Задачи теории упругости о продольном сдвиге тел со счетным множеством линейных сингулярностей Тимофеева, Наталия Николаевна

Введение к работе

Актуальность темы. Практически во всех реальных твердых телах имеются микротрещины, полости, инородные включения и другие микродефекгы. Под действием приложенных нагрузок они приводят к появлению трещин и их росту, в итоге — к локальному или полному разрушению тел. В процессе эксплуатации, как правило, происходит количественный рост трещин, поэтому в определенный момент можно считать их множество бесконечным. В связи с этим представляют 1еоретический и практический интерес задачи теории упругости для тел с бесконечными множествами сингулярностей различных типов. К насгоящему времени довольно хорошо изучены периодические, квазипернодические и другие связанные с ними краевые задачи теории упругости, которые являются частными случаями задач теории упругости для тел со счетным множеством сингулярностей. Им посвящено огромное число работ, подробный обзор которых имеется в работах В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышнн, Л.Т. Бережницкого, М.Л. Бурышкина, Г.П. Черепанова, Э.И. Григолюка, ЕЛ. Нахмейна, Б.М. Нуллера и др. В случае произвольного расположения сингулярностей систематическое изучение задач теории упругости для областей со счетным множеством сингулярностей начато сравнительно недавно. Полученные в этой области результаты относятся в основном к плоским задачам (С.А. Назаров, Н.Б. Ромалис, В.П. Тамуж, В.В. Сильвестров), в то время, как исследования по продольному сдвигу тел с бесконечным множеством сингулярностей (антиплоским задачам) практически отсутствуют. Поэтому является актуальной разработка новых и обоснование имеющихся методов решения плосктгх задач теории упругости в случае счетного множества сингулярностей применительно к антиплоскпм задачам а также решение самих задач особенно в счучае сингулярностей различных типов.

Цель работы. Разработка аналитаческих методов решения и нахождение решений задач теории упругости о продольном сдвиге тел (однородных и кусочно-однородных) со счетным множеством линейных сингулярностей; анализ напряженно-деформированного состояния вблизи критических точек и вычисление коэффициентов интенсивности напряжений (КИИ).

Метод решения указанных антиплоскнх задач теории упругости также, как плоских задач, основан на теории краевой задачи Римана для счетного множества контуров, разработанной Л.И. Чибриковой, И.Г. Салеховой, М.Ф. Кулагиной и др.

Научная новизна полученных результатов. Обоснование применимости аналитических методов решения основных плоских краевых задач теории упругости для тел со счетным множесгвом коллинеарных сингулярностей к решению задач теории упругости о продольном сдвиге тел со счетным множеством линейных сингулярностей разных типов. В замкнутой форме получено решение ряда новых задач. Получены формулы для КИН вблизи вершин сингулярностей, приведены их расчетные данные для ряда конкретных задач.

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, совпадением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости методов решения плоских задач теории упругости для тел со счетным множеством коллинеарных сингулярностей к решению задач о продольном сдвиге тел со счетным множеством линейных сингуляристей разных типов. Практическую ценность представляют результаты решении ряда конкретных задач и формулы для КИН.

На защиту выносятся:

1. Обоснование метода решения плоских задач теории упругости для тел со счетным множеством сингулярностей, основанного на теории краевой задачи Римана для счетного множества контуров, применительно к решению задач теории упругости в случае продольного сдвига (антиплоских задач).

2. Решения основных краевых задач теории упругости о продольном сдвиге однородного пространства, ослабленного счетным множеством линейных сингулярностей, сгущающихся на бесконечности.

3. Решения основных краевых задач теории упругости о продольном сдвиге кусочно-однородного пространства со счетным множеством линейных сингулярностей, расположенных на поверхности раздела сред и сгущающихся на бесконечности.

4. Решения основных краевых задач теории упругости о продольном сдвиге кусочно-однородного пространства со счетным множеством линейных сингулярностеи, расположенных на поверхности раздела сред и сгущающихся в конечной точке.

5. Аналитические решения и подробные исследования перечисленных задач в случаях периодического расположения сингулярностеи во всей плоскости, только в полуплоскости и при наличии полубесконечной сингулярности; расчетные формулы для КИН в ряде конкретных случаев.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на всероссийском семинаре по актуальным проблемам математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении (Чебоксары, 1996), на седьмой научной межвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 1997), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела (руководитель — профессор Д.Д. Ивлев) и на итоговой научной конференции, посвященной 30-летию Чувашского государственного университета (Чебоксары, 1997).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 88 наименований. Содержит 22 рисунка. Ее текст изложен на 115 страницах.