Аэрогидродинамический анализ упругих элементов движущего типа методом интегральных уравнений Тарасов Александр Евгеньевич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Тарасов Александр Евгеньевич. Аэрогидродинамический анализ упругих элементов движущего типа методом интегральных уравнений: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 01.02.05 / Тарасов Александр Евгеньевич;[Место защиты: ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»].- Волгоград, 2015.- 139 с.

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Обзор литературы 12

1.1 Машущее крыло 15

1.1.1 Аэродинамическая оптимизация 19

1.1.2 Аэроупругость 21

1.1.3 Аэроупругая оптимизация 24

1.2 Колебания цилиндрической оболочки 26

ГЛАВА 2. Гармонические колебания тонкой упругой пластинки в идеальной несжимае мой жидкости 29

2.1 Основные классы интегральных уравнений 29

2.2 Математическая постановка задачи о колебаниях тонкой пластинки в жидкости 34

2.3 Ассимптотический анализ основного интегрального уравнения 39

2.4 Динамическая деформация упругого крыла 42

2.5 Численные результаты 49

ГЛАВА 3. Математическая модель движителя в виде машущего крыла 53

3.1 Постановка задачи 54

3.2 Асимптотический анализ интегрального уравнения 58

3.3 Динамический изгиб и сила тяги упругого крыла 63

3.4 Сравнение предлагаемого метода с прямым численным расчетом 70

ГЛАВА 4. Математическая модель волнового движителя в форме цилиндрической оболочки

4.1 Гармонические колебания круговой цилиндрической оболочки в идеальной жидкости 75

4.2 Решение интегро-дифференциального уравнения 82

4.3 Вывод гидродинамических характеристик и результаты числовых расчетов 86

4.4 Движитель в виде цилиндрической оболочки в потоке жидкости 88

4.5 Решение интегро-дифференциального уравнения 91

4.6 Вывод формулы для подсасывающей силы для движителя в форме цилиндрической оболочки 95

4.7 Анализ полученных результатов 101

Заключение 106

Список литературы 108

Список рисунков 123

Список таблиц

Аэродинамическая оптимизация
Математическая постановка задачи о колебаниях тонкой пластинки в жидкости
Динамический изгиб и сила тяги упругого крыла
Вывод гидродинамических характеристик и результаты числовых расчетов

Введение к работе

Актуальность темы. Исследование малых подводных необитаемых аппаратов и микролетательных аппаратов с пропульсивной системой типа машущее крыло и волновыми движителями в виде цилиндрической оболочки является бурно развивающейся областью исследований в последние годы, и представляет большой интерес как с точки зрения практического использования, так и при теоретическом изучении гидродинамических характеристик, присущих гидробионтам. Аэродинамика машущего крыла является неустойчивой. Кроме того, машущие крылья испытывают высокочастотные колебания, приводящие к значительным деформациям. Понимание физики, лежащей в основе аэроупругой системы машущего крыла, является ключевым для моделирования движителей машущего типа.

В связи с этим, настоящая работа посвящена изучению взаимодействия движителей типа машущее крыло и волновых движителей в форме цилиндрической оболочки с жидкостью. При исследовании таких задач рассматривается взаимодействие тела со средой. При этом основной акцент делается на исследование механизма возникновения силы тяги, генерируемой гармоническими колебаниями упругой системы в жидкости или газообразной среде. Вследствие движения тела меняется характер обтекания, аэрогидродинамические характеристики среды, а также и само поведение конструкции за счет изменения параметров гидродинамики. Таким образом, необходимо рассматривать задачу с двух сторон, вычисляя характеристики движения тела и среды вокруг него. Данная работа в основу алгоритма решения ставит аналитические и аналитико-численные методы.

Целью данной работы является разработка новых полуаналитических методов расчета движителей двух типов: движителя вида машущее крыло и волнового движителя в форме оболочки, в жидких и газообразных средах.

Для достижения поставленной цели исследования были сформулированы следующие задачи:

Построение математической модели колебания упругого машущего крыла в покоящейся жидкости и в потоке несжимаемой жидкости.
Построение математической модели колебания круговой цилиндрической оболочки в покоящейся сжимаемой жидкости, а также в потоке несжимаемой жидкости.
Разработка и программная реализация аналитического алгоритма решения задач обтекания тонкостенных упругих тел и определение возникающих аэрогидродинамических характеристик.

Проведение верификации расчетного метода для различных модельных задач, сравнение результатов, полученных расчетным алгоритмом с ранее известными численными и экспериментальными данными других авторов.
Анализ полученных расчетных зависимостей аэрогидродинамических характеристик движителя для различных физических параметров.

Основные положения, выносимые на защиту:

Математическая модель взаимодействия потоков жидкостей и газа с гармонически колеблющимися тонкостенными упругими системами.
Обоснование физических принципов возникновения силы тяги движителей пропульсивного типа при гармонических колебаниях упругих систем в жидкостях и газах.
Алгоритм сведения гидроупругих и аэроупругих задач к системам интегро-дифференциальных уравнений.
Метод численного решения полученных интегро-дифференциальных уравнений.
Обоснование применимости разработанных методов и алгоритмов к расчету силы тяги движителей типа машущее крыло и волновых движителей в форме цилиндрической оболочки

Научная новизна:

Выведена аналитическая зависимость формы колебания упругой пластинки от давления окружающей среды.
Смоделирована трехмерная задача обтекания упругого деформируемого крыла, совершающего гармонические колебания в набегающем однородном потоке идеальной несжимаемой жидкости. Исследовано влияние физических параметров крыла на аэродинамические характеристики. Построена зависимость силы тяги машущего крыла от частоты колебаний.
Определена форма колебаний круговой цилиндрической оболочки, совершающей гармонические колебания в идеальной сжимаемой жидкости.
Выведена формула для силы тяги оболочки, совершающей гармонические колебания в идеальной несжимаемой жидкости, являющаяся обобщением известной формулы Л. И. Седова для плоской задачи.

Рассмотрена задача о движителе, представленном в виде упругой цилиндрической оболочки, находящейся в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Исследовано влияние числа Струхаля на силу тяги вибрирующей оболочки.
Предложены новые методы численно-аналитического решения интегральных уравнений первого рода, возникающих в смешанных задачах о гармонических колебаниях тонких упругих тел в потоках жидкости.

Научная и практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования предложенного в диссертации алгоритма для более широкого диапазона задач. Метод позволит исследовать проблемы проектирования тел с выбором наиболее эффективных характеристик и режимов колебания, рассчитывать аэродинамические нагрузки на обтекаемые поверхности упругих тел. Результаты и методы проведенных исследований можно использовать для нахождения оптимальных законов движения пропульсивных систем и выбора их оптимальных физических характеристик. На основе полученных решений возможна разработка новых механизмов движителей плавательных аппаратов, имеющих повышенный коэффициент полезного действия.

Степень достоверности полученных результатов в диссертационном исследовании обеспечивается строгостью математического аппарата, использованием достоверных методов обработки данных, анализом полученных результатов, а также сравнением результатов с данными экспериментов и численных расчетов, выполненных известными численными методами. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами. Представленные в работе расчеты аэродинамических характеристик и сравнение их с численными данными и результатами экспериментов позволяют сделать вывод об адекватности применяемых подходов.

Апробация работы. Основные результаты исследования, приведенные в диссертационной работе, обсуждались и докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях: XV Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2011), ICNPAA 2012 World Congress: Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences (Вена, Австрия, 2012), XVI Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2012), IV Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения IV» (Ростов-на-Дону, 2014), Second project meeting Seventh Framework Program Marie Curie Actions «Innovative nondestructive testing and

advanced composite repair of pipelines with volumetric surface defects» (Ростов-на-Дону, 2014), VIII Международная конференция «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (Горис, Армения, 2014), IV Международная конференция «Актуальные проблемы механики сплошной среды» ТРСМ-2015 (Цахкадзор, Армения, 2015).

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта проектной части госзадания Министерства образования и науки Российской Федерации № 9.1371.2014/К

Личный вклад. Исследования, изложенные в диссертации, выполнены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в работу включен материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях -], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК России -], 2 — в тезисах докладов ,].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации 139 страниц текста с 16 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 161 наименование.

Аэродинамическая оптимизация

В течение многих лет, по самым разным направлениям учеными разрабатывались различные нестационарные аэродинамические теории. Еще Леонардо-да-Винчи занимался исследованиями того, каким образом машущие крылья птицы обеспечивают ей достаточную для полета силу тяги и подъемную силу. Однако, вплоть до начала 20-го столетия, задача о колебании крыла в жидкости, даже в простейших случаях, не поддавалась теоретическому исследованию. Развитие теории крыла в нестационарном потоке было обусловлено необходимостью понимания физических процессов, происходящих при нестационарном обтекании тел, и построения соответствующих математических моделей, отражающих реальную картину течения. Эффект силы тяги машущего крыла был объяснен Кноллером [51] и Бетцом [52].

Ученик Прандтля — Бирнбаум, стоял у истоков исследования аэродинамических сил, действующих на колеблющееся крыло [53]. Им введены важные понятия о свободных и связанных вихрях и о вихревом следе. Аккерман в свою очередь, применил теорию присоединенных вихрей Прандтля для вычисления подъемной силы крыла при установившемся движении. В дальнейшем Бирн-баум формализовал метод Аккермана на неустановившееся движение крыльев. Развитие первоначальных идей Бирнбаума позволило Кюсснеру значительно продвинуть задачу о нестационарном движении крыла [54].

В 1935г. появилась работа М.А. Лаврентьева и М.В. Келдыша [30]. В этой работе впервые к исследованию задачи колебания крыла применяются методы теории функций комплексного переменного. Дальнейшее развитие теории, основанное на этой идее, принадлежит главным образом российским ученым Л.И. Седову, М.В. Келдышу, А.И. Некрасову, М.А. Лаврентьеву [28,29]. Однако, все исследования, описанные выше, относились лишь к двумерной задаче.

Переход к рассмотрению трехмерной нестационарной теории значительно усложняет решение задач, представляющее для общего случая неустановившегося движения, по выражению Прандтля, «проблему трансцендентной трудности». Точное решение трехмерной задачи пока получено Н. Е. Кочиным лишь для случая круглого в плане крыла при малых числах Струхаля [55]. В связи с этим создалось положение, когда имеется около двадцати различных аналитических трактовок этого вопроса, среди которых не найдется двух, дающих совершенно одинаковые результаты

Так, в 1938г. Чикала делает первую попытку распространить теорию несущего вихря Прандтля на нестационарный поток [56]. Среди других исследований наиболее удовлетворительное согласование с экспериментальными результатами вплоть до малых второго порядка значений удлинения дают исследования Рейснера [57], который впервые применил в этих задачах метод потенциала ускорений Прандтля.

Эти методы основаны на том, что ядро двумерного интегрального уравнения при больших удлинениях крыла некоторым образом аппроксимируется, причем так, что задачу удается свести к одномерным интегральным уравнениям. Однако, основным недостатком всех этих теорий является то, что аппроксимации построены из интуитивных физических соображений, а строго математическое обоснование при этом, как правило, отсутствует.

Теория аэродинамики, разработанная Теодорсеном [58], посвящена расчету подъемной силы при потенциальном обтекании. Теория предполагает малые возмущения и гармоническое движение. Полученное аналитическое решение позволяет определить нагрузки на крыло с точки зрения кинематики и функции Теодорсена.

Гаррик [59] распространил теорию Теодорсена и получил выражение для движущей силы колеблющегося тонкого профиля. Гаррик рассматривал проблему двумя различными способами: сохранение энергии и прямой расчет сил. Он использовал закон сохранения энергии, чтобы записать движущую энергию с точки зрения структурной энергии и энергии следа. Движущая сила была также рассчитана путем прямого расчета подсасывающей силы на передней кромке тонкого профиля, основанным на работе фон Кармана и Бюргерса [60].

Вагнер [61] исследовал образование подъемной силы для аэродинамического профиля, резко начавшего движение с постоянной скоростью из состояния покоя. Кюсснер [54] изучал аналогичные проблемы для аэродинамического профиля. В [62] Гаррик искал взаимосвязь функций Вагнера и Кюсснера с функцией Теодорсена.

В работах Теодорсена [58], Гаррика [59], Вагнера [61] и Кюсснера [54] рассмотрены конкретные случаи для потока жидкости. Задача о профиле при неравномерном движении рассмотрена в работе [63]. В этой теории выводятся формулы для подъемной силы и момента сил при общем неравномерном движении. В работе момент подъемной силы представляется как сумма трех компонент: квазистационарной подъемной силы, массовых сил и компоненты вихревого следа. Вывод уравнения подъемной силы позволил установить соответствие с теориями Теодорсена, Вагнера и Кюснера. Впоследствии автор применяет операторы Хевисайда, чтобы получить более достоверные результаты этой общей теории [64].

В работе [65] получено решение для подъемной силы несущей поверхности в нестационарном свободном потоке, а также исследован случай поворотного крыла при прямом полете [66]. В работе [67] исследована проблема винтокрылого колебания. Автор вывел выражение для подъемной силы, аналогичное работе Теодорсена, заменив функцию Теодорсена функцией Леви, рассчитанной при двумерном обтекании крыла и слоистом следе. В работе [68] автор расширил теорию Теодорсена, рассмотрев случай непостоянного свободного потока, аналогично [65]. След подразумевается синусоидальным, как в теории Теодор-сена. С помощью численных примеров автор показал, что использование синусоидального следа согласуется с теорией, представленной в работе [65].

Одновременно, большой интерес представляли попытки совместить нестационарную теорию с аэродинамикой птиц и насекомых. В работе [69] получено решение нестационарного потока для колеблющегося крыла с учетом нестационарного свободного потока, аналогичное работе [68]. Длина следа может быть выражена в виде функции времени, что позволяет записать решение проблемы исследуемой Вагнером в более общем виде. В работе [70] авторы распространили теорию Теодорсена в приложении к крылу рифленой формы. Крыло в этом случае моделировалось как набор соединенных плоских пластин. Эта работа использовалась также при изучении крыльев стрекозы. В работе [71] приводится

соотношение между силой тяги и аэроупругим флаттером с помощью передачи энергии. Автор показал, что есть три различных режима передачи энергии: перемещение, производящее флаттер; режим затухающей тяги; и режим затухающих перемещений.

В статье [72] авторы разработали аэродинамическую нестационарную модель машущего крыла, подобного крылу насекомых. Нелинейная нестационарная аэродинамическая модель получена аналогичным способом, что и в методе Теордорсена [58]. Поток вокруг двумерного профиля моделируется как круговой поток с преобразованием конформного отображения Жуковского. Квазиустойчивые и неустойчивые компоненты потока выводятся отдельно, с использованием принципа суперпозиции для полного решения. Модель преобразуется в квази-трехмерную модель с теорией крылового элемента. Так как крыло насекомого испытывает большие углы атаки, то необходимо учитывать вихревой срыв с передней кромки крыла. Полученные уравнения для аэродинамической силы являются точной невязкой моделью, что не исключает численное решение этих уравнений. Было показано, что машущий полет насекомых является оптимальным методом моделирования движителей для практического применения.

Позже в работе [73] представлена реализация и проверка аэродинамической теории. Уравнения для аэродинамических нагрузок решаются с помощью численного моделирования. Численные результаты сверяются с визуализацией потока и экспериментальными данными. В статье показано, что поле потока совпадает с визуализацией потока, а аэродинамические силы хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Также были исследованы нестационарные аэродинамические теории для деформируемых крыльев. В работе [74] разработана теория нагрузок на деформируемое крыло произвольной формы. Теория нагрузок позволяет получить произвольную форму крыла через полиномы Чебышева. Теория аэрогидродинамических нагрузок учитывает влияние следа и позволяет получить полную аэродинамическую нестационарную модель. Модель потока зависит от типа течения, рассматриваемого для двухмерных [75] и трехмерных моделей [76].

Математическая постановка задачи о колебаниях тонкой пластинки в жидкости

В случае, если в (2.1) параметр = 0, то такое уравнение называется уравнением Фредгольма 1-го рода. Классический результат функционального анализа утверждает, что интегральный оператор первого рода не может иметь обратного ограниченного ни в каком банаховом пространстве. Следовательно, уравнения 1-го рода имеют совсем иные качественные свойства по сравнению с уравнениями 2-го рода. Фактически это же следует и из теории Фредгольма для уравнений 2-го рода. В самом деле, особые спектральные значения параметра = , соответствующие случаю необратимости оператора левой части (2.1), подходят к нулю сколь угодно близко. В этих условиях не приходится ожидать, что оператор (2.1) для чисто нулевого значения = 0 будет обратим.

Таким образом, получается, что уравнение Фредгольма 1-го рода в случае непрерывного по обеим переменным ядра (,) не может быть однозначно разрешимо ни в одном банаховом пространстве. Этот случай относится к так называемым некорректным задачам, в терминологии академика А.Н.Тихонова [144], который вместе со своими учениками предложил устойчивые численные методы для уравнений такого типа.

Однако существуют совсем другие классы уравнений вида (2.2), которые играют важную роль в уравнениях математической физики, и, в частности, в данной работе. Речь идет об уравнениях, ядро которых (,), не является непрерывным. При этом во многих случаях уравнение является однозначно разрешимым, либо однозначно разрешимым при некоторых дополнительных условиях (типа условия Жуковского-Чаплыгина). Таким образом, имеет место парадоксальная ситуация. Для уравнений 2-го рода (2.1) «хорошее» (т.е. непрерывное) ядро гарантирует (почти всегда) «хорошие» свойства уравнения, в частности, его однозначную разрешимость. Наоборот, для уравнений 1-го ро 31 да «хорошее» ядро гарантирует отсутствие однозначной разрешимости, и лишь «ухудшение» свойств ядра позволяет построить подходящее решение.

Простейший класс ядер, не являющихся непрерывными, это ядра имеющие интегрируемую особенность - так называемые потенциалы, или ядра со слабой особенностью. Например, для уравнения 1-го рода с логарифмической особенностью, которое мы для простоты запишем на симметричном отрезке (—а а): если а ф 2. Решение (2.4) содержит производную свободного члена уравнения (2.3). Отсюда ясно, что оно справедливо, в отличие от уравнений Фредгольма 2-го рода, не в исходном классе непрерывных функций С(—а,а). Можно показать, что, хотя решение (2.4) содержит лишь первую производную от функции /(ж), однако наличие в формуле обращения (2.4) сингулярного оператора типа Коши фактически требует более сильной гладкости. Именно, интегрируемое решение уравнения (2.4) единственно для любой функции f(x) Є С2{—а,а). Уравнения такого класса возникают в классической теории тонкого профиля и теории крыла [28]. Заметим, что полные уравнения со слабой особенностью, когда в ядре кроме сингулярной части присутствует также добавка в виде произвольного непрерывного ядра, обладают теми же качественными свойствами, что и простейшее характеристическое уравнение (2.3). В случае двумерного интегрального уравнения аналогом логарифмического ядра из теории потенциала (2.3) будет ядро 1/г, г = \х — = \/(х\ — i)2 + {х2 — У2. Иногда задачи теории крыла удобнее сводить к сингулярному интегральному уравнению 1-го рода типа Коши и находится с точностью до произвольной константы . В ряде задач существует естественное дополнительное физическое условие, из которого можно найти константу . В частности, в теории тонкого крыла таким условием является условие Чаплыгина-Жуковского. Например, если кромка = - является передней, а кромка = задней, то при = решение должно оставаться ограниченным. Находя из этого условия константу и подставляя ее в (2.6), получаем единственное решение уравнения (2.5) в классе интегрируемых функций, ограниченных при = , в следующем виде:

Хотя обращение сингулярного интеграла и не содержит производной от правой части /(ж), наличие сингулярного интеграла типа Коши в решении (2.7) подразумевает, что для устойчивости выражения (2.7) при малом изменении правой части нужно требовать большей гладкости, чем просто непрерывность, например достаточно, чтобы f(x) Є Сі(—а,а). Аналогом сингулярного ядра типа Коши в случае двумерного интегрального уравнения является ядро вида 1/г2, г = \х — = \/(х\ — i)2 + {х2 — СЇ)2.

В трехмерной теории крыла возникают одномерные интегральные уравнения вида причем обращение (2.10) устойчиво в классе правых частей f(x) Є Сі(—а,а). В случае двумерного интегрального уравнения аналогом гиперсингулярного ядра в (2.8) будет ядро 1/г3, г = \х — = \J{x\ — \)2 + (х2 — 2)2. Как будет показано в следующем параграфе, именно это ядро возникает в задаче о колебании пластинки в покоящемся воздухе. В отличие от одномерного уравнения, двумерное гиперсингулярное уравнение не имеет точного решения, и приходится строить устойчивый численный алгоритм для его решения.

Общий вывод из этого обзора свойств основных типов интегральных уравнений такой, что если для уравнений 2-го рода непрерывное ядро порождает непрерывное решение, то в уравнениях 1-го рода непрерывное решение получается лишь для ядер с особенностью. При этом чем «хуже» свойства ядра, тем «лучше» свойства решения. В самом деле, ядро со слабой интегрируемой особенностью лишь немногим хуже непрерывного ядра, и решение его устойчиво в классе дважды дифференцируемых функций. В то же время, ядра с более сильной сингулярностью, именно ядра типа Коши и гиперсингулярные ядра порождают обратные операторы, непрерывные в классах один раз дифференцируемых функций.

В заключение этого параграфа заметим еще раз, что ядро рассматриваемой в данной главе задачи о гармонических колебаниях пластинки в покоящейся жидкости является классическим двумерным гиперсингулярным ядром вида 1/г3. Как следует из вышеприведенного обзора, применительно к уравнениям типа (2.8), как в одномерном, так и двумерном случае, ограниченное решение интегрального уравнения с таким ядром единственно и, более того, как следует из (2.10) автоматически обращается в ноль на граничной кривой пластинки.

Наконец, отметим еще случай двумерных интегральных уравнений, в котором свойства интегрального оператора вдоль размаха и вдоль хорды могут отличаться. Так например, в классической линеаризованной трехмерной теории тонкого крыла известно двумерное интегральное уравнение [25] где 0 – скорость набегающего вдоль оси потока, функция (,) определяет форму поверхности тонкого крыла, переменные , направлены вдоль хорды, а переменные , – вдоль размаха, область определяет форму крыла в плане. Диссертанту не известны публикации, посвященные общим функциональным свойствам этого уравнения. Однако практические расчеты показывают, что вдоль размаха (т.е. по переменным ,) ядро является гиперсингулярным, а вдоль хорды (т.е. по переменным ,) — сингулярным. Именно по этой причине интегрируемое решение вдоль размаха является единственным и перепад давления между нижней и верхней поверхностью крыла автоматически зану-ляется при выходе на его боковые кромки. В то же время, для построения единственного решения вдоль хорды необходимо привлекать гипотезу Жуковского-Чаплыгина об ограниченности давления на задней кромке крыла. Задача, рассмотренная в 3-й главе, приводит к двумерному интегральному уравнению с абсолютно такими же качественными свойствами ядра и решения.

Динамический изгиб и сила тяги упругого крыла

В исследовании [?], проведенном в сотрудничестве с Рижским техническим университетом (г. Рига, Латвия) изучались демпфирующие свойств вязкоупру-гих пластин с точки зрения аэродинамики в условиях нормального атмосферного давления и в условиях разряженного воздуха, рассматривалась зависимость аэрогидродинамических характеристик от материала пластинки, физических характеристик и изменений параметров среды. Для проведения эксперимента была использована установка POLYTEC PSV-400-B и программное обеспечение PVS Software 8.6 для оценки данных. Необходимые уровни давления были получены при помощи вакуумного регулятора SMC T203-1-02 и вакуумной помпы DOA-V510-BN (рис. 2.1). В результате эксперимента удалось достичь до 80% снижения давления.

В настоящей главе приводится математическая постановка задачи вышеуказанного эксперимента с целью изучения влияния параметра давления воздуха при определении возмущение давления, полное давление нигде не участвует. Таким образом, откачка воздуха фактически важна лишь тем, что она изменяет плотность воздуха. Оценим это изменение плотности при откачке воздуха. Закон Клапейрона - Менделеева для совершенного газа имеет вид: где к — постоянная Больцмана, Т — температура газа, V — объем сосуда, N — число молекул газа в данном амплитуды колебаний пластинки. Все аэродинамические характеристики включают лишь объеме V, п = N/V — концентрация молекул в единице объема.

Изменение давления не влияет на аэродинамику напрямую, а влияет через плотность, которая уменьшается пропорционально уменьшению давления.

При откачке воздуха при постоянной температуре формула (2.12) показывает, что давление пропорционально концентрации молекул в единице объема. Поскольку концентрация молекул в единице объема пропорциональна плотности газа, отсюда можно сделать вывод, что в условиях рассматриваемой задачи плотность воздуха будет пропорциональна давлению.

Поместим тонкую прямоугольную в плане пластинку S = {—b,b) х (—,) в идеальную несжимаемую жидкость (рис. 2.2). Под действием некоторого внешнего источника пластинка совершает вынужденные гармонические колебания, распространяемые по всей пластинке.

Решаем задачу в линейной постановке, предполагая малость вносимых пластинкой в поток возмущений. Тогда все параметры потока считаем удовлетворяющими гармоническому по времени закону: A(x,y,z,t) = Ле{А(х,у,г)е ІШІ}.

Введем функция колебания крыла W(y,t) = He{W(у)е гші}, которая определяет форму пластинки. В линейном приближении подразумевается, что \dW/dy\ С 1.

Форма колебания пластинки и все остальные механические характеристики определяются, с одной стороны, упругими свойствами пластинки, а с другой стороны, гидродинамическим взаимодействием между пластинкой и воздухом. При этом считаем, что упругая пластинка является достаточно удлиненной — так, что ее колебания можно описать уравнением колебания балки dy где р- и р+ обозначают давление снизу и сверху от пластинки, тогда р- —р+ — это разность между давлением снизу и сверху пластинки. Кроме того, функция Ро5(у — уо) обозначает амплитуду внешней гармонической во времени сосредоточенной силы, приложенной к балке в точке у = уо, при этом множитель Ь2 включен для того, чтобы все члены в уравнении (2.13) имели одну и ту же размерность.

Боковые кромки пластинки свободны, тогда граничные условия для колеблющейся упругой балки: Линейная теория подразумевает малость скорости и изменения давления. При рассмотрении гидродинамической картины предполагаем потенциальность гидродинамического поля на всем трехмерном пространстве вне пластинки. Потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа, что следует из уравнения неразрывности

Гидродинамические граничные условия принимают следующую форму. Условие отсутствия возмущений вдали от крыла: поскольку потенциал определен с точностью до произвольного слагаемого, его можно принять исчезающим на бесконечности: (/?— 0 , (x,y,z — ±оо). Вне пластинки давление и потенциал должны быть непрерывными: at oz oz oz Здесь решаем гидродинамическую задачу. Из (2.17) и (2.18) следует, что дср/dz — регулярная функция во всем пространстве, причем четная относительно z. Таким образом, потенциал ср — нечетный по z для всех (ж,у). Тогда, из (2.16) следует, что и аэродинамическое давление р также нечетно по z для всех (ж,у). Таким образом, достаточно найти эти базовые функции, например, только для положительных z, например.

Вывод гидродинамических характеристик и результаты числовых расчетов

Дифференциальное уравнение, определяющее амплитуду колебаний крыла W(y), можно получить, подставив выражение (3.34) для д(х,у) в (3.1). Восстанавливая соотношения между размерными и безразмерными геометрическими параметрами, получим, см. (3.8) и (3.26): где переменная в исходных размерностных координатах имеет размерность длины, а физические параметры и — безразмерные.

Будем решать уравнение (3.36) на одной половине крыла 0 , считая, как было отмечено выше, что функция () продолжается на отрезок - 0 четным образом. Тогда решение дифференциального уравнения четвертого порядка (3.36) с граничными условиями (3.2) может быть выписано

Здесь, в первую очередь, будут интересовать сила тяги машущего крыла, работа сил давления и коэффициент полезного действия машущего крыла как движителя.

Сила тяги есть подсасывающая сила, которая возникает из-за квадратичной особенности давления на передней кромке [28].

Начнем с вывода формулы для осреднения по периоду произведения произвольных двух величин / и д. В гармоническом режиме колебаний все функции имеют один и тот же вид, в частности причем зависимость от t может быть взята либо с го;, либо с —га;, это не принципиально. Также не принципиально, взята ли там вещественная часть или мнимая.

Формула (3.44) является ключевой при выводе формул для усилий. В частности, в случае негоризонтальной пластинки с некоторым углом атаки, проекция на ось сил давления, распределенных по пластине нормально к ней и осредненных за период, равна (здесь () – это (), () = sin ), см. также [110]:

При выводе (3.45) мы воспользовались линейностью задачи. Это позволяет интегрирование по пластинке снести в плоскость (х,у). Кроме того, синус малого угла совпадает с его тангенсом, а тангенс равен производной dW/dx. Заметим также, что если бы пластинка была изогнута, то функция dW/dx перестала бы быть константой, а была бы в каждой точке интегрирования своя.

Формула для подсасывающей силы, которая и является силой тяги, выводится несколько сложнее. Будем отталкиваться от формулы Седова [28] через предел на передней острой кромке. В плоской задаче, в терминах комплексного потенциала dw/dz = (vx — ivz), тогда в формуле Седова записано:

Вертикальная компонента скорости, в силу граничного условия на пластинке, остается конечной (условие непроницания). Поэтому конечное (ненулевое) значение предела здесь может дать только квадрат величины vx. Вспомним, что интеграл Лагранжа-Коши, при линеаризации по возмущенным значениям скоростей vx и vz дает формулу (3.4): него равен нулю. Тогда получается, что единственное слагаемое, которое при стремлении к передней острой кромке дает бесконечность, чтобы весь предел в (3.47) был конечным - это член с v x в формуле (3.48). Имеем: і Р v (3.49)

Предложенная математическая модель может создать основу для проектирования инженерных движителей пропульсивного типа, которые имитируют полет птиц. Это позволяет оптимизировать режимы полета, выбрать наилучшие комбинации геометрических и физических параметров. Пример такой оптимизации показан на рис.3.2 для машущего крыла в воздухе. Здесь имеем для крыла из стали, Е = 210 109H/м2, полу-хорда равна Ь = 0.1 м, полу-размах = 0.5 м, J = bh /6 (h толщина крыла), скорость потока щ = 10 м/с, плотность стали и воздуха ps = 7800 кг/м3 и ро = 1.225 кг/м3, соответственно, m = 2hcps. Заметим, что при таких значениях параметров Ъ и щ максимальное значение числа Струхаля v = 2тт/Ь/щ = 0.5 на рис. 3.2 соответствует максимальной частоте / = си/(2тт) = 8 Гц и является разумным максимумом для стального движителя типа «машущее крыло».

В таких условиях оптимизация может заключаться, например, в выборе лучшей толщины пластины и лучшей частоты махания, для обеспечения максимального значение тяги Т, с относительно высоким значением КПД а. Например, в физическом режиме, показанном

С целью проверки точности предложенного здесь метода мы сравнили его с результатами, полученными в рамках подхода, основанного на прямом численном анализе основного интегрального уравнения (3.13)–(3.14) методом дискретных вихрей [25]. Ключевую роль здесь играет эффективное вычисление ядра. Вспомним, что, как отмечено в параграфе 2.1, ядро (3.14) является гиперсингулярным по переменным у, г] (т.е. вдоль размаха) и сингулярным по переменным ж, (т.е. вдоль хорды).

Далее, следуя общей теории регулярных функций, преобразуем оставшийся однократный интеграл в первом слагаемом (3.14) таким образом, чтобы выделенные характерные особенности его брались в явном виде, а оставшаяся часть была регулярной. В итоге ядро можно выразить через интеграл следующего вида: о 1 1 1