Введение к работе
Актуальность темы. Для чффектиипоіо решения уравнений теории упругости с заданными начальными к граничными услови-ями представляет интерес исследование возможности такого изменения краевых условий, чтобы модифицированная задача оказалась более доступной для анализа., а различно и результатах было пренебрежимо малым. Необходимость такого подхода диктуется еще и тем, что и ряде чадам отеутстнуег аналитически точная информация о красных условиях, а известны лишь некоторые интегральные характеристики приложенного воздействия.
Общепринятый подход, позволяющий видоизменять красные условия, основан на применении принципа Сен-Венана, которым позволяет корректно заменять реально приложенную нагрузку на дискретный набор сосредоточенных воздействий, что существенно упрошаеі расчетную схему задами и широко используется в различных численных методах.
Однако, принцип, сформулированный Сен-Веианом в 1856 году на основе экспериментальных данных, доказан лишь для областей < гладкой границей. Что же касается возможности применения принципа к областям, контур которых солержіп угловые ТОЧКИ. 1(1 -)И>1 вопрос до сих пор не рассмотрен на строгом математическом vpon-не. Более того, известны примеры, противоречащие классической формулировке принципа. Самым известным из них является задача Карозерга о клине со свободными oi напряжений гранями, находящимся иод действием сосредоточенного в вершине момеїпа.
Цель работы сое тоит в изучении возможное і п применения принципа Сен-Веиапа в клиновидных областях при (латическом и динамическом воздействиях. В згой связи исследуется влияние харакіе-ра распределения нагрузки в окрестности вершины клина на "дальнее" поле напряжений. Рассматривается іакже вопрос о коррск і пости понятия о моменте, сосредоточенном в вершине.
Научная новизна. В диссертации исследуются статическое и динамическое пагружепия клип» силами, создающими момент, приложенный в окрестности вершины. При зточ краевые условия выбираются таким образом, чтобы каждый пч волновых жмеиниадов имел независимые граничные условия.
Получены следующие основные речу. її.їн і ы:
Построено решение задачи о статическом нагружении клина силами, перпендикулярными к граням при отсутствии касательных перемещений границы. Из анализа полученного асимптотического представления упругого поля на больших по сравнению с областью нагружения расстояниях следует, что принцип Сен-Венана может применяться в классической формулировке лишь для клина с углом раствора 2а < it/2. При рассматриваемых граничных условиях предельный переход при стягивании области нагружения к вершине-позволяет определить понятие сосредоточенного в вершине момента для углов 2а < тг.
Для граничных условий <т$в = /(г), ur = 0 решена задача о распространении гармонических волн в клине. Показано, что в случае нагружения, симметричного относительно оси в = О, задача для клина с углом 2а > п не допускает полного разделения волновых потенциалов из-за взаимодействия продольных и поперечных волн при их отражении от острого ребра (г = 0). Близость задачи к акустической позволило, тем не менее, построить явное аналитическое решение.
Исследована задача о распространении гармонических волн в многоугольной области. Построена матрица, зависящая от геометрии области и вида приложенной нагрузки и описывающая взаимное влияние вершин входящих углов.
Показано, что принцип Сен-Венана в общепринятой формулировке не выполняется в задаче о нагружении граней клина гармонической нагрузкой ни для какого угла раствора.
Решена задача о действии сосредоточенного источника тина центра вращения, приложенного во внутренней точке области на малом расстоянии b от вершины. Исследовано предельное решение данной задачи при b -> 0.
Основные результаты диссертации являются попыми.
Методика исследования состоит в применении методо» контурного интегрирования и аппарата интегральных преобразований Меллина и Конторовича-Лебсдева. Асимптотические разложения контурных интегралов в окрестности сингулярных точек области строятся при помощи теоремы о вычетах, метода Cagniar--de Hoop'a. а также метода Мазьи-Пламеневского.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Первом Всероссийском симпозиуме по механике деформируемого твердого тела (Санкт-Петербург, 1994); на первом международном семинаре "Неклассические задачи теории упругости и механики разрушения" (Москва, 1995); на XXIV Международной летней школе ученых-механиков (Зеленогорск, Санкт-Петербург, 1996); на Sommerfeld;96-Workshop "Modern Mathematical methods in Diffraction Theory and its Applications in Engineering" (Freudenstadt, Germany, 1996), на Saint-Venant Symposium "Multiple scale analyses and coupled physical systems" (Paris, 1997), а также на семинарах в Санкт-Петербургском университете, в Техническом1 университете Дар-мштадта (Darmstadt,Germany).
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач в клиновидных областях, и кроме того имеют важное теоретическое значение для дальнейшего осмысления принципа Ceii-Deiiaiia. а также оценки влияния угловой точки в задачах теории упругости.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы и 3-х научных статьях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на параграфы. Список нитрованной литературы содержит 46 маимснований. Объем диссертации с рисунками и библиографией 82 страницы.