Асимптотические задачи теории устойчивости и восприимчивости пограничного слоя Жук, Владимир Иосифович

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. Вопрос о механизмах преобразования внешних возмущений в собственные колебания пограничного слоя (волны Толлмина^:Шлихтинга), формулируемый как задача восприимчивости, является составной частью важнейшей нерешенной проблемы ламинарно-турбулентного перехода. Несмотря на впечатляющие успехи, достигнутые прямым численным моделированием нелинейных стадий перехода на основе уравнений Навье-Стокса, далеко не все данные экспериментов нашли свое теоретическое обоснование. Решение начально-краевых задач, поставленных для названных уравнений, чрезвычайно затруднительно из-за наличия малого параметра при старших производных, поскольку круг изучаемых явлений характеризуется большими значениями числа Рейнольдса.

Новые возможности в преодолении указанных трудностей появляются в рамках асимптотического подхода, а именно в привлечении концепции свободного взаимодействия для установления асимптотической структуры поля скоростей. Данный метод, позволяющий в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса перейти от уравнений Навье-Стокса к более простым уравнениям взаимодействующего пограничного слоя с неизвестным заранее градиентом давления, оказался исключительно плодотворным при построении асимптотической теории отрывных течений и, по существу, положил начало целому направлению в теоретической гидродинамике.

Область возмущенного движения жидкости в режиме свободного взаимодействия обладает трехслойной структурой. Оказалось, что аналогичная структура присуща распространяющимся в пограничном слое волновым возмущениям, откуда следует заключение о возможности применения многоярусных асимптотических конструкций в теории гидродинамической устойчивости.

Следует отметить, что асимптотический анализ не только позволяет установить пространственно-временные масштабы функций течения и по-сроить решения начально-краевых задач, но, прежде всего, дает ключ к выяснению основных физических механизмов, управляющих развитием возмущений в пограничном слое.

Обратим также внимание на то, что вхождение малого параметра в систему уравнений Навье-Стокса (и вытекающая отсюда асимптотическая трактовка ее решений) связано не только с тем, что критическое число Рейнольдса, превышение которого ведет к появлению неустойчивых мод, обычно велико, но и с тем, что такой объект, как пограничный слой, сам существует только в пределе больших чисел Рейнольдса (последнее обстоятельство нередко игнорируется в теоретических исследованиях).

Реализуемая в предлагаемой работе идея использования асимптотических многоярусных моделей при исследовании слабо и сильнонелинейных стадий развития возмущений подводит рациональный базис под хорошо известный из экспериметов факт мощной генерации волн неустойчивости на локальных неоднородностях, а также появление высокоинтенсивных всплесков-шипов. Кардинальных упрощений при построении нелинейных пульсационных полей позволяет добиться не только то обстоятельство, что уравнения каждого асимптотического приближения число Рейольдса не содержат, но и возможность сведения задачи для больших амплитуд к решению одного уравнения относительно функции, зависящей только от времени и одной пространственной переменной.

Цель работы. Применяемая в настоящей работе нестационарная асимптотическая теория позволяет указать на ряд достаточно тонких эффектов, недоступных для изучения другими методами. Данный подход имеет целью дополнить существующие представления о реакции пограничного слоя на линейные и нелинейные возмущения различной природы. Основная направленность предпринятого в работе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса в пределе больших чисел Рейнольдса связана с раскрытием внутренней структуры возмущенного пограничного слоя в задачах устойчивости и восприимчивости, получением оценок (в терминах некоторых степеней числа Рейнольдса и амплитуд возмущений) для функций течения в каждой из подобластей, на которые разделяется поле скоростей. Данные оценки определяют вид асимптотических последовательностей, в которые раскладываются решения в упомянутых подобластях, что прршодит к формулировке соответствующих краевых задач. Некоторые построенные в работе решения этих краевых задач описывают класс возмущений с трехпалубной структурой поля течения. Вместе с тем, концепция свобод-

ного взаимодействия при иных пространственно-временных и амплитудных параметрах нелинейных возмущений допускает реализацию четырех-палубной асимптотической схемы движения жидкости и газа. Если необходимо учесть влияние критического слоя на процесс нарастания амплитуд пульсаций, то флуктуационные поля характеризуются пятью расположенными друг над другом подобластями, причем критический слой отделен от пристеночного слоя невязкой областью. Построение асимптотических разложений, описывающих указанные классы возмущений с многоярусной структурой волнового движения составляет основную цель настоящего исследования.

Научная новизна работы. В данной диссертации:

1. Предложен новый вариант нелинейной асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потенциальным потоком, в котором область возмущенного течения обладает четырехслойной структурой, а построение поля скоростей сводится сводится к решению уравнения Бюргерса либо уравнения Бенджамина-Оно относительно функции смещения линий тока.

2. Установлено, что дисперсионное соотношение линейной задачи о внутренних волнах в пограничном слое с самоиндуцированным давлением при сверхзвуковых скоростях внешнего потока обладает бесконечным спектром. В частности, для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая имеет бесконечное количество ветвей, соответствующих сносимым вниз по потоку возмущениям (распространяющаяся вверх по потоку волна может отвечать лишь первой моде из указанного спектра).

3. Показано, что уравнения Прандтля с самоиндуцированным давлением применима к анализу задач гидродинамической устойчивости. Для несжимаемой жидкости данный подход приводит к результатам, следующим из уравнения Орра-Зоммерфельда при условии, что критический слой прилегает к обтекаемой поверхности. Внутренние волны в свободно взаимодействующем пограничном слое представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга.

4. Построена асимптотическая четырехпалубная теория отражения скачка
уплотнения сравнительно большой амплитуды от пограничного слоя.
Асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса, описывающее течение
с замкнутой срывной областью, распадается на стационарную часть внизу
по потоку (в окрестности присоединения) и на нестационарную часть, рас
пространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку.

5. Приведены асимптотические решения уравнения Орра-Зоммерфельда в двух приближениях по малому параметру, являющемуся отношением толщины пограничного слоя к длине волны Толлмина-Шлихтинга. Трехслойная асимптотическая структура решения отвечает окрестности нижней ветви нейтральной кривой, пятислойная структура решения с критическим слоем, отделенным от пристеночного невязкой областью, описывает окрестность верхней ветви нейтральной кривой. Результаты вычисления инкрементов нарастания собственных колебаний являются новыми, в то время как выражения для асимптотик двух ветвей нейтральной кривой, замыкающей неустойчивую область, совпадают с полученными другими методами и опубликованными в литературе.

6. Новым результатом исследования гармонических колебаний погруженного в пограничный слой осциллятора является определение амплитуды возбуждаемой волны Толлмина-Шлихтинга и скорости ее пространственного роста для окрестности верхней ветви нейтральной кривой.

7. Разработана асимптотическая четырехъярусная теория взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым внешним потоком. Выведено новое нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции, задающей толщину вытеснения. Из условия существования решения в вязком пристеночном подслое, подчиняющемся системе уравнений Прандтля с заданным из решения невязкой задачи градиентом давления, получено нелинейное дисперсионное соотношение между амплитудой, длиной волны и фазовой скоростью периодического решения упомянутого интегродифференциального уравнения.

8. Представлены численные решения нелинейных эволюционных уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Врнза, которыми при определенных предположениях описывается развитие возмущений в пограничных слоях. Установлены характерные формы волновых движений, приведена физическая картина процесса рождения и взаимодействия солитонов.

9. Установлено асимптотическое поведение нейтральных кривых устойчивости пограничного слоя сжимаемого газа при до- и трансзвуковых скоростях внешнего потока. Приведены выражения для инкрементов нарастания неустойчивых собственных колебаний в окрестности нейтральної! кривой. Показано, что максимум инкремента нарастания может находиться не только вблизи нижней, но и вблизи верхней ветви нейтральной кривой. Система уравнений для собственных функций с параметрами из окрестности верхней ветви нейтральной кривой уже не является следствием линеаризованных уравнений трехслойной теории свободного взаимодействия, поскольку возмущение в виде волны Толлмина-Шлихтинга обладает пяти-слойной асимптотической структурой.

10. Асимптотический анализ, преследующий цель более подробного изучения влияния сжимаемости и теплопроводящих свойств обтекаемой поверхности, показал, что свойства устойчивости пограничного слоя качественно меняются даже при числах Маха и отклонениях температуры стенки от температуры торможения, стремящихся к нулю с увеличением числа Рейнольдса. В частности, имеет место неединственность решения уравнения, определяющего верхнее нейтральное значение волнового числа, а верхняя ветвь нейтральной кривой распадается на три ветви.

11. Вычислены амплитуды волн Толлмина-Шлихтинга, генерируемых в процессе взаимодействвия монохроматических акустических волн с трехмерными локальными неоднородностями на дне пограничного слоя. Параметры возбуждаемых собственных колебаний и геометрические свойст-за неоднородностей связываются дисперсиднными соотношениями, являющимися универсальными характеристиками пограничного слоя. Трехмерная природа рассеивания акустических волн приводит к тому, что генерация неустойчивых колебаний осуществляется даже для сверхзвукового шешнего потока.

Теоретическая и практическая ценность. Построенные в работе асимптотические разложения могут служить основой для последующего математического описания линейных и нелинейных возмущений в пограничном слое. Развитые подходы указывают на возможность использования введенных в работе эволюционных уравнений к объяснению природы нелинейных стадий ламинарно-турбулентного перехода. В подтверждение сказанного отметим обнаруженную в независимых экспериментальных работах солитонную природу возникающих в процессе перехода когерентных структур.

Асимптотический анализ взаимодействующего пограничного слоя с четырехъярусной структурой поля скоростей устанавливает новые области применимости уравнений Бюргерса и Бенджамина-Оно. Что касается предложенного в трансзвуковой теории свободного взаимодействия нелинейного интегро-дифференциального уравнения (из которого уравнения Бюргерса и Бенджамина-Оно следуют как предельные случаи), то оно, по-видимому, не встречалось ранее в научной литературе.

Самостоятельное значение имеют также установленные в работе управляющие безразмерные параметры, оценки величин гидродинамических переменных и внешних возмущающих факторов, при которых реализуются те или иные физические механизмы изучаемых явлений. Упомянутые параметры подобия и оценки не только играют существенную роль в численных и экспериментальных исследованиях при получении и интерпретации результатов, но могут служить наводящими соображениями для постановок новых задач современной теории пограничного слоя.

Рассмотренные в диссертации задачи дают примеры применения и развития асимптотических методов к исследованию тонкой структуры поля потока при больших числах Рейнольдса и, очевидно, могут иметь дальнейшие приложения в различных областях механики жидкости и газа. Сама природа асимптотического подхода, связанная с рассмотрением предельных значений параметров течения, открывает возможность добиться кардинальных упрощений в анализе именно таких режимов, которые представляют наибольшую трудность при использовании иных (например, численных) методов и обнаружить совершенно неочевидные заранее физические эффекты.

Степень достоверности результатов. Достоверность результатов, представленных в диссертации, основана на сравнении с аналитическими, расчетными и экспериментальными данными других авторов (в особенности для предельных значений параметров), на тестировании используемых методов на решениях известных задач. Там, где это возможно, полученные аналитическими методами результаты воспроизводились численными решениями. Во всех случаях тщательно проверялась внутренняя непротиворечивость асимптотической структуры решений и возможность сращивания разложений в различных подобластях. Большое внимание уделялось рассмотрению предельных ситуаций, сводящих задачи к ранее известным с опубликованными в литературе решениями; наоборот, иногда удавалось получить те или иные приведенные в диссертации результаты как частные случаи исследованных в других работах проблем.

Личное участие автора в получении научных результатов. Главы II, IV, VI, VII, а также $3.4 главы III и $$8.1, 8.4, 8.5 главы VIII содержат результаты, полученные автором лично. Глава I, $$3.1—3.3 главы III, $$8.2,8.3 главы VIII написаны на основе совместных работ с О.С.Рыжовым, который принимал участие в постановках задач и анализе результатов. Глава V написана на основе совместных работ с С.П.Поповым, принимавшим участие в постановках задач и проводившим численные расчеты по методикам и вычислительным алгоритмам, отличным от используемых автором диссертации.

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 работа, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, выводов и списка литературы. Объем работы составляет 258 страниц текста, в том числе 46 фигур. Список литературы содержит 288 наименований.