Гидродинамика и тепло-массообмен при течении тонких слоев вязкой жидкости со свободной поверхностью Трифонов, Юрий Яковлевич

Введение к работе

Актуальность тены диссертации определяется широким использованием течений тонких слоев со свободной поверхностью в энергетике, химической промышлености, холодильной технике, металлургии и других отраслях техники для осуществления процессов, связанных с тепломассообменом и химическими превращениями между фазами. Так, например, в холодильной технике пленочные теплообменнику используются в качестве конденсаторов хладогентов, в химической технологии и пищевой промышлености водяными пленками поизводится охлаждение серной кислоты, рассола при получении соды, молочных продуктов. Пленочные испарители являются основными элементами в установках по опреснению соленой морской воды.

Практически всегда свободная поверхность покрыта волнами, оказывающими существенное влияние на процессы межфазного переноса. Так,при десорбции из пленок труднорастворимых газов коэффициент массоотдачи из-за волн может увеличиваться более чем на 100. Теоретическое исследование гидродинамики пленочных течений необходимо для более глубокого понимания процессов волнообразования при влиянии многочисленных факторов - поверхностного натяжения, кривизны стенок, сил инерции и вязкости, фазового перехода на границе раздела и т.д.

Целью работы являлось получение новых фундаментальных результатов по гидродинамике стекания тонких слоев вязкой жидкости со свободной поверхностью и изучение механизма интенсификации процессов переноса волнами.

Научная новизна работы заключается в том, что автором впервые:

при расмотрении задачи о начале волнообразования проведен учет многих факторов в рамках одного подхода и получено единственное уравнение для расчета инкрементов нарастания различных возмущений свободной поверхности, учитывающее угол наклона плоскости течения, фазовый переход и касательное напряжение на свободной границе

для задачи о нелинейных волнах на вертикально стекающей пленке выделены несколько "оптимальных" режимов и проведен расчет гидродинамики и тепло- массообмена в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса

рассмотрены пространственные волновые режимы,ответвляющиеся от

плоских нелинейных волн

рассмотрены различные волновые режимы стекания тонкого слоя вязкой жидкости вдоль внешней и внутренней поверхностей вертикального цилиндра, радиус которого сопоставим с Нуссельтовской толщиной пленки

рассмотрены волны конечной амплитуды на поверхности испаряющегося слоя вязкой жидкости

для широко известного эволюционного уравнения исследованы аттракторы нового типа с более сложным, чем стационарное или стационарно бегущее, поведением во времени

при рассмотрении стекания по гофрированной поверхности учитываются вязкость, инерция и поверхностное натяжение без приближения малости каких-либо параметров

Автор защищает:

уравнение для анализа линейной устойчивости широкого класса пленочных течений и полученные результаты по определению критических параметров волнообразования;

результаты расчетов нелинейных волн, их устойчивости и тепломассообмена в широком диапазоне чисел Рейнольдса;

результаты по исследованию устойчивости плоских нелинейных волн относительно трехмерных возмущений;

модель для расчета волновой динамики при отекании вдоль внешней и внутренней поверхностей вертикального цилиндра и полученные здесь результаты;

модель для расчета волновой динамики при отекании испаряющегося тонкого слоя вязкой жидкости вдоль вертикальной нагретой стенки и полученные здесь результаты;

результаты по исследованию аттракторов с более сложным, чем стационарное или стационарно-бегущее, поведением во времени;

результаты по исследованию гидродинамики и массопереноса при стекании тонких пленок по гофрированным поверхностям.

Достоверность подтверждена соответствием аналитических и численных результатов между собой, а также сравнением с экспериментальными и теоретическими работами других авторов.

Аппробация работы. Результаты работы докладывались: на семинарах Института теплофизики СО РАН (рук. академик В.Е.Накоряков, 1988-1995 гг., ), на семинаре Chemical Engineering Department of Houston University (USA, рук. профессор A.E.Dukler, 1992 г.), на семинаре отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики

СО РАН (рук. профессор В.В.Пухначев, 1995 г.), на X Международной конференции по нелинейным колебаниям (Варна, Болгария, 1984)., на конференциях молодых ученых ИТ СО РАН (Новосибирск, 1986, 1987, 1988, 1989), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и "технике" (Пермь, 1986), на Международном семинаре "Transient Phenomena In Multiphase Flow", ICHMT, Югославия, г. Дубровник, 1987 г., на 6-ой Всесоюзной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (п. Колюбакино, 1988), на II Международной научно-технической конференции "Гидродинамика, тепло- и массообменные процессы в жидких пленках" (Бургас, Болгария, 1989 г.), на международном симпозиуме "Generation of large-scale structures In continuous media" (Perm - Moscow, 1990 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-201.

Структура и объё'и диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, содержащих результаты исследования и выводы, списка литературы. Общий объем работы 305 страниц, 119 рисунков, 1 таблица, 194 ссылок на литературные источники.

Во введении дана общая характеристика работы: обсуждена актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы и сформулированы основные результаты и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается линейная устойчивость отекания пленки вдоль наклонной плоскости при наличии фазового перехода и касательного напряжения на свободной границе. Известно, что волны оказывают существенное влияние на процессы массо- и тепло-переноса через свободную поверхность, и необходим их учет при проектировании различных инженерных устройств. При этом возникает вопрос о критических областях параметров, когда течение можно считать волновым и соответствующим образом менять критериальные зависимости для тепло-и массопередачи. Экспериментальное решение данной задачи чрезвычайно трудоемко и, по существу, ограничивается проверкой выводов теоретического рассмотрения проблемы о начале волнообразования. Ранее рассматривались различные предельные случаи - линейная устойчивость при свободном отекании тонкого

слоя (Benjamin, 1957); горизонтальный канал, где пленка жидкости увлекалась газовым потоком (Сгаіс, 1966); устойчивость поверхности раздела при наличии поперечного потока массы (например, при конденсации или испарении), но в отсутствии касательных напряжений на свободной границе (Splndler, 1982). Нашей целью является исследование волнообразования при пленочном течении с одновременным учетом различных факторов - угла наклона плоскости течения, касательного напряжения на свободной поверхности и фазового перехода (конденсация или испарение) на границе раздела. Это позволит сопоставить их роль при волнообразовании и глубже понять механизмы волновой неустойчивости.

Рассматриваются периодические возмущения свободной поверхности /i=heip[ fa(x-ct)], где с - неизвестный комплексный инкремент нарастания или затухания, a = 2icA, А. - длина волны возмущения. После линеаризации исходных уравнений около основного состояния (описывается полями скоростей (uo.tfo) в жидкой и (.Uо, 7о) в паровой фазах, а также функцией ho (г*), где X* -"крупномасштабная переменная" вдоль плоскости течения) приходим к двум задачам Орра-Зоммерфельда в жидкости и паре, соответственно:

(aRel (uo-c)(/_yy-a²/) - uo_yy/J = /уу_УУ - 2a²/yy + aV u = -/yh-expl la(x-ct)], v = la-/-h-exp[ ta(x-ct)] ia_gRe_sl(Uo-C)(.F_Yy-a_g^zF)-UoyyF] = F^1V - 2a₃²F" + a_gV

U = -fyfl-expl lagЦ-Ct)), 7 = lag-F-H-expl tag(X-Ct)),

&F

o ^{= 0: ?l}-» ⁼ 57

y«o az

- — ^ly-^{0 =} dy

= 0;

Y.CC

а д h

o⁽⁹⁾ =o^m . .: (0^<9>-o^(,))

*У | y»h„+h xy | y.h_o»h yy yy |y.n_o ho 0X^d

**" ' —h **- "" ' **-^{K iK} "" "*

, і і ,

"-~ u =U\ ; v\ =7 ;

U |i^,"^h₀*^h |y"^h₀^+h и |y"^h₀*^h |)f^-h₀*^h

. 00 'CO

, a j

v\ ,_ ,_ = —(ho + h) +

l^y'V^h dt p

Величины скорости обезразмерены на и ff_a, где - средняя по толщине скорость в жидкости, V_w- скорость в паровом ядре потока! Масштабы толщины и длины ho и бо, где ho -толщина пленки. So - толщина пограничного слоя; R,s =uoho/v, Reg =Uj>o/v_g,~ где v

и v_g - кинематические вязкости жидкости и пара соответственно, о" - коэффициент поверхностного натяжения, о'⁹', о^<з), о"', о^п> -

^г *У УУ ху уу

компоненты тензора напряжений в паре и жидкости, соответственно

ди dv dv

(о = u(— + —), о =-р +2ц—'-, и - динамическая вязкость в жид-

^ху ду дх ^уу ду

кости или паре, р - давление), р - плотность жидкости, J= -(К/г)"

»дТ/ду\ _шЬ - поперечный массовый поток, X - температуропроводность, г - теплота фазового перехода.

Далее рассматриваются длинноволновые возмущения о/2г =ho/X« « mlnH , 1/(RePr)), Pr - число Прандля для жидкости, что позволяет считать поле температур "квазистационарным", т.е. Т = Г* + + (Та - Т-*)'у/(Ъ,а +h(x,t)), Т* - температура в паровой фазе, Т* -температура стенки, LT = Г» - Г».

Для большинства случаев, интересных практически, (ід/ц<< 1, /U_(X) « 1, ho/Ь « 1. Задача Орра-Зоммерфельда для паровой фазы в этом случае отделяется от задачи для жидкости и может быть решена вперед с граничными условиями:

а?

'I « =—

^у dY

= О; —

v.» dY

Поле возмущений в паровой фазе разбиваем на три зоны, аналогично задаче Benjamin (1959) для течения газа вдоль волнистой стенки: а) зона "вязкого подслоя" толщиной 6^, где преобладающими являются силы вязкости; б) зона пограничного слоя толщиной бо, где существенней вид профиля скорости Uo(y); с) ядро потока, где Uo(y) = const. Решение представляется суперпозицией "вязкого" и "невязкого" решений, удовлетворяющей граничным условиям. Сшивая решения каждой из зон, приходим к выражению для компонент напряжений, действующих на жидкую пленку со стороны паровой фазы.

Решение уравнения Орра-Зоммерфельда в жидкости представляем

в виде ряда: / = > Any". Используя, также, общий вид стационар-

п-2

ного решения для задач пленочного течения: Uo(y) =2у +Ъ(2у/3 -у ), получим рекуррентное соотношение на определение An. Ограничиваясь случаем а²<< ), айе< ) и представляя с = о + (7, после ряда преобразований приходим к выражение для инкремента нарастания (затухания):

aRe_T16 rr 2, , і 2і 4її dho 2 Ma 1 _л,

7 = \—й(Н%-) +-\u-G-a²T\ + + \—I 1

2 ^l15 ^J 3^{l J} a a²fle dr а^гйеЧу ^¹ itePru^JJ

? ^2a Pa⁵'³ ,,, /—

Cr=2+|u, П= (2-4U/3), Zi = -.(2-4u/3,)^2/3J.372V3 ,

^J C_fHe С_гйе^4/3

^ ^{J lv J} C_PLT ² p²fto P

Возмущения с 7 < 0 затухающие, а с ]>0 - нарастающие.

ДЛЯ СВОбОДНО СТеКаЮЩеЙ В ПОЛЄ ТЯКЄСТИ ПЛеНКИ ЖИДКОСТИ gj =П-2і=0,

й=|, 0=^. Г^аГд_іп?ф{д_е^^І/3' ^Рі =(р^Э'В**⁴' отсюда следует хорошо известный критерий устойчивости течения пленки вдоль наклонной плоскости - ctg(ty) >6Re/5. Наличие поперечного потока массы приводит к транцендентному уравнению для критического числа Рейнольдса, при котором начинается волнообразование:

5 5 ,, ЗРІ А 1 то.5
ЙЄсгіі = -'Ctg(lf) + —

6 3«ҐЙЄсгі0^5/6 t-^lsin((?)^} PrKu*

и при ф= тс/2 в точности соответствует работе Splndler (1982).

Далее рассмотрено влияние касательного напряжения на свободной

поверхности в отсутствие фазового перехода:

1 - К -

[ ]³=——(шФі)'³(-ЗшФі), $>i=\w²+cos(^z/3

^lRe*orii^} и^2/3 I- ^э

[й³Кіш+ 3stnf9Jffie%rit)^,/3]l , Ki=64(2/3)-^s^³(3Fi)^i/6_f K =

= (6C_f)^U3/(4^), ц=%²/~Ж , pi = З⁰⁵;.3720/2, Re*=g*h₀³/3v²
J 8p ^s

При значении угла Ф= О мы получаем уравнение Сгаїс (1966). Для

системы воздух-вода при конечных значениях угла Ф результаты

представлены на рис.1.

Далее в диссертации расмотрена устойчивость поверхности раздела

при конденсации движущегося пара на вертикальной стенке (рис.2).

8 качестве основного состояния использовано решение Fujll (1972).
Волнообразование начинается с небольших чисел Рейнольдса, несмот
ря на стабилизирующее влияние поперечного потока массы. Проведено
сопоставление с данными экспериментов И.И.Гогонина, А.Р.Дорохова,
В.И.Сосунова (1980) по интегральному коэффициенту теплоотдачи при

конденсации движущегося пара.

Во второй главе рассмотрены нелинейные волны на пленке жидкости, свободно стекающей вдоль вертикальной плоскости. Расчеты проводились как на основе интегральных уравнений Шкадова (1967), так и на основе полной системы уравнений Навье-Стокса. В безразмерном виде интегральная модель имеет вид:

да да² d³h _r q , ah 6q

— + 1.2— — = 3h—- +Z h -—1, _ + _ = o (1)

at ax n ax³ і h²J at ox

Здесь ft - локальная толщина пленки, q - локальный расход в пленке. В качестве масштабов использованы Нуссельтовская толщина пленки tfo = (3v^zRe/g)^i/3, расход жидкости Qo = vRe и проведено сжатие по координатам х и X, в результате которого в задаче остается единственный внешний параметр 2,= (81?І/В.е)^л,ь, Fl = (-^)³/gv*.

Используя Фурье-разложение:

К/2-1

ЪШ = УНпехрИапи, \ = x-ct, (2)

П.-Н/2+1

после подстановки в (1) задача сводится к решению нелинейной системы алгебраических уравнений, которая решалась численно с использованием итерационного метода Ньютона.

Для исследования устойчивости периодических решений qo(), ho() в (1) подставлялись q= qo() + q' (. t), h= ho()+ h' (,t), и после линеаризации получалась система линейных уравнений в частных производных с периодическими по і коэффициентами, решения которой представимы в виде:

U'.q' ) = (

Ь(Ф,Ф) =7(Ф-Ф) О)

Здесь L - матричный дифференциальный оператор.

Задача заключается в нахождениии спектра собственных значений 7, при которых система уравнений (3) имеет периодические решения (ф, ) с периодом 2х/а. При этом достаточно рассмотреть интервал 0 < О К 0.5.

Волновой режим устойчив относительно любых двумерных возмущений при условии что для любых значений параметра Q вещественная часть всех собственных значений положительна ReaKf) } 0.

Используя конечное Фурье-представление функций ф и Ф, задача сводится к решению проблемы собственных значений для комплексных матриц общего вида, которая решалась численно.

Выделим важный класс возмущений той же периодичности (Q =0), что и исследуемый на устойчивость нелинейный режим. Волновые режимы неустойчивые относительно таких возмущений не реализуются в экспериментах, как показали сопоставления с экспериментами П.Л.Капицы и С.П.Капицы (1949) и СВ.Алексеенко, В.Е.Накорякова, Б.Г.Покусаева (1979).

На рисунке 3 представлены результаты расчетов устойчивости волн 1-го семейства (ответвляются от линии нейтральной устойчивости безволнового отекания) относительно возмущений той же периодичности. Режимы устойчивы между линией а=1 и линиями 1-4. На линиях 1,4 вещественная часть двух комплексно сопряженных значений 7 проходит через ноль, и для решений волновые числа которых лежат ниже кривой 1 для Re/Ka і 6.4 (Ка = Fiⁱⁿⁱ) и кривой 4 для Re/Ka } 6.4 существуют нарастающие во времени возмущения. Аналогичная смена типа устойчивости происходит на линиях 2,3 рис.3, и в заштрихованной области волны 1-го семейства также неустойчивы.

Таким образом, "длинные" волны 1-го семейства неустойчивы относительно возмущений той же, что и сама нелинейная волна, периодичности, и не реализуются в экспериментах.

Семейство решений (далее по тексту 2-ое), длинные волны которого качественно соответствуют наблюдаемым в экспериментах "одиночным" режимам, впервые было рассчитано О.Ю.Цвелодубом (1980). Оно ответвляется от волны 1-го семейства с удвоением пространственного периода, как это было показано А.В. Буновым, Е. А. Демехиным и В.Я.Шкадовым (1984). Нашей целью являлся расчет нелинейных режимов и их устойчивости в широком диапазоне параметров задачи. На плоскости (a, Re/Ka) область существования волн 2-го семейства имеет сложную многоскладчатую и многолистную структуру. Сверху она ограничена небольшой окрестностью линии 5 рис.3; где одно из вещественных собственных значений 7 проходит через ноль, и далее происходит слияние волн 2-го семейства с волнами 1-го семейства удвоенного периода. Решения данного семейства получаются непрерывным продолжением по параметрам а и Re/Ka решений из окрестности

линии 5 рис.3 без пересечения кривых 6-8, которые разбивают область существования на различные листы. Область устойчивости волн 2-го семейства относительно возмущений той же периодичности ограничена линиями 5-12 рис.3. Найдено, что устойчивых режимов этого типа для значений Re/Ka } 5.2 не существует.

Несмотря на то, что исследование устойчивости существенно сужает диапазон реализуемых в экспериментах волновых режимов, он остается достаточно широким. Проблема выбора преимущественного волнового режима, имеющая большое значение для различных полуэмпирических моделей, остается. В диссертации использован критерий "оптимальных" решений, имеющих при данном средневолновом расходе минимальную средневолновую толщину. Впервые он был предложен В.Я.Шкадовым для волн 1-го семейства, где его применение не встречает никаких проблем, т.к. при каждом значении параметра Re/Ka зависимость (a) имеет только один минимум. Для волн 2-го семейства при значении параметра Re/Ka = 0.8 зависимость (a) представлена на рис.(За) и имеет несколько локальных минимумов и один глобальный. При значении параметра Re/Ka = 2 зависимость (a) дана на рис.(Зв) и, как видно, в областях между складками она имеет только один минимум. Таким образом, для волн 2-го семейства в каждой из областей между складками (т.е. между линиям 5-6, 6-7, 7-8, и т.д.) существует свой "оптимальный" режим.

На рис.4-5 представлены зависимости средневолновой толщины и длины волны от значений параметра Re/Ka для различных "оптимальных" режимов. Характерные волновый профили представлены на рис.6. При численном продвижении по параметру Re/Ka волновое число определялось из условия d/da= 0. Линии 1 соответствуют "оптимальным" волновым режимам 1-го семейства, линии 2а,2в,2с,2d- "оптимальным" волновым режимам 2-го семейства соответственно между складками 5-6, 6-7, 7-8, 8-следующая линия (см.рис.3), 2g- "оптимальному" режиму, связанному с глобальным минимумом в зависимости (a).

Далее рассмотрено влияние волн на массо- и теплопередачу. Уравнение конвективной диффузии, взятое в приближении диффузионного пограничного слоя, имеет следующий вид:

39 68 du.36 а²е

— + (u.«)-c)--y = D— (4)

at ді d dy ay²

Здесь 9 - концетрация примеси, D - коэффициент диффузии, u.

- И -

- скорость на свободной поверхности пленки, у - поперечная координата, отсчитываемая от свободной поверхности.

Граничное условие на свободной поверхности 8| =8о и в начальный момент времени в пленке 9| =8і. В такой постановке рассматривается проникновение со временем примеси в пленку,' и распределение концентрации 6 по координате f предполагается периодичным. Для уравнения (4) и принятых граничных условий существует

автомодельное решение:

2(6і-Єо)У^/б<*.ї)

Є = Во + / expl-ifldT), Є| _ =0.

Y% ₀

ЄЄ 36 du. 1

— + (u.(0-O— -б— =—, 61 =0. (5)

at ді d 26 ^1ш0

2ho Sh 1 ^T 1 1

^Sh = . — = /<->dt = —<6> | ,

ПШТр Sho 2V~T q 6 TT ^tMT

Здесь T - размерное время, <...> - среднее по длине волны. Для определения 6(,t) задача (5) решалась численно методом характеристик, уравнения которых имеют вид:

йі * d' "

— = u.-c, T = f (6)

dt Jo^u"^(?' ^)_c

Здесь o - "номер" характеристики при t - 0, приходящей в точку Ц,Т). Соотношение на характеристиках имеет вид:

1 «

6²Ц,Т)= . /(u.(r)-OdC' (7)

(u.(C)-O² \₀

Вначале находится значение о = (.Т) из (6), и затем подставляется в (7) для определения толщины диффузионного слоя. При численном расчете, интегралы в (6), (7) определялись по методу Ньютона-Котеса 8-го порядка с автоматическим выбором шага, функция и.Ц) аппроксимировалась кубическими сплайнами по рассчитанным значениям толщины пленки. Для решения интегрального уравнения (6) использовался итерационный метод Ньютона.

Волновые режимы течения пленки по отношению к массообмену разбиваются на три типа: а) докритические режимы, т.е. и«( {) < с при каждом значении 5, и в этом случае

Sh/Sho » [(с-<и.>).<згп7>)². T—»;

б) критические режимы, т.е. имеется одно значение і = а, где и.(а) = с, а для остальных значений u«() < с, в этом случае

Sh/Sho " У Т , Т—«о; в) закритические режимы, для которых есть, как минимум, один участок волнового профиля си < \ < аг, где

u.(t) > с, в этом случае Sh/Sho ~ VY, Г--».

На рис.7 приведены количественные результаты расчета массо-переноса для "оптимальных" режимов 1-го и 2-го семейств, принадлежащих 1-ой складке (на рис.3 между линиями 5 и 6).

Задача интенсификации теплообмена волнами для жидкостей с небольшими числами Прандля значительно проще и соответствующий коэффициент имеет вид - ciheat/(ao)heat = . На рисунке 8 приведены результаты расчетов для различных "оптимальных" режимов. Обозначение линий соответствует рисункам 4-6.

Для расчета стационарно-бегущих волн h=h(i), и=и(\), v=v(i), P=P(Vt l=x-ct. С- фазовая скорость, на основе полной системы уравнений Навье-Стокса было использовано преобразование =, T^y/ftfUt преобразующее уравнения к виду:

a ^{v 1}

уЦ,т))=-МОи-т)_?—[hju(t.T)' )dT)']; h(|)J(u(E,T)' )-c)diT=l-c

О О

r ,0v fiv 5^zv a^zv av,.

o(p-p^(V)) і , ,a²v .a²v a²v a²v

=—lib — + — + — +2ъ— +<Ъ* +%%J-IIME)

at) Re

_ra(u-c)v a(u-c)v av², ар ар і r ,3 a\

- h +hT)_f -i— ; - — -%— +—3 +tl —r + —r +

l- a^ ⁶ ат] ат) J at Ц Re»- * af ty*
a²u a^zu аік, a(u-c)v a(u-c)² o(u-c)²
^ a? ^4aW^(Tfe^^⁾S?l "^ ^Г ~^— ^

і . fdhi² d²h

_"'^№_{.-er htarr}

-VBl|['-fin-fi8-. —

u(|,T)) =0, при т) = 0 (8)

Здесь т\^ = -{ruh/dvmv, J]_y=l/h(i), ^ = -(i/h)dh/dl, t\^ = -(r\*/h)dh/dl- (vd^zh/di^z)/h(i), - средняя по длине волны толщина пленки.

Уравнения (8) решались численно с использованием спектрального метода:

1 »

и(М) =-Пі() + ) U_m(5)T_m_l^(T'^l)' т»»=2г|-1 О)

² m=2
N/2-1

n=-N/2+l

Здесь ?_ra - полиномы Чебышева и верхний знак звездочки обозначает комплексное сопряжение.

Отметим, что в соответствие с интегральным подходом волновые характеристики представляются единым образом для различных жидкостей в безразмерных координатах (а,йе/Яа), a=(2%/X)(o/pg)'^s/Re⁰-⁵ Для уравнений Навье-Стокса система определяющих параметров (к, Ка , Re) (P.- (2%/k)(3v²Re/g)*'³), или их комбинация Га, йа, Re/la).

Результаты расчетов зависимостей основных волновых характеристик от волнового числа а по уравнениям (8) и сравнение с интегральной моделью (1) представлены на рисунках (9).

В третьей главе диссертации рассмотрен "развал" двумерных нелинейных волн и переход к трехмерному течению. Расчет устойчивости и ветвлений плоских волновых режимов проводился на основе системы уравнений, обобщающей (1) на случай трехмерных возмущений (Е.А.Демехин, В.Я.Шкадов, 1995):

да J q² о qCL q oh^³h d³h ,

— + 1.2f- - + - —I = -3v-- + gh + — f—- + }

ot ^lox h dz h > h^z p Чх³ отої²'

oQ fi qQ a Q\ Q oh_fa³h a³h ,

— +1.2І- — +- —1 = -ЗУ— + — [— + '

ot ^lax h dz h ' h p ^ldz azox

oh dq 6Q — + — + —= о at ox dz

где Q - мгновенный расход в направлении z, остальные величины те же, что и в (1). После линеаризации около периодического, стационарно-бегущего решения (ho(%),qo(l),0), $ = r-cot. Со - фазовая скорость, получим уравнения решения которого представиш в виде:

(h'.q'.Q' ) = (hi,qi.QOexp(-7t + ipz) +К.С. (10) (hi.qi.QO = (в().ф(),х(Е))вір(1аЬ|)

К.С. - означает комплексное сопряжение, р - вещественный параметр, (Ф.ф.х) -периодические функции с тем же периодом Х = 2к/а что и исследуемое на устойчивость решение (ho.qo), L - вещественный параметр изменяющийся от 0 до 1. Задача исследования устойчивости сводится к численному расчету спектра собственных значений 7 для комплексных матриц общего вида. Волновой режим (fio.go.O) устойчив, если для всех значений р и I вещественные части всех 7 больше нуля Real(i() > 0.

Далее была исследована устойчивость относительно длиннопро-модулированных пространственных возмущений. Вводилсямалый параметр є = "Гp²+a^zI^z , р-eslnQ, al=scos9, 0 < 9

<в.Ф.Х>= I ^,.9..^)6- ; 7= Н"

п»0 ляО

Последовательно рассматривались порядки по є и из условия разрешимости во втором приближении получено уравнение

ШеаКц)]² = -R» = -R«cos²9 + sin²9; i>-c2> (2>-c2>+i>)²

Rx = -

4>'

Здесь знак < > означает осреднение = fcL()d, вещес-

² \о^г
твенные периодические функции ai, аг, Pi, рг, г определялись чи
сленно из приближения є¹. Если их < 0, то режим (qo.ho.O) неус
тойчив к длинным возмущениям. Если Лх > 0, то величина 7¹ чисто
мнимая, и в этом случае рассматривалось следующее по є приближе
ние. :

Расчет устойчивости показал, что для любой стационарно-бегущей двумерной волны из диапазона существования по волновым числам а всегда существуют нарастающие и, соответственно, нейтральные пространственные возмущения вида (10) с Realty) = 0. Используя собственный вектор нейтрального возмущения, для конструирования начального приближения вблизи точки бифуркации, имеем:

(h.q)=^(h_0n,q_On)e^lam^ + AjexpdaLt+ipz-iTjt )У(Ф_т,ф_в)е^1ат^+К.с)

П)=-М т

Стационарно-бегущие пространственные режимы могут ответвляться в точках где 7^і - О- Такие точки, как показали расчеты, для волнового режима с фиксированным а могут лежать^либо на линии I = 0.5, либо 1 = 0. При этом волновые числа (а,р) рождающихся пространственных режимов, как следует будут, соответственно; (а/2,р) и (а,р). Численный алгоритм расчета использует представление функций в виде конечных сумм от двойных рядов Фурье

М N
^- _v^ can

(h,q,Q) = ) ) (Н ,q ,—IcH -q ] )exp(iamj+ipnz ).

-=-М n=-N

В четвертой главе диссертации рассмотрено влияние кривизны стенок на волновое отекание тонкого слоя"вязкой жидкости. Рассчитывались нелинейные волны на поверхности пленки стекающей вдоль внешней и внутренней поверхностей вертикального цилиндра, радиус которого мог быть сопоставим с Нуссельтовской толщиной. Осредняя исходные уравнения, была получена система обобщающая (1) на случай цилиндрической геометрии:

q² . h -fi(J-) .h R J

oq д

*-—*- 1.2—

at dz

r a, 1 ah a^Jh, 3vq l, h\
g +-f— + — 1 + fth +—1

p^l(R-h)²az dz³⁾ h³f(-h/R)J^l 2R^J

9h R Sq r¹ 2 «f³ її

— + -.= 0; 1 =3|--y² +у⁴Г- ln(y)||/4(y-l)³;

я* n*b Яг, M Іл її

3t V-Ь. dz

15 5 17 fi= (y-l)f- - +-У²—7* ⁺—У⁶ +2y⁴ln(y) -3y⁶ln(y) +2y⁶ln²(y)l/

l К Л ? 1? 1

/(1.2( - -У²+У'(--Ш(у)))²); y=l-VR

В пределе R—-«> (fi—1, f-~-1) мы имеем систему (1).

Исследована устойчивость безволнового отекания и показано, что с увеличением кривизны стенок происходит уменьшение фазовой скорости нейтрального возмущения для течения по внешней поверхности цилиндра и увеличение для течения по внутренней поверхности. С увеличением кривизны стенок как для случая стекания по проволочке, так и для случая стекания по внутренней поверхности цилиндра происходит расширение области линейной неустойчивости (т.е. становятся неустойчивыми все более коротковолновые моды). Для одного и того же значения кривизны область нарастающих возмущений для течения по внутренней стенке цилиндра шире, чем аналогичная область для течения по проволочке.

Далее, используя спектральный метод, рассчитывались стационарно- бегущие волновые режимы. В задаче три внешних параметра -R (кривизна), Ка, Re и один внутренний - волновое число а. Основное внимание было уделено качественным различиям между волновым стеканием вдоль вертикальной плоскости и вдоль внешней или внутренней поверхности вертикального цилиндра.

В пятой главе рассмотрено влияние волн конечной амплитуды на испарение стекающей по вертикальной стенке пленки жидкости. Развит интегральный подход и получены уравнения для описания эволюции волн конечной амплитуды:

dq д (q+Ф³) 1,2, 5Ф (q+Ф³)² 2(q+³),

dt dx h+Ф К ^l3 ЗФ³(Іі+Ф) Ф(Ф+Ю ^}

, q+Ф³ . . a³h д³Ь 21 h .

- (Z + 1,5/К)| - ФІ + з[ф— + h— — ] +

^І(1і+Ф)^{2 J 1} дх³ дх³ (ЗК)³ Ф¹"

⁺ D(Ku.⁰)²^^{5 +} (Ф+Ю²*дх ЗКФ³-'-''

5h 6q 1, 1 1 .,

— + — = . = О.

at ах к¹ ф &+h^J

Здесь толщина h и расход q предполагаются периодическими по координате х, I = (81Fi/Re")^Ub, К = (9Re⁵/Ft)^ue,Kum, масштабы всех величин и Re определяются по начальному сечению потока, Ф -является параметром, характеризующим удаление от начального сече-

ния (крупномасштабная пространственная переменная) и меняющимся от f. до 0 для испарения (К > 0), и от ) до » для конденсации, =

Л. '

(l/\)fq(x,t)dx - средний по длине волны расход, Кию з RePrRu, Re= uoho/v, Pr = v/k, Ku = r/CpLT, uo = gho^z/3v.

Безволновому отеканию соответствует решение q = О, h - 0. Была исследована его устойчивость относительно периодических в пространстве возмущений ~exp[la(x-flt)] и в случае Хи⁰ » 1 выражения для фазовой скорости и волнового числа нейтральных возмущений имеют вид: fln.ut «ЗФ²; cueut² » Ф³/2 ± 1Ф⁶/4 + г/(ЗКФ⁵) ]'^s. В случае испаряющейся пленки {К > 0) надо брать только один корень для (Xneut, а при конденсации (.К < 0) появляется критическое значение параметра Z для начала волнообразования, и обе ветви Оп.т имеют смысл.

В сформулированной задаче имеются три внешних параметра -Re/Ka, РгКи и Ф. При их фиксированных значениях, как показали численные расчеты, существуют различные однопараметрические семейства нелинейных стационарно-бегущих решений. Формирование волн конечной амплитуды при движении вдоль испаряющейся пленки определяется конкуренцией двух основных факторов - уменьшением интенсивности волнового процесса с уменьшением числа Рейнольдса, аналогично отеканию изотермической пленки, и противоположно направленной тенденцией, обусловленной наличием фазового перехода на границе раздела.

В шестой главе диссертации рассмотрены двухпериодические и квазипериодические волновые режимы в стекающей по наклонной плоскости пленке жидкости, их устойчивость и бифуркации. При малых расходах жидкости изучение длинноволновых возмущений на пленке жидкости, стекающей по наклонной плоскости, сводится к решению нелинейного эволюционного уравнения, описывающего изменение толщины пленки. В системе отсчета движущейся с удвоенной скоростью свободной поверхности это уравнение после некоторых преобразований приводится к виду (Непомнящий, 1974):

—+ 4Н—+ _г-₇ + —т = 0 (11)

St Зх бх бх

Уравнение привлекает к'себе пристальное внимание многих исследователей, так как оно часто встречается при описании волновых процессов в неконсервативных средах "'и' играет ^: для них такую же

большую роль, как широко известное уравнение KdV для консервативных. Тривиальное решение уравнения (11) Я = 0 неустойчиво относительно периодических возмущений с а < ). При рассмотрении нелинейной эволюции мод большую роль- играют различные аттракторы. Ранее исследовались стационарные решения Но(х) уравнения (11) с периодом I = 2%/а, а- волновое число, и стационарно-бегущие волны Яо(0. l=x-ct, с - фазовая скорость. При определенных значениях пространственного периода L решения типа бегущих волн теряют устойчивость к возмущениям той же периодичности и происходит ветвление режимов с более сложным поведением во времени. Численный расчет таких решений производился спектральным методом:

со со H(i,t)=V У H_nmexp(lcm(x-ct)+ipt) п=-оо щ=-«

Здесь с, 7 - собственные числа задачи и заранее неизвестны. Для определения Я, с и 7 итерациями решалась система нелинейных алгебраических уравнений.

При значении с - 0 мы имеем режим с периодической осцилляцией во времени, а при с Ф 0 - двухпериодической. Для решений 1-го типа численно были исследованы устойчивость и ветвления.

В седьмой главе диссертации рассматривается отекание тонких пленок вязкой жидкости по гофрированным поверхностям. Задача о нелинейных волнах на пленке, стекающей по гладкой пластине, имеет много общего с задачей о течении вязкого слоя вдоль гофрированной поверхности. В обоих случаях уравнения существенно нелинейны, свободная поверхность заранее неизвестна, большую роль играют силы поверхностного натяжения и имеется пространственный период.

В начале рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости вдоль одномерной вертикальной поверхности с формой гофрирования f(x). Толщина пленки И(х) отсчитывается от стенки H(x)=h(x)-f(x), h(x) - форма свободной поверхности. В новых координатах х=х, тр =(y-f(x))/Н(х) область течения становится известной: х = [0, Li, Tf=[0,11, и после обезразмеривания x*=x/L, у* =у/Но, f*(x)-f(x)/A, u* -u/uo, v*=v/(euo), Е*(х) =И(х)/Ио, Р*= Р/puo² основные уравнения принимают вид (знак обезразмеривания опускаем):

; т) 1

v(x,t))=-H(x)u(x,ti)t)_x- — [ніии.т)* )dT)']; Н(х)[и(х,т)' )dT)'=l

О О

o(P-p^(v>) є г 6²v _ra²v a²v a²v av,

....' ".. ... .:~:r)-

a-rj Re

r U JJ Y U Y U Y ^иУ11

^{k af +eV <^^і^ф*<}

, auv auv av, ар ар і _r a^zu j^zu

-є² H— + Htl— +— ; - — -tl— + —3 +tl²— +є²Г— +

¹ ax ат) бт) ^J ax ат) eRe^L -^ от) V3x

a²u a²u au.-, auv au² au²

² &ц^{2 х}ахат| ^z5 * ^XT> dtfi Чдт) дх ^хат)

_1ас2Г(1НЛ dfl² йЧЛ й^гі
,„, 2є 1 av^1+e l3x⁺ei3xj , ЗГ+єіЗГ
P-P^(v)= ²We , при T)=l

Здесь Л - амплитуда гофрирования, I - период гофрирования, uo=Qo/Ho, z=Ho/L, Єі=На/А, Но- Нуссельтовская толщина пленки, йо= = (3v^zRe/g)^U3, Ve=(3Fl)^U3/Re^s'³, Fi=(0/p)³/gv\ т) =-(1/H)dH/dx, f}=(y-f(x)/ei)/H(x), і) = -(T$H/dx+(1/ei)df/dx)/H(x), т) =1/H(x), \К⁼ -(T\_x/H)dH/dx- (Tfih/dx²* (1/Ei)d^zf/dx^z)/H(x).

В задаче имеется четыре независимых параметра (например FI, (v^z/g)'^l/3/L, A/L и Re) и функция, описывающая профиль стенки fix). Задача заключается в нахождении полей и(х,у), v(x,y), Р(х,у) и Н(х). Уравнения решались численно с использованием спектрального метода (9). Исследовано стекание сильно-вязких (глицерин, силиконовое масло) и мало-вязких жидкостей по поверхностям, амплитуда гофрирования которых сравнима с Нуссельтовской толщиной и много больше. Для двух указанных случаев отношения А/Но развиты различные интегральные подходы для расчета гидродинамики отекания и проведено сопоставление с расчетами по полным уравнениям, что позволило определить область применимости осредненных уравнений. Для отекания сильно-вязких жидкостей проведено сопоставление с экспериментами Zhao & Сегго (1992). Рассмотрена задача интенсификации массопереноса гофрированием. В приближении тонкого диффузионного слоя получено уравнение для расчета фактора интенсификации:

2 A . .-г Ah ..г x

Sh 1₍У^{1 + г(}їїї'> , 6cos²«p)_r uo(x')dx'

_ = , _dx-, б²(х)=

Sho J~Ti б(х') uo²(x) і cos²(q>' )

^{y x} 0 0

/Б e^ dh

Sho = / — ReSc—, uo(x)=u(x,y)| _h(l), tg(

Л A (IX

Здесь Sc = v/D - диффузионное число Прандля.

Некоторые из результатов расчетов гидродинамики и массопереноса представлены на рис. 14.-16.

Далее в этой главе рассмотрено отекание вдоль поверхности с ненулевым наклоном гофров (двумерный случай) и течение по пластине обладающей как крупным гофрированием, так и мелкой текстурой (трехмерный случай). В последнем случае расчет гидродинамики проводился на основе комбинации интегральных моделей с использованием двойных рядов Фурье.