Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 10
1.1. Методы решения задачи о движении ионов в электрическом поле. 10
1.2. Методы решения уравнения Больцмана 12
1.3. Интеграл столкновений и матричные элементы 16
1.4. Выводы главы 1 21
Глава 2. Релаксация ФР ионов после резкого включения постоянного электрического поля и нестационарный моментный метод 23
2.1. Исследование ФР ионов при наличии электрического поля 33
2.2. Аналитическое решение нестационарной задачи. СЕМ модель . 36
2.3. Нестационарный моментный метод. СЕМ модель 39
2.4. Нестационарный моментный метод. Различные модели взаимодействий 46
2.5. Умеренное и сильное электрическое поле 51
2.6. Выводы главы 2 59
Глава 3. Пути преодоления сложностей моментного метода . 61
3.1. Метод разложения по сферическим гармоникам 61
3.2. Модифицированный моментный метод 66
3.3. Выводы главы 3 72
Глава 4. Релаксация функции распределения ионов после резкого включения периодического электрического поля 74
4.1. Аналитическое решение для гармонического поля. СЕМ модель. 76
4.2. СЕМ-модель. Решение моментным методом 84
4.3. Численное решение моментной системы
4.4. Результаты расчетов для ряда моделей взаимодействия 101
4.5. Возможный эксперимент на основе результатов расчетов 106
4.6. Выводы главы 4 110
Заключение 112
Литература
- Методы решения уравнения Больцмана
- Аналитическое решение нестационарной задачи. СЕМ модель
- Модифицированный моментный метод
- Численное решение моментной системы
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Вопрос о поведении примеси заряженных частиц в нейтральном газе при наличии полей возник достаточно давно. Как отмечают в своей книге Мак Даниель и Мэзон (1988), первые надежные экспериментальные данные были получены в 50-х годах прошлого века. В это же время появились первые серьезные теоретические работы, в которых изучалось движение примеси ионов в газе при наличии электрического поля, выполненные Сена (1946), Ванье (1953) и Перелем (1957). Тогда же были сформированы основные теоретические подходы к решению этого класса задач: с помощью гидродинамического описания, с помощью решения кинетического уравнения Больцмана и прямое численное моделирование.
Физика низкотемпературной плазмы как отдельное направление сформировалась совсем недавно ( Чен и Чанг (2002)). Это связано с большими сложностями при изучении ион-нейтральных систем, связанными с необходимостью правильного учета столкновений частиц с фоновым газом и взаимного влияния частиц. Большинство имеющейся информации является либо экспериментальными данными, либо результатом компьютерного моделирования. Таким образом, теоретическое описание таких систем на основе кинетического уравнения развито недостаточно. Кинетическое описание необходимо, поскольку знание функции распределения частиц дает возможность вычислять все основные макропараметры системы: концентрацию частиц, токи и т.д. Описание процессов ионизации и вычисление констант химических реакций также требуют информации о высокоскоростных частицах, а как известно, так называемые «хвосты функции распределения» крайне сложно восстановить из макровеличин (плотность, ток), а это значит, что необходимо решать кинетическое уравнение. И если определенные результаты в изучении функции распределения электронов уже достигнуты (благодаря возможности применения упрощений, связанных с большой разностью масс частиц), то в области изучения функции распределе-
ния ионов еще многое предстоит сделать.
В диссертации изучено поведение малых примесей ионов в фоновом газе при наличии внешних полей. Примесь считается малой, если она не изменяет функцию распределения фонового газа и отсутствует взаимодействие между частицами примеси. Взаимодействия между частицами примеси и фоновым газом считаются упругими, то есть явления поляризации и ионизации не рассматриваются.
Можно выделить несколько прикладных областей, для которых необходимо кинетическое описание систем с небольшой примесью ионов в нейтральном фоновом газе при наличии электрического поля. Первая - это эксперименты с дрейфовыми трубками и основанная на них масс спектрометрия на базе подвижности ионов. В настоящий момент масс-спектрометры на основе ионной подвижности и дрейфовые трубки очень широко используются как в системах безопасности (для детектирования наличия тех или иных веществ), так и в медицинских исследованиях. Другими областями, где востребована информация о функции распределения, являются: плазменная обработка материалов, изучение поверхностей материалов путем бомбардировки их ионами, теоретическое описании ВЧ разрядов и разработка газовых детекторов излучения.
Для моделирования упомянутых выше устройств и явлений необходимо, по крайней мере, знание коэффициентов подвижности и диффузии, а в идеале - полной функции распределения ионов по скоростям. Если по вычислению коэффициентов переноса существует довольно много теоретических работ и данные приводятся для многих газов (работы Виланда, Уайта, Робсона), то о функции распределения информации значительно меньше. В настоящее время нет точного метода аналитического решения уравнения Больцмана. Метод прямого численного моделирования систем дает достоверные результаты только в области небольших скоростей. Это связано с тем, что объем вычислений в рассматриваемой проблеме является слишком большим даже для современных вычислительных машин. В этой связи представляется исключительно важным
вопрос о расчете функции распределения ионов при наличии внешних полей на основе решения кинетического уравнения Больцмана.
Цели и задачи диссертационной работы: Целью диссертационной работы является исследование поведения малой примеси ионов при наличии электрического поля. Рассматривается пространственно однородный случай и упругие столкновения между частицами. Вычисления проводятся с помощью нестационарного моментного метода и его модификаций.
Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
-
Рассмотрена эволюция функции распределения примеси ионов в фоновом газе после резкого включения постоянного электрического поля различной напряженности для нескольких моделей взаимодействий. Расчет проводился с помощью нестационарного моментного метода, основанного на разложении функции распределения по сферическим полиномам Эрмита около максвеллиана с температурой фонового газа.
-
Анализ и реализация возможных подходов к преодолению сложностей нестационарного моментного метода, а именно метода разложения по сферическим гармоникам и модифицированного моментного метода, заключающегося в разложении функции распределения около максвеллиана с температурой, отличной от температуры фонового газа и зависящей от времени.
-
С помощью нестационарного и модифицированного моментных методов решена задача об эволюции функции распределения примеси ионов в фоновом газе после резкого включения гармонического электрического поля разной амплитуды и частоты для нескольких моделей взаимодействия.
Научная новизна.
1. Продемонстрированы новые возможности нестационарного моментного метода. Получено решение задачи об эволюции функция распределения
малой примеси ионов в собственном газе после резкого включения постоянного электрического поля. Вычислены функция распределения, ток и подвижность ионов для различных величин электрических полей и ряда моделей взаимодействия.
-
С помощью модифицированного моментного метода впервые рассчитана функция распределения и физические моменты для задачи об эволюции функции распределения малой примеси ионов в собственном газе после резкого включения переменного электрического ПОЛЯ.
-
Изучены границы применимости нестационарного моментного метода и предложены пути преодоления сложностей моментного метода: метод разложения по сферическим гармоникам и модифицированный моментный метод.
Теоретическая и практическая значимость. Создан пакет программ для расчета функция распределения, тока, энергии и подвижности малой примеси ионов в собственном газе при наличии постоянного или переменного электрического поля путем численного решения уравнения Больцмана. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы при описании явлений и экспериментов, связанных с движением ионов в собственном газе при наличии электрических полей. В частности, результаты могут быть полезны при проектировании газовых детекторов излучения. Их работа основывается на детектировании ионного тока, созданного электрическим полем, наложенным на ионизуемый излучением благородный газ.
Положения, выносимые на защиту:
1. Решена задача о движении ионов в собственном газе при умеренном и сильном постоянном электрическом поле для случая упругих столкновений частиц с помощью нестационарного моментного метода. Впервые вычислена функция распределения и подвижность ионов в зависимости от
7 величины поля в широком диапазоне скоростей.
-
Предложено два пути преодоления сложностей нестационарного момент-ного метода: использование метода разложения по сферическим гармоникам и модифицированный моментный метод.
-
Решена задача о движении ионов в собственном газе в переменном электрическом поле для нескольких моделей взаимодействия с помощью модифицированного моментного метода. Получены временные зависимости функции распределения, ионного тока и энергии при различных частотах и амплитудах поля.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на 7 российских и международных конференциях: «Всероссийский семинар по аэрогидродинамике, посвященный 90-летию со дня рождения СВ. Валландера» 5-7 февраля 2008г., Санкт-Петербург, Россия; «V Поляховские чтения», 3-6 февраля 2009г., Санкт-Петербург, Россия; «Физика.СПб», 27 - 28 октября 2010г., Санкт-Петербург, Россия; «VI Поляховские чтения», 31 января - 3 февраля 2012г., Санкт-Петербург, Россия; X международная научная конференция «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей», 25 - 28 июня 2012г., Санкт-Петербург, Россия; «Современные проблемы динамики разреженных газов», 26 - 29 июля 2013г., Новосибирск, Россия; «VII Поляховские чтения», 2 -6 февраля 2015г., Санкт-Петербург, Россия.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 3 статьи в реферируемом журнале, входящем в перечень ВАК, 1 статья в реферируемом журнале не входящем в список ВАК, 2 статьи в сборниках трудов конференций и 5 тезисов докладов.
Личный вклад автора. В первой главе постановка задачи и разработка новых методов расчета матричных элементов интеграла столкновений на основе рекуррентных соотношений принадлежит А.Я.Эндеру и И.А.Эндер. Автору
разработал алгоритм, создал пакет программ и проводил расчеты для моделей с постоянной длинной свободного пробега для случая постоянного электрического поля и проводил анализ полученных результатов и последующее сопоставление с известными экспериментальными данными (для модели резонансной перезарядки с постоянной частотой столкновений результаты были получены А.Я.Эндером и И.А.Эндер). Во второй главе А.Я.Эндеру и И.А.Эндер принадлежит идея перехода к методу разложения по сферическим гармоникам и модифицированному моментному методу. Герасименко А.Б. проводил исследования по применимости метода разложения по сферическим гармоникам и принимал участие в разработке модифицированного моментного метода и исследовании его сходимости. В третьей части работы, посвященной переменному электрическому полю Герасименко А.Б. принимал непосредственное участие во всех этапах работы от постановки задачи и разработки программ до анализа полученных результатов для четырех рассматриваемых моделей взаимодействий. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами. Использованные при проведении расчетов массивы матричных элементов получены с помощью программ созданных А.Я.Эндером и И.А.Эндер.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 123 страницах и состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения, библиографического указателя. Работа иллюстрирована 52 рисунками и 1-й таблицей. Библиография включает 86 наименований цитируемой литературы.
Методы решения уравнения Больцмана
Больцмана стал метод Чепмена-Энскога, предложенный независимо Че-пменом и Энскогом в начале XX века [13-16]. Метод заключается в разложении функции распределения по малому параметру около максвеллиана с последующим преобразованием уравнения Больцмана к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. При всем удобстве метода, необходимо отметить, что с хорошей точностью его можно применять только при небольших отклонениях функции распределения от равновесия. Тем не менее, метод Чепмена-Энскога интенсивно используется и оказался очень плодотворным при вычислении коэффициентов переноса.
Дальнейшее развитие метода Чепмена-Энскога было выполнено Барнет-том в 1935г. В своих работах [17, 18] он предложил проводить разложение по ортогональным базисным функциям, являющимся произведением полиномов Сонина на сферические функции. Таким образом он положил начало целому семейству моментных методов.
Следующим важным шагом в развитии моментного метода были работы Греда [19, 20]. Описанный в этих работах метод в 13-ти и 20-ти моментном приближении хорошо известен и широко используется в кинетической теории. В частности, он был успешно применен к описанию процессов переноса в многокомпонентной плазме Ждановым [21].
В настоящее время основными методами решения уравнения Больцмана являются методы, основанные на разложении функции распределения по системам ортогональных функций. Наиболее известные из них моментный метод и метод разложения по сферическим гармоникам.
При рассмотрении задач о движении ионов можно выделить несколько случаев, в зависимости от величины напряженности электрического поля, в которых используются различные методы. В монографии Мак-Даниэля и Мэзона [2] было предложено условно делить поля на слабые, умеренные и сильные, считая, что для слабых полей энергия, получаемая ионам от поля на длине свободного пробега, мала, а для умеренных и сильных сопоставима с тепловой или значительно больше ее. В случае слабых полей применяется метод Чеп-мена-Энскога. При умеренных полях функция распределения уже не близка к равновесной, и применение метода Чепмена-Энскога нельзя считать корректным. В этом случае уже применяется моментный метод, который заключается в разложении ФР по собственным функциям интеграла столкновений для макс-велловских молекул и последующем решении получающейся системы линейных дифференциальных уравнений.
Большое число работ о движении ионов в фоновом газе при наличии полей посвящено вычислению коэффициентов переноса. Среди всего этого множества хочется остановиться на статье Кумара [22]. В этой работе он предложил оригинальный способ вычисления матричных элементов интеграла столкновений с помощью коэффициентов Талми. Эта работа дала прямые формулы для вычисления матричных элементов интеграла столкновений. Тем не менее, в силу сложности формул, они могут быть успешно применены только в случае вычисления небольшого числа линейных матричных элементов, то есть позволяют решить стационарную задачу о поведении ионов при умеренных электрических полях. Исследования с помощью моментного метода были выполнены Нессом, Робсоном, Уайтом, Дуйко, Виландом[23-27]. В случае сильных полей, когда температура ионов превышает температуру фонового атомного газа, был предложен так называемый двухтемпературный моментный метод [28]. В этом методе температура максвеллиана, около которого производится разложение ФР, может отличаться от температуры фонового газа, являясь свободным параметром. Этот метод требовал более сложного расчета матричных элементов, в связи с различием температур базиса и фонового газа.
В большинстве работ по данной тематике рассмотрение ведется с помощью нескольких моделей взаимодействия. Особую роль во многих работах играет СЕМ-модель, которая соответствует резонансной перезарядке с полным сечением рассеяния, обратно пропорциональным относительной скорости. Необходимо отметить, что во многих случаях резонансная перезарядка является основным механизмом взаимодействия ионов и нейтральных частиц [29], и многие работы имеют дело именно с таким типом сечения рассеяния. Для этой модели частота столкновений постоянна, и интеграл столкновений принимает вид БГК-модели [30]. Эта модель используется в большом числе работ как для решения конкретных задач, так и для проверки новых предлагаемых методов [31-33].
Помимо СЕМ-модели, очень широко используется модель твердых шаров, в которой считается, что столкновения частиц абсолютно упругие, а их рассеяние по углам изотропно. В этой модели длина свободного пробега постоянна. В различных работах встречаются и другие потенциалы взаимодействия, например, комбинирующие различные законы взаимодействия для притяжения и отталкивания.
Помимо задач, требующих знания коэффициентов переноса, есть целый класс требующий вычисления функции распределения. Ранее в работе [34] для случая СЕМ модели было получено аналитическое выражение функции распределения малой примеси ионов в фоновом газе после резкого включения постоянного электрического поля. В данной работе, оно было использовано при отладке численной схемы нестационарного моментного метода. Как отмечают авторы [28], основной сложностью при использовании моментного метода является вычисление матричных элементов интеграла столкновений. Как показано в книге А.Я.Эндер и И.А.Эндер [35] эта сложность может быть с успехом преодолена. Так, в [36] авторам удалось с успехом применить вычисленные матричные элементы для решения нестационарным моментным методом задачи об эволюции ФР ионов в фоновом газе после резкого включения постоянного электрического поля для случая СЕМ-модели. В данной работе задачи решались нестационарным моментным методом и его модификациями с использованием рекуррентных соотношений для матричных элементов интеграла столкновений. Предложенный ими способ позволяет вычислять матричные элементы практически со сколь угодно большими индексами и решает проблему расчета интеграла столкновений.
Аналитическое решение нестационарной задачи. СЕМ модель
30-40, а на больших временах счет идет уже на сотни. На этом рисунке также пунктиром отмечены кривые, получение которых потребовало использования пакета точной арифметики. Как показали проведенные вычисления, в качестве параметра, который может быть признаком сходимости при заданном поле, можно взять произведение o. Установлено, что хорошая сходимость метода имеет место в диапазоне скоростей —10 z 10 при величине $ 5.
Таким образом, на примере распространенной СЕМ-модели, продемонстрирована возможность успешного использования нестационарного моментного метода для расчета ФР. Следующим шагом будет применение этого метода в расчетах с другими моделями взаимодействия.
Описанные ниже результаты были опубликованы в работах [50, 51]. Как было сказано выше, успешное применение моментного метода в случае СЕМ мо 47 дели позволяет перейти к рассмотрению задачи с использованием более сложных моделей взаимодействия. Дальнейшие исследования проводились в основном для HS-модели и CEHS-модели, которые относятся к группе моделей с постоянной длинной свободного пробега. Рассмотрение будет последовательно выполнено при слабых, умеренных и сильных электрических полях. Полученные результаты сравнивались с аналитическим результатом для СЕМ-модели, который был описан выше и с известными экспериментальными результатами.
До решения моментной системы для всех моделей были заранее рассчитаны матрицы линейных матричных элементов (ЛГ;Гь/) для больших значений индексов. Эти расчеты были проведены А.Я.Эндер и И.А.Эндер с помощью программ на языке FORTRAN77, созданных на основе рекуррентных соотношений полученных в работах [35, 52]. Хочется отметить, что этот пакет программ позволяет проводить расчеты для произвольных отношений масс сталкивающихся частиц. Однако в данной работе рассматривался только случай равных масс.
Расчеты проводились с помощью нестационарного моментного метода, который был описан в предыдущем параграфе. В расчетах была сделана попытка охватить как можно более широкий диапазон напряженностей электрических полей. Это позволило наряду с данными о подвижности и функции распределения получить дополнительное преставление о границах применимости нестационарного моментного метода для вновь рассматриваемых моделей.
При слабых полях для всех моделей наблюдается совпадение значения подвижности со значением, полученным методом Чепмена-Энскога для очень малого поля. В методе Чепмена-Энскога при очень малом поле ФР ищется в виде: Дс) = М(с)(1 + (с)). (2.34)
Соответственно, добавочная функция может быть найдена, как только вычислена функция /(с). Существует область малых значений є, в которой функция ір не зависит от поля. Следуя работе [51], эту функцию будем называть универсальной чепмен-энскоговской добавкой. На рисунке 2.12 приведены графики зависимости универсальной добавки (р от cz при ср = 0. Для всех моделей еди 11111111111111111111 і і і і і і і і і і і і і і і і і і і і і ница изменения времени выбиралась так, чтобы в пределе слабого поля с ростом времени подвижность выходила на единицу. Такую нормировку будем называть нестандартной нормировкой или К-нормировкой. Отметим, что для СЕМ-моде-ли на больших временах при любых полях подвижность равнялась единице. Для различных моделей переход к К-нормировке может быть осуществлен следующим способом. Сначала в стандартной нормировке при малых є решается задача. В широком диапазоне малых полей предельное (стационарное) значение К будет постоянным. Зная это значение, легко найти новую единицу времени, при выборе которой стационарное значение подвижности будет равно единице. Для перехода к новой единице времени все стандартные матричные элементы
Хочется особо отметить, что переход к нестандартной нормировке будет использоваться не только в случае слабого поля, но и всех прочих значениях є.
Из рисунков 2.12а,Ь видно, что при К-нормировке результаты расчетов для РММ-модели и СЕМ-модели совпадают. Это объясняется зависимостью сечения рассеяния от скорости и диагональным видом матрицы матричных элементов в этом случае.
На рисунках 2.12c,d представлены результаты для CEHS и HS моделей, которые также имеют одинаковую зависимость сечения рассеяния от скорости. Для этих моделей характерен недиагональный вид матрицы взаимодействия. В этом случае, несмотря на похожее поведение (/9, полного тождественности решений нет - обе модели демонстрируют стремление к фиксированному значению при больших значениях cz с ростом времени. Однако, эта величина для CEHS и HS моделей отличается в полтора раза. Тем не менее хочется особо обратить внимание на сходство между этими решениями: во-первых, характер поведения этих решений при малых временах очень схож, во-вторых, универсальная добавка (fi(cz) не стремится к бесконечности с ростом cz в отличие от моделей с постоянной частотой столкновений. Это обеспечивает соблюдение критерия сходимости разложения функции распределения в стационарном состоянии в случае этих моделей.
Универсальная чепмен-энскоговская поправка определяется только теми моментами Г;/ в разложении ФР по сферическим полиномам Эрмита, которые пропорциональны безразмерной напряженности электрического поля . Если для моделей с диагональной матрицей взаимодействия вклад в универсальную дает только один момент од, то для других моделей вклад дают все моменты. Но надо отметить, что Г;/ при =1 никакого влияния на не оказывают.
Таким образом, если в слабом поле для вычисления подвижности можно обрезать систему уравнений на o = 1,2, то для построения ФР значение Q приходится выбирать достаточно большим. На рисунке 2.13 приведены результаты расчета универсальной поправки для различных значений o для HS-моде-ли. Хорошо видно, что с ростом числа учитываемых моментов растет скоростной интервал, в котором удается строить . Так, при Q = 128 наблюдается хорошая сходимость уже до \z\ = 8.
В приближении Чепмена-Энскога поправка пропорциональна \(cos ). В результате на оси симметрии (z) оказывается нечетной функцией. Естественно поставить вопрос - до каких значений функция сохраняет это свойство. Уже при = 10-2 симметрия относительно точки 0 исчезает. При = 10 имеем (8) = 5.59, а (-8) = -5.08. Связано это с тем, что в этом случае уже нельзя пренебречь о и 2- Еще более существенное отклонение от универсальной наблюдается при о = 0.05. То есть вклад от о и 2 стал еще более весомым и даже возможно влияние і более высокого порядка.
Модифицированный моментный метод
Первые работы по переносу заряженных частиц в газах при наличии переменного электрического поля были опубликованы еще в 30-х годах прошлого века. В частности, хорошо известна книга по этому вопросу, написанная Чепме-ном и Каулингом [38]. Большинство ранних работы было посвящено изучению поведения электронных групп. Наибольший вклад в развитие этого вопроса в то время внесли Холстейн[66], Маганю [67], Хартман [68], МакДональд и Браун [69, 70]. Тем не менее, надо заметить, что их методы позволяли улучшить подходы, используемые для задач с постоянным полем, а именно двухчленное приближение и замену больцмановского столкновительного оператора моделью Давыдова для упруго сталкивающихся электронов [71]. Из всех методов стоит отметить два: 1 - метод разложения в ряд Фурье [67, 68, 72, 73], 2 - теория эффективного поля [66, 69, 70, 74, 75]. В 1990-х годах с ростом вычислительных мощностей появились первые работы с использованием моментного подхода, в которых авторы пытались использовать больше двух членов разложения [76]. Однако число учитываемых челнов разложения не превышало 10. Только во второй половине 1990-х годов появились работы, которые использовали большее число членов разложения в приложении к задачам о движении электронов. Эти работы были выполнены в Австралии [77, 78] и в Грайфсвальде [79-81] и позволили очень точно описать процессы переноса электронов в переменных полях.
Несмотря на обилие работ по описанию процессов движения ионов в постоянных полях, а также большому числу работ по движению электронов в пере 75 менных полях, движению ионов в переменных полях, насколько известно автору, посвящено очень мало работ. Автору удалось обнаружить всего несколько работ освещающих этот вопрос. Это работы Шугавары[47], Робсона [46], Уайта [24, 82]. Таким образом, результаты представленные в этой главе должны помочь закрыть имеющийся пробел в описании поведения ионов в переменном электрическом поле.
В этой главе будут представлены результаты решения задачи о движении ионов в собственном газе при наличии переменного электрического поля. Эти результаты были опубликованы в работах [83-85]. В случая СЕМ-модели задача решается аналитически. Полученное решение позволяет подробно изучить случай СЕМ-модели, а также дает хороший тестовый пример для проверки модифицированного моментного метода. Дальнейшее применение модифицированного моментного метода позволяет изучить задачу для нескольких моделей с постоянной частотой столкновений и постоянной длинно свободного пробега.
Постановка задачи схожа со случаем постоянного поля. Рассматривается пространственно однородная задача об эволюции функции распределения малой примеси ионов в собственном газе (массы ионов и атомов равны). В силу малости примеси ионов, функция распределения фонового газа не изменяется в ходе развития процесса и остается максвелловской с температурой Т. Изучается эволюция ФР малой ионной примеси после резкого включения уже не постоянного, а периодического электрического поля. Напряженность электрического поля изменяется по гармоническому закону:
Как и в случае задачи с постоянным электрическим полем, сначала было получено аналитическое решение для случая СЕМ модели. Это позволило провести качественное рассмотрение задачи и дало основу для тестирования численного метода решения, в нашем случае - модифицированного моментного метода.
Итак, как было сказано ранее, в случае СЕМ модели интеграл столкновений принимает вид БГК модели. Задача обладает цилиндрической симметрией. При резонансной перезарядке функция распределения ионов в направлении перпендикулярном вектору напряженности электрического поля изменяться не будет и сохранится маквелловской. Таким образом, можно рассматривать одно
Вопрос о поведении ионов при наличии периодического электрического поля для случая резонансной перезарядки с постоянной частотой столкновений, но в постановке, без учета переходного процесса, решался другим способом (метод суперпозиции функций распределения ионных сгустков) в работе [47]. Сопоставление результатов показало, что периодическая часть нашего решения fp совпадает с полученным в работе [47]. Однако, в упомянутой выше работе не было проведено систематического исследования полученных результатов. Авторы привели только трехмерные графики функции распределения с заметными погрешностями численных расчетов интегралов. Из их работы невозможно понять, как влияют различные параметры на функцию распределения. Ниже будет проведен этот подробный анализ, который восполняет этот пробел.
Численное решение моментной системы
Далее приводятся результаты расчета интегральных характеристик, рассчитанных с помощью полученных функций распределения. Были изучены временные зависимости тока и составляющих энергии в направлении поля и перпендикулярно ему. ММ - максвелловские молекулы, AHS - твердые шары с преимущественным рассеянием вперед: () = 1 — 2(/2)
Рисунок 4.20 показывает зависимости сдвига (токов) для и моделей от величины амплитуды поля. Из него хорошо видно, что при любых частотах поля разница фаз между токами для обеих групп моделей увеличивается с ростом поля. Наиболее заметно это в случае небольших частот полей порядка
Полученные зависимости функции распределения для различных моделей взаимодействия позволяют предложить возможные экспериментальные способы проверки теоретических результатов. Как было обнаружено из анализа результатов расчета функции распределения, при фиксированных значениях ; 1 и єо существует предельная величина модуля скорости ионов, выше которой число ионов резко падает. Можно попробовать наблюдать этот эффект путем измерения тока на зонд с задерживающим потенциалом. Возможна следующая схема эксперимента. Пусть между двумя плоскими электродами, один из которых заземлен, находится газ с небольшой примесью ионов. К не заземленному электроду в некоторый момент времени прикладывается переменное гармоническое напряжение так, что в момент включения напряжение принимает максимальное значение. Заземленный электрод может быть сделан в виде сетки или диафрагмы, а с внешней стороны параллельно ему расположен еще один электрод (зонд), на который подан отрицательный потенциал относительно сетки Vr. Поверхности зонда достигают только те ионы, которые имеют кинетическую энергию, достаточную для преодоления задерживающего потенциала. Ионы на зонд будут попадать только в течение короткого промежутка времени внутри полупериода колебания поля, т.е. на зонде будут формироваться некоторые импульсы тока. Потенциалу Vr соответствует скорость vret = y f11- В безразмерном виде это будут величины: цг = eVr/kT и vr = \/2\г]г\. Плотность ионного тока на зонд определяется как
Используя результаты для функции распределения и (4.56), можно рассчитать ток на зонд для различных значений частоты и амплитуды поля, а также задерживающего потенциала. На рисунках 4.21 и 4.22 представлены результаты расчетов для єо = 6,6 J = 2 при различных моделях взаимодействия. Отметим, что на рисунках разные масштабы по оси ординат. Видно, что с увеличением потенциала задержки г]г и, соответственно, скорости vr происходит уменьшение амплитуды импульсов тока на зонд. При превышении задерживающим потенциалом некоторой критической величины ток исчезает. Первый импульс, связанный с апериодическим процессом, исчезает при vr = 5. Второй и все последующие импульсы исчезают при значительно большем задерживающем потенциале. До такого же уровня, как первый импульс при vr = 5, последующие импульсы уменьшаются при vr 7, т. е. исчезновение периодических импульсов происходит при потенциале задержки г]г, примерно в 2 раза большим, чем 7Г, соответствующее исчезновению первого импульса. Такое сильное различие в отсечке первого и последующих импульсов, а также очень резкое исчезновение импульсов при росте Г] наблюдаются именно при частотах порядка единицы.
При переходе к меньшим частотам различия между первым и последующими импульсами исчезают. Надо отметить, что исчезновение происходит при почти одинаковом потенциале задержки, и уменьшение амплитуды импульсов происходит довольно медленно. При переходе большим частотам амплитуда импульсов и критический потенциал задержки убывают с ростом частоты, и отличие первого импульса от последующих также исчезает. Все это связано с описанными ранее особенностями ФР. Если при фиксированных частоте и задерживающем потенциале увеличивать амплитуду поля, то амплитуда импульса возрастает. С ростом амплитуды поля величины критических потенциалов задержки, соответствующих исчезновению первого и последующих импульсов, также возрастают.
Различие в поведении амплитуд первого и последующих импульсов при частотах, близких к единице будет иметь место при любом сечении взаимодействия, но для каждого сечения вид зависимости амплитуд импульсов от задерживающего потенциала будет разным. Помимо этого, следует ожидать различий в длительности, форме и моменте появления этих импульсов. Таким образом, регистрация импульсов тока на зонде с задерживающим потенциалом и их анализ могут стать способом изучения сечений рассеяния ионов на атомах при низких энергиях.