Введение к работе
Актуальность. Теоретические исследования фазовых превращений (ФП) в процессе деформирования твердых тел методами механики являются развивающимся научным направлением, находящимся на стыке материаловедения, физики твердого тела и механики сплошных сред. Эти исследования ориентированы на создание новых материалов, заданным образом реагирующих на внешние (механические, температурные и др.) воздействия, в том числе материалов с памятью формы. Они также нужны для оптимизации управления структурой материала путем его деформирования с целью получения новых физических свойств (механических, электрических, оптических и др.). С ФП связаны особенности реологического поведения материала. Локализация деформаций и гетерогенное деформирование также могут быть результатом этих превращений.
В настоящее время можно выделить два направления исследований фазовых превращений с позиций механики деформируемого тела:
разработка феноменологических моделей, основанных на добавлении к известным определяющим уравнениям соотношений для дополнительных параметров, характеризующих те или иные особенности системы (например, доля мартенситной фазы) и различные структурные уровни протекающих процессов (см., напр., работы В.А.Лихачева, В.Г.Малинина и их школы, А.А.Мовчана). При таком подходе большое значение имеют факторы и взаимосвязи, выбираемые (часто интуитивно) в качестве основных, а достоверность проверяется сравнением следствий модели с соответствующими экспериментальными данными;
рассмотрение фазовых превращений с учетом условий равновесия на границе фаз деформируемого (далее — упругого) материала, влияния симметрии молекулярной структуры на определяющие соотношения, а также включающее детальное описание возникающих под напряжением двухфазных структур (М.А. Гринфельд, Л.М. Трускиновский, В.И. Кондауров, Л.В. Никитин, В.Л. Берди-чевский, Л.М. Зубов, В.А. Еремеев, Н.Ф. Морозов, В.Г. Осмоловский, М. Гартин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Р. Абейаратне, Дж. Волл, Дж. Эриксен, Г. Пэрри, М. Питтери и др.). В русле этого направле-
ния, ставшего возможным благодаря развитию нелинейной теории упругости, и пока еще находящегося, несмотря на ряд серьезных достижений, в стадии становления, выполнена данная работа.
В данном подходе граница фаз упругого материала рассматривается как поверхность разрыва деформаций при непрерывном (в случае когерентных ФП) поле перемещений.
Для такого взгляда имеются как интуитивные, так и формальные основания.
Изменение микроструктуры, с которым связано ФП, приводит к изменению модулей упругости и "собственным" деформациям. Поэтому область новой фазы с точки зрения расчета напряжений может быть рассмотрена как неоднородность. Поле деформаций на границе неоднородности, вообще говоря, разрывно. Следовательно, возникновение такой неоднородности означает появление поверхности разрыва деформаций.
С другой стороны, возникновение в упругом теле равновесного разрывного поля деформаций требует существования в пространстве деформаций точек, в которых нарушается условие сильной эллиптичности уравнений равновесия (неравенство Адамара). Это в свою очередь, может приводить к диаграммам деформирования, подобным кривым Ван-дер-Ваальса при ФП "газ - жидкость".
Формулировка условий на границе фаз как на равновесной поверхности разрыва деформаций (1980-е годы) позволила говорить о разработке адекватных математических моделей механики для описания двухфазных структур, возникающих при деформировании. Вместе с тем, решение конкретных задач наталкивается как на проблемы определяющих соотношений, так и на математические трудности, связанные, в частности, с принципиальной нелинейностью проблемы.
Кроме условий непрерывности векторов перемещения (в случае когерентных ФП) и усилия на границе фаз ставится термодинамическое условие. В результате задача о двухфазной конфигурации становится задачей с неизвестной границей, которая должна удовлетворять этому дополнительному условию (в отличие от расчетов напряжений в составном теле или композитном материале).
В отличие от композита, состоящего из двух материалов, описание двухфазного состояния связано с поведением одного и того же
материала (с единой зависимостью плотности свободной энергии от параметров состояния), в котором в процессе деформирования возникает разрывное поле деформаций. Очевидно, что не каждый материал допускает такое поведение. Как уже отмечалось, в случае достаточно гладкой зависимости плотности энергии от деформаций требуется существование в пространстве деформаций области, в которой нарушается неравенство Адамара.
Это, в частности, сразу же делает невозможным описание ФП в рамках традиционного приближения малых деформаций, когда плотность свободной энергии является непрерывно дифференцируемой квадратичной функцией линейного тензора деформаций . Вместе с тем ФГГ во многих материалах связаны именно с малыми деформациями, что обуславливает актуальность рассмотрения соответствующего приближения.
С другой стороны, даже если материал допускает возникновение статических поверхностей разрыва деформаций, то условия равновесия на границе фаз могут быть удовлетворены не при любых деформациях, в связи с чем в данной работе вводится понятие зоны ФП в пространстве деформаций — области, деформации из которой могут сосуществовать на равновесной границе фаз. Граница зоны ФП определяется свойствами материала и играет роль фазовой диаграммы в пространстве деформаций. Этим определяется актуальность построения зон ФП для разных материалов и анализа фазовых равновесий, соответствующих точкам на границе и внутри зоны.
Отметим, что в классической теории ФП расслоение на фазы связано с существованием в пространстве параметров состояния недостижимых областей неустойчивости материала. В случае ФП при деформировании упругого материала роль этой области играет область неэллиптичности. При этом на границе фаз материал может и в практически интересных случаях сохраняет эллиптичность.
В связи с этим возникает задача соотнесения зоны ФП с областью неэллиптичности. Исследования эллиптичности для различных нелинейно-упругих материалов (Лж. Ноулс, Э. Стернберг, Л.М. Зубов, А.Н. Рудев, А. Розакис) проводились ранее преимущественно с точки зрения формулировки ограничений на определяющие соот-
ношения материала: "нормальный" материал не должен допускать возникновения при деформировании поверхностей разрыва деформаций. Фазовые превращения оказываются возможными только в материалах, теряющих эллиптичность, что позволяетвзглянуть на исследования эллиптичности с новой точки зрения. В работе отмечается, что в традиционных терминах теории фазовых переходов граница зоны ФП соответствует бинодали, граница области неэллиптичности — спинодали, а точки (линии) касания границ зоны ФП и области неэллиптичности — критическим точкам.
Зоны ФП определяют принципиальную возможность существования двухфазных конфигураций — безотносительно граничных условий. Поэтому актуальным является описание деформирования упругих тел с учетом измененяющегося фазового состава (построение диаграмм деформирования, определение изменения в процессе деформирования параметров двухфазной структуры). Решение простейших краевых задач представляется важным как для оценки физической осмысленности используемого подхода, так и для дальнейшего развития теории.
Целью работы является построение в пространстве деформаций зон ФП для упругих материалов в случае конечных и малых деформаций и решение простейших задач описания фазовых превращений упругих тел в процессе их деформирования.
В задачи работы входят:
-
Разработка и реализация процедуры построения зон ФП для изотропных нелинейно-упругих материалов. Построение зон ФП для конкретных нелинейно-упругих материалов. Описание "тонкой структуры" зоны ФП (соотнесение с областью неэллиптичности, поверхностями нулевого скачка, критическими точками).
-
Описание межфазных границ (определение нормали и скачка деформаций на границе фаз), соответствующих различным точкам на границе зоны ФП и внутри зоны.
3. Формулировка определяющих соотношений, допускающих
описание ФП в приближении малых деформаций. Построение зоны
ФП в этом приближении и описание фазовых равновесий, соответ
ствующих точкам на границе и внутри зоны.
-
Решение простейших краевых задач теории упругости с фазовыми превращениями.
-
Разработка модели для описания гетерогенного деформирования упругих тел вследствие множественного возникновения областей новой фазы.
Научная новизна. В работе, по-видимому впервые, сделана попытка систематического исследования всех возможных деформаций, допускающих возникновение в данном материале равновесных двухфазных конфигураций. В результате сформулировано понятие зовы фазовых переходов и дан анализ ее структуры.
Общее рассмотрение конкретизировало для изотропных нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов. Попутно доказана теорема о представлении вектора амплитуды скачка на равновесной поверхности разрыва деформаций. При этом не привлекаются никакие гипотезы, кроме предположений о том, что материал — нелинейно-упругий, а граница фаз является равновесной поверхностью разрыва деформаций при непрерывном поле перемещений.
Сформулированы определяющие соотношения, допускающие описание ФП в приближении малых деформаций. В этом приближении построены зоны ФП и решены простейшие краевые задачи. Показано, что в одном и том же материале в зависимости от траектории деформирования возможен различный тип расслоения на фазы. Показано, что фазовые превращения приводят к появлению на диаграммах деформирования упругих тел участков разупрочнения или упрочнения. Предложена модель для описания гетерогенного деформирования вследствие множественого возникновения областей новой фазы.
Научная и практическая ценность. Пред—ложенный подход к рассмотрению ФП в нелинейно-упругих материалах может быть полезен для дальнейшего развития теории и описания фазовых превращений при деформировании конкретных матералов.
Зона ФП определяет траектории деформирования, на которых возможны или невозможны фазовые превращения, а также предсказывает ориентацию межфазных границ. Построение зон ФП означает по сути построение фазовых диаграмм в пространстве деформаций, причем граница зоны ФП соответствует бинодали, а граница
области неэлиптичности — спинодали.
В развиваемом подходе предполагается знание зависимости плотности свободной энергии от деформаций, что является самостоятельной проблемой. Реконструкция зоны ФП на основе экспериментальных исследований фазовых превращений при частных видах деформирования может оказаться полезной для конструирования упругих потенциалов конкретных материалов и для прогнозирования ФП на произвольных траекториях нагружения.
Представление приближения малых деформаций в виде, удобном для практической реализации, и опыт решения простейших задач могут быть использованы при моделировании конкретных физических явлений, в которых взаимосвязаны процессы деформирования и структурообразования.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 18-м Конгрессе по теоретической и прикладной механике (ЮТАМ, Израиль, Хайфа, 1992), 25-й Европейской конференции по макромолекулярной физике "Ориентационные явления в полимерах" (С.-Петербург, 1992), 2-й Конференции по механике твердого тела (ЕВРОМЕХ, Италия, Генуя, 1994), на семинарах "Проблемы механики разрушения" (С.-Петербургский Дом Ученых, 1995), "Теоретические и прикладные проблемы механики разрушения" (ИПМаш РАН, С.-Петербург, 1995), на XV Международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых твердых тел" (С.-Петербург, 1996), 2-й Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996), XXXII семинаре "Актуальные проблемы прочности" (С.-Петербург, 1996), на научных семинарах в Технионе и Тель-Авивском университете (Израиль, 1992), С.-Петербургском университете (руководитель - член-корр. РАН профессор Н.Ф. Морозов, 1992), Институте химической физики РАН (руководитель - профессор А.А. Берлин, Москва, 1992), Институте проблем механики (руководитель - профессор Р.В. Гольдштейн, Москва, 1996).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав,
заключения, трех приложений, списка цитируемой литературы из
It?- наименований. Общий объем диссертации 2-01-_ страниц,
включая рисунка.