Введение к работе
Актуальность темы. Задачи об ударном взаимодействии тел с жидкостью, о свободных колебаниях вращающейся жидкости и о распространении волн в вязкой жидкости являются классическими. Их изучение стимулируется как потребностями практики, так и внутренней логикой развития науки. Большой интерес в настоящее время вызывают такие вопросы, как определение присоединённых масс тела и исследование явления отрыва при ударе, структура и асимптотика спектра операторов, связанных с задачами гидродинамики, асимптотическое исследование волновых процессов.
Наиболее полное исследование ряда проблем представляется возможным в предположении о малости глубины жидкости. В связи с этим рассматриваются следующие аналоги перечисленных задач для жидкости малой глубины: (і) задача об ударе по плоскому телу, плавающему на поверхности тонкого слоя идеальной несжимаемой жидкости, (іі) спектральная задача для приливных уравнений Лапласа на компактной поверхности с краем или без, (iii) задача о построении асимптотики фундаментального решения уравнения распространения возмущений в вязкой среде в размерностях 1 и 2.
На практике теория удара используется, например, при расчёте приводнения летательных аппаратов, сбрасывании на воду регистрационных буев и авиабомб. Основы теории удара тела о жидкость были заложены в работах Н.Е. Жуковского, Л.И. Седова, М.В. Келдыша. Ряд задач пространственной теории удара изучен в статьях И.И. Воровича, В.И. Юдовича, Э.Л. Блоха, B.C. Сабанеева, Н.М. и Ф.Н. Бородачёвых, Л.С. Ворович, В.В. Попова, М.И. Чебакова, Н.А. Веклича, М.В. Норкина и других авторов.
Исследование приливов представляет интерес для навигации, рыболовства, климатологии, электроэнергетики. Для сбора информации о приливах в настоящее время активно привлекаются спутниковые системы. Значительный вклад в изучение приливных уравнений Лапласа (Laplace, 1775) внесли Кельвин, S.S. Hough, А. Пуанкаре, Л. Рэлей, Г.Ламб, Л.Н. Сретенский, П.Я. Полубаринова-Кочина, M.S. Longuet-Higgins, Л.А. Дикий, В.М. Каменкович, Г.И. Марчук, Б.А. Кагап и многие другие учёные.
Следует отметить, что большинство работ по теории удара и спектральной задаче теории приливов посвящены изучению частных случаев. В связи с этим актуальным является выделение классов задач,
-4.-
допускающих эффективное решение или качественное исследование.
Важнейшей предпосылкой данной работы является наличие большого числа публикаций, относящихся к рассматриваемым вопросам, а также имеющийся в настоящее время адекватный математический аппарат: теория эллиптических задач в областях с кусочно-гладкой границей (В.А. Кондратьев, 1967, С.А. Назаров и Б.А. Пламеневский, 1991), спектральная теория линейных операторов и операторных пучков (А.С. Маркус, 1986, Ю.Ш. Абрамов, 1983, Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, 1989), различные асимптотические методы (М.И. Вишик и Л.А. Люстерник, 1957, М.Г. Джавадов, 1965, М.В. Фе-дорюк, 1987, A.M. Ильин, 1989).
Цель работы состоит в асимптотическом исследовании на математическом уровне строгости существенных для рассматриваемых гидродинамических явлений величин. В задаче удара строилась асимптотика кинетической энергии жидкости и определялась область безотрывного удара, в спектральной задаче теории приливов изучалась структура и асимптотика спектра приливных уравнений Лапласа, в задаче о распространении возмущений в вязкой среде — асимптотика фундаментального решения в различных областях.
Научная новизна результатов исследования.
В задаче (і) в случае произвольного плоского тела с гладкой границей получены формулы для определения двух главных членов асимптотики кинетической энергии жидкости и области безотрывного удара при неограниченном уменьшении толщины слоя. В указанные формулы входит только решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной области, занятой телом. Ранее изучался лишь случай круглого диска (М.И. Чебаков, 1974).
При исследовании задачи (іі) реализован подход, основанный на операторных методах. С его помощью обоснованы асимптотики высокочастотной и низкочастотной частей спектра, указаны условия, при которых спектры гравитационных волн и волн Россби разделены лакуной и получены их оценки вариацинного типа. Найден также ряд новых асимптотических формул при больших значениях параметра Ламба, пропорционального квадрату угловой скорости вращения поверхности. Отметим, что операторные методы получили широкое распространение в гидродинамике (Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, 1989), однако с целью исследования приливных уравнений Лапласа ранее не применялись.
В задаче (ш) при помощи асимптотического анализа интегрально-
го представления на основе метода перевала выведены асимптотические разложения, описывающие поведение фундаментального решения в трёх областях: перед фронтом, за фронтом и в окрестности фронта.
Научно-практическая ценность работы.
(і) Выделен класс задач пространственной теории удара, допускающих эффективное решение. Алгоритм построения асимптотики допускает обобщение на другие эллиптические задачи в тонком слое или цилиндре, в которых имеется линия смепы граничных условий на сближающихся сторонах. Доказаппая теорема о знаке потенциала задачи теории удара в тонком слое представляет интерес с математической точки зрения. Полученные формулы, представляющие и самостоятельный интерес, могут служить ориентиром при численных расчётах и при исследовании задач удара плоских тел о жидкость конечной глубины.
(и) Применённый подход позволил исследовать классическую спектральную задачу для приливных уравнений Лапласа в общей постановке и установить ряд строгих результатов о структуре и асимптотике спектра, а также о его зависимости от параметра Ламба.
Полученные результаты представляют интерес прежде всего для общей теории приливов, их следует учитывать при решении конкретных задач о свободных колебаниях вращающейся жидкости малой глубины. Данная часть работы находится в русле исследований спектральных задач гидродинамики при помощи операторных методов.
(iii) Построенные асимптотики дополняют известные результаты о распространении волн в вязкой и упруговязкой среде и могут быть использованы при исследовании соответствующей задачи с переменными коэффициентами и численных расчётах. Полученные результаты следует рассматривать в контексте исследований волновых процессов на основе асимптотического анализа интегралов и метода сращиваемых асимптотических разложений.
Достоверность результатов. Все результаты работы строго математически обоснованы. В ряде случаев проводилось их сопоставление с результатами других авторов и использовались различные альтернативные методы.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались на Второй и Третьей международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996, 1997), а также на научных семинарах кафедры вычислительной математики и ма-
тематической физики (зав. каф. проф. Юдович В.И.) Ростовского государственного Университета.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8-ми печатных работах, список которых приводится в конце автореферата. В работе [7] Э.Н. Потетюнко принадлежит постановка задачи и идея применения метода перевала. Диссертанту принадлежит реализация этой идеи.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка используемой литературы из 125 наименований. Общий объём диссертации 176 страниц.
Все материалы подготовлены при помощи макропакета IATjrX.