ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В АЭРОДИНАМИКЕ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЛОПАСТИ ВЕТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК Мещеряков Константин Игоревич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзор научной области 12

1.1 Ветроэнергетика 12

1.2 Методы исследования характеристик лопасти ВЭУ 15

1.3 Генетические алгоритмы. Краткий обзор 26

1.4 Оптимизация лопастей ветроустановок 28

Глава 2. Применение генетического алгоритма к оптимизации геометрии лопасти ветроустановки с заданным сечением лопасти 33

2.1 Введение 33

2.2 Реализация генетического алгоритма 33

2.3 Целевая функция, основанная на элементной теории 37

2.4 Целевая функция, основанная на граничном интегральном уравнении 46

2.5 Заключение 60

Глава 3. Исследование влияния геометрии задней кромки крылового профиля на его аэродинамические характеристики 61

3.1 Введение 61

3.2 Цели главы 64

3.3 Предыдущие работы 65

3.4 Применяемые геометрические преобразования задней кромки лопасти 66

3.5 Построение конечно-элементной сетки 67

3.6 Численное решение 69

3.7 Автоматизация процесса 71

3.8 Проверка корректности 74

3.9 Результаты 74

3.9.1 Wortmann FX 63-137 76

3.9.2 NACA 23024 79

3.9.3 Clark Y 3.10 Использование полученных данных при оптимизации геометрии 80

3.11 Заключение 83

Глава 4. Метод двумерных интегральных уравнений в трехмерной аэродинамической теории вращающейся лопасти 84

4.1 Введение 84

4.2 Формулировка задачи 86

4.3 Приближенная теория лопасти 88

4.4 Точная теория лопасти 94

4.5 Численная схема 103

4.6 Заключение 110

Заключение 112

Список литературы

• Методы исследования характеристик лопасти ВЭУ
• Целевая функция, основанная на граничном интегральном уравнении
• Применяемые геометрические преобразования задней кромки лопасти
• Приближенная теория лопасти

Введение к работе

Актуальность темы. В настоящее время, в связи с потенциальной ограниченностью запасов традиционного топлива, высок интерес к возобновляемым источникам энергии, таким, как геотермальная энергия, солнечная энергия и энергия ветра. Так, в Европе в среднем более, чем четверть вырабатываемой энергиипоставляется извозобновляемых источников. Большая часть этой энергии поступает из гидроэлектростанций, однако объем электроэнергии, извлекаемой из атмосферных потоков воздуха вплотную приближается, а в некоторых случаях (к примеру, в случае Германии) и превосходит объем гидроэлектроэнергии. Кроме того, стоимость одного кВтч. энергии ветра неукоснительно снижается, и, как ожидается, к 2020 г. окажется ниже стоимости ядерной энергии и энергии угольных электростанций.

Согласно известному закону Бетца, максимальная энергоэффективность горизонтально-осевой ВЭУ, т.е. максимальная доля энергии ветра, которая может быть извлечена, составляет примерно 0.59. Однако, лучшие экземпляры ВЭУ, существующие на сегодняшний день, могут достигнуть энергоэффективности от 0.45 до 0.5. Таким образом, важна дальнейшая оптимизация составных частей ВЭУ, в первую очередь лопастей.

Целью данной работы является построение эффективного алгоритма оптимизации лопастей ВЭУ, с помощью которого можно провести мультикри-териальную оптимизацию лопастей для заданных режимов работы и исследование факторов, способных улучшить аэродинамические характеристики ВЭУ.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать эффективный генетический алгоритм (ГА), позволяющий провести оптимизацию лопасти ВЭУ при заданных режимах работы.

2. Провести проверку разработанного ГА, используя классические теории расчета аэродинамических характеристик лопасти.

3. Разработать программный комплекс, позволяющий получать данные о аэродинамических характеристиках крыловых профилей, используемых в основе лопастей ВЭУ на основе данных об их геометрии для различных режимов обтекания, которые используются в используемых в ГА классических теориях.

4. Исследовать влияние на характеристики лопасти некоторых геометрических преобразований задней кромки, которые могут иметь место при производстве реальной лопасти.

5. Вывести двумерное интегральное уравнение трехмерной аэродинамической теории вращающейся лопасти ВЭУ и разработать эффективный алгоритм его решения.

6. Разработать вычислительно-эффективный математический аппарат, который может быть использован для разработки целевой функции ГА.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Двумерные граничные интегральные уравнения, позволяющие провести расчет характеристик тонких лопастей, не требуя покрытия вихревого следа расчетной сеткой, что уменьшает время работы алгоритмов, основанных на них по сравнению с методами конечных элементов, конечных объемов и граничных интегральных уравнений, требующих проведения расчета по вихревому следу.

2. Программный комплекс для получения значения коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления на основе геометрии лопасти.

3. Анализ влияния изменения геометрии задней кромки лопасти на ее аэродинамические характеристики.

4. Реализация генетического алгоритма, способная быстро провести многоцелевую оптимизацию лопасти ВЭУ, не требуя знания градиента целевой функции и обладающая высокой вероятностью достижения глобального оптимума.

Научная новизна:

5. Была выполнена оригинальная реализация метода ГА для нужд оптимизации лопасти ВЭУ.

6. Было проведено оригинальное исследование влияния преобразований задней кромки аэродинамического профиля на его аэродинамические характеристики.

7. Была выполнена оригинальная разработка комплекса программ, позволяющих получать данные об аэродинамических характеристиках крыловых профилей.

4. Впервые было получено двумерное граничное интегральное уравнение (ГИУ), позволяющее в трехмерной аэродинамической теории рассчитывать характеристики лопасти ВЭУ, которое выполняется только по поверхности лопасти.

Методика исследования основывается на использовании научных положений гидромеханики, аэродинамики, теоретической механики, применении интегрального преобразования Фурье, плоской и трехмерной аэродинамической теории крыла, а также применения методов математического моделирования на ЭВМ, а также методов вычислительной математики.

Практическая значимость Результаты, полученные в диссертации, носят как практический, так и теоретический характер. Представленные реализации ГА и комплекса программ для получения данных о аэродинамических характеристиках лопасти ВЭУ могут быть использованы при проектировании реальных лопастей. Полученное в 4 главе ГИУ может быть использовано при расчетах лопастей, и, кроме того, может являться основой для дальнейших теоретических исследований.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим аппаратом, основанном на точных уравнениях гидродинамики и аэродинамики, сравнением с результатами численных экспериментов, проведенных с помощью реализации метода конечных объемов, предоставляемой пакетом ANSYS. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

8. международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». (Ростов-на-Дону, 2010);

9. международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». (Ростов-на-Дону, 2012);

10. международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — III». (Ростов-на-Дону, 2013);

11. международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». (Ростов-на-Дону, 2014);

5. международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения – V». (Ростов-на-Дону, 2015);

6. международная конференция «Актуальные проблемы м.с.с.». (Цах-кадзор, Армения, 2012);

7. научный семинар кафедры теоретической и компьютерной гидроаэродинамики института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный Федеральный Университет. (Ростов-на-Дону, 2016);

Личный вклад. Исследования, изложенные в диссертации, выполнены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в работу включен материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками. В работе [1] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Бондарчуку А. А. принадлежат расчеты характеристик профиля с помощью метода конечных элементов, Мещерякову К. И. принадлежит оптимизация геометрии лопасти с помощью ГА. В работе [2] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Мещерякову К. И. принадлежит оптимизация геометрии лопасти с помощью ГА. В работе [3] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Мещерякову К. И. принадлежат написание комплекса программ для автоматизации выполнения расчетов характеристик аэродинамического профиля, расчеты и сравнение. В работе [4] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Бондарчуку А. А. принадлежат расчеты характеристик тонкого профиля с помощью метода конечных элементов, Мещерякову К. И. принадлежит создание программы для расчетов с помощью ГИУ. В работе [6] Бондарчуку А. А. принадлежат постановка задачи, Мещерякову К. И. принадлежит реализация численного алгоритма. В работе [8] Бондарчуку А. А. принадлежат постановка задачи, Мещерякову К. И. принадлежит оптимизация геометрии лопасти с помощью ГА. В работе [9] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Мещерякову К. И. принадлежит реализация численного алгоритма. В работе [11] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Мещерякову К. И. принадлежит реализация численного алгоритма.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях, 4 из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий ВАК ([1-4]).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации 142 страницы с30 рисунками и6 таблицами. Список литературы содержит 124 наименования.

Методы исследования характеристик лопасти ВЭУ

Ветроэнергетика является одной из отраслей энергетики, которая специализируется на извлечении энергии движущихся воздушных масс в атмосфере. В отличие от традиционных источников энергии, таких, как уголь, нефть и газ, энергия ветра практически неиссякаема, поскольку изначальным источником энергии, также как и в случаях устоявшейся области гидроэнергетики и активно развивающейся области солнечной энергетики, является Солнце.

Использование подобных «альтернативных» источников энергии представляет большой интерес по множеству причин. Одной, и пожалуй, основной такой причиной является стремление государств, ограниченных в ресурсах, к энергетической независимости. К примеру, во время Второй мировой войны Дания оказалась отрезанной от поставок ископаемого топлива, однако широкое распространение ветроэнергетический установок позволило ей избежать энергетического коллапса [1]. Другим примером является бурный всплеск интереса к альтернативной энергии во время и после энергетического кризиса 1973 г., когда по политическим причинам страны, входящие в организацию ОПЕК, остановили поставку нефти в США и другие западные страны, что привело к увеличению цен на нефть в 4 раза [2].

Стоит отметить, что ветроэнергетика, как и солнечная энергетика, приносит энергетическую независимость не только государствам, но и частным лицам. Здесь история сделала свойственный ей поворот. До начала XX века энергия ветра (если не считать использование парусов для исследовательских, торговых и военных нужд), чаще всего использовалась крестьянами и промышленниками. Мельницы, используемые ими, прошли огромный путь со своего появления в VII веке н.э. [3]. Начав свое существование с довольно простых конструкций с вертикальной осью вращения, использованных в Персии, за 13 веков они подверглись множеству инженерных улучшений, и к XX веку они представляли собой сложные устройства с довольно эффективными с точки аэродинамики лопастями, хитро 13

умными системами контроля скорости вращения и автоматической подстройкой под направление ветра. Использовали их для множества задач от помола зерна до пилки бревен и осушения затопленных участков земли. В начале XX века в одних только США насчитывалось более 500 000 мельниц[4].

Несмотря на широкое распространение, мельницы обладали и множеством недостатков. Являясь, по сути, генераторами механической энергии, они являлись зависимыми от погодных условий. Кроме того, невозможность передачи такой энергии на расстояние значительно усложняло логистику, заставляя использующих эти мельницы привозить сырье непосредственно к ним. Эти недостатки оказались по сути фатальными для мельниц, и, когда появились центральные системы энергоснабжения, их использование постепенно сошло на нет.

Появление ветроэнергетических турбин и развитие аккумуляторных батарей позволило побороть эти недостатки, однако методы получения электроэнергии путем сжигания ископаемого топлива были на то время значительно более эффективны, поэтому на протяжении всего XX века ветроэнергетика играла третьестепенную роль.

К началуXXI века, однако, эффективность ветроустановок значительно возросла, и на рынке появилось множество ветротурбин малого размера, предназначенных для потребительского сегмента, мощностью от одного до нескольких сотен кВт [5].

Увеличение эффективности привело к значительному снижению стоимости энергии, вырабатываемой с помощью ветроэнергетических установок. Согласно отчету US Energy Information administration, к 2020 году нормализованная стоимость одного МВтч. энергии, полученной на наземных ветротурбинах, превзойдет таковую от угольных турбин и ядерных станций (рис. 1.1).

Еще одним важным аргументом в пользу ветроэнергетики, как следствие ее неиссякаемости, является то, что она не потеряет актуальности. В отличие от случая ископаемого топлива, которое, по многим оценкам, может иссякнуть уже в текущем столетии, инвестиции в ветроэнергетику будут обладать долгосрочным эффектом.

Кроме того, ветроэнергетика является экологичным способом добычи энергии. Хотя она и не исключает полностью выброс CO2 в атмосферу, она позволяет значительно его сократить. Так, получение 1 кВтч энергии с помощью тради Гидроэнергия ционных турбин внутреннего сгорания ведет к выбросу в среднем 654 г. CO2, в то время, как среднее значение для ветротурбин — 10 г. [6]. Кроме того, использование ветроэнергетики значительно снижает нагрузку на водные ресурсы. Газовые электростанции требуют для выработки 1 МВтч около 0,7 м3 воды, ядерные реакторы — 2,7 м3, в то время, как ветроустановки, не нуждаясь в активном охлаждении, практически не потребляют воду [7].

Есть у ветроэнергетики и недостатки. Основным является необходимость выделения огромных площадей для установки ветряных ферм. Ферма мощностью в 1 МВт занимает в среднем 0,63 км2 (что дает удельную мощность примерно равную 1,5 МВт/км2) [8], что значительно больше, к примеру, площади, занимаемой газовыми электростанциями (1000 МВт/км2)[9]. Этот недостаток несколько нивелируется тем, что под сами ветроустановки отводится около 1% от этой площади, остальное пространство может быть использовано для сельскохозяйственных угодий.

Несмотря на это, количество ежегодно устанавливаемых ветроустановок растет ускоряющимися темпами [10] (рис. 1.2). В Европе доля энергии ветра в общей добываемой энергии в 2015 г. составила 15,6%, сравнявшись с долей энергии, добываемой с помощью гидроэлектростанций (15,5 %), и догоняя угольные (17,5%) и газовые (21,1 %) электростанции[11].

Целевая функция, основанная на граничном интегральном уравнении

Для реализации генетического алгоритма был использован язык C++. Генетический алгоритм был реализован в виде шаблонного класса, принимающего в роли шаблонных параметров тип гена T, класс, реализующий целевую функцию Function, размерность типов генов N1, количество генов каждого из типов N2, и класс, проверяющий особь на жизнеспособность FunctionVаlidator.

Представленный алгоритм разработан для решения задач, в которых гены представляют собой числа с вещественной плавающей точкой. Существуют два основных типа кодирования таких генов: бинарное представление и вещественное кодирование [71; 72]. Тип кодирования важен не сам по себе (поскольку вещественные числа в памяти ЭВМ представляются в бинарном виде независимо от реального типа гена), но он оказывает влияние на применяемые операции мутации и рекомбинации.

Бинарное представление считается классическим при разработке ГА. При его использовании гены кодируются в виде некоторой битовой строки. При этом операция мутации заключается в переключении состояния нескольких битов этой строки, а операция рекомбинации — в обмене участками строк особей-родителей, причем существует несколько способов определения, какие именно участки используются в обмене. Недостатком бинарного кодирования является то, что расстояние Хэмминга (число позиций, различающихся между соседними значениями), не является постоянным (так, расстояние Хэмминга между числами 7 и 8 равняется 4, а между 8 и 9 — 1). Это приводит к неоднородностям при мутации (сложность контроля силы мутации) и скрещивании (особь не обладает признаками родителей). Для преодоления этого недостатка используется кодирование Грея [73], при котором расстояние Хэмминга между двумя соседними значениями всегда равно 1 [74].

При вещественном кодировании генотип кодируется «как есть». В этом случае, используются операции мутации и рекомбинация, учитывающие свойства типов генов, которые значительно проще контролировать. Настоящий алгоритм использует именно вещественное кодирования, и операции, основанные на нем, однако, возможно использование и бинарного кодирования, для чего потребуется создать производный класс генетического алгоритма и переопределить операции мутации и рекомбинации.

Класс целевой функции Function должен предоставлять две операции: eval и compare, и структуру Eval. Операция eval является целевой функцией, которая принимает в качестве входных данных особь и возвращает структуру типа Eval, содержащую значения свойств особи. Операция compare используется для сравнения двух особей на приспособленность и использует в качестве входных данных две структуры Eval, соответствующие сравниваемым особям, и возвращает -1, в случае, если первая особь более приспособлена, чем вторая, 0 в случае одинаковой приспособленности, и 1 в случае, когда вторая особь более приспособлена, чем первая. В простейшем случае однокритериальной оптимизации операция compare сравнивает значения, полученные при выполнении eval, в случае многокритериальной оптимизации такое решение позволяет назначать весовые коэффициенты различным свойствам особей, либо использовать критерий Парето[75].

Генотип особи представляется в виде матрицы размерности N1 N2, в которых N1 представляет собой количество типов генов, N2 — количество генов каждого типа. Такой подход позволяет разделить различные типы генов при оценке особей на жизнеспособность и выводе результата.

Для генерации особей, удовлетворяющих минимальным критериям, определяющим жизнеспособность особи,в представленнойреализации генетического алгоритма, используется класс FunctionVаlidator, предоставляющий следующие функции: expected_maximum(i) — максимальное возможное значение гена с порядковым номером k, expected_minimum(i) — минимальное возможное значение гена с порядковым номером i и validate(s), проверяющая особь на жизнеспособность в целом. Необходимость передачи этих трех функций связана с тем, что для эффективной генерации особи требуется ограничивать возможные значения каждого из ее генов, что обеспечивается функциями expected_maximum иexpected_minimum,однако,поскольку жизнеспособность особи не всегда определяется только соответствием ее генов наложенным на них ограничениям, а поэтому требуется возможность оценить ее в целом, для чего используется функция validate.

Поскольку генетические алгоритмы относятся к стохастическим методам, они не гарантируют сходимость к глобальному экстремуму, хотя и обеспечивают более высокую вероятность такой сходимости, чем классические алгоритмы оптимизации на определенных типах задач. Поскольку проверить, был ли достигнут глобальный экстремум, не является возможным, проводится сравнение нескольких выполнений ГА с различными начальными популяциями. Схожесть результатов указывает на высокую вероятность достижения глобального экстремума.

Генерация начальной популяции В качестве начальной популяции случайным образом генерируются некоторое, задаваемое при инициализации количество особей, выступающее в роли размера популяции, таким образом, чтобы значение каждого из их генов лежало в интервале [expected_minimum(i), expected_maximum(i)],иособь была жизнеспособна.После этогоособи сортируются по их приспособленности с помощью операции compare класса целевой функции.

Отбор В качестве операции отбора использовалась стратегия элитизма. Эта стратегия заключается в том, что некоторое количество наиболее приспособленных особей, задаваемое при инициализации ГА, переходит в следующее поколение, не изменяясь. [76] Подобный подход не допускает ухудшения качества популяции. В данной работе количество сохраняемых особей задается в виде доли общего размера популяции ре.

Применяемые геометрические преобразования задней кромки лопасти

Для автоматического получения результатов, основываясь на заданной геометрии лопасти, был создан комплекс утилит, объединяемых в конвейерную структуру, каждый шаг которого может выполняться автономно, при условии, что имеются в наличии результаты предыдущего шага.

На шаге применения геометрических преобразований используются данные о геометрии профиля, полученные из открытых источников. Для применения преобразований используется код на интерпретируемом языке программирования Octave. Особенностью этого кода является легкость добавления новых типов изменения геометрии профиля и возможность экспорта данных о геометрии полученных профилей в форматы файлов, читаемые пакетами построения сеток ANSYS ICEM CFD и GMsh [103] (поддерживается построение сетки дву- и трехмерных постановок задачи).

На шаге определения толщины прилегающих к профилю ячеек используется вспомогательный код для ее расчета. Код принимает на вход число Рейнольдса Re, характерный размер L, динамическую вязкость г], плотность р и требуемое число у+.

Результаты работы предыдущих шагов передаются в пакет построения расчетной конечно-элементной сетки. Построение сетки производилось с помощью пакета ANSYSICEM CFD. Данный пакет позволяет создавать структурированные и неструктурированные сетки высокого качества, и экспортировать их в форматы большинства популярных пакетов конечно-элементных методов. Для автоматизации построения сетки использовалась возможность пакета принимать в качестве входных данных для построения файлы журналов, описывающих требуемые для построения, оптимизации и экспорта полученной сетки действия. Файлы журналов генерируются из шаблонов, в которые автоматически включаются необходимые для построения данные, такие, как уа, Re и данные о местоположении файлов геометрии и выходных файлов. Использование такого подхода позволяет переопределить процедуры построения сетки для определенных типов изменения геометрии путем указания альтернативного файла журнала (так, это потребовалось для профилей типа Тип-2, поскольку было необходимо учитывать получившуюся в результате утолщения затупленную заднюю часть лопасти).

Полученные на предыдущем этапе файлы, содержащие расчетную сетку передавались для расчета в пакет ANSYS Fluent, использующий метод конечных объемов и позволяющий моделировать широкий спектр течений жидкостей и газов для множества задач. Как и на предыдущем шаге, для автоматизации решения использовались файлы журналов, позволяющие использовать язык Scheme. Использование полноценного языка программирования позволило проводить за один проход серию расчетов для различных углов атаки, используя данные, полученные в результате расчета для инициализации среды на следующем шаге, что позволило значительно сократить количество итераций, требуемое для сходимости. На рис. 3.6 изображены значения невязок при расчете профиля Clark V при Re = 106 для серии аатаки Є [-25,25]. Пики на графике отвечают достижению сходимости и началу расчета для следующего угла атаки. Видно, что в некоторых случаях подобная инициализация позволяет сократить время расчета более, чем на порядок.

Результаты расчета экспортируются в файлы, читаемые пакетом ANSYS CFD-Post, позволяющим производить постобработку и обладающим широкими возможностями визуализации и численного анализа. Используя шаблон, описывающий требуемые типы визуализации и анализа, для каждой комбинации типа лопасти, Re и аатаки строятся визуализации распределения давления, линий тока Рисунок 3.6 — Значение невязок при расчете для серии углов атаки. и вычисляются значения компонент полной аэродинамической силы R и момента силы М, действующих на профиль.

Наконец на этапе сбора, значения R и М для различных типов профилей, Re и аатаки собираются в единую таблицу, пригодную для дальнейшего анализа и обработки с помощью специализированных инструментов обработки данных.

Несмотря на то, что каждый этап зависит от результатов предыдущего, рассматриваемая задача хорошо поддается распараллеливанию. Так, расчеты для разных типов профилей и чисел Re не зависят друг от друга, и могут выполняться одновременно. Поскольку, как указано выше, инициализация области для расчета метода конечных объемов значениями расчета для предыдущего «атаки, распараллеливание по углу «атаки менее эффективно, но возможно путем разбиение диапазона рассматриваемых аатаки на несколько независимых диапазонов. Для удобства и гибкости распараллеливания был создан интерфейс командной строки, позволяющий указать диапазоны Re, аатаки и выбрать тип профиля. Таким образом, возможно эффективное распараллеливание задачи либо вручную (запуская несколько процессов с различными параметрами), либо с помощью некоторого внешнего менеджера, управляющего запуском и контролем. Кроме того, благодаря тому, что различные экземпляры процессов не обладают общими данными, этапы построения сетки, непосредственно расчета и постобработки могут выполняться на вычислительном кластере.

Приближенная теория лопасти

Удовлетворяя граничному условию (4.6), получим следующее основное двумерное интегральное уравнение (где (г,в) Є S): hllACm hdyi = т и гауст+" (4.12) s Очевидно, что неизвестная функция -/(у), которая определяется из (4.12), связана с разницей аэродинамического давления между левой и правой сторонами поверхности лопасти. Действительно, из (4.5) следует, что +\"\вв lf) РМ( 7_- 7+) = -РМ7, Р--Р+=Р - Р+ = р\и\ fm (4.13) поскольку функция v\ непрерывна при переходе через лопасть, что следует из граничного условия (4.6).

Полученное интегральное уравнение (4.12) является аналогом интегрального уравнения тонкой несущей поверхности, модифицированного для случая вращающейся лопасти. Разница состоит в том, что уравнение (4.1) является точным, т.е. полученным без использования каких-либо приближений, в то время, как (4.12), является асимптотически верным только в случае высокой быстроходности. Более значительная разница состоит в том, что правая часть уравнения (4.1) является определенной функцией, но правая часть уравнения (4.12) содержит значение дір (0,г,в0) /дх1, т.е. аксиальную компоненту вектора скорости в некоторой точке поверхности вращения х1 = 0 вне области S, занятой лопастью, значение которой обычно неизвестно. При выводе классического уравнения несущей поверхности (4.1), аналогичный член также возникает, но вне крыла S точка наблюдения может быть перемещена на бесконечность вверх по потоку, где этот член исчезает в силу условия отсутствия возмущений. В рассматриваемой задаче дополнительный неизвестный член возникает при интегрировании уравнения (4.9) по переменной в, и может быть сделан малым, но не нулевым в некоторой точке плоскости вращения х1 = 0 впереди лопасти, к примеру при в0 = 7г/2 или в0 = 7Г, см. рис. 4.1 и 4.2.

Тем не менее, детальное исследование показывает, что все полученные выражения являются корректными с физической точки зрения. Проверим, для примера, асимптотическое поведение решения в дальней зоне, вверх и вниз по течению. Физически, потенциал скорости р должен исчезать далеко вверх по течению О1 - -ос), поскольку в этой области нет возмущений. С другой стороны, в связи с наличием вихревого следа, возмущение не затухает вниз по потоку при х1 — оо. Однако, очевидно с физической точки зрения, что разница p {x1r,e0)-p {x1r,e), затухает при х1 -л ±оо для любого фиксированного г, как вверх, так и вниз по течению.

Проверим, что перечисленные свойства выполняются для интеграла в уравнении (4.10). Для этого, вычислим в нем внутренний интеграл, значение которого приведено в [83]: \т-ф\ I x2+r2 + fi2 + 2Г/І 2 у rr2+r2+/i2-2r/icos(r-V0 Поскольку для больших значений х1 асимптотически выполняется, что ( \т -ф\/2, и так как эллиптический интеграл второго рода, функция((,;), равномерно ограничена для всех непрерывных значений обоих ее аргументов, то выражение (4.10) при х1 — ±оо асимптотически эквивалентно выражению: ,(а:і,гА)-,(а:і,г,в) х т.е. такому же асимптотическому поведению, какое наблюдается в классической теории несущей поверхности [114], что и требовалось доказать.

Полученное интегральное уравнение выполняется только для случая, когда лопасть является тонкой закрученной пластиной. Однако, в классической теории крыла показано (см. также параграф 3.1), что в случае крыла, основанного на настоящем аэродинамическом профиле, наиболее сложным является исследование тонкой несущей поверхности, состоящей из средних линий профилей сечений крыла, поскольку математически такая проблема сводится к сложной краевой задаче со смешанными граничными условиями. В этом случае потенциал скорости является нечетным, и смешанная краевая задача может быть сведена к интегральному уравнению. В общем случае, когда сечения крыла представляют собой аэродинамический профиль, возникает дополнительная задача для четного потенциала скорости, которая сводится к простой краевой задаче Неймана в полупространстве (т.е. отсутствуют смешанные граничные условия), решение которой может быть с легкостью выражено в явной форме через некоторые простые интегралы. Аналогичные математические идеи применяются и в теории вращающейся лопасти. В этом смысле предложенная здесь теория имеет дело с ключевым случаем тонкой лопасти, сведенной к интегральному уравнению (4.12), в то время, как влияние толщины профиля может быть легко учтено без использования какого-либо интегрального уравнения. 4.4 Точная теория лопасти

Из рассуждений, которые были приведены в предыдущем разделе, имеем, что р является непрерывной функцией во всей жидкости, за исключением области S. Поскольку возмущенное аэродинамическое давление р = р — ро , то оно также непрерывно. Следовательно, из основной теоремы теории потенциала следует, что: (4.16) р (х) = // У (у) Sext где S является произвольной замкнутой поверхность, внешней относительное, функция G (у,х) — функция Грина для уравнения Лапласа в безграничном пространстве,