Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аналитическая нелинейная теория наката длинных волн на берега узких бухт и каналов 15
1.1. Введение 15
1.2. Преобразование Карриера-Гринспана в одномерной теории наката нелинейных волн на плоский берег 16
1.3 Обобщенное преобразование Карриера-Гринспана для волн в наклонном канале
произвольного сечения 30
1.4. Волны в наклонном канале квази-параболического сечения 37
1.5. Связь линейных и нелинейных решений для расчета характеристик наката 42
1.6. Заключение 46
ГЛАВА 2. Накат длинных одиночных волн различной полярности в наклонном канале прямоугольного сечения 47
2.1. Введение 47
2.2. Накат длинных волн положительной полярности на «составной» откос 49
2.3. Накат длинных волн отрицательной полярности 58
2.4. Заключение 64
ГЛАВА 3. Накат длинных волн в наклонном канале параболического сечения 66
3.1. Введение 66
3.2. Параметризация характеристик наката одиночных волн в канале параболического сечения 68
3.3. Влияние крутизны волны на характеристики наката волны в канале параболического сечения 77
3.4. Заключение 87
ГЛАВА 4. Влияние поперечного сечения канала на характеристики наката волн на берег 90
4.1. Введение 90
4.2. Параметризация характеристик наката одиночных волн в наклоненных каналах различного сечения 92
4.3. Исследование влияния формы поперечного сечения канала на характеристики наката волн 98
4.4. Заключение 101
Основные результаты 102
Список литературы 103
- Преобразование Карриера-Гринспана в одномерной теории наката нелинейных волн на плоский берег
- Накат длинных волн отрицательной полярности
- Влияние крутизны волны на характеристики наката волны в канале параболического сечения
- Параметризация характеристик наката одиночных волн в наклоненных каналах различного сечения
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Определение характеристик наката морских волн на берег представляет собой важную практическую задачу. Эти характеристики в конечном итоге определяют зоны затопления и воздействие на береговые сооружения под воздействием длинных волн, таких как цунами, штормовые нагоны, волны-убийцы. Исследованию процесса наката волн на берег посвящено много работ. Наиболее полно в теории с помощью методов механики сплошных сред исследован случай длинных необрушенных волн, накатывающихся на плоский откос. В пионерской работе Кэрриера и Гринспана [1] было получено аналитическое решение нелинейных уравнений мелкой воды для линейно-изменяющегося профиля дна. Этот подход в дальнейшем получил развитие в серии работ различных авторов (Пелиновский, Мазова, Доценко, Кайстренко, Шерменева, Доброхотов, Knolu, Pedersen, Synolakis, Tinti, Yeh и др.). В этих работах был рассмотрен накат одиночных волн различной формы, а также периодических волн. В результате были получены формулы для оценки максимальной высоты наката волн на берег и максимальной скорости подвижного уреза для конкретных типов падающей волны. Численное моделирование наката длинных волн на берег описано в книгах [2,3] и в серии последующих работ многих авторов. Аналитическая теория наката волн на плоский откос используется для создания быстрых «сквозных» методов численного расчета волн цунами от открытого океана до выхода на берег [4,5]. Другое важное приложение этой теории связано с разработкой схем цунамирайонирования Дальнего Востока России [6]. Наконец, отметим, что она применяется также для объяснения наблюдаемых кратковременных неожиданно возникающих аномально больших заплесков – береговых «волн-убийц» [7].
Известно, что характеристики наката волн в бухтах существенно отличаются от таковых на плоском откосе. Так во время известного сильного цунами 2009 г. на Самоа и Японского цунами 2011 г. цунами распространялось в бухтах U-образной формы, и наблюдаемая высота наката волн в этих бухтах существенно превысила оценки, сделанные по формулам для плоского откоса. Например, при цунами на Самоа максимальная высота наката отличалась от рассчитанной для плоского откоса почти на 2 метра [8]. В то же время в работе [9] показано, что оценки, сделанные с учетом поперечного сечения бухты Паго-Паго, находятся в хорошем совпадении с наблюдениями цунами 2009 г. на Самоа. Канальная теория распространения волн использовалась также в статье [10] для расчетов прохождения цунами через пролив Босфор, разделяющий Черное и Мраморное моря. Отсюда следует необходимость отдельного рассмотрения динамики цунами в таких бухтах. Объединение этих эффектов (геометрической фокусировки внутри
бухты и усиление вблизи берега) может привести к образованию аномально высокого заплеска волны на берег.
Второй важный момент, который в должном объеме не рассматривался ранее, это накат волны отрицательной полярности на берег. Во всех перечисленных работах основное внимание, как правило, уделяется накату одиночных волн положительной полярности (гребней), полагая, что именно они и приводят к большим заплескам волн на берег. Однако, как было показано еще в [11,12], наличие волны отрицательной полярности (впадины) перед основным гребнем может привести к увеличению высоты наката волн на плоский откос - так называемый "эффект N-волны". Эти выводы при прочих равных условиях остаются справедливыми как для волн малой амплитуды, когда справедлива линейная теория, так и для волн большой амплитуды, если последние не обрушаются.
Между тем, нелинейные эффекты проявляются по-разному для волн различной полярности, что продемонстрировано в [13] на примере трансформации волны в канале постоянной глубины в рамках нелинейной теории мелкой воды. Поскольку глубина воды под впадиной уменьшается, то нелинейные эффекты, приводящие к увеличению крутизны волны, проявляются быстрее, чем в случае импульса положительной полярности (гребня). Это должно приводить к разнице в форме волны подходящей к откосу, а не только в ее полярности, и волна отрицательной полярности должна иметь более крутой склон. Накат волн с крутым фронтом (первоначально синусоидальных) на плоский откос изучался в [14], где было показано, что высота наката существенно возрастает с ростом крутизны волны, в то время как дальность отхода волны от берега практически от нее не зависит. Очевидно, что в какой-то мере подобный эффект должен проявляться и при накате волн только одной полярности, если канал является составным, то есть состоит из двух частей, одна из которых наклонена, а ось другой - горизонтальна.
Для приложений также необходимо рассмотреть распространение нескольких семейств колоколообразных волн в бухтах различной формы и исследовать влияние формы сечения бухты на характеристики наката волн цунами. Это позволило бы проводить экспресс-оценки размеров затопляемой зоны в условиях дефицита информации о параметрах волны, подходящей к берегу, и характеристик донного рельефа.
Учитывая, что характеристики наката длинных волн в бухтах имеют решающее значение при расчете береговых укреплений, разработке мероприятий по снижению возможного ущерба от стихийных бедствий, исследование процессов наката длинных волн в каналах является актуальным и практически значимым.
Цели диссертационной работы
Основная цель диссертационной работы – изучение наката длинных волн в наклонных каналах различного поперечного сечения в рамках нелинейной теории мелкой воды. Детально будут исследованы характеристики наката волн в каналах прямоугольного, параболического и треугольного сечений.
Научная новизна результатов работы
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
-
Показаны отличия в накате волн разной полярности в канале прямоугольного сечения, обусловленные нелинейными эффектами. Получено, что волна отрицательной полярности отличается более крутым фронтом на урезе и приводит к большей скорости движения уреза, чем волна положительной полярности.
-
Показано, что симметрия в накате волн различных полярностей в канале произвольного сечения наиболее сильно нарушается, если волна подходит к откосу нелинейно деформированной.
-
Получены параметризованные формулы для экстремальных характеристик наката волн в каналах различного поперечного сечения. Разбросы в коэффициентах этих формул в зависимости от формы подходящей одиночной волны не превышают 15%.
4. Подтверждаются данные наблюдений о том, что экстремальные
характеристики наката в узких каналах больше, чем в широких. Глубина
осушения дна может превышать высоту наката в узких каналах, даже
если подходящая волна имеет только положительную полярность (в
широких каналах выполняется противоположное утверждение).
Положения, выносимые на защиту
-
Отличия в характеристиках наката одиночных волн различной полярности в «составном» канале любого сечения.
-
Значительное увеличение высоты наката нелинейно деформированного импульса по сравнению с накатом симметричного импульса в канале любого сечения.
-
Параметризованные формулы экстремальных характеристик наката волн на берег в параболическом канале, не зависящие от формы подходящей волны.
-
Количественная оценка влияния формы поперечного сечения канала на характеристики наката волн на берег.
Практическая значимость результатов работы
Полученные результаты по исследованию характеристик наката длинных волн в наклонных каналах произвольного сечения могут быть использованы для оценок последствий цунами и других морских природных катастроф в бухтах. Экспресс-оценки максимальных характеристик наката необходимы для своевременного принятия решения об эвакуации населения прибрежной полосы.
Основные научные результаты по теме диссертации получены в рамках
реализации ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным
направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014– 2020 годы» (соглашение № 14.574.21.0089 (уникальный идентификатор соглашения – RFMEFI57414X0089).
Апробация работы
Основные результаты диссертации представлялись на следующих
международных и всероссийских конференциях: Генеральной Ассамблее
Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2015–2016); 12th Int.
Conference on the Mediterranean Coastal Environment (Варна, Болгария, 2015);
IUTAM Symposium on Complexity of Nonlinear Waves, 2014 (Таллин, Эстония,
2014); XXII международной молодежной научно-технической конференции
«Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2014); XXII
Международной научно-технической конференции «Информационные
системы и технологии» ИСТ-2016 (Нижний Новгород, 2016); 24-й
Всероссийской научно-методической конференции по графическим
информационным технологиям и системам «КОГРАФ-2014» (Нижний
Новгород, 2014). Они докладывались также на семинарах НИЛ
«Моделирования природных и техногенных катастроф» кафедры
«Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева.
Результаты, представленные в настоящей диссертации, были отмечены дипломом первой степени 24-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным системам и технологиям «КОГРАФ-2014» (Нижний Новгород, 2014), а также дипломом II степени XIII Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2014).
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации – 113 страниц, включая 32 рисунка и 1 таблицу.
Преобразование Карриера-Гринспана в одномерной теории наката нелинейных волн на плоский берег
Все физические переменные t, х, ] выражаются через функцию следующим образом, и мы опускаем подробности, которые можно найти в оригинальной работе (Carrier & Greenspan, 1958), а также в нашем учебном пособии (Пелиновский и др., 2015): (дФ 1 Г 1 дФ} 1 (дФ -и2- t = — Л , х = ,п = — \—-и2\. (1.2.16) ag{ а да J 2ag{dA 2) 2g{дЛ J Итак, преобразование Карриера-Гринспана позволило свести исходную систему нелинейных уравнений (1.2.1) с переменным коэффициентом к простому линейному волновому уравнению (1.2.15). Его решения можно получить с использованием классических методов математической физики решения волнового уравнения с радиальной симметрией, а затем с помощью алгебраических преобразований (1.2.14) и (1.2.16) найти все физические переменные, описывающие волновое поле.
Обсудим сначала физический смысл переменной . Как видно из (1.2.12) она пропорциональна корню квадратному из полной глубины жидкости, которая всегда положительна. Более того, полная глубина воды в точке подвижного уреза Н = 0, этому соответствует значение = 0. Таким образом, полученное уравнение (1.2.15) решается на фиксированной полуоси 0 , в отличие от исходных уравнений, решаемых в области с заранее неизвестной границей. В этом еще одно преимущество использования преобразования Карриера-Гринспана.
Следует отметить, что аналитически восстановить волновое поле в физических переменных в явном виде после получения решения уравнения (1.2.15) затруднительно в виду неявности всех формул, это удается сделать только в некоторых случаях (Carrier & Greenspan, 1958; Spielfogel, 1975). Однако построение волнового поля численно не вызывает затруднений. При этом компьютер, фактически, нужен только для алгебраических манипуляций, так что достаточно иметь любой вычислительный алгебраический пакет.
Во многих случаях подходящую к берегу волну можно считать линейной вдали от берега. Если не ставить задачу построения полной волновой картины поля во всех точках, а ограничиться колебаниями линии уреза, то преобразования Кэрриера-Гринспана делают это весьма эффективно (Мазова и др., 1987; Pelinosky & Mazova, 1992; Пелиновский, 1996). Продемонстрируем это на следующем примере. Рассмотрим частное гармоническое решение уравнения (1.2.15): ф(а,Л) = А70(1а)со (1Л) (12 17) где А и / - константы, а J0 - функция Бесселя. На большом расстоянии от уреза ( ) функция Ф 0, и волну можно считать линейной. Для такой волны формулы (1.2.14) и (1.2.16) имеют приближенный вид: 1 дФ Л о1 1 дФ иъ , t —, х , 77 (1.2.18) а до ag 4ag 2g дЛ С использованием асимптотического представления функции Бесселя (Градштейн и Рыжик, 1963) для больших значений аргумента волновое поле примет вид: = а{х к sin
С практической точки зрения наибольший интерес представляет величина максимального вертикального заплеска R, который легко связать с горизонтальным заплеском (R = Lmax). Максимальный горизонтальный заплеск найдем, исследовав экстремум функции x(t) в (1.2.22). Опуская выкладки, которые есть в нашем пособии (Пелиновский и др., 2015), приведем формулу для максимального горизонтального заплеска: L = — . (1.2.23) Затем с помощью R = aLmax вычислим максимальную вертикальную высоту заплеска волны на берег. Исключая А, запишем окончательную формулу: — = 2ж Н0 \ , A0= J , (1.2.24) о т где Л0 - длина волны на расстоянии L от берега, где глубина воды равна h0. Для монохроматической волны максимальная величина отката волны от берега равняется максимальной высоте наката.
Обратим внимание, что при вычислении экстремумов в (1.2.22) вторые слагаемые, отвечающие как раз за нелинейность задачи, не дают вклада. Это означает, что максимальное значение для высоты наката в нелинейной задаче (1.2.24) совпадает с соответствующим значением в линейном приближении. Этот вывод представляется очень важным, и мы вернемся к нему в параграфе 1.5. Из полученного решения для колебаний точки уреза легко найти скорость движения уреза M = - lcos(M) 2 , (1.2.25) и максимальную скорость наката (отката) U ZZ max а . (1.2.26) Аналогично вышесказанному, максимальная скорость совпадает с соответствующей скоростью на неподвижном урезе в линейном приближении. Полученная формула имеет ясный смысл вертикальной проекции скорости уреза вдоль откоса. Теперь рассмотрим задачу наката подходящей волны, форма которой произвольна. Уравнение (1.2.15) линейно, поэтому его общее решение представимо суперпозицией решений Фурье (1.2.16): ФМ)={44Л COG \SaJ exp (ia X) ga dco (1.2.27) при этом мы, естественно, накладываем необходимые условия на комплексную функцию А, чтобы волновое поле оставалось действительным.
Аналогично предыдущей задаче, представим ситуацию, когда волна зарождается вдали от уреза и ее можно считать линейной ( ). Полное волновое поле вдали от уреза состоит из суммы этих двух волн. 4«) sgn(«)exp i\cot± sgn(co) J] \ \u(x,t)={l(Tj+j) і \л±=г dm (1.2.28) Когда известна форма падающей волны, спектр А(со) находится из (1.2.28) с использованием обратного преобразования Фурье. Решение (1.2.27) в этом случае станет полностью определенным.
Накат длинных волн отрицательной полярности
Аналитическая теория наката длинных волн на плоский откос, созданная первоначально Карриером и Гринспаном в 1958 году, активно разрабатывалась в последние годы; она описана в первой главе. Особо отметим, что этот же подход оказался эффективным для исследования наката волн на берега узких бухт и каналов, что также обсуждалось в первой главе. При этом в большинстве опубликованных работах основное внимание, как правило, уделяется накату одиночных волн положительной полярности (гребней), полагая, что именно они и приводят к большим заплескам волн на берег. Однако, как было показано еще в (Tadepalli & Synolakis, 1994), наличие волны отрицательной полярности (впадины) перед основным гребнем может привести к увеличению высоты наката волн на плоский откос - так называемый "эффект N-волны". Эти выводы при прочих равных условиях остаются справедливыми как для волн малой амплитуды, когда справедлива линейная теория, так и для волн большой амплитуды, если последние не обрушаются. Накат как положительных, так и отрицательных уединенных обрушенных волн на берег изучался экспериментально в (Kobayashi & Lawrence, 2004) в приложении к вызванному ими транспорту наносов. Теория этого явления не была разработана.
Между тем, нелинейные эффекты проявляются по-разному для волн различной полярности, что продемонстрировано в (Диденкулова и др., 2006а; Пелиновский и Родин, 2011, 2012; Zahibo at al, 2008; Родин и Пелиновский, 2014) на примере трансформации волны в канале постоянной глубины в рамках нелинейной теории мелкой воды. Поскольку глубина воды под впадиной уменьшается, то нелинейные эффекты, приводящие к увеличению крутизны волны, проявляются там быстрее, чем в случае импульса положительной полярности (гребня). Это должно приводить к разнице в форме волны подходящей к откосу, а не только в ее полярности, и волна отрицательной полярности должна иметь более крутой склон. Накат волн с крутым фронтом (первоначально синусоидальных) на плоский откос изучался в (Диденкулова и др., 2006б), где было показано, что высота наката существенно возрастает с ростом крутизны волны, в то время как дальность отхода волны от берега практически от нее не зависит. Очевидно, что в какой-то мере подобный эффект должен проявляться и при накате волн только одной полярности, если канал является составным, то есть состоит из двух частей, одна из которых наклонена, а ось другой - горизонтальна. Именно исследованию этого случая и посвящена данная глава. Канал предполагается прямоугольным, что означает фактически решение одномерной задачи.
Результаты этой главы опубликованы в работе (Д-1): Диденкулова И.И., Пелиновский Е.Н., Диденкулов О.И. Накат длинных уединенных волн различной полярности на плоский откос. Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2014, Т. 50, № 5, 604-611.
Для проведения конкретных расчетов нам необходимо конкретизировать параметры волны и характеристики откоса. Для наглядности здесь и далее будем использовать характерные размеры Большого волнового канала Ганноверского университета Германии, учитывая, что в этом бассейне недавно была выполнена серия экспериментов по накату длинных волн на плоский откос (Denissenko et al, 2013). Канал имеет прямоугольное сечение, длина прямого участка канала 251 м (глубина во время эксперимента 3.5 м), и он заканчивается откосом 1:6 (рис.2.2.1). Такая форма канала типична для многих экспериментальных установок и, фактически позволяет забыть о стенках канала и использовать одномерную теорию мелкой воды. В такой постановке задача рассматривалась многими исследователями, и в конце параграфа мы обсудим отличие наших решений от известных в литературе.
Влияние крутизны волны на характеристики наката волны в канале параболического сечения
Рассмотрим движение длинных волн в линейно наклоненной бухте параболического сечения, форма которой описывается уравнением [-ax + 0\yly0\ , x -L (3.3.1) где h0=aL, a - угол берегового склона (точнее его тангенс), /3 положительный коэффициент, х и у - соответственно продольная и поперечная координаты, L - длина откоса, а у0 - опорная ширина канала. В отличие от предыдущего параграфа канал является составным и состоит из горизонтального канала, соединенного с наклонным каналом (рис. 3.3.1).
Основное отличие здесь в правой части второго уравнения (3.3.2), которое равно нулю в горизонтальном канале и отлично от нуля в наклонной части. Уравнения (3.3.2) представляют собой нелинейную гиперболическую систему уравнений с переменным коэффициентом. На подвижной границе имеет место кинематическое граничное условие H(x,t) = 0, определяющее движение подвижного уреза в ее узкой части. Другое граничное условие ставится далеко от берега, что будет сделано далее. Таким образом, в целом, необходимо решить нелинейную гиперболическую систему уравнений переменными коэффициентами и с неизвестной движущейся границей (урезом) и некоторым полем на входе в бухту, где глубина постоянна.
Отметим, что при накате волн в линейно наклоненной бухте любого сечения в отсутствие участка ровного дна уравнения нелинейной теории мелкой воды (3.3.2) имеют строгое аналитическое решение, получаемое с помощью преобразования Карриера-Гринспана (Rybkin et al, 2014), оно описано в главе 1. Случай бухты параболического сечения отдельно подробно рассмотрен в (Didenkulova & Pelinovsky, 2011b). Именно это и использовалось нами в предыдущем параграфе.
Наличие сшивки линейного склона и участка постоянной глубины вдоль главной оси бухты существенно усложняет задачу, поэтому мы здесь ограничимся асимптотическим решением. Для этого, во-первых, будем считать, что сшивка производится в «линейной» зоне, то есть далеко от берега, где волну можно считать линейной. Во-вторых, будем считать угол линейного откоса вдоль главной оси бухты достаточно малым, чтобы можно было пренебречь отражением от излома. Аналогично тому, как это было сделано во второй главе для канала прямоугольной формы, разделим процесс эволюции волн в бухте параболического сечения на два этапа: этап 1 -нелинейная деформация волн в параболическом канале постоянной глубины (х -L) и этап 2 - накат нелинейно деформированных волн на берег бухты параболического сечения (JC -L). Отдельно рассмотрим эти два этапа. На этапе 1 будем считать волну слабо нелинейной, то есть амплитуда волны на этапе 1 мала по сравнению с глубиной на участке постоянной глубины. Тем не менее, при распространении на большие расстояния нелинейные эффекты в волне могут накопиться и привести к нелинейной деформации формы волны. Нелинейная деформация волн в параболическом канале постоянной глубины (h(x)=h0 = const) на этапе 1 была рассмотрена в статье (Didenkulova & Pelinovsky, 2011b). Кратко воспроизведем основные результаты, полученные в (Didenkulova & Pelinovsky, 2011b), и рассмотрим более подробно случаи распространения периодических и одиночных волн. и описывает форму волны, входящей в бухту. Поскольку мы будем анализировать волны относительно малой амплитуды на ровном шельфе, то в диапазоне относительных амплитуд (-0.1, +0.1) выражение (3.3.4) можно аппроксимировать первыми двумя членами разложения Тейлора, см. рис. 3.3.2.
При распространении римановой волны ее передний фронт становится более крутым, после чего, если канал достаточно протяженный, волна преобразуется в ударную (в рамках теории мелкой воды - в опрокидывающейся бор). Крутизна переднего фронта римановой волны может быть найдена явно из уравнения (3.3.3): dV1(r/0) дгі дx v 0/ dx 1 + (x + x0) dr т = t x + x V(л) (3.3.8) и она стремится к бесконечности на “длине обрушения” (напомним, что об обрушении мы говорим в рамках теории мелкой воды, что означает появление градиентной катастрофы в решении) XR = v. (3.3.9) max { dt ) Максимальная крутизна на профиле волны (3.3.8) достигается в точке на профиле с изначально большой крутизной (dV dt), и может быть выражена простой формулой: дт]л\ s0 s = max\ \ = Р , (3.3.10) {&) х ( + 0) хВг где 5 0 - крутизна начальной волны. Эти выражения справедливы для волны любой амплитуды, не обязательно малой.
Важно отметить, что нелинейная скорость V в точном решении (3.3.3) оказывается отрицательной для впадин большой амплитуды, и критическая полная глубина и амплитуда волны, при которой V = 0, равны
Если использовать приближенную формулу (3.3.7), то критическая амплитуда волны окажется равной rj/h0 = -1/2. Это значение отличается от точного в (3.3.11) на малую величину 1/16, так что, в принципе, приближенным выражением (3.3.7) можно пользоваться в достаточно широком диапазоне изменения высот волн, а не только для малоамплитудных волн.
Параметризация характеристик наката одиночных волн в наклоненных каналах различного сечения
Обсудим формулы и результаты, полученные в предыдущем параграфе. Из табл. 4.2.1 видно, как меняется соотношение между высотой подъема уровня воды на побережье и глубиной осушения дна. При значениях т 2 (в нашем случае речь идет о треугольном канале с т = 1) R_ более чем на 60% превышает R+. В бухте параболического сечения (т = 2) максимальные значения высот наката и глубин отката совпадают. В бухтах с т 2, высота наката все время превышает глубину отката, при этом их отношение (разброс) растет с увеличением т, достигая своего максимального значения при т , когда максимальная высота наката более чем в 2 раза превышает глубину отката. Что же касается максимальных скоростей наката и отката, то их взаиморасположение всегда остается неизменным, в том плане, что максимальные скорости отката всегда больше максимальный скоростей наката, меняется только разброс между их величинами. Так, при уменьшении ш от до 2, разброс между скоростями наката и отката постепенно увеличивается. В частности, при т скорость отката превышает скорость наката на 63%, а при т = 2 - в 2.4 раза. Однако при т= 1 их разница падает до 44%. Все это говорит о принципиальной разнице в волновых режимах между более узкими треугольными и более широкими параболическими бухтами. Эта разница видна и в формулах (4.2.6) для максимальных характеристик наката. Степень в выражениях (4.2.6) равна 1 для 171 = 2, меньше 1 для т 2, и больше 1 для т 2. Это говорит о существенной разнице в коэффициентах усиления волн в этих бухтах. В рамках нелинейной теории наката необрушивающихся волн высота наката и глубина отката пропорциональны амплитуде подходящей к берегу волны, однако зависимость от длительности (длины волны) подходящей к берегу волны, а точнее от отношения расстояния до берега L к длине подходящей к берегу волны Д,, не является линейной. Эта зависимость для бухт различной формы отражена на Рис. 4.3.1 и 4.3.2.
Максимальная глубина отката волн от берега в зависимости от отношения L кА5в бухтах различного сечения: m = 1 (штрих-пунктирная линия), 2 (сплошная линия), 4 (штриховая линия), 10 (точечная линия) и (жирная сплошная линия) Видно, что чем уже бухта, т.е. чем меньше площадь ее поперечного сечения (чем меньше т), тем больше волна в ней усиливается, поэтому наиболее опасными следует считать каналы треугольного сечения (каналы с m 1 вряд ли реализуются в естественных морских условиях).
Скорость наката и отката волн в рамках нелинейной теории наката необрушивающихся волн также связана с амплитудой подходящей к берегу волны линейной зависимостью, в то время как зависимость от периода (длины волны) степенная, где степень является функцией формы поперечного сечения бухты; см. формулу (4.2.6): (3ш + 2) и± АТе/ Г. (4.3.1) В случае треугольного канала эта степень максимальна (по модулю) и равна (5/2), при увеличении параметра т степень монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к значению (3/2) для плоского откоса. Таким образом, в более узких треугольных каналах происходит интенсификация волновых явлений, что выражается в аномальном усилении волн и их скоростей на берегу.
Итак, в рамках нелинейной теории мелкой воды исследован накат нескольких семейств колоколообразных импульсов на берег наклонных бухт с различным поперечным сечением. Получены следующие результаты: - Для каждой бухты проведена параметризация формул для максимальных характеристик наката симметричных волн на берег, и показано, что окончательные формулы не зависят от особенностей формы подходящих к берегу волн. - Проведено сравнение характеристик наката волн в бухтах различного сечения. Показано, что в более узких каналах максимальные высоты волн и соответствующие скорости наката и отката больше, чем в широких. - Исследовано соотношение высот наката и отката в различных каналах. Если при накате уединенной волны в параболической бухте ее высота наката и глубина осушения совпадают, то в более широких бухтах высота наката превышает глубину осушения, а в более узких (таких как треугольный канал), наоборот, глубина осушения превышает высоту наката.