Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнения и граничные условия гидродинамики гетерогенных систем
1.1. Уравнения гидродинамики 13
1.2. Граничные условия на плоской свободной поверхности раздела фаз 24
1.3. Граничные условия на сферической свободной поверхности раздела фаз 47
1.4. Влияние осложняющих факторов 58
2. Возбуждение звуковых колебаний при конденсации пара 64
2.1. Экспериментальные данные 64
2.2. Возникновение звука при гетерогенной конденсации пара 66
2.3. Возникновение звука при гомогенной конденсации пара 76
3. Термокапиллярное течение от сосредоточенных источников тепла 84
3.1. Термокапиллярная конвекция, вызванная нагревом свободной поверхности летучей жидкости лазерным лучом 84
3.2. «Ромашковая» неустойчивость аксиально-симметричного термокапиллярного течения от сосредоточенного источника тепла 96
3.3. Неустойчивость аксиально-симметричного капиллярного течения по отношению к деформирующим поверхность возмущениям 104
4. Капиллярный дрейф капель в вязких жидкостях 115
4.1. Капиллярный дрейф растворяющихся капель 115
4.2. Возникновение межфазной конвекции при диффузии поверхностно-активного вещества из капли во внешнюю среду 129
4.3. Термокапиллярная конвекция в капле при малых числах Марангони и Грасгофа в условиях Плато-техники 142
4.4. Акоалесценция соприкасающихся капель 160
5. Конвективная устойчивость жидкости в шаровых полостях 172
5.1. Конвективная устойчивость шарового слоя со свободной недеформируемой границей 172
5.2. Конвективная устойчивость шаровой капли с несвободной деформируемой поверхностью 175
5.3. Конвективная устойчивость жидкого шарового слоя в свободно подвешенной твердой оболочке 177
5.4. Автоколебательный режим термокапиллярного течения в сферическом неоднородно нагретом слое жидкости 180
5.5. Конвективная устойчивость суспензий 188
5.6. Сферический вариант задачи Рэлея об устойчивости неоднородно нагретого слоя жидкости 196
6. Равновесные формы тяжелых капель 211
6.1. Равновесные формы плавающих тяжёлых капель 211
6.2. Устойчивость равновесных форм плавающих капель 227
6.3. Растекание капель 239
Заключение 255
Список литературы 259
- Граничные условия на сферической свободной поверхности раздела фаз
- Возникновение звука при гетерогенной конденсации пара
- «Ромашковая» неустойчивость аксиально-симметричного термокапиллярного течения от сосредоточенного источника тепла
- Возникновение межфазной конвекции при диффузии поверхностно-активного вещества из капли во внешнюю среду
Введение к работе
Актуальность проблемы. Объектом настоящего исследования являются происходящие вблизи поверхности раздела фаз гидродинамические процессы, в которых взаимодействия поверхностных и объемных сил различной физической природы приводят к ветвлению равновесных форм жидкости или развитию конвективной неустойчивости. Задачи, объединенные по этому принципу, следует отнести к межфазной гидродинамике - науке, теоретический фундамент которой заложил более ста лет назад Дж. В. Гиббс своей работой "О равновесии гетерогенных веществ" [1]. Развитие идей Гиббса привело к созданию физико-химической гидродинамики [2], из которой в последние десять-двадцать лет выделилась более узкая область - гидродинамика межфазных поверхностей [3], лежащая на пересечении традиционной гидродинамики с коллоидной химией и другими физико-химическими науками. Опыт теоретического и экспериментального изучения подобных процессов, накопленный к настоящему времени, свидетельствует о большом многообразии явлений, в которых поверхностные эффекты играют определяющую роль. Сюда следует отнести влияние межфазной конвекции на интенсивность многих технологических процессов, распространенных в химической, нефтяной, металлургической и других отраслях промышленности, в том числе протекающих в условиях пониженной гравитации. Отдельное внимание к исследованиям по данной тематике обусловлено разработками в области космических технологий и систем обеспечения орбитальных станций, что связано с определяющей ролью термокапиллярных эффектов в этой отрасли. В биологии капиллярные эффекты изучаются в связи с движением бактерий и клеточных микрообъектов; в медицине - в связи с проблемами распространения сурфактанта при легочных заболеваниях; в математике ветвление равновесных форм и конвективная неустойчивость, вызванная капиллярными эффектами дают новые примеры для развивающейся в последнюю четверть века синергетике. Эти факты привели к интенсивному развитию прикладных направлений межфазной гидродинамики. Однако в подавляющем числе случаев исследования сводятся к простому усложнению доступных расчету задач на геометрических моделях с нулевой кривизной внешних границ и для простых случаев кинетики и динамики процессов. Между тем, нужды производства и внутреннее развитие самой науки требует решения более широкого спектра модельных задач, которые способствовали бы формированию интуиции при оценках влияния на системы многочисленных и разнородных физико-химических факторов в различных ситуациях. Это делает актуальной проблему разработки математической модели процессов, идущих по произвольной кинетике в открытых гетерогенных системах, в том числе, с жидкими включениями конечных размеров. В работе даны многочисленные примеры таких задач, подкрепленных специально поставленными экспериментами.
Цель работы - привести в единую систему положения гидродинамики межфазных поверхностей, дать на физическом уровне строгости аналитическое описание типичных примеров течений, равновесия и конвективной устойчивости макрогетерогенных веществ при строгом учёте поверхностных явлений.
Научная новизна работы состоит в развитии положений межфазной гидродинамики, не изучавшихся ранее в трудах Гиббса и его последователей, и в приложении разработанных теоретических моделей к конкретным физическим процессам. В работе впервые: - на основе предложенного единого метода сформулированы условия на поверхностях раздела двух несмешивающихся (взаимно-насыщенных) жидкостей для общего случая смешанной (диффузионной и адсорбционно-десорбционной) кинетики массопереноса поверхностно-активных веществ (ПАВ) через границу раздела фаз, дана классификация случаев, когда оказываются справедливыми традиционные соотношения; - на границе раздела трёх фаз сформулированы модифицированные условия Юнга-Неймана с учётом линейного натяжения; в терминах физически измеряемых величин предложена формула для оценки его значения.
Обобщенные граничные условия, полученные в работе, используются далее в задачах гидродинамической устойчивости тепло- и массопереноса через поверхности раздела фаз, деформируемые в ходе процессов. На основе созданных моделей впервые: - обнаружено и экспериментально, и теоретически исследовано явление спонтанного возникновения звука при гетерогенной и гомогенной конденсации пара; получено точное аналитическое выражение для распределения скоростей и температур в задаче о конвекции, вызванной нагревом поверхности летучей жидкости лазерным лучом в полной постановке с учётом нелинейных членов в уравнении Навье-Стокса и теплопроводности; - теоретически изучено термокапиллярное течение и его устойчивость от точечного источника тепла по отношению к деформирующим поверхность возмущениям; построена теория монотонной и колебательной дрейфовой неустойчивости капли в безграничной жидкости при изотермоизобарических внешних условиях с учётом тепловыделения при растворении и эффектов Марангони; - обнаружено и аналитически изучено влияние эффекта Марангони на форму и свободную гравитационную конвекцию в капле, помещённой в безграничную неоднородно нагретую жидкость; дано объяснение эффекта неслипания поджатых друг к другу неоднородно нагретых капель жидкости на основе полного аналитического решения уравнений гидродинамики при малых числах Марангони; обнаружен автоколебательный режим термокапиллярного течения в жидкой плёнке, покрывающей неоднородно нагретый шар; аналитически определены форма свободной поверхности плёнки и условия возникновения колебаний; аналитически определено конвективное движение в разбавленной неоднородно нагретой эмульсии, вызванное силами Архимеда и Марангони; на основе аналитического решения трёх задач по подогреву снизу жидкого шарового слоя (со свободной, но недеформируемой поверхностью, с несвободной, но деформируемой поверхностью и с твёрдой оболочкой) сделан вывод об увеличении порога устойчивости с уменьшением «свободы» поверхности раздела фаз; в известной задаче о равновесных формах тяжёлых капель, удерживаемых на поверхности более лёгкой жидкости капиллярными силами, доказано, что верхняя граница капли всегда выпуклая, а внешняя жидкость не образует над каплей нависающих карнизов, как это всегда происходит перед коллапсом над смоченной жиром иголкой; показано также, что для предельно малых капель решающим фактором устойчивости является линейное натяжение; - построена физическая модель и аналитически решена задача растекания капель по горизонтальной подложке; дано объяснение эффекта образования вала по периметру растекающейся капли и спонтанного смещения её центра масс в случае однородных и неоднородных внешних условий.
Автор защищает: результаты вывода граничных условий для плоской и сферической поверхностей раздела жидкостей для общего случая смешанной кинетики массопереноса ПАВ через границу раздела; формулировку условий Юнга-Неймана с учетом линейного натяжения; результаты экспериментального и теоретического исследования автоколебаний при конденсации пара для гомогенной и гетерогенной систем; результаты исследований термокапиллярного течения от точечного источника тепла с учетом испарения жидкости и устойчивости этого течения по отношению к деформирующим поверхность возмущениям; результаты расчета дрейфовой неустойчивости (монотонной и колебательной) капли в безграничной жидкости при изотермоизобарических внешних условиях с учётом тепловыделения при растворении и эффектов Марангони; результаты аналитического исследования термокапиллярной конвекции в капле при малых числах Марангони и Грасгофа в условиях техники Плато; объяснение эффекта неслипания поджатых друг к другу неоднородно нагретых капель жидкости на основе полного аналитического решения уравнений гидродинамики при малых числах Марангони; результаты исследования формы свободной поверхности и условий возникновения автоколебательного режима термокапиллярного течения в жидкой плёнке, покрывающей неоднородно нагретый шар; результаты аналитического исследования конвективного движения в разбавленной неоднородно нагретой эмульсии, вызванного силами Архимеда и Марангони; вывод об увеличении порога устойчивости бесконвективной теплопередачи с уменьшением «свободы» поверхности раздела фаз, сделанный на основе решения трех типовых задач по гидродинамической устойчивости; результаты определения равновесных форм капель, плавающих на поверхности более легкой жидкости, в двухмерной и трехмерной задачах; вывод об определяющей роли линейного натяжения для предельно малых тяжелых капель, удерживаемых капиллярными силами на поверхности менее плотной жидкости; - построение физической модели и аналитическое решение задач по влиянию концентрации поверхностно-активных веществ на характеристики капли, растекающейся по твердой горизонтальной подложке.
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается количественным совпадением полученных в работе теоретических зависимостей с экспериментальными результатами опытов, специально поставленных автором диссертации и его коллегами, так и с данными других исследователей; применением стандартных аналитических, асимптотических и численных методов; совпадением асимптотических и численных результатов; использованием различных геометрических и физических моделей исследуемых процессов и состояний и сравнением результатов с известными теориями.
Научная и практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в том, что в ней получены обобщенные граничные условия на поверхностях раздела фаз, а также решены многочисленные и разнообразные по физическому содержанию задачи, интересные как в плане поиска новых примеров ветвления равновесных состояний или конвективной неустойчивости, так и в чисто практическом применении результатов в межфазной тензиометрии, наземных и космических технологиях. Разработанная методика и результаты используются в научно-исследовательской работе в Пермском государственном университете, в Пермском педагогическом университете, Институте механики сплошных сред и Институте экологии и генетики микроорганизмов УрО РАН, в Ивановском государственном университете, в Мадридском политехническом университете (Испания), в университетах городов Лавборо и Эдинбург (Великобритания), а также в учебном процессе в Пермском государственном университете в лекциях, лабораторных практикумах и включены в учебные пособия по курсам «Межфазная гидродинамика», «Гидромеханика невесомости» и «Динамика жидкостей с особыми свойствами».
Диссертационная работа выполнялась в рамках разрабатываемых кафедрой общей физики Пермского государственного университета тем "Конвекция и теплообмен в ламинарном, переходном и турбулентном режимах; влияние осложняющих факторов на конвективную и гидродинамическую устойчивость", "Течение и тепломассоперенос при ламинарной и турбулентной конвекции: проблемы устойчивости равновесий и течений", "Гидродинамика невесомости". Исследования являются также составной частью Государственной программы поддержки ведущих научных школ (гранты №96-15-96084 и №00-15-00112), Международного научно- технического проекта "Конвективные явления и процессы тепломассопереноса в условиях невесомости и микрогравитации", Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 98-06), программы "Университеты России" (направление II, "Неравновесные процессы в макроскопических системах"), проектов "Гидродинамическая неустойчивость и дрейф жидких деформируемых включений в макрогетерогенных системах" Минобразования РФ (1999, 2001 гг.). Работы выполнялись при финансовой поддержке персональных грантов INTAS-93-2492-ext, Международного центра фундаментальной физики и Шведской Королевской Академии наук (1995); грантов РФФИ 96-01-01738,99-01-01206 и 01-04-96461, грантов INTAS-94-529, INTAS-99-01505 и INTAS-01-2151, совместного гранта МНФ и правительства России J3E100, гранта CRDF РЕ-009-0.
Апробация работы. Результаты исследований были представлены на II International Symposium on Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity (Perm-Moscow, 1991), 18 International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Haifa, Israel, 1992), II и III SIAM Conference on Mathematical Issues in Geosciences (Houston, 1993; San Antonio, USA, 1995), International Symposium "Advances in structured and heterogeneous continua" (Moscow, 1993), IX Школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1993), II International Conference on Nonlinear Mechanics (Beijing, China, 1993), International Workshop "Non-gravitational Mechanisms of Convection and Heat/mass Transfer (Zvenigorod, 1994), 10 и 14 Национальных зимних школах по механике сплошных сред. (Пермь, 1995, 2005), IX European Symposium "Gravity-depended Phenomena in Physical Sciences" (Berlin, Germany, 1995), II International Symposium "Advances in structured and heterogeneous continua" (Moscow, 1995), International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection" (Perm, 2003), International Marangoni Association Congress (Brussels, Belgium 2004), 33 и 35 COSPAR Scientific Assembly (Warsaw, Poland, 2000; Paris, France, 2004), а также неоднократно на Пермском гидродинамическом семинаре им. Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 37 работах, в том числе, двух монографиях (в соавторстве с Ю.К.Братухиным).
Личный вклад автора. В работе [А.З] автору принадлежат математическая модель наблюдаемых явлений, аналитические и численные расчеты, физическая интерпретация результатов; в работе [А.4] -экспериментальное открытие эффекта, участие в измерениях и обработке результатов, их интерпретация; в работах [А.6, А.8, А.9, А.11, А. 12, А. 16-А.19, А.23, А.24, А.26, А.28-А.ЗЗ, А.35, А.36] - постановка задачи, теоретическая часть и интерпретация результатов, в [А.2, А.5, А. 14, А. 15, А.20-А.22, А.25, А.27, А.34] - участие в постановке задачи, аналитические расчеты и интерпретация результатов, в монографии [АЛ] автору принадлежит глава 4, главы 1, 2 и 5 написаны с соавтором совместно; в монографии [А.37] - параграфы 1-3 первой главы, главы 2, 3 и 4, параграфы 16-18 главы 5; остальные работы выполнены автором лично.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего 180 наименований. Общий объем диссертации 277 страниц, включая 39 рисунков.
Автор глубоко благодарен своим учителям - Григорию Зиновьевичу Гершуни, Дмитрию Викторовичу Любимову, Геннадию Федоровичу Путину, Александру Федоровичу Пшеничникову, Виталию Анатольевичу Семенову, зародившим в нем интерес к науке, сотрудникам кафедры общей физики -Вячеславу Викторовичу Бережнову и Алексею Ивановичу Мизеву, на чьи экспериментальные работы автор опирался при написании нескольких разделов диссертации, друзьям-экспериментаторам Сергею Рудольфовичу Косвинцеву и Игорю Юрьевичу Макарихину - за их почти каждодневную помощь и поддержку, а также Юрию Клавдиевичу Братухину, совместная работа с которым в течение последних 25 лет помогла сохранить большую часть юношеских иллюзий.
Граничные условия на сферической свободной поверхности раздела фаз
Во-вторых, в поверхностных плёнках могут возникать как сдвиговые, так и дилатационные напряжения. Так, при движении жидкости вдоль меридианов в адсорбционной плёнке, покрывающей сферическую каплю, значительные напряжения растяжения-сжатия должны возникать на полюсах в области "источника" и "стока". Учтём все такие возможные случаи, записав вместо тензора вязких напряжений а, в (1.4) следующее выражение: где о - поверхностный тензор вязких напряжений. Отметим, что в отличие от dk, в котором индексы і и к пробегают три значения 1,2 и 3, в тензоре о } их только два. Для плоской границы раздела z = О, которую мы будем рассматривать в этом пункте, это х и у. Установим наиболее общий вид а)к исходя из следующих требований: 1. Процессы вязкого трения возникают только в тех случаях, когда различные участки поверхности движутся относительно друг друга с разными скоростями. Поэтому oik должно зависеть только от производных скорости по координатам: Силы вязкого трения, определяемые производными от скорости по нормальной к поверхности координате z, учитываются в тензоре а, . 2. Зависимость 0$ от вторых производных и от различного вида нелинейных слагаемых при не очень больших градиентах скорости можно не учитывать. 3. Производные в аргументе функции в (1.56) должны входить в формулу в таких симметричных комбинациях, чтобы при твёрдом вращении плёнки G% исчезало. Наиболее общим видом тензора, удовлетворяющего всем этим требованиям, является выражение Определением (1.57) вводятся сдвиговая г\„ и дилатационная Tfy поверхностные коэффициенты вязкости. Производные скорости сгруппированы так, чтобы выражение в круглых скобках при свёртывании (то есть при суммировании компонент с / = к) исчезало.
Заметим, что введённые ранее объёмные сдвиговые г) и вторые С, вязкости и поверхностные Г5 и x\d характеризуют на молекулярном уровне совершенно различные физические процессы. (Феноменологически это выражается в том, что поверхностные и объёмные вязкости имеют разную размерность.) Коэффициент т характеризует способность системы переносить импульс единицы объёма жидкости через единицу поверхности в единицу времени. Причём передача импульса осуществляется фактически только молекулами растворителя, поскольку концентрация растворённого ПАВ в объёме мала. Наоборот, поверхностные вязкости т и r\d определяются процессами переноса импульса молекулами ПАВ, сосредоточенными в приповерхностном слое. Возникновение при этих процессах эффектов вязкого трения можно пояснить следующими рассуждениями. Пусть вдоль поверхности раздела фаз установилось течение, скорость которого vs(x,y). Тогда молекулы ПАВ, сконцентрировавшиеся в адсорбционном слое с поверхностной плотностью Г, при своём диффузионном дрейфе поперёк линий тока переносят с собой не только массу ПАВ (поверхностная диффузия), но и импульс. Но поскольку этот процесс необратимый, сопровождаемый возрастанием энтропии и диссипацией энергии, то он воспринимается как проявление сдвиговой вязкости, характеризуемой, Дилатационные напряжения возникают в тех местах адсорбционного слоя, где скорость \(х,у) уменьшается по величине из-за погружения струйки тока в объёмную фазу. При этом уходящая вглубь жидкость частично оставляет растворённые в ней молекулы ПАВ на поверхности, поскольку это приводит к увеличению концентрации ПАВ и, следовательно, к уменьшению поверхностного натяжения а, а с ним и энергии системы. Но уменьшение о формирует касательную силу, направленную против скорости, что и создаёт определённое дилатационное напряжение, определяемое коэффициентом r\d . В работах Буссинеска (1913), где впервые введено понятие поверхностной вязкости, r\d определён как коэффициент пропорциональности между изменением поверхностного натяжения ACT и поверхностной дивергенцией скорости v(s):
Таким образом, физической причиной возникновения поверхностной вязкости является диффузионный дрейф молекул растворённого вещества в адсорбционном слое, в то время как объёмная вязкость характеризует эффективность передачи импульса от одних слоев к другим молекулами растворителя. Кроме того, есть ещё одно отличие в механизмах объёмной и поверхностной вязкости. Если коэффициенты т и определяются только диффузией импульса, то на величину r\s и Г / влияют ещё и адсорбционно-десорбционные процессы. Все эти три процесса, - диффузионный, адсорбционный и десорбционный - с различной степенью эффективности определяют скорость дрейфа молекул ПАВ вблизи поверхности, поэтому коэффициенты rs и r\d при разных условиях эксперимента и даже на разных его стадиях могут меняться от нуля до некоторых величин, соответствующих стационарному режиму. Тем не менее, оценить их величину можно, если известна кинетика, лимитирующая процесс. В теории эти коэффициенты должны рассматриваться как независимые феноменологические параметры. При записи давления р учтено отступление от закона Паскаля в непосредственной близости к границе раздела фаз. В этом исчезающе узком (порядка десяти - ста диаметров молекул [11]) с точки зрения механики сплошных сред слое сферически симметричный в объёме тензор давления Рік = P$ik (&ik -символ Кронекера) становится аксиально-симметричным. То есть давление в приповерхностном слое уже не изотропно, а имеет две составляющие: нормальную ра и тангенциальную рх = р = р . Поскольку изменение нормальной составляющей давления внутри исчезающе тонкого слоя определяется в рассматриваемых ниже задачах только гравитационным полем, то его изменением можно пренебречь и считать, что Ри « р, где р -изотропное давление на границе раздела. Тангенциальное давление вблизи поверхности вследствие неоднородностей границы раздела фаз может заметно изменяться, стремясь, однако, в глубине фазы к изотропному давлению р. Поэтому вслед за Гиббсом введём избыточное тангенциальное напряжение - коэффициент поверхностного натяжения ст [12]:
Возникновение звука при гетерогенной конденсации пара
Известно [40], что неоднородный нагрев различных устройств может способствовать возбуждению и поддержанию в них звуковых колебаний. Однако при объяснении этого эффекта часто не учитывается наличие в системе паров летучих жидкостей. Между тем важность последнего условия отмечена Де-ля-Ривом [40]. Необходимость конденсации паров для развития автоколебаний отмечается в ряде статей Бхатта и Ведекинда (см., например, [41,42]), в которых исследованы автоколебания с периодом около 1 с, возникающие при пропускании пара через горизонтально расположенную трубку. Исследования по генерации акустических колебаний при конденсации в атмосфере обобщены в [43]; резонансным явлениям, возникающим при конденсации пара в трубе, посвящены работы [44, 45]. В последних статьях отмечается, что природа пульсаций давления в трубе связана с периодическими колебаниями межфазной границы пар - жидкость. Таким образом, экспериментальные данные дают основание полагать, что в процессе появления колебаний конденсация пара является определяющим условием.
Экспериментальная установка [А.4], специально собранная нами для проверки этой гипотезы, представляла собой стальной резонатор в виде цилиндрического резервуара объемом 10 см3 и диаметром 1,7 см с горлышком -алюминиевой трубкой длиной 13 см и диаметром 0,5 см, по наружной поверхности которой мог свободно перемещаться холодильник (рис.2.1). Длина охлаждаемой части горлышка составляла 4 см. Контролируемое нагревание металлического резервуара осуществлялось электрической печкой с переменной мощностью. Для измерения частоты и амплитуды колебаний использовались микрофон, усилитель, звуковой генератор и осциллограф. В качестве рабочих жидкостей применялись вода, этиловый спирт и четыреххлори-стый углерод. Количество вводимой в резонатор жидкости варьировалось от 0,01 до 0,10 см . Как следует из проведенных экспериментов [А.4], самопроизвольное образование звуковых автоколебаний интенсивностью порядка 10 -10" вт/м наблюдается только при одновременном испарении жидкости в резервуаре и конденсации пара на стенках трубки. При использовании вместо летучих жидкостей газов (воздух, С02, Сг Нг и др.) звуковых колебаний не наблюдалось. Звук не возникал и при работе с различными нелетучими жидкостями (глицерин, масла). Генерация звука происходила все время, пока шел процесс испарения внесенной в резервуар жидкости и оседание образующихся паров на стенках холодильника (в случае вертикального положения резонатора с отверстием вверх звучание при постоянном нагреве продолжалось около 6 часов при массе жидкости 0,01 г). Частота звуковых колебаний зависела от исследуемой жидкости и составляла 240 Гц для воды, 260 Гц - для Визуализация движения парогазовой смеси в горлышке проводилась в экспериментах со стеклянным резонатором таких же размеров с помощью заранее вводимого небольшого количества дыма. Изменений тона при этом практически не наблюдалось. При возбуждении звука происходило сгущение частиц дыма в периодически повторяющиеся по всей длине горлышка тороидальные структуры, особенно хорошо заметные в охлаждаемой части трубки. Из полученных результатов можно сделать вывод о том, что конденсация паров является необходимым условием существования в данной системе звуковых колебаний, возникновение которых может быть объяснено следующим образом. Переходя из нагретого объема резонатора в холодную трубку, пар охлаждается и конденсируется на ее стенках. Образование жидкости в местах конденсации сопровождается уменьшением концентрации парогазовой смеси и локальным увеличением температуры. Но поскольку температура на стенках трубки задана холодильником, то окончательным результатом конденсации капельки пара оказывается уменьшение плотности в данном месте и, как следствие, - уменьшение давления. Это приведет к поршнеобразному движению газа, что, в свою очередь, создаст благоприятные условия для конденсации,
При математическом моделировании процесса спонтанного возбуждения колебаний в неоднородно нагретом резонаторе, заполненном парами летучей жидкости, примем следующие допущения:
Открытый резонатор, заполненный парами летучей жидкости, содержит холодильник и нагреватель. Температура холодильника и давление газа вблизи его плоской поверхности соответствуют фазовому равновесию пар-жидкость.
В объёме резонатора отсутствуют центры конденсации. Поверхность холодильника смачивается жидкостью. Принятие этого условия означает, что система не может находиться в состоянии метастабильного равновесия: спонтанно возникающие у поверхности холодильника зародыши любых размеров мгновенно растекаются по поверхности холодильника, давая начало гетерогенному фазовому переходу пар- жидкость. 3. Общая масса летучего вещества такова, что в изотермических условиях при "точке росы" в резонаторе находится тонкий слой жидкости (фаза 1), обволакивающий холодильник, и пар (фаза 2), который заполняет практически весь объём.
Кинетические коэффициенты (температуропроводности %,-, теплопроводности к,-, динамические т/, "вторые" Q и кинематические Vj вязкости, теплоёмкости при постоянном давлении Cpi; индекс і =1,2 отмечает принадлежность параметров и функций к жидкости и пару соответственно и удельная теплота фазового перехода L) постоянны. Обе фазы считаем термически недеформируемыми. Температура и давление насыщенного пара связаны законом Клапейрона-Клаузиуса. Толщина границы раздела фаз равна нулю (модель Гиббса). Сила тяжести отсутствует. Исследование ограничим анализом малых звуковых колебаний, что позволит пренебречь нелинейным членом в уравнении Навье-Стокса (анализ условий применимости этого приближения см. [6]). По этой же причине относительные изменения плотности р, температуры Г и давления р в паре считаем малыми по сравнению с их равновесными значениями: р = Ср +DT, где постоянные С и D определяются уравнением Ван-дер-Ваальса:
«Ромашковая» неустойчивость аксиально-симметричного термокапиллярного течения от сосредоточенного источника тепла
Постановка задачи и принятые допущения. В многочисленных экспериментальных и теоретических работах последнего времени по термокапиллярной конвекции [52-59] основное внимание исследователей сосредотачивается не столько на самом факте межфазной конвекции Марангони, сколько на вызываемой ею деформации поверхности раздела фаз. В частности, в работе [53] обнаружен, наряду с известным поднятием поверхности жидкости [52] в направлении, обратном градиенту температуры, противоположный эффект: поверхность летучей жидкости, освещаемой лазерным лучом, образует лунку, в центре которой имеется небольшой холмик. В настоящей работе показано, что образование такого устойчивого холмика может быть объяснено на основе решения полной системы нелинейных уравнений гидродинамики. В предпринятых ранее подобных исследованиях [60; A.I, А.5] форма поверхности жидкости считалась фиксированной, а жидкость нелетучей. Поэтому полученные в этих работах результаты неприменимы для объяснения экспериментов [53].
При решении задачи о термокапиллярной конвекции, инициируемой нормальным к свободной поверхности жидкости лазерным лучом, примем следующие предположения: 1. Движение жидкости ламинарное. Задача стационарная и аксиально-симметричная. Мощность лазерного луча постоянна. Проникновение луча в глубь непрозрачной жидкости пренебрежимо мало, так что вся его энергия передаётся жидкости через поверхность. 2. Жидкость несжимаема и термически недеформируема. 3. Сила тяжести отсутствует. (Число Бонда равно нулю.) 4. Жидкость граничит с нетеплопроводным невязким газом. Обе фазы заполняют всё пространство. 5. Все параметры жидкости (плотность р, вязкости г и v, теплоёмкость при постоянном давлении Ср, температуропроводность % и теплопроводность к) постоянны, кроме коэффициента поверхностного натяжения , который считаем линейно изменяющимся с температурой: ст = сто - з{Г. (Для рассматриваемой индивидуальной жидкости сті 0 [12].) 6. Жидкость летуча, скорость её испарения определяется мощностью лазерного луча. В этих условиях уравнения Навье-Стокса, непрерывности и теплопроводности имеют вид [6] К системе уравнений (3.1) необходимо присоединить требования исчезновения теплопотоков и напряжений на поверхности раздела жидкой и газовой фаз. Условия непрерывности скоростей и температур в соответствии с принятыми предположениями о свойствах газовой фазы не ставятся.
Задачу будем решать в сферической системе координат (г,9,ф), начало которой совместим с точкой поверхности жидкости, на которую приходится середина лазерного луча (рис. 3.1). Полярную ось z декартовой системы координат (х, у, z) направим вдоль потока энергии луча лазера. Орт нормали п к поверхности раздела направим внутрь газовой фазы. Уравнение поверхности раздела фаз будем искать в форме прямого кругового конуса z - - г cosp с определяемым в ходе решения углом раствора р. В выбранной системе координат углу р = я/2 соответствует плоская поверхность раздела фаз z = 0; при р я/2 острие конуса направлено навстречу лучу. Участок поверхности вблизи вершины конуса в теории не рассматривается. В соответствии с принятым предположением об исчезающе малой величине числа Бонда анализ ограничим рассмотрением малой области, выделенной поперечным сечением лазерного луча nR2. Распределение интенсивности потока энергии по сечению пучка в его центральной, приосевой части аппроксимируем с помощью дельта-функции Дирака Щ(х)Ь(у); убывание интенсивности света в периферийной части считаем спадающим по гиперболическому закону slr0. Здесь г0 - расстояние от оси пучка в плоскости (х, у), s и U- некоторые постоянные величины, однозначно определяемые полным потоком энергии луча Q.
Как известно [61], уравнения эллиптического типа, какими являются (3.1), при задании условий Дирихле или Неймана имеют единственное устойчивое решение только на замкнутой границе. В данном случае область (г 0, р 9 0) незамкнута: на её границе есть выколотая сингулярная точка г = 0, через которую могут просочиться возмущения любого характера. В этом отношении задача эквивалентна внешней задаче электростатики о потенциале заряженного шара: в "далёкой", незамкнутой области г 0 решение определяется полным набором мультипольных моментов. В частности, генеральная функция Грина Mr может быть истолкована как потенциал точечного заряженного тела, у которого все мультипольные моменты тождественно равны нулю, кроме нулевого, равного единице [61]. Подобным интегральным условием в рассматриваемой задаче является требование неизменности полного потока тепла через замкнутую поверхность, ограниченную частью сферы радиуса R и замыкающей её поверхностью конуса (рис. 3.1):
Возникновение межфазной конвекции при диффузии поверхностно-активного вещества из капли во внешнюю среду
Постановка задачи и принятые допущения. Исследуем устойчивость полученного выше термокапиллярного течения по отношению к периодическим по азимуту возмущениям. Для простоты рассмотрим частный случай нелетучей жидкости (SQ = 0). В такой постановке основное движение (3.5), вызванное бесконечно узким лазерным лучом, не отличается от найденного в [60] аксиально-симметричного термокапиллярного течения от точечного источника тепла постоянной мощности UQ, помещённого на плоской недефор-мируемой поверхности жидкости.
Исследование устойчивости этого движения, предпринятое в [А.5, А.6], породило больше вопросов, чем дало ответов. Так, при численном решении задачи в [63, 64] обнаружено необъяснимое отсутствие критического числа Марангони для моды с магнитным квантовым числом т = 1. Кроме того, все остальные периодические по азимуту моды, пропорциональные cosmcp, имели одну и ту же, одинаковую с основным течением гиперболическую зависимость от г. При аналитическом исследовании устойчивости в [А.7] найдены полные наборы гидродинамических и тепловых собственных функций, которые удовлетворяют точным уравнениям для нормальных возмущений аксиально-симметричного движения от точечного источника тепла при значении числа Марангони, равного нулю. Такой результат, интерпретируемый в [А.5] как абсолютная неустойчивость аксиально-симметричных течений, на первый взгляд продемонстрирован и в экспериментальной работе [65]. Однако в более поздних работах [66, 67, А.8, А. 18] различного рода неустойчивости аксиально-симметричных течений наблюдались при конечных числах Марангони U .
Исследуем устойчивость стационарного течения (3.5), наложив на него малые нормальные ( ехр(-А, )) периодические по азимуту ( cos(m(p)) возмущения скорости 8v, давления 8р и температуры 871 При критическом значении мощности / , соответствующей срыву основного течения, линеаризованные обезразмеренные уравнения для монотонных (X = 0) возмущений имеют вид [6] записаны с учётом того, что для нелетучей жидкости её поверхность остаётся плоской (р = ті/2), а нормальные составляющие скорости 8ve и теплопотока 587759 на границе с нетеплопроводным газом исчезают. В условиях непрерывности касательных напряжений учтены составляющие силы Марангони в радиальном дЬТІдг и азимутальном d877(rsin9dq ) направлениях. Непрерывность нормальных напряжений (последнее равенство в системе граничных условий (3.13)) для плоской границы раздела не содержит лапласовского давления из-за нулевой кривизны плоской поверхности и сводится к равенству сил давления и нормальных вязких напряжений. Заметим, что это уравнение является необходимым в системе граничных условий. Поэтому результаты работы [64], в которой система граничных условий не содержала требование непрерывности нормальных напряжений, не имеют физического смысла, кроме моды с магнитным квантовым числом 1, для которой это условие выполняется случайным образом. Но именно для этой моды критическое число в [64] не найдено. Потоки тепла через полусферу произвольного радиуса г, окружающую источник, и поток тепла через замыкающий полусферу круг для периодических по азимуту возмущений порознь тождественно равны нулю.
Как уже обсуждалось выше при формулировке задачи (3.1)-(3.3), для её корректности необходимо считать равными нулю все «мультипольные» моменты, кроме одного, «монопольного», в качестве которого фигурирует интегральное условие постоянства полного теплового потока через замкнутую поверхность, ограничивающую рассматриваемую жидкость. (Остальные равные нулю моменты при постановке задачи (3.1) - (3.3) явно не определены, подобно тому, как при задании потенциала единичного монополя Ф = 1/г в электростатике, дипольные, квадрупольные и т.д. моменты точечного заряда считаются нулевыми [61].) Однако при исследовании устойчивости полученного на этом пути решения (3.5) необходимо исключить из спектра рассматриваемых нормальных возмущений те функции, которые определялись бы такими не равными нулю «мультипольными » моментами, как относящимися к совершенно другим задачам. Например, нельзя рассматривать устойчивость решения (3.5) по отношению к функции