Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор математических моделей для расчета температурного поля в нефтегазовых пластах и использования этих моделей в количественном анализе термогидродинамических исследований 15
1.1. Обзор литературы 15
1.1.1. Аналитические модели для расчета температурного поля в пласте и скважине 16
1.1.2. Термозондирование и количественный анализ температурных данных 18
1.2. Задачи оптимизации при количественном анализе данных ТГДИ 21
1.3. Общая постановка задачи о неизотермической фильтрации флюида в
пласте и стволе скважины 26
1.4. Выводы 29
ГЛАВА 2. Аналитическая модель для расчета температуры в пласте при работе скважины с переменным забойным давлением 30
2.1. Математическая постановка 30
2.2. Принятые допущения 32
2.3. Поле давления 32
2.4. Поле температуры 33
2.5. Сравнение полученного решения с известными моделями и численным расчетом
2.5.1. Тестовая задача 1 36
2.5.2. Тестовая задача
2 2.6. Повышение точности расчета температуры 44
2.7. Приближенные решения 47
2.7.1. Приближенное решение 1 47
2.7.2. Приближенное решение 2 50
2.8. Выводы 50
ГЛАВА 3. Аналитическая модель для расчета температуры флюида из пласта при работе скважины с переменным дебитом 52
3.1. Аналитическая модель для расчета температуры флюида из пласта без
учета теплопроводности 52
3.1.1. Математическая постановка задачи 53
3.1.2. Поле давления для переменного дебита из пласта 54
3.2. Аналитическая модель для расчета температуры флюида из пласта с учетом теплопроводности 60
3.2.1. Математическая постановка задачи 61
3.2.2. Построение полуаналитического решения 61
3.2.3. Решение для нулевого дебита. 62
3.2.4. Ускорение расчета температуры 63
3.2.5. Анализ решения
3.3. Построение приближенного решения 67
3.4. Выводы 70
ГЛАВА 4. Численная модель для расчета температуры флюида из пласта при нестационарном притоке 71
4.1. Математическая постановка задачи 71
4.2. Описание численного решения 73
4.3. Расчет поля давления 4.3. Поле температуры 77
4.4. Тестирование решения 4.4.1. Тестирование расчета конвективного теплопереноса 83
4.4.2. Тестирование расчета теплопроводности 87
4.4.3. Тестирование вклада теплопроводности и конвекции 89
4.5. Оценка вклада радиальной теплопроводности в температурное поле
пласта при притоке жидкости в скважину 92
4.5.1. Оценка вклада теплопроводности в общее изменение температуры
фильтрующейся жидкости 93 4.5.2. О практическом использовании оценки вклада теплопроводности в
общее изменение температуры фильтрующейся жидкости 95
4.6. Выводы 97
ГЛАВА 5. Пути практического использования аналитических и численных моделей для количественного анализа данных ТГДИ 99
5.1. Температурное влияние ствола скважины 99
5.1.1. Математическая модель ТВСС для однофазного потока без учета геотермического градиента 100
5.1.1.1. Математическая постановка 100
5.1.1.2. Анализ полученной формулы 105
5.1.2. Математическая модель ТВСС для двухфазного потока без учета геотермического градиента 107
5.1.2.1. Расчет объемного содержания 107
5.1.2.2.Температурная задача 109
5.1.3. Модель ТВСС для однофазного потока с учетом геотермического градиента 113
5.1.4. Практическое применение аналитических моделей для учета ТВСС 116
5.1.5. Методика количественной интерпретации данных ТГДИ 118
5.2. Оценка эксплуатационных характеристик пласта по данным термогидродинамических исследований 119
5.2.1. Исходные данные 121
5.2.2. Поиск начального приближения 123
5.2.3. Анализ параметрической чувствительности 127
5.2.4. Подбор параметров пласта и флюида на численной модели 129
5.2.5. Анализ полученных результатов 131
5.3. Выводы 133
Заключение 136
Список литературы
- Термозондирование и количественный анализ температурных данных
- Сравнение полученного решения с известными моделями и численным расчетом
- Аналитическая модель для расчета температуры флюида из пласта с учетом теплопроводности
- Математическая модель ТВСС для двухфазного потока без учета геотермического градиента
Введение к работе
Актуальность работы. Скважинная термометрия является одним из эффективных методов диагностики состояния скважин и пластов. На практике интерпретация температурных измерений в скважине выполняется в основном на качественном уровне. По данным термометрии определяют интервалы притока флюида в скважину из перфорированных пластов, нарушения герметичности обсадной колонны, заколонных циркуляций между пластами и др. В последние годы активно обсуждаются вопросы, связанные с количественной интерпретацией замеров скважинной термометрии. В частности, количественный анализ данных термогидродинамических исследований (ТГДИ) – интерпретация нестационарных полей давления и температуры в скважине в период переходных режимов работы скважины – может стать эффективным инструментом для анализа состояния прискважинной зоны пласта и оценки эксплуатационных характеристик разрабатываемых пластов в многопластовой скважине. С этой целью разработаны симуляторы для моделирования процессов, происходящих при одно- и многофазной фильтрации в системе «скважина-пласты» с учетом термодинамических эффектов, конвективного и кондуктивного теплопереноса, что расширило возможности количественного анализа термогидродинамических исследований в скважинах.
Однако, процесс численного моделирования остается трудоемким, а для успешного решения обратных задач численные решения прямых задач должны обладать высокой вычислительной эффективностью. По этой причине использование простых аналитических моделей совместно со сложными численными решениями на сегодняшний день является вполне актуальной задачей. Так как неизвестными – подбираемыми величинами – как правило, служат набор параметров, то ключом к успеху при численном решении обратной задачи является правильный выбор начальных приближений. При количественном анализе данных ТГДИ использование аналитических моделей позволяет получить экспресс-решения обратной задачи, так как во многих случаях на основе аналитического решения прямой задачи можно получить решение обратной методом линейной анаморфозы. Полученные оценки искомых параметров пласта и флюида могут служить хорошим начальным приближением для уточнения этих параметров на основе численного моделирования.
При разработке и валидации сложных численных моделей для расчета температурного поля в пласте и скважине возникает необходимость в тестировании таких моделей путем сравнения расчетов с точными аналитическими решениями.
Аналитические модели успешно применяются и на этапе планирования температурных исследований ввиду высокой скорости расчета и гибкости при выборе входных данных.
В связи с этими обстоятельствами, на сегодняшний день актуальным является развитие аналитических моделей для расчета нестационарного температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации флюида, а также совершенствование на их основе имеющихся методик планирования термогидродинамических исследований и интерпретации температурных данных.
Целью диссертационной работы является повышение эффективности количественного анализа данных термогидродинамических исследований нефтяных скважин путем разработки аналитических моделей для расчета нестационарных температурных полей в пласте при неизотермической фильтрации флюида для переходных режимов, обусловленных изменением дебита и изменением забойного давления в скважине.
Задачи исследования:
-
Разработать аналитическую модель для расчета температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации флюида для переменного забойного давления с учетом баротермического эффекта.
-
Разработать аналитическую модель для расчета температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации флюида для переменного дебита из пласта.
-
Разработать численную модель для расчета температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации флюида с учетом баротермического эффекта и теплопроводности вдоль фильтрационного потока в пласте.
-
Разработать аналитические модели одно- и двухфазного потока в стволе скважины для учета температурного влияния ствола скважины при измерении температуры притока флюида из пласта.
-
Определить пути практического применения разработанных моделей при количественном анализе данных ТГДИ и планировании температурных исследований.
Достоверность результатов основывается на использовании фундаментальных уравнений тепло- и массопереноса в насыщенных пористых средах, апробированных аналитических и численных методов решения задач неизотермической фильтрации, а также удовлетворительным сопоставлением результатов расчетов в частных случаях с известными решениями.
Практическая ценность. Разработанные аналитические модели для расчета температурного поля в пласте и скважине при неизотермической фильтрации флюида позволяют повысить эффективность количественной интерпретации данных термогидродинамических исследований, могут быть использованы для тестирования численных моделей, а также являются эффективным инструментом при планировании температурных исследований.
Разработанная численная модель для расчета температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации флюида позволяет повысить точность расчета
температуры флюида за счет улучшенной разностной схемы на трехточечном шаблоне.
Предложенный метод количественной интерпретации данных ТГДИ, основанный на использовании разработанных аналитических и численной моделей, позволяет повысить эффективность интерпретации данных ТГДИ для оценки параметров пласта, призабойной зоны и притекающего флюида.
Научная новизна работы:
-
Разработана аналитическая модель для расчета температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации флюида к скважине с произвольно заданным падением давления на забое.
-
Разработана аналитическая модель для расчета температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации флюида к скважине с произвольным изменением дебита из пласта.
-
На трехточечном шаблоне разработана численная модель на основе разностной схемы с возмущенными коэффициентами для расчета температурного поля в пласте при неизотермической фильтрации с учетом радиальной теплопроводности для переходных режимов с заданным изменением давления на забое или дебита из пласта.
-
Разработаны аналитические модели для учета температурного влияния ствола скважины при измерении нестационарной температуры притекающей из пласта жидкости.
Защищаемые положения:
-
Полученные аналитические модели для расчета температурного поля в пласте при заданном переменном забойном давлении или переменном дебите из пласта с достаточной для практики точностью описывают основные закономерности нестационарного температурного поля в пласте и могут быть использованы для количественного анализа данных термогидродинамических исследований в скважинах и планирования температурных исследований.
-
Последовательное применение разработанных аналитических моделей при решении обратных задач для получения первых приближений и численной модели для уточнения решений повышает эффективность количественного анализа данных термогидродинамических исследований.
Защищаемые результаты:
-
Математическая модель неизотермической фильтрации флюида в пористом пласте к скважине с заданным падением забойного давления во времени.
-
Математическая модель неизотермической фильтрации флюида в пористом пласте к скважине с заданным переменным дебитом.
-
Математическая модель потока однофазного флюида в стволе скважины для нижнего работающего пласта с учетом и без учета геотермического градиента.
-
Математическая модель потока двухфазного флюида в стволе скважины для нижнего работающего пласта без учета геотермического градиента.
-
Методика количественной интерпретации данных ТГДИ для оценки параметров флюида и пласта, основанная на использовании разработанных аналитических и численных моделей.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и научных школах:
Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 2006.
Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-13, Таганрог, 2007.
Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 2007.
Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", Уфа, 2007.
Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-14, Уфа, 2008.
Научно-практическая конференция в рамках XVI международной выставки «Газ. Нефть. Технологии - 2008», Уфа, 2008.
Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", Уфа, 2010.
Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-16, Волгоград, 2010.
Winter School on Applied Modelling WSAM-2014, Abu Dhabi, 2014.
XХ научно-практическая конференция "Новая техника и технологии для геофизических исследований скважин", Уфа, 2014.
Научный семинар кафедры геофизики БашГУ под руководством проф. Вали-уллина Р.А, Уфа, 2010-2016.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 печатных работах, в том числе 5 из них в изданиях, рекомендованных ВАК. Зарегистрирован 1 программный продукт.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 147 страницах машинописного текста, содержит 35 таблиц, 42 рисунка. Состо-
ит из введения, 5 глав, заключения. Список источников включает 101 наименование.
Термозондирование и количественный анализ температурных данных
Наиболее известные аналитические модели для расчета температурного поля при неизотермической фильтрации флюида в пористом пласте были освящены в работе Чекалюка Э.Б. [66]. В этой книге были описаны аналитические модели для расчета температурного поля при притоке флюида с постоянным расходом на забое для моделей жесткого и упругого пластов. Описанные аналитические модели играют важную роль, так как учитывают основные особенности формирования температурного поля в пласте, а также используются для тестирования сложных численных моделей для расчета температурного поля пласта.
В работе Рамазанова А.Ш. [45] разработаны аналитические модели для расчета температурного поля пласта при нестационарной фильтрации слабо-сжимаемой жидкости и газированной нефти. Автором введено понятие баро-термического эффекта при нестационарной фильтрации в нефтяном пласте. В работе рассмотрено термозондирование пласта и призабойной зоны как технологии ТГДИ нефтяных пластов.
В работе [40] описана аналитическая модель для расчета температурного поля при притоке газированной нефти и воды. Для описания поля давления используется приближение модели жесткого пласта, в которой считается, что после снижения забойного давления ниже давления насыщения в пласте устанавливается стационарное поле давления.
В работе [63] разработаны аналитические модели с учетом теплопроводности для плоскопараллельной однофазной фильтрации жидкости.
Среди зарубежных можно отметить работу автора Ramey [91], описывающая аналитическую модель для расчета профиля температуры в стволе нагнетательной скважины. Отметим, что уже в 60-ые годы проявлялся интерес к количественному анализу температуры для решения практических задач.
В работе [74] обобщены математические модели для расчета температурного поля в скважине. Результаты работы часто используются в совмещенных скважинно-пластовых математических моделях для описания теплообмена в стволе скважины.
В работе [85] описана полуаналитическая модель для расчета температуры в пласте и скважине. Примечательно то, что описанная модель для расчета температуры притекающей жидкости представляет собой совокупность аналитических моделей расчета температуры в пласте и скважине. Для учета кондуктивного теплообмена при расчете температурного поля пласта используется метод расщепления по физическим процессам [76, 79, 92] на основе аналитического решения для задачи теплопроводности [88], при этом для описания конвективной части общего уравнения проноса энергии используется готовое аналитическое решение [40, 48]. Для учета теплообмена по пути движения жидкости в стволе скважины используются результаты известных работ [77, 91].
Одной из примечательных направлений количественного анализа данных ТГДИ является метод термозондирования, идеей которого является анализ состояния призабойной зоны исследуемого пласта по данным изменения температуры напротив пласта во времени. Основу теории термозондирования заложил Чекалюк Э.Б. еще в середине 60-х годов [66]. Им поставлена и решена задача об изменении температуры насыщенного пласта для случая постоянного отбора жидкости или газа. В работе показано, как аналитическая модель расчета температуры по модели жесткого пласта для режима постоянного отбора может быть применена для оценки состояния призабойной зоны пласта. Приведен пример обработки данных изменений забойных давления и температуры для газовой скважины.
В работе Закусило Г.А. [25] описан способ определения коэффициента продуктивности пласта путем снятия термограмм в скважине при трех или более установившихся режимах работы и в остановленной скважине. Описанный метод является графоаналитическим и может быть применен для исследований скважин, эксплуатируемых фонтанным способом.
В работе Карачинского В.Е. [29] были получены приближенные формулы для термогидродинамического зондирования пластов при переменном дебите при пуске скважины.
В работе Рамазанова А.Ш. [45] обобщено современное состояние термогидродинамических методов исследования пластов, показана эффективность использования термозондирования при решении задач оценки эксплуатационных параметров и степени нарушения призабойной зоны пласта. В работе показаны примеры использования аналитических и численных моделей для решения обратной задачи об определении параметров пласта и приза-бойной зоны. Аналогично, работы [44, 50] посвящены оценкам состояния призабойной зоны по данным термогидродинамических исследований. В работе [46] описан алгоритм оценки эксплуатационных характеристик пласта по данным ТГДИ. Количественный анализ данных изменений температуры, вызванных баротермическим эффектом в пласте, в первом приближении проводится с помощью аналитического модели Чекалюка Э.Б. для расчета температурного поля пласта, пущенного в работу в режиме постоянного отбора жидкости. Для учета сжимаемости и теплопроводности было применено численное моделирование неизотермической фильтрации с учетом температурных эффектов, происходящих в стволе скважины и пласте. Работа показывает пример успешной реализации алгоритма, использующего симбиоз аналитических и численных моделей неизотермической фильтрации при количественной интерпретации данных ТГДИ.
Сравнение полученного решения с известными моделями и численным расчетом
Метод термозондирования пласта, разработанный Чекалюком Э.Б., основан на количественном анализе данных ТГДИ, записанных в режиме постоянного отбора. Однако, на практике для различных способах вызова притока флюида из пласта, например, при запуске скважины в работу компрессором или струйным насосом, забойное давление и дебит из пласта являются переменными величинами во времени. Выбор того или иного способа вызова притока зависит от множества факторов, таких как продуктивность скважины, а также технологических особенностей эксплуатации скважины. Если с регистрацией давления в скважине не возникает трудностей, то измерение дебита из пласта представляет собой непростую техническую задачу, особенно для малодебитных скважин, когда поток из исследуемого пласта не достигает порога чувствительности механического расходомера. Поэтому практический интерес представляет математическая модель для расчета температуры при неизотермической фильтрации в пласте в случае, когда давление в скважине меняется и задано в виде некоторой функции времени.
В данной главе рассматривается аналитическая модель, позволяющая рассчитать температурное поле в насыщенном пористом пласте при притоке флюида к скважине с заданным переменным забойном давлении. Доказательство состоятельности модели проводится путём сравнения полученных результатов с расчетами по известным аналитическим моделям для частных случаев, а также с результатами численного расчета изменения температуры флюида из пласта.
Рассмотрим задачу о неизотермической фильтрации слабосжимаемого флюида в однородном пористом пласте к скважине, на стенке которой задано переменное во времени давление. Для описания поля давления в однородном пласте воспользуемся уравнением пьезопроводности в осесимметричной форме: dp 1 д f dp = X— r dt r dr dr (2.1) p = (p(t), p - r=rc v 1 Pn - p„„, p\ njl r=i Здесь введены обозначения: X - пьезопроводность пласта; гс и Rk - радиусы ствола скважины и контура питания. Функция ср(і) представляет собой зависимость давления в скважине от времени. Начальное давление в пласте и давление на контуре питания пласта равно Рпл. Для описания процесса формирования температурного поля в насыщенном пористом пласте при фильтрации флюида к скважине используем уравнение энергии Чекалюка в осесимметричной форме: дТ др дг дг T0, r=R q0; „ дТ „ dt ГІ = у(г), Т t=0 А dT dr r=rc г\тС др _ 1 д dt г dr dr J (2.2) Здесь Cm, Сж - соответственно объёмные теплоёмкость пласта и флюи Дж м да, ; v - вектор скорости фильтрации, —; ц - адиабатический коэффици кг-К с К К тепло ент, —; є - коэффициент Джоуля-Т омсона, —; m - пористость; лп Па Па Вт м- К проводность пласта,
Начальный профиль температуры в пласте задан в виде функции у{г). На контуре питания температура постоянна и равна Т0. На стенке скважины задан тепловой поток q0.
В такой постановке система уравнений (2.1) и (2.2) не решается аналитически. 2.2. Принятые допущения Сделаем следующие допущения: предполагается, что в прискважинной зоне пласта давление пе рераспределяется мгновенно (модель жесткого пласта) ( г, к ) ИР пренебрегается процессом теплопроводности в пласте и тепло обменом с окружающими породами. С учётом этих допущений система (2.1) и (2.2) примет вид: д ( др\ г = 0 г дг\ дг р\ = (p(t), р 0 ± г=гс г V I t= _, дТ С ьС v(r,t) ot t=0 y(r), rw r— D = Р„„ ,р\ = Р„ дТ др ь є — дг дг др лтС — = 0 ot (2.3) (2.4) 2.3. Поле давления
Общее решение (2.3) можно представить в виде р(г) = С2+С1ln(г). С учётом граничных условий, получим:
Формула (2.5) описывает распределение давления в пласте по г в момент времени t. В рамках данной модели при любом изменении давления в скважине согласно заданной функции (p(t), давление перераспределяется в пласте мгновенно. Можно полагать, что для небольших размеров области фильтрации, а также высокой продуктивности, нестационарное распределение давления будет хорошо описываться формулой (2.5).
Аналитическая модель для расчета температуры флюида из пласта с учетом теплопроводности
Математическая модель ТВСС для двухфазного потока без учета геотермического градиента
Тестирование решения. Для проверки точности расчетов температуры флюида из пласта используем формулу Э.Б. Чекалюка, описывающую изменение температуры притекающей из упругого пласта жидкости для режима постоянного дебита Qi =Q=const:
На рисунке 3.3 представлены результаты расчетов температуры по формулам (3.11) и (3.13). Разность значений температур изображена на ри сунке 3.4. Физические константы для расчета температуры и давления использованы из таблицы 3.1 и 3.2. Таблица 3.1. Параметры флюида и скелета пласта Параметр Жидкость (нефть) Скелет пласта кг Плотность о, —м 800 2700 ДжУдельная теплоемкость с, кг- К 1800 800 Вязкость ц , Па сек 0.003 Сжимаемость у8,10 ПаГ 0.0001 0 Коэффициент Джоуля-Томсона є ,10-5 Па 0.04 Адиабатический коэффициент г\ ,10-5 Па 0.014 Пористость m - 0.2 Проницаемость k , 10-15 м2 - 100 Таблица 3.2. Параметры пласта, начальные и граничные условия Параметр Скелет пласта Радиус скважины rc , м 0.1 Удельный дебит q = Q / h ,м / сут 10 Пластовое давление Pk , 102 кПа 200 Начальная температура T0 , 0C 0 102кПа- 160- 150- 140- 130- 120- 110 т,к Р, 1.4 1.21 0.8 0.6 0.4 0.20 0 Т Id" t, час 20 40 60 80 100 Рис. 3.3. Давление и изменение температуры на стенке скважины во времени соответственно по формулам (3.5), (3.11) и (3.13). 0.015 0.01 СІТ, К 0.00500 -0.005-0.01 t, h 2 0 4 0 6 0 8 0 10 -0.015 Рис. 3.4. Разность температур по формулам (3.11) и (3.13). Как видно из рисунков 3.3 и 3.4, температурные кривые, рассчитанные по формуле (3.11) и по формуле Чекалюка (3.13), повторяют друг друга. Разница между ними не превысила 0.5%.
Аналитическая модель для расчета температуры флюида из пласта с учетом теплопроводности 3.2.1. Математическая постановка задачи
В разделе 3.1 была рассмотрена модель температурного поля в пласте в пренебрежении теплопроводностью. Здесь рассматривается модель, учитывающая и этот процесс. Математическая постановка задачи для расчета температурного поля, изменения которого обусловлены баротермическим эффектом и процессом теплопроводности в пласте, имеет вид:
Решение задачи (3.14) для переменного дебита Q(t), как было отмечено во второй главе, аналитически получить не удается. Воспользуемся методом расщепления по физическим процессам, называемым часто методом OSATS (Operator Splitting and Adaptive Time Stepping). Для этого разобьем задачу на две части: конвективную с баротермическим эффектом и часть, обусловленную только теплопроводностью. Выберем шаг по времени At, тогда значение температуры на шаге (/-1) запишется в виде Ti_1 =T(r,ti_1). Время на следующем шаге ti = ґ._1 + At. Тогда температуру на следующем шаге можно представить в виде: Tt = Д (At)Ct (At) Tt_1, (3.16) здесь С.(At)представляет собой решение задачи (3.14), учитывающая только конвективный перенос тепла с баротермическим эффектом; Ц(Л/) -решение задачи (3.14), обусловленной только теплопроводностью.
Решение температурной задачи только с конвективной составляющей на текущем шаге ti =tt_1+At описывается формулой (3.12). Рассмотрим задачу теплопроводности. Представим решение задачи с учетом только конвектив ного переноса тепла в виде cp(r,tj_1) = Cj(At)Tj_1, являющееся начальным условием для уравнения теплопроводности: dm 1 д ( дфЛ _, _, -а г 1 =0, /є(/г1,/.) (3.17) 5? г dry дг ) Начальное условие можно записать в виде: (p(r, t ._1) = С. (А/)7 _1. (3.18) Решение (3.17-18) известно и имеет вид [88]: р(г, ґг) = f(x)e 4aAt I0 \xdx , (3.19) 2аАґ 0 2аАґ где f(x) = (p(x,ti_1) - решение конвективной части уравнения (3.14). Выражение (3.19) можно представить следующим образом. Известно, что кон-дуктивный теплоперенос как температурный эффект приводит к сглаживанию температурного профиля в пласте и к выполаживанию температурного градиента. По своему смыслу Д-(А/) в выражении (3.16) - оператор сглаживания функции f(x) = (р(х ), время действия которого равно А/. Формулу (3.19) дает значение температуры на следующем шаге по времени Ti =(p(r,tt).
Решение для нулевого дебита. Если в истории изменения дебита присутствуют нулевые значения, то есть скважина была остановлена, то эти интервалы времени для ускорения счета и повышения точности можно рассмотреть отдельно, поскольку в них будут преобладать процессы теплопроводности и адиабатического сжатия флюида в пласте. Задача о формировании температурного поля в пласте во времени в период остановки скважины примет вид: дТ 1 д ( дТ \ др(гл) t t0 = а г +77 , , (3.20) dt г dry дг ) dt г 0 с начальным условием