Введение к работе
Актуальность темы. Развитие теории ламинарно-турбулентно-го перехода в последние два десятилетия тесно связано с предположением о тоы, что появление случайности в движении жидкости с ростом числа Рейнольдса, на начальной стадии этого процесса, может быть интерпретировано как возникновение слоиной динамики в некоторой конечномерной еистеые с изменением ее параметров.
Долгое время представления о развитии турбулентности ограничивались гипотезой Ландау, который предположил, что сплошной турбулентный спектр появляется в результате бесконечного числа бифуркаций Андронова-Хопфа, приводящих к возбуждению все новых степеней свободы. Вместе с тем в математической теории динамических систем были найдены примеры еовсеы простых конечномер — ных моделей, демонстрирующих поведение стохастическое в стро -гоы смысле.
Экспериментальные исследования колебаний на стадии их возникновения в конвекции Бенара-Рэяея и в цилиндрическом течении Куэтта-Тейлора показали, что эволщия спектров мощности с ростом надкритичности скорее подтверждает применимость конечномерных моделей, чем справедливость гипотезы Ландау. При этом было просто констатировано подобие поведения спектров колебаний реальных течений и того поведения спектров, которое ожидалось в изученном Реален и Такенсом фазовом потоке на четырехмерном торе.
Это сделало актуальной задачу построения реалистических ^моделей ламинарно-турбулентного перехода в конкретных течениях. Обычный способ конечномерного описания течений аядкости состоит в обрезании рядов Галеркина, в виде которых ищется решение. Принципиально иной - феноменологический - способ был предложен в работе [Ю] . Анализ экспериментальных данных показал, что колебания в цепочке вихрей Тейлора, наблюдавшихся при некото -рых геометрических параметрах зазора ыеяду цилиндрами, запол -ненного жидкостью, можно моделировать цепочкой обыкновенных . дифференциальных уравнений, б которой переменными являются амплитуды колебаний в отдельно взятой паре вихрей. Сформулированная в работе [ю] система уравнений оказалась дискретным аналогом уравнения Гинзбурга-Ландау.
В связи с применением конечномерных представлений при описании ламинарно-турбулентного перехода, были развиты методы -определения размерностей аттракторов реальных течений непосредственно по результатам экспериментов. Естественно потребовать, чтобы число уравнений, использованных для моделирования ламинарно-турбулентного перехода в конкретном эксперименте существенно превосходило размерность аттрактора реального течения.
Цель диссертации состояла в детальном исследовании свойетв дискретного аналога уравнения Гинзбурга-Ландау, выяснении ограничений на параметры системы уравнений, при которых возможно сложное поведение решений, подобное поведение реального конкретного течения Куэтта-Тейлора и в развитии методов определения числа переменных, необходимых для однозначного определения динамического состояния этого течения.
Научная новизна. В работе изучена симметрия цепочки уравнений конечной длины. По результатам численных экспериментов с учетом симметрии построена диаграмма бифуркаций, демонстрирующая сложное поведение системы. Дія цепочки бесконечной длины найдена точные условия на значения параметров, при которых возможны сложные стохастические решения система уравнений. Предложена целочисленная характеристика - размерность вложения - и эффективный способ её определения по результатам измерений.Проанализированы ограничения на минимальную длину временных рядов измеряемых величин, необходимую для достоверного определения фрактальных и целочисленных размерностей.
Научная ценность. Показано, что поведение решений простой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой течение жидкости в области ламинарно-турбулентного перехода описывается как динамика ансамбля слабо взаимодействующих пар вихрей Тейлора, не только находится в качественном согласии с поведением реального течения, но и позволяет предсказывать некоторые его свойства. Это показывает эффективность феноменологического подхода. Как показало дальнейшее развитие, сама система уравнений является довольно универсальной моделью теории ансамблей взаимодействующих структур.
Предложенный алгоритм определения числа переменных, достаточного для однозначного описания сплошной среды, универсален н
_ 4 -
может применяться при исследовании динамики сплошной среды в неравновесных условиях в гидродинамике, химии, биологии, физике лазеров, физике магнитных осцилляции и т.д.
Автор выносит на защиту. I. Изучение глобального притяжения и симметрии решений в цепочке уравнений, использованных для моделирования колебаний в цилиндрическом течении Куэтта -Тейлора.
-
Результаты численного эксперимента по построению диаграммы бифуркаций для цепочки из пятнадцати уравнений.
-
Результаты по определении области значений параметров, входящих в уравнения, при которых в бесконечной цепочке возможны сложные режимы движения.
-
Алгоритм измерения размерности влохения.
-
Оценку длины экспериментальной реализации, необходимой для измерения фрактальных размерностей.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1985 г.), Втором ILL ТАМ симпозиуме по лаыинарно -турбулентному переходу (Новосибирск, 1984 г.), на Международ-ных рабочих группах по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1983 г., 198Э г.), на Всесоюзных школах по нелинейным волнам (Горький, 1982 г., 1985 г.), на Всесоюзных шко -лах по стохастический явлениям (Саратов, 1985 г., 1982 г.).
По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ. .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Содержит 23 рисунка, одну таблицу, а также список литературы из 55 наименований. Всего 102 страни- ' цы.