Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Асимптотические разложения в задаче об уединенной волне 13
1.1 Введение 16
1.2 Постановка задачи
1.2.1 Первый способ обезразмеривания 22
1.2.2 Второй способ обезразмеривания 24
1.2.3 Используемые ряды
1.3 Линеаризация 26
1.4 Квадратичная задача 29
1.5 Разложение мелкой воды
1.5.1 Первый член разложение мелкой воды 32
1.5.2 Три ряда 32
1.5.3 Получение дифференциального уравнения 34
1.5.4 Решение дифференциального уравнения 34
1.5.5 Члены более высокого порядка малости 36
1.6 Ряд Овсянникова 36
1.6.1 Построение решения 37
1.6.2 Определяющее уравнение 38
1.6.3 Численное решение определяющего уравнения 39
1.7 Ряд Вайтинга 44
1.7.1 Начальные члены ряда Вайтинга 47
1.7.2 Неопределенность первого коэффициента 48
1.7.3 Численное исследование рядов Вайтинга 49
1.8 Суммирование рядов Вайтинга 52
1.8.1 Производящие функции 52
1.8.2 Дискретное преобразование Фурье 56
1.8.3 Сведение к системе дифференциальных уравнений
1.9 Второй способ суммирование рядов Вайтинга 61
1.9.1 Бесконечная система дифференциалвных уравнений 62
1.9.2 Конечная система дифференциалвных уравнений 63
1.9.3 Более общая задача 63
1.10 Уравнение Бабенко 65
1.10.1 Вывод уравнения Бабенко для уединенной волнві 65
1.10.2 Ряды Вайтинга для уравнения Бабенко 67
1.10.3 Интеграл системы 69
1.11 Случай в = тг/3 71
1.11.1 Введение новых неизвестнвіх 71
1.11.2 Интегрирование системві уравнений 72
1.11.3 Засасывание жидкости под криволинейную крышку 73
1.11.4 Приближенное описание уединенной волны максимальной амплитуды 77
1.12 Случай в = тг/4 78
1.12.1 Введение новых неизвестных 79
1.12.2 Интегрирование системы 80
1.12.3 Особые точки 81
1.12.4 Свободная граница
1.13 Численное интегрирование системы 86
1.14 Задача о водопаде 90
1.15 Сходимость ряда Овсянникова
1.15.1 Связь ряда Вайтинга и ряда Овсянникова 93
1.15.2 Радиус сходимости 94
1.15.3 Характер особенности 96
1.15.4 Разрывность ряда Овсянникова 98
1.16 Модификация рядов 99
Выводы по главе 1 102
Глава 2 Периодические гравитационные волны на поверхности жидкости 104
2.1 Постановка задачи 109
2.2 Разложение Стокса 112
2.3 Квадратично-нелинейная задача 114
2.4 Разложение длинных волн 118
2.5 Сравнение двух решений 126
2.6 Решение, пригодное для всех длин волн 128
2.6.1 Предельное решение при к — 0 128
2.6.2 Предельное решения при А; — 1 130
2.6.3 Разложение Стокса и разложение длинных волн
2.7 Дифференциально-разностное уравнение для периодических волн 134
2.8 Высшие приближения теории кноидальных волн
2.8.1 Решение в рядах 139
2.8.2 Первое приближение 141
2.8.3 Второе приближение 142
2.8.4 Приближения высших порядков 146
2.8.5 Компьютерные вычисления 147
2.8.6 Функциональная связь между длинными и короткими волнами 1 2.9 Периодичность вдоль и поперек полосы 152
2.10 Решение периодическое поперек полосы 154
2.11 Специальный случай 156
2.12 Характеристики наивысших волн
2.12.1 Уравнение свободной границы 164
2.12.2 Амплитуда волны 165
2.12.3 Скорость волны 168
2.12.4 Импульс волны 169
2.12.5 Потенциальная энергия 170
2.12.6 Кинетическая энергия 171
2.12.7 Упрощенные формулы 173
2.12.8 Длинноволновая асимптотика 174
2.12.9 Коротковолновая асимптотика 176
2.12.10Волны с самой низкой точкой свободной границы 177
2.12.11 Давление и скорость на дне 179
2.12.12Квазипериодичность 182
Выводы по главе 2 184
Глава 3 Эволюция малых возмущений на свободной поверхности соударяющихся струй 186
3.1 Введение 189
3.2 Стационарное решение 191
3.3 Уравнения нестационарного движения жидкости 196
3.4 Уравнения нестационарного взаимодействия струй 200
3.5 Линеаризация 206
3.6 Первое приближение 209
3.7 Спектральная задача 212
3.8 Разделение переменных 212
3.9 Восьмипараметрическое семейство решений 213
3.10 Сведение задачи к дифференциальному уравнению 217
3.11 Решение в окрестности особых точек 219
3.12 Численное решение 222
3.13 Применимость метода Фурье 228
3.14 Пример нагруженного уравнения 229
3.15 Комплексно-гиперболические уравнения 234
3.16 Наипростейший случай 240
3.17 Переход в плоскость комплексного потенциала 241
3.18 Численное решение 243
3.19 Вспомогательная задача 247
3.20 Временная эволюция возмущений 249
Выводы по главе 3 251
Глава 4 Точные решения в нестационарной задаче со свободной границей 252
4.1 Степенные ряды по времени 254
4.1.1 Эйлеровы координаты 255
4.1.2 Лагранжевы координаты
4.2 Постановка задачи: автомодельные течения 260
4.3 Малые знаменатели 262
4.4 Конформные отображения 263
4.5 Суммирование рядов 267
4.6 Частный случай а = 7г/2 269
4.7 Частный случай а = 7г/4 273
4.8 Частный случай а = 37г/4 276
4.9 Линии нулевого ускорения 278
4.10 Вспомогательное течение 280
4.11 Эволюция полуплоскости
4.11.1 Построение свободной поверхности 283
4.11.2 Проверка динамического условия 284
4.11.3 Проверка кинематического условия 285
4.11.4 Вычисление ускорения 285
4.12 Смена знака вектора скорости 287
4.13 Неавтомодельное течение со свободной границей
4.13.1 Течение с линейным полем скоростей 291
4.13.2 Преобразование Галилея 292
4.13.3 Смена знака вектора скорости 293
4.13.4 Количество решений 294
4.13.5 Форма свободной границы для неавтомодельных течений 4.14 Трещина в жидкости 297
4.15 Размножение решений в задаче со свободной границей 300
Выводы по главе 4 304
Глава 5 Конформные отображения, Паде аппроксиманты и пример течения со значительной деформацией свободной границы 306
5.1 Введение 306
5.2 Нахождение степенных рядов 308
5.3 Непосредственное суммирование степенных рядов 312
5.4 Аппроксиманты Паде 314
5.5 Замена переменных 318
Выводы по главе 5 324
Заключение 325
Список литературы
- Первый член разложение мелкой воды
- Дифференциально-разностное уравнение для периодических волн
- Уравнения нестационарного движения жидкости
- Построение свободной поверхности
Первый член разложение мелкой воды
Уединенная волна представляет собой объект многочисленных исследований многих авторов. В настоящее время теория уединенных волн сформировалась в развитый раздел математической физики. Классификация разных типов уединенных волн в различных механических и физических системах представлена в монографии Ильичева (2003) [14].
В данной главе рассматривается классическая уединенная волна на поверхности жидкости, впервые открытая Расселом в 1838 году [136]. Буссинеск (1871) [75], Рэлей (1876) [134], Кортевег де-Фриз (1895) [108] продолжили исследование этой задачи. Они создали приближенную теорию для уединенных волн малой амплитуды.
Точная формулировка задачи для волн большой амплитуды изучалась во многих статьях. Существование уединенных волн малой амплитуды было впервые доказано М.А. Лаврентьевым (1946) [36] и немного позднее Фридрихсом и Хайер-сом (1954) [93]. Существование решения "в целом" установлено Эмиком и Толандом (1981) [69]. Стоке (1880) [141] высказал гипотезу, что наивысшая уединенная волна характеризуется точкой заострения на свободной границе с внутренним углом 120. Существование уединенных волн максимально возможной амплитуды с заострением на вершине было доказано Толандом (1978) [145]. Гипотеза Стокса была доказана Плотниковым (1983) [52]. Craig & Sternberg (1988) [80] доказали симметричность уединенных волн относительно вертикальной оси, проведенной через наивысшею точку свободной границы (ось Y на рис. 1.16). Важное свойство неединственности уединенных волн большой амплитуды было доказано Плотниковым (1991) [53].
Тем не менее эти и другие замечательные результаты не дают конструктивные методы для определения параметров течения. Для того, чтобы оценить профиль вол Асимптотические разложения в задаче об уединенной волне
Уединенная волна в различных системах координат: а) в лабораторной системе координат (жидкость на бесконечности покоится); б) в системе координат, движущейся вместе с волной. ны, а также массу, энергию, импульс и т. д. — использовались две группы численных методов.
Первая группа базируется на численном суммировании различных рядов, представляющих решение. Степенные ряды по амплитуде использовались в работах Fenton(1972) [89], Longuet-Higgins & Fenton(1974) [116], Pennel k Su (1984) [132], Pennel (1987) [133] и других авторов. Особенно тщательные и интенсивные вычисления провели Longuet-Higgins & Fenton. Используя замены переменных в степенных рядах и суммирование Паде они оценили параметры уединенной волны вплоть до максимальной амплитуды. Другие типы рядов были использованы Witting (1975) [156], Овсянников (1991) [50] и Карабут (1994) [16]. Здесь авторы применяли разложения по некоторым семействам функций. Отметим, что численное суммирование рядов разных типов дает одинаковые или похожие результаты.
В целом эти результаты оказались также близки и к результатам, полученным численными методами второй группы. Эта группа не использует ряды — для решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится задача об уединенной волне, использовались конечно-разностные методы. Упомянем самые известные статьи на эту тему: Byatt-Smith & Longuet-Higgins (1976) [74], Williams (1981) [154], Witting (1981) [157] и Hunter & Vanden-Broeck (1983) [98].
Существуют незначительные отличия вычисленных параметров для уединенных волн большой амплитуды, посчитанных методами первой и второй групп. Например, величина отношения максимальной амплитуды к глубине жидкости на бесконечности, полученная из численных вычислений, базирующихся на суммировании рядов, составляет y0(0)-fe0 0.827. (1.1) h0 Асимптотические разложения в задаче об уединенной волне Ц \g Рис. 1.2. Таких уединенных волн не существует. Это число слегка отличается от величины Y{01 Но ъ 0.833, (1.2) По найденной методами второй группы.
Такие отличия в численных расчетах, полученных с помощью разной техники, ранее объяснялись недостаточной точностью метода Паде-суммирования (Pennel 1987 [133]) или малым количеством членов ряда (Pennel & Su 1984 [132]). Witting (1975) [156] объясняет существующее различие тем, что используемые ряды являются не полными. По нашему мнению это объяснение справедливо. В диссертации дальнейшие свидетельства в пользу этой гипотезы представлены.
Основной результат первой главы — осуществлено точное суммирование рядов, предложенных в работе [156]. Мы их будем называть рядами Вайтинга. Задача суммирования сводится к нахождению решения специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что ряды Вайтинга не описывают уединенные волны, но соответствуют некоторым другим стационарным течениям тяжелой жидкости со свободной границей. Например, одно из таких течений, которое ниже анализируется, соответствует засасыванию жидкости под криволинейную крышку.
Отметим, что таких течений тяжелой жидкости со свободной границей известно совсем немного. Например Villat (1915) [149] нашел точное решение задачи о течении тяжелой жидкости над криволинейным дном определенной формы. Точное решение о течении жидкости над дном в форме ступеньки было найдено Richardson (1920) [135]. Другие дополнительные примеры точных решений (их число не более 10) может быть найдено в книге Гуревича [9].
Дифференциально-разностное уравнение для периодических волн
Вайтинг нашел более чем 200 членов ряда и затем численно их суммировал. Для 9 = 7г/4 была сделана попытка построить форму свободной границы, однако профиль уединенной волны оказался не симметричным. Достичь большей симметрии удалось добавлением в решение гармоники Лі.
Известно, что если в распределении знаков коэффициентов степенных рядов есть закономерность, обычно это некоторая периодичность, то по распределению знаков внутри периода можно определить аргумент особой точки [4]. Численно исследуя распределение знаков ряда Вайтинга, можно найти аргумент особой точки в плоскости (, ближайшей к началу координат ( = 0. Такое исследование Вайтинг проделал для двух случаев: 9 = 7г/4 и 9 = 7г/3. В первом случае обнаружилось, что знаки коэффициентов степенного ряда меняются с периодом ( Ь+). Отсюда был сделан вывод, что аргументы особых точек ±7г/2. 1.7. Ряд Вайтинга
Более интересным оказался второй случай. Оказалось, что при 9 = 7г/3 знаки коэффициентов меняются с периодом (0 0 + +) и отсюда был сделан вывод, что аргументы особых точек ±7г/3. Этой информации оказалось достаточно для нахождения амплитуды уединенной волны максимальной амплитуды. Действительно в плоскости ( свободной поверхности соответствует луч ( = геш 3. Поэтому особенность расположена на свободной поверхности. Поскольку на свободной поверхности особенность может быть только у волны максимальной амплитуды, то отсюда следует, что волна максимальной амплитуды достигается при 9 = 7г/3. Используя формулу (1.5), находим максимальную безразмерную амплитуду а = — = 0.82699. 2тг Аналитически получено число, представленое в левой половине таблицы 1.1, которое ранее было получено численно.
Мы повторили вычисления Вайтинга, но на более современном уровне. Были применены полуаналитические методы (см. главу 5 настоящей диссертации). Найдем численно коэффициенты Ej при условии Е\ = 1.
Построим для (1.91), (1.92) аппроксиманты Паде. Давно замечено (хотя в общем случае и не доказано), что нули и полюса аппроксимантов выстраиваются вдоль некоторых линий-разрезов (они называются компактами Шталля), которые своим острием указывают на особые точки аппроксимируемой функции. На рис. 1.13 для 9 = 7г/4 и 9 = 7г/3 маркерами изображены в плоскости ( полюса аппроксимантов [50/50]. Луч на рисунках выпущен из начала координат под углом 9 к вещественной оси. Такие рисунки называются диаграммами Паде и они позволяют оценить не только аргумент особой точки, но и ее модуль, т.е. радиус сходимости.
Видно, что при 9 = 7г/4 есть не 2 как предполагалось Вайтингом, а 4 особые точки с аргументом 7гк/2, к Є Z. Одна из особых точек расположена на положительной вещественной оси, соответствущей дну. Из этого рисунка сразу становиться 1.7. Ряд Вайтинга понятным, что ряды Вайтинга уединенную волну не описывают, поскольку на дне уединенные волны особенность не имеют. Вычисляя расстояние от начала координат до особых точек, численно находим радиус сходимости ряда для ряда Вайтинга: 0.714 для в=Т (L93)
При 0 = 7г/3 есть три особые точки, расположенные на одинаковом расстоянии от начала координат. Причем одна особая точка действительно расположена на свободной поверхности. Вычисляя расстояние от начала координат до особых точек, находим радиус сходимости ряда (1.85):
В данном параграфе мы покажем, что если 0/п является рациональным числом, то суммирования ряда Вайтинга сводится к решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Будем считать, что 0 = пт/п, (1.95) где га, п — целые числа. Для нахождения ряда Вайтинга надо в граничное условие постоянства давления на свободной границе (1.16), переписанное в виде і + шф + в\ + в% = 1_\уВ, (Ф = в) подставить ряды для В, В , Вф, которые при ф = 0 выглядят следующим образом: В = Е sin 0 + Е2е2(р sin 20 + e3 sin 30 + ..., (1.96) Вф = E cos 0 + 2E2e2ip cos 20 + 3E3e3ip cos 30 + ..., (1.97) Blf = E1ecpsin0 + 2E2e2cpsm20 + 3E3e3cpsm30 + ... . (1.98) 1.8.1 Производящие функции Основная идея, позволяющая просуммировать эти ряды, состоит в следующем. Если выполнено (1.95), то с ростом j синусы sinj0 начнут повторятся и собственно различных синусов будет всего 2п штук (и косинусов тоже). Соберем эти синусы в ряде (1.96). Получим в результате конечную сумму
Уравнения нестационарного движения жидкости
Рассматривается классическая задача о гравитационных волнах на поверхности тяжелой идеальной несжимаемой жидкости, имеющих одну впадину и одну вершину на период. Течение безвихревое плоскопараллельное установившееся, поверхностное натяжение отсутствует. Жидкость ограничена снизу ровным дном, а сверху периодической неподвижной свободной поверхностью. Такая задача всегда была объектом интенсивных исследований.
Известно, что семейство гравитационных периодических волн является двух-параметрическим. В качестве свободных параметров можно взять, например, безразмерную длину волны и безразмерную амплитуду, то есть отношение длины волны и амплитуды к средней глубине. Длина волны меняется от 0 до сю и амплитуда меняется от 0 до некоторой предельной величины, зависящей от длины волны.
Как правило трудности теоретического описания гравитационных волн растут с амплитудой. Задача об гравитационной волне максимальной амплитуды является наиболее сложным и интересным случаем. Семейство таких волн уже однопарамет-рическое, зависящее от безразмерной длины волны. Основной результат данной главы: построена приближенная теория наивысших гравитационных волн.
На свободной поверхности таких волн возникает особая точка, которая представляет собой точку заострения с внутренним углом 120. Впервые гипотеза о наличие такой точки была высказана Stokes (1880) [141]. Эта гипотеза получила строгое подтверждение в работах Toland (1978) [145], Amick, Fraenkel & Toland(1982) [70] и Плотников (1983) [52]. Асимптотическое разложение в окрестности сингулярной точки было найдено Grant (1973) [96], Norman (1974) [129], Amick к Fraenkel (1987) [71] и McLeod (1987) [125]. Периодические гравитационные волны на поверхности жидкости Первое численное исследование наивысших гравитационных волн было осуществлено в статьях Michell (1893) [127] и Havelock (1919) [97]. Из более поздних работ мы упомянем статьи Schwartz (1974) [138] и Cocelet (1977) [78], где изучение волн произвольной амплитуды включая наивысшею было представлено. Доскональное вычисление значительного числа параметров наивысших волн было сделано Williams (1981, 1985) [154], [155]. Очень тщательные численные вычисления почти наивысших волн были осуществлены Chandler & Graham (1993) [76], Tanaka (1995) [142] и Maklakov (2002) [123].
Кроме численных результатов существует также несколько приближенных теорий. Линейная теория волн малой амплитуды и нелинейная теория длинных волн не подходят для описания волн конечной амплитуды и особенно для волн максимальной амплитуды. Первая дает синусоидальные волны, последняя дает кноидальные волны. Эти волны не обладают сингулярностями на свободной границе. Хорошо известна теория Davies (1951) [85] для волн конечной амплитуды . В этой теории исходная нелинейная краевая задача изменяется слабо так, что новая нелинейная задача допускает точное решение. Longuet-Higgins (1973) [114] предложил приближение "ше-стиугольника"для наивысших волн на поверхности жидкости бесконечной глубины. Простая и точная асимптотическая теория волн, имеющих максимальную или близкую к ней амлитуду получена Longuet-Higgins & Fox (1977, 1978, 1996) [118], [119], [122]. Эта теория получила численное подтверждение в работе Maklakov (2002) [123].
Другая приближенная теория волн большой амплитуды предложена в настоящей диссертации. Отличие от более ранних теорий состоит в том, что полученные приближенные решения удовлетворяют гидродинамическим уравнениям и граничным условиям точно. Эти решения описывают стационарные течения тяжелой жидкости со свободной границей, отличающиеся от волн на воде. Таким образом в диссертации к известным примерам течений (см. Гуревич (1979) [9]; Milnehomson (1967) [43]; Daboussy, Dias & Vanden-Broeck (1997) [83])добавлено новое семейство точных решений, описывающее течение тяжелой жидкости со свободной границей.
Впервые конформные отображения в задаче о гравитационных волнах применил Стоке (1880) [141]. Разложение длинных волн рассматривалось в работе Тер-Крикоров (1960) [60]. Предложен новый способ построения разложения мелкой воды, основанный на замене интегродифференциального уравнения, к которому обычно сводится задача о волнах, на дифференциально-разностное уравнение (2.107). По сравнению с существующими такой способ более прост и может быть полезен, в частности, при численных расчетах, т.к. позволяет быстрее и точнее строить ряды и находить большее количество их членов. В других работах (см., например, Longuet 105 Периодические гравитационные волны на поверхности жидкости Higgins & Fenton (1974) [116], Pennel & Su (1984) [132], Pennel (1987) [133]) применяется более сложный способ, когда одновременно используются четыре ряда, члены которых являются функциями от двух переменных.
В данной главе задача о волнах изучается как нелинейная краевая задача в бесконечной полосе в плоскости комплексного потенциала. Естественно, что решение задачи должно быть периодической вдоль полосы для периодических гравитационных волн. Мы предлагаем искать решение, которое периодично в поперечном направлении. Как показано ниже такое решение согласуется с теорией кноидальных волн. Далее мы замечаем, что периодическое решение в поперечном направлении к полосе может быть точно найдено, если период — рациональное число. Для того, чтобы найти это решение надо решить специальную нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение периодическое поперек полосы с периодом 6 представлено в настоящей главе. Основная цель — продемонстрировать, что решение с таким периодом близко к наивысшей волне в жидкости. Мы проверим эту близость далее в этой главе, где полученное решение сравнивается с численными результатами Williams (1981) [154]. Хорошее согласие наблюдается для больших и средних длин волн. Простые формулы, которые могут быть полезны для инженерных расчетов получены для основных интегральных величин, давления и скорости вдоль дна для наивысших волн.
Если в качестве независимых параметров взять амплитуду и скорость волны, то областью допустимых значений этих параметров является криволинейный треугольник ABC, схематично изображенный на рис. 2.1. Каждой точке этого треугольника соответствует некоторая гравитационная волна. Наиболее изученной является область малых амплитуд. Именно здесь применимо как разложение Стокса, в первом порядке дающее теорию линейных синусоидальных волн, так и разложение теории длинных волн 1. Волнам максимальной амплитуды, имеющим угол 120 при вершине, соответствует граница треугольника АВ. Граница треугольника ВС соответствует гравитационным волнам бесконечной длины, т.е. уединенным волнам. Точка В соответствует уединенной волне максимальной амплитуды, имеющей на свободной поверхности угол заострения 120. В точке С число Фруда равно единице. Именно в окрестности этой точки справедливо разложение длинных волн. Область применимости разложения Стокса сосредоточена в узкой полосе вдоль горизонтальной оси. Точка А соответствует гравитационным волнам в бесконечно глубокой жидкости.
Построение свободной поверхности
Задача о соударении двух струй, движущихся под некоторым углом навстречу ДРУГ ЛРУГУ с одинаковой скоростью, которую без ограничения общности можно считать равной единице, является одной из самых простых задач, решаемых методом Киргоффа (см. Милн-Томсон (1964) [43]). Она возникает из задачи истечения жидкости из двух шлангов (точнее щелей) разной толщины (см. рис. 3.3(a)) в пределе, когда эти шланги сдвигаются на бесконечность вдоль струй в направлениях, обратным векторам скорости струй. В результате возникает стационарное струйное течение, изображенное на рис. 3.3(6).
Необходимость нестационарного исследования возникает, например, при соударении струй с разной скоростью. В этом случае никому не удалось построить непрерывного стационарного решения, поскольку разные константы Бернулли не могут обеспечить непрерывность давления в критической точке. Только в частном случае лобового столкновения, когда скорости струй различны, но направлены навстречу друг другу, можно найти подвижную систему координат, в которой течение будет стационарно. Такой системы уже не существует, когда струи соударяются под некоторым углом. Здесь, в отличии от лобового столкновения, есть выделенная точка, например, точка пересечения срединных линий набегающих струй (т. A на рис. 3.3). В системе координат, жестко связанной с этой точкой, течение будет, по 189 видимому, периодическим по времени. В частности, это подтверждает экспериментальная работа Covan, Bergman & Holtzman (1971) [79], где при взаимодействии двух потоков масла, движущихся с разной скоростью, обнаружены периодические волны на поверхности раздела сред. Подобное периодическое взаимодействие струй может выступать в качестве простейшей модели волнообразования при сварке взрывом Дерибас (1980) [10]. Более сложные модели, привлекающие акустику, вязкость, теплопроводность, поверхностное натяжение, неустойчивость вихревой дорожки Кармана и т. д. можно найти в сборнике статей [7].
Уравнения, полученные ниже, пригодны для описания взаимодействия двух струй, движущихся с разной скоростью. Однако основные усилия будут направлены на строгий вывод уравнений для исследования на устойчивость стационарного соударения струй с одинаковой скоростью. Будут рассматриваться только возмущения, убывающие на бесконечности, т.е. такие возмущений, которые не затрагивают скорость стационарного течения в бесконечно удаленных точках.
Для исследования слабо возмущенных струйных течений обычно используются уравнения, приведенные в работе Fox & Morgan (1954) [91]. При выводе этих уравнений граничные условия сносятся на невозмущенную свободную поверхность. Не совсем понятно является ли корректной эта процедура в случае нестационарного взаимодействия струй, когда есть 4 бесконечно удаленных точки. По существу здесь делается конформное отображение возмущенной области течения на невозмущенную. Можно ли при этом достичь соответствия бесконечно удаленных точек, если конформное отображение является только 3-параметрическим? Поэтому, чтобы избежать ошибки мы сначала строго поставим нелинейную задачу, особо оговаривая при каких предположениях она получена и только затем осуществим ее линеаризацию.
В работе Fox & Morgan (1954) [91] исследованы на устойчивость известные классические течения: кавитационное обтекание пластины; соударение двух струй одинаковой толщины; истечение жидкости из щели, образованной двумя плоскостями; полый вихрь. Анализ этих течений основан на возможности представления комплексного потенциала возмущенного течения в виде w = GieA + G2eJt, (3.1) где t — время; функции G\, G2 не зависят от времени. Возмущения называются устойчивыми, если Re Л 0, и неустойчивыми, если Re Л 0. Возмущения, для которых Re Л = 0 названы нейтральными. Основной результат работы состоит в определении собственных значений Л.
Представление (3.1) использовалось при исследовании на устойчивость различных струйных задач в работах: Гуревич (1979) [9], Curie (1956) [82], Козин (1972) [33], Уткин & Дремин (1986) [66], Уткин (1988) [67]. В тоже время существует ряд работ, в которых либо выражается некоторое сомнение в возможности применения (3.1), либо утверждается ошибочность этого представления. Например, в книге Гуревич (1979) [9] к результатам работы Fox & Morgan (1954) [91] об устойчивости течений призывается относиться с известной осторожностью, поскольку асимптотическая зависимость возмущений от t (при t — сю) не обязательна должна быть экспоненциальной. В работе Козин (1972) [32] утверждается, что применение метода Фурье к решению вопроса об устойчивости без анализа класса начальных возмущений может привести к упущениям и даже ошибкам. Примером ошибочной работы названа Fox & Morgan (1954) [91]. При исследовании вопросов устойчивости по меньшей мере полезно держать в памяти задачу с начальными данными. Примеры ошибок метода Фурье, т. е. когда поиск решения в виде линейной суперпозиции собственных функций вида (3.1) не дает правильного ответа, можно найти в работе Кэйз (1964) [35].
В данной главе выясняется возможность применения представления (3.1) при исследования на устойчивость стационарной задачи о соударении двух струй. Отметим, что ранее несмотря на многочисленные примеры использование (3.1), корректной постановки спектральной задачи для нахождения Л в литературе, тем не менее, не встречается. Поэтому первая наиболее объемная часть главы посвящена математической постановке спектральной задачи. Ее формулировка довольно сложна, хотя физическая постановка спектральной задачи проста и естественна: комплексная скорость возмущенного течения должна быть ограниченной функцией всюду в области течения. Иначе говоря, величина Л должна подбираться таким образом, чтобы собственные функции (3.1) были ограничены. Аналитическое решение спектральной задачи из-за ее сложности получить затруднительно, поэтому в диссертации она решалась численно.
В результате взаимодействия двух сходящихся струй образуются две расходящиеся струи (см. рис 3.4). Номера 1 и 3 присвоим сходящимся струям, а 2 и 4 — расходящимся. Обозначим через hj — ширину j-ой струи (j = 1,4), взятую с положительным знаком, если струи сходящиеся и с отрицательным, если струи расходящиеся (hi,hs О, Ь,2,Ъ,± 0). Пусть о,- = e10j — комплексные скорости в бесконечно удаленных точках. Аргумент 9j характеризует угол, под которым направлена j-ая струя. Поместим начало декартовой системы координат X, Y (Z = X + iY) в критической точке, т.е. в точке, в которой скорость жидкости равна нулю. Конформное отображение Z(() внутренности единичного круга, расположенного в некоторой вспомогательной плоскости (, на область течения (см. рис. 3.4), а также комплексная скорость U(Q даются формулами [43]: