Содержание к диссертации
Введение
2 Определение удельного веса жидкости, высоты её столба в закрытом резерву аре по прогибам вертикальной стенки резервуара 31
2.1 Определение удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также вида и параметров закрепления вер тикальной стенки но прогибам в десяти точках в за крытом резервуаре 32
2.1.1 Постановка обратной задачи 32
2.1.2 Метод восстановления удельного веса, высоты столба жидкости, ширины емкости резервуара, а также условий закрепления стенки 35
2.1.3 Единственность решения обратной задачи 42
2.1.4 Применение метода определения удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом резервуаре, а также ширины и условий закрепления вертикальной стенки 43
2.2 Задача о цилиндрическом резервуаре 48
2.2.1 Введение 48
2.2.2 Деформация стенок цилиндрического резервуара 51
3 Диагностика типа жидкости в закрытом вращающемся сосуде 54
3.1 Задача о закрытом вращающемся цилиндрическом сосуде, днище которого представляет собой пластину 59
3.1.1 Введение 59
3.1.2 Постановка задачи 59
3.1.3 Метод определения типа жидкости, а также условия закрепления днища на краях по ее прогибам в нескольких точках 62
Идентификация удельного веса, высоты столба жидкости по прогибам гибкого днища закрытого цилиндрического резервуара в нескольких точках 69
3.2.1 Постановка задачи 69
3.2.2 Математическая постановка обратной задачи 70
3.2.3 Метод определения удельного веса жидкости или вершины параболы по прогибам гибкого днища в нескольких точках 72
3.2.4 О единственности решения обратной задачи 76
3.2.5 Устойчивость решения 78
3.2.6 Применение метода определения удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом вращающемся сосуде, а также условий закрепления днища сосуда 84
Определение высоты столба жидкости в резервуаре, дно которого представляет собой неоднородную пластину 88
3.3.1 Постановка задачи 88
3.3.2 Математическая постановка обратной задачи 89
3.3.3 Метод нахождения высоты столба жидкости и краевых условий 90
3.3.4 Применение метода определения высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, а также условий закрепления неоднородного днища . 95
3.3.5 Статическая диагностика стержня 97
Заключение 109
Литература 110
- Метод восстановления удельного веса, высоты столба жидкости, ширины емкости резервуара, а также условий закрепления стенки
- Применение метода определения удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом резервуаре, а также ширины и условий закрепления вертикальной стенки
- Метод определения типа жидкости, а также условия закрепления днища на краях по ее прогибам в нескольких точках
- Метод определения удельного веса жидкости или вершины параболы по прогибам гибкого днища в нескольких точках
Введение к работе
0.1 Актуальность темы диссертации
Работа посвящена задаче диагностики состояния закрепления резервуара с жидкостью, а также задаче идентификации параметров жидкости по прогибам резервуара в нескольких точках. Ранее подобные задачи не рассматривались.
Задачи о равновесии тонкостенных упругих элементов под действием сил со стороны жидкости исследованы в работах В.Г. Шухова, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Лойцянского, Р.П. Кузьминой, В.М. Петрова, Ф.Л. Черноусько, М.А. Ильгамова и др. Наиболее близки но постановке задачи диагностирования закрепления стержней, пластин, мембран по собственным частотам их колебаний (см. работы A.M. Ахтямова, Г.Ф. Сафиной, Л.С. Ямиловой). Задачи рассматриваемого типа связаны также с задачами гидростатики, обратными задачами и задачами диагностики.
Задача диагностирования жидкости в закрытом резервуаре, а также закрепления резервуара по прогибам в нескольких точках
дает возможность теоретического прогнозирования типа жидкости и ее объема в закрытом резервуаре, что способствует более глубокому пониманию и описанию процессов, протекающих в закрытом резервуаре. На практике могут возникнуть такие сложные ситуации, когда резервуар недоступен для визуального осмотра (например, нахождение рядом опасно для жизни человека) или его нельзя открыт!) (например, известно, что в нем содержится ядовитая жидкость). Именно этой важной теме - разработке методов определения жидкости в закрытом резервуаре и параметров закрепления резервуара, - и посвящена настоящая диссертация.
0.2 Цель исследования
Основной целью исследования является: постановка и решение обратных задач по идентификации удельного веса жидкости, высоты ее столба и упругого закрепления закрытого резервуара по прогибам в нескольких точках.
В соответствии с поставленной целью определены следующие основные задачи работы:
разработка метода идентификации удельного веса жидкости, высоты ее столба, а также условий закрепления вертикальной стенки закрытого резервуара по ее прогибам в нескольких точках;
разработка метода восстановления удельного веса жидкости, высоты ее столба, угловой скорости вращения резервуара, а также условий закрепления днища по прогибам днища закрытого враща-
ющегося цилиндрического резервуара в нескольких точках;
3) исследование зависимости прогибов стенки от D (цилиндрической жесткости), а также прогибов днища от высоты столба жидкости и ее удельного веса.
0.3 Научная новизна полученных результатов
Впервые поставлена и решена обратная задача идентификации удельного веса жидкости, высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, его упругого закрепления по прогибам в нескольких точках. Задача исследована в случае покоя резервуара, а также в случае вращения.
Разработаны методы идентификации удельного веса и высоты столба жидкости, а так же двух или четырех краевых условий но прогибам стенки в нескольких точках закрытого резервуара . Применение методов решения задачи приведено в виде результатов численных экспериментов.
0.4 Практическая значимость результатов
Практическая ценность работы заключается в возможности теоретического прогнозирования типа жидкости в закрытом резервуаре и ее объема, что способствует более глубокому пониманию и описанию процессов, протекающих в закрытом резервуаре. Разработанные методы решения задач могут быть применены для диагностики жидкости в различных сложных ситуациях, когда резервуар недоступен
для визуального осмотра (например, нахождение рядом опасно для жизни человека) или его нельзя открыть (например, известно, что в нем содержится ядовитая жидкость). А также для диагностики конструкций, составляющими которых являются резервуары.
Найденные методы учитывают случаи состояния покоя резервуара, а также случаи вращения, случаи изменения удельного веса и высоты столба жидкости. Позволяют определить различные виды упругого закрепления.
Предложенные методы решения применимы к определению нагрузки и упругого закрепления стержней, пластин и мембран но прогибам в нескольких точках.
0.5 Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены положения, выносимые на защиту.
В главе 1 дан обзор работ по изучаемой теме.
В главе 2 разработаны методы идентификации удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом резервуаре (в форме параллелепипеда), а также ширины резервуара по прогибам вертикальной стенки в нескольких точках. Определены вид и параметры упругого закрепления вертикальной стенки резервуара. Исследована задача определения удельного веса жидкости по прогибам стенки
Рис. 1: Цилиндрический изгиб вертикальной пластины под гидростатическим давлением
цилиндрического резервуара в нескольких точках. Доказаны соответствующие теоремы о единственности решения.
В параграфе 2.1 найден метод определения удельного веса, высоты столба жидкости и ширины резервуара, а также вида и параметров закрепления резервуара (См. рис. 1) по прогибам вертикальной стенки в нескольких точках. Доказана теорема о единственности. Исследована зависимость прогиба от цилиндрической жесткости D.
Дифференциальное уравнение прогиба вертикальной стенки ре-
зервуара имеет вид:
D'l? = т-(я-*), Z
(і)
(2)
E-/J3
где D — i2<\-u2)i Е ~~ М0ДУЛЬ упругости, h - толщина стенки, v - коэффициент Пуассона, 7 ~ удельный вес жидкости, Н- высота
столба жидкости Є [17L/20, 19L/20].
Условие несжимаемости записано как:
,
я
ydz = (L-H)-l (3)
где / - ширина емкости, занятой жидкостью в недеформированном положении пластины. Краевые условия:
(cos сп y(z) + sin а! y'"(z))z=o = О, оц Є [0, тг/2] (4)
(cos а2 y'(z) + sin а2 y"{z))z=0 = 0, а2 Є [—7г/2, 0] (5)
(cos а3 y(z) + sin а3 t/"{z))z=l = 0, а3 Є [-тг/2, 0] (6)
(cos а4 y'(z) + sin а4 y"(z))z=L = 0, а4 Є [0, тг/2] (7)
Условие гладкости в точке z = Н:
у-(Н) = у+(Н) у'-(Н) = у'+(Н)
у"-(Н) = у"+(Н) у'"-(Н) = у'"+(Н) (8)
где y~(z) и y+(z) это функция у (г) для z < Я и z ^ Я соответственно.
Решена задача: удельный вес 7, высота Я столба жидкости, ширина I резервуара, углы щ (г = 1, ...4) краевых условий (4) - (7) неизвестны. Известна высота L резервуара, а такоісе прогибы пластины в десяти точках, причем первые шесть точек [0; 17L/20], а другие четыре Є [19L/20; L] . Требуется восстановить удельный вес 7, высоту Я столба оісидкости, ширину I резервуара, вид и параметры закрепления вертикальной стенки резервуара па краях.
»)
0.0014
0.0012
0,001
0,0008
0,0006
0.0004-
0,0002
Di D2 D3 D4 D5 D8 Dr
Рис. 2: Зависимость прогибов пластины от ос жесткости.
Решение обратной задачи проведено в два этапа. На первом этапе по прогибам стенки в десяти точках определяются удельный вес жидкости и высота ее столба, функция прогиба днища. На втором — но функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия боковой стенки, а из условия несжимаемости расчитывается ширина резервуара.
Доказывается теорема (о единственности решения): обратная задача о пахооїсдении удельного веса жидкости, высоты се столба, ширины резервуара, а такэюе об определении краевых условий вертикальной С7пепки закрытого резервуара по прогибам в десяти точках имеет единственное решение.
Доказательство теоремы вытекает из условия, что А ф 0.
По результатам решения обратной задачи (2)-(8) при различном параметре D установлено, что увеличение жесткости пластины ведет к уменьшению прогибов.
Например, для параметров системы L = 5 м, h = 0,01 м, Н = 18/4 и краевых условий: 100 у"(0) + у~'"(0) = 0, у~"{0) = О,
—20 y+(5) + y+///(5) = 0, y+/(5) = 0, означающих упругое закрепление обоих концов стенки, на (рис. 2) рассмотрен график зависимости первых шести значений прогибов от цилиндрической жесткости стенки, остальные четыре прогиба имеют такую же тенденцию.
Подробные значения для двух точек прогиба yi{z) и yio(z) приведены в таблице, характер изменения остальных прогибов анало-
гичен:
В параграфе 2.2. поставлена и решена задача о восстановлении удельного веса жидкости в цилиндрическом резервуаре, по прогибу его вертикальной стенки в одной точке.
Дифференциальное уравнение прогиба стенки цилиндрического
сосуда имеет вид d4y(z)
(9)
f№
+ 4 а у = т z, а —
где 7 ~ удельный вес жидкости, Е - модуль упругости материала стенки, h - толщина стенки, R - средний радиус. Краевые условия
Рис. 3: Вид вращающегося сосуда, днище которого пластина (мембрана).
представлены как: у(0) — 0, у{Н) = 0, у'(0) = 0, у'{Н) = 0.
Исследована задачи: Удельный вес жидкости неизвестен. Известен прогиб стенки в одной точке. Найти 7 - удельный вес оісидко-сти, функцию прогиба стенки резервуара, если известно значение прогиба y(zk) в одной точке zj. (k = 1).
Формулируется теорема о единственности решения задачи о нахождении удельного веса жидкости в закрытом цилиндрическом резервуаре по прогибу вертикальной стенки резервуара в одной точке.
В главе 3 исследованы обратные задачи идентификации высоты столба жидкости и угловой скорости вращения закрытого цилиндрического резервуара, а также условий закрепления днища по прогибам в нескольких точках. Найден метод восстановления удельного веса жидкости и высоты ее столба, а также условий закрепления гибкого днища по прогибам в нескольких точках. Исследована задача о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре, а также краевых условий днища по прогибам неоднородного днища в нескольких точках. Доказаны соответствующие теоремы о единственности решения.
В параграфе 3.1. исследована задача о закрытом вращающемся цилиндрическом резервуаре, днище которого пластина (См. рис. 3). Установлено, что но прогибам днища в нескольких точках высота столба жидкости и угловая скорость вращения, а также закрепление днища восстанавливаются однозначно. Рассмотрены случаи когда, цилиндрический резервуар вращается и покоится.
Уравнение поверхности жидкости во вращающемся цилиндрическом резервуаре в неинерционной системе отсчета имеет вид: H(r) = ^- г2 + Hq, где Hq - вершина параболы, w - угловая скорость вращения, г - радиус днища.
На (рис. 4) при радиусе дна цилиндрического резервуара г—5 м, вершине параболы в #о=2 м, исследована зависимость высоты жидкости от угловой скорости вращения, из таблицы видно, что с возрастанием угловой скорости вращения высота столба жидкости в сосуде растет и парабола становится более вытянутой:
Дифференциальное уравнение прогиба днища цилиндрического
E-h3
2 2 «Г Г
резервуара имеет вид: dAy(r)
(10)
= -7-(
+ Я0 + у(г)), Г> =
dr* ' v 2д ' "и ' *v'n " 12-(1-г/2)
где D - цилиндрическая жесткость, w - угловая скорость вращения, 7 - удельный вес жидкости, Hq — вершина параболы.
7 1-12,5
І 140
96,6
/
1 120
g 100
80
о 60
g 40
2 20 ,,
Ш 0 * 1 1 1 1
3 4 5 »»
Угловая скорость вращения
Рис. 4: Зависимость высоты столба жидкости от угловой скорости вращения. Краевые условия днища:
(cosai у {г) - sinai y'"(r))r=-L = 0, «і Є [0, тг/2] (11) (cos a2 у'(г) - sin a2 y"(r))r=-L = 0, a2 Є [0, тг/2] (12)
Решена задача: Найти высоту столба оісидкости Щ и угловую скорость вращения основания цилиндрического резервуара, а так-оісе закрепление днища (т.е. углы а\, а2 из (2)-(8)), если известны диаметр емкости и значения прогибов y{rk) о нескольких точках
Обратная задача решается в два этапа. На первом этапе по прогибам стенки в нескольких точках определяется высота столба жидкости, угловая скорость вращения, функция прогиба днища. Задача решена в случаях w — 0 и w ф 0. На втором — по функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия днища.
Сформулирована теорема о единственности решения обратной задачи о нахождении высоты столба жидкости и угловой скорости вращения цилиндрического резервуара, а также об определении упругого закрепления его днища по прогибам в нескольких точках.
В параграфе 3.2. решена задача о закрытом вращающемся цилиндрическом резервуаре, гибкое днище которого мембрана (См. рис. 3). Установлено, что по прогибам днища в нескольких точках восстанавливаются удельный вес жидкости, высота столба жидкости, а также закрепление днища. Рассмотрены случаи когда, цилиндрический резервуар вращается и покоится.
Уравнение для описания малого отклонения гибкого днища цилиндрического резервуара из плоского состояния имеет вид:
Краевые условия представлены в виде:
(cos tpi у'(г) - sin
где (pi некоторый угол из сегмента [0, 7г/2].
Исследована следующая задача: найти удельный вес жидкости и высоту ее столба в цилиндрическом резервуаре, а такоісе краевые условия днища, если известны диаметр сосуда и значения прогибов днища цилиндрического резервуара у (г) в нескольких точках г к-
Метод решения задачи таков: сначала по прогибам стенки в нескольких точках определяется удельный вес жидкости, высота ее столба и функция прогиба днища. Исследованы случаи w — 0 и w ф 0. Далее но функции прогиба восстанавливаются неизвестные краевые условия днища.
Сформулированы теоремы о единственности решения обратной задачи определения удельного веса жидкости и высоты ее столба,
xCO
Рис. 5: Зависимость прогибов от удельного веса.
а также вида и параметров закрепления гибкого днища закрытого цилиндрического резервуара по прогибам в нескольких точках.
В параграфе приводятся применение методов в конкретных ситуациях. Исследована зависимость прогибов гибкого днища от удельного веса жидкости. По результатам решения обратной задачи с уравнением (3) и краевыми условиями: ^ у'(—1) — | 2/(-1) = О,
1Г * У'Щ + \ ' УО) = О А"51 Яо=1/2 м, То - 10 Н.
Установлено, что при увеличении удельного веса жидкости в резервуаре прогибы в соответствующих точках растут (См. рис. 5). Приведем данные вычислений:
Исследовано также влияние на значения прогибов днища высоты столба жидкости. По результатам решения обратной задачи с
0.09 0.08 0.07 0.(16 0,05 0.04 0.03 0.02 0,01 О
Рис. б: Зависимость прогибов от высоты столба жидкости, уравнением (3) и краевыми условиями:
~ »(-!) -г/"(-і) = о, ~»(i) + »"(i) = o
с параметрами системы То = 10 Н, 7=1 (вода).
Установлено, что при увеличении высоты столба жидкости в резервуаре давление на днище возрастает и днище прогибается сильнее, т.е. прогибы в соответствующих точках растут (См. рис. 6). Следующая таблица также подтверждает возрастание значений прогибов при увеличении столба жидкости:
В параграфе 3.3. рассмотрена и решена задача о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре (в форме параллелепипеда) и закрепления днища, которое представляет собой
неоднородную пластину по прогибам днища в нескольких точках. Показана аналогия решения задачи о восстановлении высоты столба жидкости в закрытом резервуаре и закрепления днища с задачей определения вертикальной нагрузки и условий закрепления стержня. Обе эти задачи решены методами предложенными в предыдущих параграфах [22], [23].
В заключении формулируются основные результаты работы, выносимые на защиту.
0.6 Положения диссертации, выносимые на защиту
1) математические методы определения удельного веса жидкости и высоты се столба, а также некоторых других характеристик закрытого резервуара (в форме цилиндра, либо параллелепипеда бесконечной длины) но прогибам вертикальной стенки или днища в нескольких точках (для вращающегося и покоящегося состояний); доказательство единственности и устойчивости решений соответствующих обратных задач;
2) восстановление вида и параметров упругого закрепления вертикальной стенки или днища закрытого резервуара по прогибам в нескольких точках.
0.7 Благодарности
Исследования, представленные в диссертационной работе, проведены под руководством д.ф.-м.п., профессора Я.Т. Султанаева и д.ф.-м.н., профессора A.M. Ахтямова, которым автор выражает глубокую благодарность. Особую благодарность автор приносит чл. корр. РАН, д.ф.-м.п., профессору М.А. Ильгамову за полезные обсуждения и постановку некоторых задач.
Работа поддержана грантом: № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы иеразрушающего контроля механических систем", 2005г.
Метод восстановления удельного веса, высоты столба жидкости, ширины емкости резервуара, а также условий закрепления стенки
Рассмотрим два случая: 1) при z Н и 2) при z Я. В первом случае функцию прогиба обозначим через y {z), а во втором - через Случай z Н. Функция прогиба должна удовлетворять уравнению (2). Общим решением этого уравнения является функция [27]: где 7 - неизвестный удельный вес жидкости, Я - неизвестная высота жидкости, СІ (і = 1,...,4) - неизвестные произвольные констан- ты. Введем обозначение: Я = Hj, тогда: Если известны прогибы в шести различных точках: то функция прогиба y (z) однозначно определяется из: Так как определитель Л- при различных 2 (к = 1,..., 6) отличен от нуля, то система шести уравнений (15) имеет единственное решение, которое найдем применяя правило Крамера, оно будет выглядеть следующим образом: - определитель, отличающийся от определителя Д тем, что в нем вместо г -го столбца стоит столбец свободных членов, составленный из y (zi) (і = 1, ...4). Д - определитель, отличающийся от определителя Д тем, что н в нем вместо пятого столбца стоит столбец свободных членов, составленный из y (zi). А - определитель, отличающийся от определителя Д тем, что в нем вместо шестого столбца стоит столбец свободных членов, составленный ИЗ y (Zi). Таким образом нашли неизвестные 7 _ удельный вес жидкости. Высоту Я столба жидкости найдем из введенного ранее обозначения: Н — #7 тогда Функцию прогиба у (z) вертикальной стенки резервуара найдем подставляя решение в (13): Далее найдем І - ширину емкости, для этого в (1) подставим (17): Обозначим левую часть уравнения (19) через / (Я), а - через / , тогда получим формулу для нахождения ширины емкости при условии z Я: Рассмотрим следующий случай. Случай z Я. Здесь функция прогиба должна удовлетворять уравнению (3).
Общим решением этого уравнения является функция: где СІ (і = 5,..., 8) - неизвестные произвольные константы. Если известны прогибы в четырех различных точках: (n = 7,..., 10). Определителем системы четырех уравнений (22) от четырех неизвестных СІ (і = 5,..., 8) является определитель: Так как определитель Л+ при различных zn (п = 7,..., 10) отличен от нуля, то система четырех уравнений (22) имеет единственное решение, которое найдем применяя правило Крамера, оно будет выглядеть следующим образом: Д. - определитель, отличающийся от определителя А+ тем, что в нем вместо г -го столбца стоит столбец свободных членов, составленный из y+{zn) (і — 5, ...8), (п = 7,..., 10). Поэтому система четырех уравнений (22) имеет единственное решение, подставив которое в (21), получим функцию прогиба y+{z): Таким образом, нашли функцию прогиба y+(z). Далее найдем I - ширину емкости, для этого в (1) подставим (23): Обозначим левую часть уравнения (25) через /+(#), а / - через /+, тогда получим формулу для нахождения ширины емкости при условии z Я: Подставляя найденные функции прогиба (17) и (23) в (8) - (11) найдем условия закрепления вертикальной стенки резервуара на краях, получим: Отыскание углов а равносильно нахождению вида и параметра закрепления резервуара на краях. Таким образом, поставленная нами обратная задача решена полностью. Теорема (о единственности решения). Обратная задача о нахождении удельного веса оісидкости, высоты ее столба, ширины резервуара, а такоісе об определении краевых условий вертикальной стенки закрытого резервуара по прогибам в десяти точках имеет единственное решение. Причем, наличие десяти точек прогиба необходимое и достаточное условие. Доказательство. Общим решением задачи о нахождении удельного веса, высоты столба жидкости, ширины закрытого резервуара (в форме параллелепипеда бесконечной длины) в случае z Н является система:
Применение метода определения удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом резервуаре, а также ширины и условий закрепления вертикальной стенки
Рассмотрим применение метода нахождения удельного веса и высоты столба жидкости, ширины емкости и определения краевых условий но прогибам стенки резервуара в десяти точках на следующих примерах. Пример 1. Будем полагать, Пример . Пусть для случая х Н прогибы в точках равны: В случае х Н прогибы в точках равны: (Значения прогибов выбраны соответствующими на одном конце упругой опоре 5 -7/-(0) + Случай z Н. Решим обратную задачу для уравнения т/4) = (Н — z) по значениям прогибов (33) предполагая, что краевые условия неизвестны. Получим решение подставляя (32) и (33) в систему (15): Тогда функция прогиба примет вид: Зная функцию прогиба вычислим ширину емкости при х Я, она равна / = 3.88 м. Случай z Я. Решаем обратную задачу y (z)—{) по значениям прогибов (35), предполагая, что краевые условия неизвестны. Найдем решение: откуда найдется и функция прогиба: а также ширина емкости /+ = 1.865 м. Таким образом зная теперь функции прогиба для обоих случаев можем найти краевые условия пластинки, они имеют вид: Искомые краевые условия соответствуют упругому защемлению на левом конце и упругой опоре на правом конце: Таким образом, мы показали, что зная прогибы вертикальной стенки закрытого резервуара в десяти точках можно определить удельный вес жидкости в резервуаре, высоту ее столба, ширину резервуара, а также закрепление вертикальной стенки на краях. Заметим, что краевые условия определены верно. Полученные краевые условия в точности совпадают с теми, но которым были выбраны соответствующие прогибы. Пример 2. Зависимость прогибов вертикальной стенки от цилиндрической жесткости пластины. Пусть L = 5 м, h — 0,01 м, Н = 18/4, а прогибы взяты согласно краевым условиям: означающих упругое закрепление обоих концов стенки, на (рис. 2.2) рассмотрен график зависимости первых шести значений прогибов от цилиндрической жесткости стенки, остальные четыре прогиба име- ют такую же тенденцию роста при уменьшении жесткости (рис. 2.3).
На графиках Д самая высокая жесткость пластины и соответственно Д самая низкая. Подробные значения расчетов при различных величинах Д (г = 1,...,7) приведем только для двух точек прогиба Уі(г) и УЇ$(г) в следующей таблице, характер изменения остальных прогибов аналогичен их приводить нет смысла: Данные в таблице еіце раз подтверждают, что увеличение жесткости пластины ведет к уменьшению прогибов. Рассмотрим цилиндрический резервуар для хранения жидкости [30, 47], толщина h стенок которого мала по сравнению со средним радиусом R (См. рис. 2.4), а меридиональное сечение стенки - прямоугольник, подвергается силовому воздействию давления жидкости. Найдем дифференциальное уравнение изгиба стенок резервуара.
На элемент стенки с основанием abed и высотой dx, взятой па глубине х, действуют: сила давления жидкости, равная jxRdtpdx и приложенная к грани аЬ (7-удельный вес жидкости); силы упругости Ті и Т2, приложенные к граням be и ad и вследствие симметрии равные между собой. Обозначая прогибы точек элемента через у, получим, что относительное удлинение их первоначального расстояния от оси цилиндра равно -. Ввиду малости толщины стенок величины у для всех точек элемента можно считать равными и положить, что эти точки равноудалены от оси цилиндра. Относительное увеличение длины окружности цилиндра на уровне взятого элемента будет также -. Поэтому напряжения, вызванные в стенках силами упругости, равны Efv где Е - модуль упругости материала стенки. Силы упругости Равнодействующая сил, приложенных к элементу, будет Эта сила dQ представляет приращение поперечной силы, соответствующее приращению dx глубины элемента. Известно, что изгибающий момент М и поперечная сила Q связаны соотношениями
Метод определения типа жидкости, а также условия закрепления днища на краях по ее прогибам в нескольких точках
Найдем функцию прогиба у (г). Функция прогиба стержня у (г) должна удовлетворять уравнению где D = 12E(i- ) цилиндрическая жесткость, Щ - высота столба жидкости в г = 0, 7 удельный вес жидкости. Случай w = 0 или Н{г) = Щ. Общим решением неоднородного уравнения (4) при w = 0 является функция где s = D -, и - цилиндрическая жесткость, Ло - высота столба жидкости в г = 0, 7 удельный вес жидкости, С{ (г = 1,2,3,4) -произвольные константы. Если известны прогибы у(гк) в пяти различных точках то решение у (г) однозначно определяется из (5). Действительно, из (5) следует Уравнение (б) есть система пяти линейных уравнений с пятью неизвестными #0, С{ (г = 1,2,3,4). Определителем системы (б) является следующий определитель: —1 esrb е НГь eisTb е івГь обозначим его через А. Так как определитель А при различных г& отличен от нуля, то система пяти уравнений (6) имеет единственное решение, которое найдем применяя формулы Крамера.
По правилу Крамера решение будет выглядеть следующим образом: (определитель, отличающийся от определителя А тем, что в нем вместо первого столбца стоит столбец свободных членов, составлеи- е вГб e-J srs (определитель, отличающийся от определителя Д тем, что в нем вместо (г + 1)-го столбца стоит столбец свободных членов, составленный из y(rj) (і = 1, ...4)). Поэтому система пяти уравнений (6) имеет единственное решение, подставив которое в (5), получим функцию прогиба у (г): Случай w ф О или #(г) = - г2 + HQ. Общим решением неоднородного уравнения (4) при w ф О является функция где D - цилиндрическая жесткость, #о - вершина параболы, w -угловая скорость вращения основания цилиндрического резервуара, СІ (і = 1,2,3,4) - произвольные константы. Если известны прогибы у(гк) в шести различных точках то решение у (г) однозначно определяется из (8). Действительно, из (8) следует Уравнение (9) есть система шести линейных уравнений с шестью неизвестными w = к;2, Щ, СІ (І = 1,2,3,4).
Определителем системы (9) является следующий определитель: обозначим его через А. Так как определитель А при различных г& отличен от нуля, то система шести уравнений (9) имеет единственное решение, которое найдем применяя формулы Крамера. По правилу Крамера решение будет выглядеть следующим образом: (определитель, отличающийся от определителя А тем, что в нем вместо первого столбца стоит столбец свободных членов, составленный ИЗ y(rj)), (определитель, отличающийся от определителя А тем, что в нем вместо второго столбца стоит столбец свободных членов, составлен ный ИЗ y(rj)), тем, что в нем вместо (г + 1)-го столбца стоит столбец свободных членов, составленный из y(rj), і = 2,3,4,5). Возвращаясь к замене w = w2 найдем угловую скорость вращения w. Поэтому система шести уравнений (9) имеет единственное решение, подставив которое в (8), получим функцию прогиба у(г): Нахождение вида и параметров закрепления днища цилиндрического резервуара Так как днище цилиндрического резервуара имеет по периметру одинаковое закрепление, то как было уже отмечено ранее достаточно рассматривать только закрепление стержня на одном краю (т.е. на отрезке (-L, 0) или (0, L)) в силу симметрии функции прогиба относительно оси вращения. Найдем неизвестные краевые условия по функции прогиба у(г). Подставим найденную функцию у(г) в 67 краевые условия (2)-(3). Из (2)-(3) следует, что они должны быть связаны соотношениями:
Метод определения удельного веса жидкости или вершины параболы по прогибам гибкого днища в нескольких точках
Аналогично можем сказать, что краевые условия также непрерывно зависят от переменных y(ri), у{г2), у(гз), У{ГА). Следовательно при их малых изменениях, получим малое изменение краевых условий. Следовательно малейшие изменения значений прогибов влекут за собой малые изменения конечных результатов обратной задачи. Что в свою очередь говорит о том, что если прогиб y(rfc), выбранный приближенным образом отличается от точного значения прогиба у {г к) на некоторую малую величину, то следовательно и результаты поставленной задачи также будут мало отличатся от точных значений. То есть решение поставленной обратной задачи непрерывно зависит от исходных данных. Что и требовалось доказать. Из теоремы об устойчивости решения и теоремы единственности решения (доказанной в параграфе 3.2.4.) следует, что обратная задача определения удельного веса жидкости и высоты ее столба в закрытом вращающемся сосуде, а также условий закрепления днища сосуда поставлена корректно. Далее проведем оценку точности для величины 7- Предположим величина прогиба у(г\) взята приближенно, а остальные прогибы у(г2), у(гз), у{?і) соответствуют точным данным.
Приближенную величину обозначим через у{г\). Нам известно, что 7 = тт, где о-9 В случае, когда берутся все четыре приближенные величины прогибов, оценка погрешности проводится подобным образом. Вычисления проделанные на компьютере подтверждают вывод об устойчивости решения обратной задачи. Рассмотрим следующие примеры, в первом из них изложим решение обратной задачи нахождения параметров жидкости и краевых условий по математически точным значениям прогибов, а в другом дадим решение той же задачи по значениям прогибов, один из которых взят приближенно. Пример 1.Пример решения обратной задачи по точным значениям прогибов. В рассматриваемом примере будем полагать Тц = 10 Н, w = 10 обор/с. Пусть прогибы в точках равны прогибов выбраны соответствующими упругому закреп лению на обоих концах -7/(-1)-7/(-1) = 0, -7/ (1) — т/(1) = 0) Решим обратную задачу для уравнения по значениям прогибов (33), предполагая, что краевые условия неизвестны. Подставим значения (32) и соответствующие прогибы (33) в систему (13). Получим решение: где Яо и 7 соответственно искомые высота и удельный вес жидкости. Подставив (34) в (12) получим функцию прогиба:
Отсюда искомые краевые условия на обоих концах соответствуют уравнениям: Полученные краевые условия в точности совпадают с теми краевыми условиями, по которым были выбраны соответствуюпще прогибы. Пример 2. Пример решения обратной задачи по приближенным значениям прогибов. Рассмотрим тот же пример, только теперь вместо первого значения прогиба возьмем его приближенное значение, то есть теперь прогибы в точках равны Решением нашей задачи будут следующие результаты: и углы краевых условий: Насколько эти результаты близки к результатам, полученным в примере 1? Полученное решение совпадает с результатами из примера 1 с точностью до 10_3. Таким образом, точность вычисления уменьшается на два порядка по сравнению с точностью вычисления значений прогибов. Это же подтверждают и другие вычисления. Точность вычислений коэффициентов краевых условий и параметров жидкости может значительно ухудшатся по сравнению с точностью вычисления значений прогибов. Поэтому значения прогибов следует вычислять как можно точнее. Насколько верные выводы мы сделали покажет оценка, например, для величины 7- Из формулы (26) получим, что: откуда 6 = 0,00001. Таким образом, на самом деле точность вычисления уменьшается на два порядка.