Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование влияния вибрации на возникновение конвекции Марангони 16
1.1 Основные уравнения и безрамерные параметры 17
1.2 Вывод осредненной системы для случая больших частот вибрации 20
1.3 Квазиравновесное решение и его устойчивость. Спектральная задача 24
1.4 Длинноволновая асимптотика критического числа Марангони 28
1.5 Коротковолновая асимптотика критического числа Марангони 32
1.6 Численный анализ устойчивости механического равновесия осредненной системы 35
1.6.1 Алгоритм вычисления критических значений параметров 35
1.6.2 Результаты расчетов 38
Заключение к главе 1 42
2 Влияние высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в слое со свободной границе при нагреве сверху 45
2.1 Постановка задачи об устойчивости механического равновесия при нагреве сверху 46
2.2 Асимптотический анализ устойчивости механического равновесия в горизонтальном слое, нагреваемом сверху 48
2.2.1 Вывод уравнений нулевого приближения 49
2.2.2 Уравнения первого приближения 52
2.2.3 Уравнения второго приближения 56
2.2.4 Сравнение аналитических и численных результатов 59
2.3 Анализ влияния высокочастотных вибраций на возникновение конвекции 68
Заключение к главе 2 76
3 Возникновение вторичных режимов в задаче о вибрационной конвекции Марангони 78
3.1 Возникновение вторичных режимов в задаче о вибрационной конвекции Марангони в плоском слое 79
3.2 Схема метода многих масштабов 81
3.2.1 Решение линейной и сопряженной систем 86
3.3 Вывод амплитудных уравнений 90
3.4 Расчет возмущений конечной амплитуды методом конечных элементов 96
Заключение к главе 3 101
Список рисунков 103
Список таблиц 104
Литература
- Квазиравновесное решение и его устойчивость. Спектральная задача
- Асимптотический анализ устойчивости механического равновесия в горизонтальном слое, нагреваемом сверху
- Анализ влияния высокочастотных вибраций на возникновение конвекции
- Расчет возмущений конечной амплитуды методом конечных элементов
Квазиравновесное решение и его устойчивость. Спектральная задача
В первой главе исследуется влияние высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в слое жидкости со свободной поверхностью. Если поверхностное натяжение жидкости зависит от температуры, конвекция Марангони может возникать даже в отсутствие силы тяжести [81], [83]. Важным для практики механизмом, влияющим на устойчивость механического равновесия, являются высокочастотные вибрации [20].
В качестве математической модели для описания вибрационной конвекции в жидкости, заключенной в контейнер с твердыми границами, обычно используется система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска [20], [66]. Для исследования таких задач, начиная с работы [20], применяется метод осреднения. При определенных предположениях решение удается разделить на быстрые и плавные составляющие. Задача об устойчивости периодического решения исходной системы сводится к вопросу об устойчивости механического равновесия осредненной системы — квазиравновесия исходной системы.
Задача об устойчивости квазиравновесия в области со свободной границей впервые рассматривалась в работах [54,100,101]. В случае областей со свободными границами, в [56], [57] показано, что использование в качестве математической модели конвекции приближения Обербека-Буссинеска некорректно, так как возникающие в задаче ускорения жидкости нельзя считать малыми по сравнению с вибрационными ускорени ями. В этих работах была предложена модель, называемая обобщенными уравнениями Обербека-Буссинеска, в которых зависимость плотности от температуры остается не только в массовой силе, но и в инерционных слагаемых. С использованием этого приближения в работе [58] для случая горизонтального слоя была проведена процедура осреднения. В результате, в уравнениях движения осредненной системы появляется дополнительное слагаемое — «виброгенная» сила, а в краевых условиях — «виброгенные» напряжения [49].
В диссертации исследуется случай недеформируемой в среднем свободной поверхности: вклад высокочастотных слагаемых в осредненной системе присутствует только в массовой силе, а виброгенные напряжения отсутствуют. Характерной особенностью данной модели является то, что возникновение вибрационной конвекции описывается одним безразмерным параметром (безразмерной скоростью вибрации), включающим в себя амплитуду вибрации и угол наклона оси, вдоль которой происходят вибрации. Необходимо отметить, что в задаче о конвекции в контейнере с твердыми стенками эти параметры входят независимо, в этом случае приходится исследовать возникновение конвекции для двух параметров.
В первой главе аналитическими и численными методами исследуется линейная задача устойчивости квазиравновесия для горизонтального слоя вязкой жидкости.
Основные уравнения и безрамерные параметры Рассматривается конвективное движение в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости, ограниченном твердой стенкой и свободной поверхностью, на которой действует поверхностное натяжение с коэффициентом (т = (TQ — (Тт(Т — То), где То — точка отсчета температуры, о"о — поверхностное натяжение при температуре То, от — температурный коэффициент поверхностного натяжения. Предполагается, что слой как целое совершает поступательные колебания с частотой ш вдоль вектора по закону a/ujf{ujt), где / — периодическая функция с нулевым средним по быстрому времени т = cot, а — амплитуда скорости вибрации. Среднее по быстрому времени определяется по формуле
Уравнение состояния жидкости берется в виде р = ро(1 — fi{T — То)), где /3 — коэффициент объемного теплового расширения, ро — плотность жидкости при температуре То . В качестве математической модели выступают уравнения конвекции в обобщенном приближении Обербека-Буссинеска: переменная плотность удерживается и в инерционных слагаемых [56], [58]. Задача решается в подвижной системе координат {х\, Х2, х%), связанной с колеблющимся слоем. Схематически геометрия задачи для двумерного случая показана на Рис. 1.1, далее жз = z. Плоскость z = 0 совпадает с невозмущенной горизонтальной поверхностью жидкости. Уравнения
Вывод осредненной системы для случая деформирующейся свободной границы при /(т) = COST был дан в [58]. Далее исследуется задача, когда свободная граница недеформируема в среднем. Формально эта модель получается, если положить в (1.10) безразмерный коэффициент поверхностного натяжения С равным бесконечности. В работе [58] показано, что в случае однородной жидкости (є = 0) вибрации увеличивают эффективный коэффициент поверхностного натяжения, сглаживая свободную границу. Далее приводятся значения физических параметров, при которых можно наблюдать рассматриваемые явления. В качестве рабочей жидкости берется силиконовое масло АК10 Silicone fluid, физические параметры которого равны
Асимптотический анализ устойчивости механического равновесия в горизонтальном слое, нагреваемом сверху
Задача о возникновении конвекции в горизонтальном слое теплопроводной жидкости при нагреве сверху изучалась различными авторами [77,79, 103-105]. В [103] показано, что для слоя с твердыми границами имеет место устойчивость механического равновесия, причем сначала все моды затухают монотонно, а при достижении некоторого критического числа Рэлея появляются комплексно сопряженные декременты. В работе [104] исследованы границы монотонной и колебательной устойчивости в предельном случае больших чисел Прандтля Рг и Рэлея Ra при конечном числе Грасгофа Gr = Ra/Рг. Для случая термокапиллярной конвекции с учетом деформируемости свободной границы в [77], [105] была численно обнаружена колебательная неустойчивость. Возникновение конвекции Рэлея-Марангони в слое с недеформируемой свободной границей исследовано в [79] и обнаружена колебательная неустойчивость при больших по абсолютной величине отрицательных числах Рэлея и Ма-рангони. В [103], [106] показано, что конвекцию при нагреве сверху может также вызывать воздействие высокочастотного вибрационного поля.
В данной главе изучается возникновение конвекции в вибрирующем горизонтальном слое жидкости с учетом термокапиллярного эффекта. Методом пограничного слоя получены формулы для критических значений числа Марангони при условиях на твердой стенке, соответствующих заданию температуры или теплового потока.
Постановка задачи об устойчивости механического равновесия при нагреве сверху В параграфе 1.3 была выведена система для исследования устойчивости механического равновесия. Уравнения для амплитуд возмущений нормальной компоненты скорости W, температуры в и пульсационного давления Ф имеют вид Здесь Ra — число Рэлея, Рг — число Прандтля, а — волновое число, А — декремент затухания возмущений, /І — вибрационный параметр. Краевые условия на свободной границе z = 0 записываются следующим образом W = 0, D2W-Maa2e = 0, D9-Bi9 = 0, Ф = 0. (2.2) На твердой стенке z = 1 ставится смешанное краевое условие для температуры, включающее в себя задание теплового потока и температуры
Нагреву горизонтального слоя со стороны свободной поверхности соответствуют отрицательные числа Рэлея Ra и Марангони Ма. Аналогично [79] исследуется случай, когда оба параметра стремятся к — оо так, что их отношение — динамическое число Бонда /3 = Ra/Ма имеет конечное значение. Параметр /3 определяется только физическими свойствами жидкости и не зависит от градиента температуры.
Далее число Прандтля Рг предполагается конечным, поэтому можно ввести малый параметр є = \ . В этом случае выражения для коэф V Ra фициентов /І, Ra, Ма имеют вид
Задача (2.4)-(2.6) содержит малый параметр при старших производных, для нахождения ее решения применяется метод Вишика-Люстерника [107]. Далее рассматривается случай г2 = 0(є4), тогда г2 = 0(1) при є — 0 и в этом случае вклад вибрационных сил должен проявиться уже при решении вырожденной задачи (є = 0). При отсутствии вибрации (г = 0) аналогичная задача была рассмотрена в [79] с применением метода сращиваемых асимптотических разложений. 2.2 Асимптотический анализ устойчивости механического равновесия в горизонтальном слое, нагреваемом сверху
В данном параграфе рассматривается метод расчета критических значений задачи (2.4)-(2.6) и собственных функций в случае отсутствия вибрации. Система (2.4)-(2.6) при г = 0 разделяется на две подсистемы. Спектральная задача для W, Т имеет вид
Следует заметить, что при Pr = 1 формулы для решений изменятся, однако полученные формулы для критического значения параметра и декремента будут верны и в этом случае. Для анализа колебательной потери устойчивости декремент Ло полагается равным Ло = гсо, где со 0. Из двух значений корня д/Ло выбирается то, вещественная часть которого положительна
В этом случае решения (2.22)-(2.23) являются погранслойными функциями. Число р определяется из характеристического уравнения
В работе [79] показано, что решения (2.26) соответствуют возникновению внутренних, а (2.29) — возникновению поверхностных волн. Внутренние волны отвечают колебаниям вертикальных слоев в идеальной жидкости в устойчиво стратифицированном слое. Поверхностные волны являются продольными волнами растяжения и характеризуются значительными скоростями в горизонтальном направлении в пограничном слое вблизи свободной поверхности [79].
Анализ влияния высокочастотных вибраций на возникновение конвекции
Вещественная и мнимая части (2.84) дают второе уравнение связывающее Ai и /Зі, а также уравнение, связывающее А2, /.
Для внутренних волн, определяемых из (2.75), следующие члены разложения определяются по методу, описанному в А. Требуемое условие разрешимости получается в виде системы, из которой можно определить значения /3\и Х2. Ввиду громоздкости она приводится в приложении (В.151), (В.152). Далее проводится анализ влияния вибрации на поведение нейтральных кривых и критических параметров задачи. Как и в случае отсутствия вибрации, расчет нейтральных кривых проводился двумя способами. В первом случае критическим параметром является динамическое число Бонда /3, при фиксированном є, что соответствует тому, что при фиксированном значении числа Рэлея Ra рассчитывается число Марангони. Во втором случае критическим параметром является число Рэлея Ra при фиксированном /3, при этом строится зависимость е(а).
В таблице 2.3 приведены данные, свидельствующие о наличии при фиксированном а нескольких ветвей нейтральных кривых. Приведены численные значения, а также два ближайших асимптотических значения Сas, Cas. Критические параметры задачи рассчитаны при Ra = —3 х 106, Рг = б, г2 = 10 6, тогда В случае, когда критическим параметром выступает /3, рост параметра г2 приводит к тому, что нейтральные кривые смещаются в сторону больших значений Ra, что означает повышение порога устойчивости. При этом происходит их расширение, так что неустойчивость может наступать в более широком диапазоне волновых чисел.
В случае, когда критическим параметрам выступает є, нейтральная кривая поднимается и смещается в сторону больших волновых чисел, то есть наиболее опасными становятся коротковолновые возмущения.
Для сравнения численных и асимптотических результатов параметр Ra выбирается равным Ra = —108, г2 = 10 8, тогда є = 0.0156, f2 = 1, значение волнового числа равно 2. Из таблицы 2.4 видно, что одному из значений С соответствует асимптотическое значение, равное наибольшему корню трансцендентного уравнения (2.75) (обведено в рамке), а другому — вычисленное по явной формуле (2.74) (выделено жирным шрифтом).
Видно также то, что наименьшему (по абсолютной величине) критическому значению Ма соответствует асимптотическое значение, которое определяется, как корень трансцендентного уравнения.
Из Рис. 2.12 видно, что, во-первых, вибрация оказывает стабилизирующее воздействие, а, во-вторых, область неустойчивости смещается в сторону больших значений волнового числа а с ростом г2.
Также проведенное сравнение численных и аналитических результатов свидетельствует о том, что построенные асимптотические формулы позволяют находить начальные приближения с хорошей точностью. Алгоритм расчета изложен в параграфе 2.2.4.
С помощью асимптотических формул получаются начальные приближения. Проследить за поведением нейтральных кривых при изменении вибрационного параметра можно, проанализировав изменение начальных точек для нейтральных кривых, определяемых из систем трансцендентных уравнений (2.80), (2.81), и (2.82), (2.83). денные на Рис. 2.14 и в таблице 2.5, показывают, что при фиксированном значении динамического числа Бонда рост вибрационного параметра приводит к тому, что нейтральные кривые сдвигаются в сторону больших волновых чисел и смещаются в сторону больших чисел Рэлея. Результаты этой главы опубликованы в [85,87,88,98].
Методом Вишика-Люстерника построены главный и первый члены погранслойной асимптотики собственных значений и собственных функций спектральной задачи устойчивости равновесия для случая вибрационной конвекции Рэлея-Марангони при нагреве сверху.
Для случая нагрева сверху численно и асимптотически показана стабилизирующая роль высокочастотных вибраций. Получено, что при фиксированном значении числа Рэлея области, ограниченные замкнутыми нейтральными кривыми колебательной неустойчивости, увеличиваются с ростом вибрационного параметра и смещаются в сторону больших значений числа Марангони.
В задаче вибрационной конвекции Рэлея-Марангони при нагреве сверху показано, что при фиксированном значении динамического числа Бонда рост вибрационного параметра приводит к тому, что нейтральные кривые сдвигаются в сторону больших волновых чисел и смещаются в сторону больших чисел Рэлея.
Расчет возмущений конечной амплитуды методом конечных элементов
Далее приводятся результаты вычислений для следующих значений параметров Рг = 1, В і = 0.1, Ві = 0, Во = 1, отвечающих подогреву на твердой стенке. Коэффициенты Л и Г вычислялись по формуле центральных прямоугольников с различным количеством точек. Результаты вычислений показывают, что в критической точке нейтральной кривой коэффициент Л = 0, а Г ф 0. Поэтому условие разрешимости (3.52) переде п писывается в виде —— = 0, значит, амплитуда не зависит от времени т\. В общем случае для выполнения условия разрешимости (3.52) достаточно потребовать зависимость амплитуды А от переменных х\, т\ следующего вида А(жі,ті,ж2,т2) = А{Тті -Лжьж2,т2).
Второе и третье слагаемые в (3.2) не являются секулярными (за исключением тех случаев, когда у системы (3.20), (3.21) есть ненулевые решения вида (p{z)e%2ax, либо (p(z), для рассматриваемых значений параметров наличие таких решений численно не было обнаружено). Решения 20 и 22 разыскиваются в виде
Решение систем (3.55), (3.57) находится методом пристрелки, описанным в пункте 1.6.1. Для контроля точности вычислений проводились также аналитические расчеты с использованием явных выражений для решений первого приближения (3.39)-(3.41). В этом случае разыскивалось решение линейной однородной системы с правой частью — квазимногочленом. Получены следующие формулы
В результате подстановки решений в краевые условия получается СЛАУ относительно коэффициентов с\ к, отвечающих общему решению однородной системы, с правой частью, зависящей от ск. Эта система вырождена, поэтому для ее решения требуется выполнение условия разрешимости, что позволяет вычислить значения Л и Г еще одним способом.
Потеря устойчивости в этом случае мягкая, эти выводы подтверждаются и анализом нелинейной системы, который проводится в следующем парагарафе. 3.4 Расчет возмущений конечной амплитуды методом конечных элементов
Наряду с методом слабонелинейного анализа вторичные стационарные режимы можно находить как предельные решения нестационарной задачи В качестве начальных значений выбираются функции, которые получаются из анализа амплитудных уравнений. Для решения задачи используется метод конечных элементов (пакет FreeFem++). Для расчета рассматривается система в переменных скорость-давление-температура (3.1)-(3.4). Поле скоростей разыскивается в виде v = u,w В координатной записи задача для неизвестных и, w имеет вид
Здесь длина ячейки, в которой решается задача, выбрана равной / где а — волновое число, отвечающее минимуму нейтральной кривой. Границы прямоугольника Q задается следующим образом Тв - = {( = = It; z = 0) є(0,1)}, TR - = {( = = I; z = = 0 t Є (0Л)}, Гт = -{(х = = i(i- )\z = 1) І є (о, ! } Гі = -{(х = = 0;z = = (1- )) t Є (0, )} На боковых границах Г и Гд для всех неизвестных задаются условия периодичности. Для дискретизации по времени в уравнениях (3.63), (3.64), (3.67) используется явно-неявная схема, в которой линейные члены и слагаемые, содержащие Ф, считаются определяемыми в момент t = tm+\, а остальные нелинейные слагаемые берутся со слоя t = tm
Вычисления организованы следующим образом: сначала из задачи (3.77) находится Тт+1(ж) , затем из (3.78) находится Фт+1(ж), затем из задач (3.79)-(3.80) вычисляются значения компонент скорости. Для апроксимации конвективных слагаемых в (3.77)-(3.80) используется специальный оператор FreeFem++ convect [118].
В качестве начального распределения скорости и температуры выбирались собственные функции линейной задачи, умноженные на значение амплитуды, которое получается из анализа амплитудных уравнений. Для оценки интенсивности возникшего вторичного течения вводится параметр — нормализованная сумма значений функций тока внутри одной конвективной ячейки по узлам сетки: Вычисления прекращались как только колебания величины ф не превышали 0.1%. Для анализа сходимости и точности вычислений расчеты проводились при различных размерах сетки и шага по времени т.
Расчеты показывают, что со временем решение нелинейной задачи выходит на стационарный режим, амплитуда которого хорошо согласуется с результатами, полученными из анализа амплитудных уравнений, см. таб лицу 3.3. Здесь 6 = y/fi — /io — значение надкритичности, которое задачі валось при вычислениях, ——, — отношение максимальных и ми ттах ттіп нимальных значений решения ф1(х,г) и собственной функции ф2(х,г), ф\, фТ2 — значения суммы по двум ячейками, шестой столбец дает значение амплитуды, рассчитанное FreeFEM++, последний столбец — значение амплитуды, полученное из анализа амплитудных уравнений.
Вид линий тока и изотерм, а также линий уровня амплитуды пульсаци-онного давления, приведенный на рис. 3.1 , совпадает с видом изолиний собственного решения линейной задачи. Таким образом, показано, что результаты аналитического исследования подтверждаются результатами, полученными с помощью прямого расчета нелинейной задачи методом конечных элементов: при значениях критического параметра, превышающих критическое значение, положение равновесия теряет устойчивость, кроме того, устойчивым оказывается вторичный режим, который получается из анализа амплитудных уравнений.