основе аппроксимации результатов траекторных расчетов вероятностей переходов в работах Биллинга и соавторов [34, 35]. Коэффициенты скорости VT переходов при столкновении двух молекул азота, а также молекул N2 с атомами N представлены в [31, 40, 22] в виде:

Коэффициенты скорости VT переходов при столкновениях молекул кислорода с молекулами 02 и атомами О получены в следующей форме: %_ _! = шехр(&(г-1)), (2.10) Г 2.99 (2 = 1.8-1012ехр Г Л _ехр- П О С fco2, -i = ( -2)l2i2 o2 7-10-14exp - з (2.11) В приведенных формулах колебательная энергия нулевого и первого уровней берется в см"1. В аппроксимационных соотношениях, приведенных в работах Капител-ли, отсутствуют формулы для коэффициентов скорости VV2c4 обменов энергии, также отсутствуют аппроксимации коэффициентов скорости VT переходов при столкновениях молекул N2 с молекулами 02, NO, молекул 02 с молекулами ЛГ2, NO и атомами N. 1Q-15

При численном интегрировании уравнений для макропараметров течений воздуха за ударными волнами (в главе 3) коэффициенты скорости переходов колебательной энергии вычислялись на основе рассмотренных выше трех моделей. При использовании модели Капителли, коэффициенты тех переходов энергии, для которых отсутствуют аналитические аппроксимации, вычислялись по формулам обобщенной теории Шварца, Славского, Герцфельда. ходов энергии в зависимости от колебательного уровня при фиксированных температурах в случае столкновения с атомами азота и кислорода, вычисленные на основе модели SSH теории (сплошная линия), модели FHO (штриховая линия) и модели Капителли (штрих-пунктир). Видно, что на низких уровнях коэффициенты, полученные при использовании модели FHO, превышают коэффициенты, вычисленные на основе SSH теории, но с ростом i модель FHO дает более низкие значения коэффициентов чем SSH теория. С ростом T можно наблюдать увеличение разницы между коэффициентами на высоких уровнях, посчитанных по разным моделям. Коэффициенты скорости колебательных переходов молекул O2 , полученные по аппроксима-ционным соотношениям Капителли, превышают коэффициенты, найденные по SSH теории, при низких температурах, а с ростом T становятся ниже по значению, чем kOO2,i+1i по SSH теории. Для kNN2,i+1i наблюдается обратная ситуация. С ростом T kNN2,i+1i , полученные по соотношениям Капителли, дают более низкие значения. При этом коэффициенты, найденные на основе всех трех моделей, с ростом температуры возрастают.

Результаты расчетов макропараметров потока воздуха в релаксационной зоне за ударной волной

Рассматриваются одномерные стационарные течения пятикомпонент-ного воздуха за прямой ударной волной в трехтемпературном приближении. Система уравнений (1.29) – (1.37) в этом случае упрощается, уравнения сохранения интегрируются в квадратурах. В результате уравнения для макропараметров течения nN2(x),nO2(x),nNO(x), nN(x), nO(x), T(x), v(x), NO

В расчетах заселенности колебательных уровней ПСІ молекул описываются распределениями Тринора (1.21) и составным (1.88), равновесным больцма-новским распределением (1.25) и неравновесным распределением Больцмана (1.23), через х обозначено расстояние от фронта ударной волны, индекс (0) обозначает параметры перед ударным фронтом, h - энтальпия единицы массы: 1 1 1 5 1 1 PN2 P02 ITlNO ITlNO ITlN ГПо где /ic - молярная масса, R - универсальная газовая постоянная.

Релаксационные члены R2 2, R22 , лл?3 , RbT, RNO , RN2 , Ro2 в уравнениях (3.1) - (3.7) описываются выражениями (1.73 - (1.77), (1.54) (см. главу 1). В п. 3.2.1, 3.2.2 рассматривается задача об определении параметров за фронтом ударной волны, возникающей в равновесном набегающем потоке. Заселенности колебательных уровней молекул набегающего потока описываются больцмановскими распределениями с температурой газа. В соответствии с данными о временах релаксации разных процессов в воздухе [27, 38, 29] считается, что внутри фронта ударной волны происходит быстрая релаксация поступательных, вращательных степеней свободы, а также VVN2,N2 , vvo2,o2 обмены колебательными квантами, приводящие к установлению распределений Тринора непосредственно за фронтом ударной волны. Более медленные процессы VV , VT релаксации и химические реакции внутри ударного фронта предполагаются замороженными. Значения макропараметров непосредственно за ударным фронтом находятся из условий сохранения массы, импульса, энергии и общего числа колебательных квантов молекул азота и молекул кислорода с учетом постоянного состава смеси:

В однотемпературном приближении Т?2 = if2 = Т ; макропараметрами потока являются функции пс(х) (c = N2,02,NO,N,0), Т(х), v(x). Замкнутая система уравнений для макропараметров содержит уравнения (3.1) - (3.5), (3.8), (3.9). Заселенности колебательных уровней молекул описываются равновесным распределением Больцмана с температурой газа Т(х). Коэффициенты скорости химических реакций и колебательные энергии молекул N2 , О і зависят только от температуры газа. Уравнения, связывающие значения параметров до и непосредственно после фронта ударной волны, содержат уравнения (3.11) - (3.13) и уравнение сохранения полной энергии в виде:

В однотемпературном приближении предполагается, что внутри фронта устанавливается равновесие по поступательным, вращательным и колебательным степеням свободы. Значения чисел Маха сразу за ударной волной и отношения значений макропараметров до и сразу после фронта волны связаны известными соотношениями, следующими из уравнений Гюгонио и записанными в [1] в виде: где М(),М(:) - значения числа Маха в набегающем потоке и за фронтом волны, 7 = 9/7 – показатель адиабаты в однотемпературном термически равновесном газе.

Результаты расчетов макропараметров потока воздуха в релаксационной зоне за ударной волной

В данном разделе представлены результаты численного решения системы уравнений (3.1) - (3.9). Задача решалась при условиях в набегающем потоке, соответствующих высоте 48 км: Т = 271 К, р = 100 Па, при числах (0) ЛГ и химическом составе п Маха М() = 16,13, 0.79n(), ng = 0.21п() (п() - общая числовая плотность смеси в набегающем потоке). В п. 3.2.1 показано влияние величины М на макропараметры потока в релаксационной зоне за фронтом ударной волны, приводится сравнение результатов, полученных в трехтемпературном и однотемпературном приближениях с учетом и без учета ангармоничности колебаний молекул.

В п. 3.2.2 приведено сравнение значений макропараметров, полученных при использовании пяти моделей обменных химических реакций и четырех моделей VT переходов и VVd обменов колебательной энергией, описанных в главе 2. Коэффициенты скорости колебательных энергообменов вычислялись при использовании обобщенной для ангармонических осцилляторов мо 57 дели Шварца, Славского, Герцфельда [65], модели нагруженного гармонического осциллятора Адамовича и соавторов [30], формул, предложенных Ка-пителли [31, 40] при апроксимации точных траекторных расчетов Биллинга. Также в расчетах использовалась классическая формула Ландау-Теллера для расчета релаксационных членов (см. формулу (2.14)) [18] (см. также [27, 29]).

Двухтемпературные коэффициенты скорости обменных химических реакций (1.4), (1.5) вычислялись на основе моделей, приведенных в [25, 26, 21, 61, 69], а коэффициенты скорости реакций диссоциации (1.1), (1.2) - при использовании модели Тринора-Маррона (также см. п. 2.2.1, 2.2.2).

В п. 3.2.1, 3.2.2 приведены результаты, полученные при равновесных условиях в набегающем потоке Т т = Tf2(0) = Т , в п. 3.2.3 учитывается влияние неравновесных распределений молекул А и Оъ перед ударным фронтом.

Система решалась при помощи математического пакета Matlab, в рамках этого пакета использовалась встроенная функция для решения жесткой системы дифференциальных уравнений ode15s, которая основана на методе численного дифференцирования назад, известного как метод Гира.

Влияние моделей энергообменов и химических реакций на параметры течения воздуха за ударными волнами

На рисунках 3.13a,b представлена зависимость температуры и скорости за ударной волной при использовании четырех моделей для описания коэффициентов скорости переходов колебательной энергии при M = 16. Аппроксимации Капителли (точки) приводят к более высоким значениям температуры и скорости по сравнению с SSH теорией (сплошная). Отличие значений при использовании модели по SSH теории и при использовании ап-проксимационных соотношений Капителли достигает 2.4% для T и 2.23% для v . Такая маленькая разница частично связана с тем, что аппроксимации Капителли даны не для всех переходов энергии, и поэтому в расчетах для вычисления недостающих коэффициентов скорости колебательных переходов использовалась SSH модель. Разница между значениями, полученными при использовании SSH модели и при использовании модели нагруженного гармонического осциллятора (штриховая линия), достигает 2.3% для температуры и 2.9% для скорости. При использовании модели на основе формулы Ландау–Теллера (LT) и времени релаксации по формуле Милликена–Уайта с поправкой Парка (штрих-пунктир) (2.19) получается наибольшее отличие значений T и v от значений, полученных при использовании SSH модели, оно составляет 12.6% для температуры и 11.3% для скорости газа. С ростом x эта разница уменьшается и отличие макропараметров при использовании FHO модели, аппроксимаций Капителли или формул LT от значений полученных по SSH теории при x 1 см не превышают 1%.

Температуры первого колебательного уровня молекул азота и кислорода в зависимости от x представлены на рисунках 3.14a,b. Аппроксимации Капителли дают заниженные значения температуры первого колебательного уровня молекул азота по сравнению с SSH теорией. Разница между значениями T1N2 , полученными по SSH формулам и аппроксимационным соотношениям, доходит до 6%. Для T1N2 в случае FHO модели максимум достигается раньше, чем в при использовании SSH теории, и максимальное значение колебательной температуры азота выше. При этом разница достигает 76,3%. Из рисунка 3.14b видно, что в случае FHO максимум T1O2 достигается позже, чем в случае SSH, и максимальное значение T1O2 ниже. Разница значений T1O2 при использовании моделей FHO и SSH достигает 19.9%. При использо

Зависимость температуры T (a) и скорости v (b) от x . вании формулы Ландау-Теллера максимум T1O2 , T1N2 для обеих температур выше, чем в случае SSH, и достигается раньше. Значения T1O2 , полученные по модели Капителли, слабо отличаются от значений, полученных по SSH теории.

Сравнение безразмерных числовых плотностей молекул и атомов, полученных на основе разных моделей для V T переходов и V V2c,d обменов, приведено на рисунках 3.15 – 3.17. Из рисунка 3.15a,b видно, что при использовании LT модели диссоциация молекул азота и кислорода происходит быстрее. Это связано с тем, что в этом случае задержка на колебательную релаксацию значительно меньше, чем при использовании SSH модели или FHO. Такая быстрая диссоциация молекул приводит к тому, что с появлением атомов обменные реакции при использовании LT модели начинаются раньше, что приводит к быстрому достижению максимальных значений nNO/n. Модель FHO дает меньшие отличия значений числовых плотностей молекул и атомов азота и кислорода по сравнению с SSH теорией. Анализируя проведенное сравнение, отметим, что при учете одноквантовых переходов использование SSH и FHO моделей приводит к близким значениям числовых плотностей, температуры и скорости. Более заметные различия обнаружены при вычислении колебательных температур. Поэтому для проведения вычислений температуры и состава воздуха можно рекомендовать модель на основе SSH теории как более простую при практическом применении.

Зависимость nNO/n от x. На рисунках 3.18 – 3.22 представлено изменение макропараметров за ударной волной, полученных при использовании рассмотренных во 2 главе моделей обменных реакций. Значения макропараметров, полученные по моделям Русанова–Фридмана [26] (кривая 2) и по модели Полака [25] (кривая 3), мало отличаются друг от друга (разница между макропараметрами не превышает 1%). Значения макропараметров, полученные по модели Маче-рета [21] (кривая 4) и модели Парка [61] (кривая 5), тоже практически не отличаются, поэтому далее сравнения будут проводится только для трех моделей для коэффициентов скорости обменных реакций: модель Варнатца [69], модель Русанова, Фридмана [26] и модель Мачерета [21].

Зависимость температуры воздуха T (a) и скорости v (b) от x . (1) – Варнатц [69], (2) – Русанов–Фридман [26], (3) – Полак [25], (4) – Мачерет [21], (5) – Парк [61]. На рисунке 3.18a,b представлена зависимость температуры и скорости от x при использовании разных моделей реакций. Температура и скорость, полученные по [26], быстрее уменьшаются и отличие составляет 11,6% и 9,3% соответственно. При использовании [21] получаются завышенные значения T и v , но отличие значений от модели [69] достигает всего 1,6%.

Рисунки 3.19a,b показывают изменение температур первого колебательного уровня молекул азота и кислорода, найденных на основе рассмотренных моделей реакций. Результаты, полученные на основе модели Мачерета [21] и модели Варнатца [69], оказываются близкими. Максимальное различие составляет 2%. 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000

Безразмерные числовые плотности молекул и атомов, полученные на основе разных моделей обменных реакций, приведены на рисунках 3.20 – 3.22. Можно заметить, что в случае модели Русанова, Фридмана [26] быстрее уменьшаются числовые плотности молекул азота и кислорода, и быстрее возрастают значения nNO/n, nN/n и nO/n. Это связано с тем, что при использовании этой модели, как показано в гл. 2, получаются более высокие значения прямых коэффициентов скорости обменных реакций (рис. 2.8)