Введение к работе
В настоящей диссертационной работе изучаются демпфирующие свойства различных механических систем, поведение которых описывается уравнениями, содержащими несколько независимых параметров дробности (порядков дробных производных). При исследовании линейных динамических процессов, протекающих в таких системах, используется метод преобразования Лапласа, причем в отличии от традиционных численных подходов, решение удается получить в аналитическом виде. Для анализа нелинейных динамических процессов используются методы возмущений в сочетании с разложением дробной производной по малому параметру.
Фундаментальный вклад в решение задач демпфирования"динамических систем внесли: Работнов Ю.Н., Шермергор Т.Д., Мешков СИ., Рос-сихин Ю.А., Дарпнский Б.М., Постников B.C., Bland D.R., Bagley R.L., Torvik P.J., Caputo M., Mainardi F. и другие отечественные и зарубежные ученые. Применение вязкоупругих моделей, содержащих дробные производные и другие дробные операторы, в задачах демпфирования динамических систем рассматривалось в работах РоссихинаЮ.А., Шнтиковой М.В., Bagley R.L., Torvik P.J.
Актуальность темы. В настоящее время возобновился интерес к дробному исчислению и его приложениям к механике сплошных сред. Это связано с тем, что дробным операторам соответствуют не дискретные значения времен релаксации (ползучести)," а непрерывный спектр этих значений. Спектр времен релаксации (ползучести) в большей степени отвечает современным демпфирующим устройствам," в качестве которых используются многослойные обшивки, подложки, прокладки и т.д. Многослойные обшивки используются в различных летательных аппаратах для устранения' вредных вибраций корпусов, подложки применяются при строительстве сейсмостойких сооружений, прокладки выступают в качестве гасите-, лей вредных колебаний различных механизмов. Наличие дополнительного параметра в определяющих уравнениях (параметра дробности) позволяет управлять колебательным процессом в системе, переводя колебательный режим в апериодический и наоборот. Введение нескольких независимых параметров дробности дает возможность более гибко управлять колебательными процессами в системах. Новейшие теоретические и экспериментальные исследования твердых полимеров на основе модели адаптивных связей показывают, что вязкоупругие среды могут трактоваться как нестационарные сети длинных цепочек, связанных друг с другом упругими связями, при этом вязкость материала описывается непрерывным процессом нарушения старых связей и образования новых связей вследствие микро-броуновского движения. Известно, что броуновское движение можно описать уравнениями, которые содержат дробные производные по
времени, поэтому реологические уравнения, описывающие релаксационно-ретардационные процессы, протекающие в твердых' полимерах, содержат дробные производные по времени от напряжений и деформаций.
Данная работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №97-01-00651 и №98-г5-96001).
Основными целями диссертационной работы являются:
1) Изучение демпфирующих свойств механических систем с одной,
двумя и более степенями свободы, вязкоупругие свойства которых опи
сываются реологическими моделями, содержащими дробные производные
различных порядков.
-
Анализ линейных колебаний стержней и балок, демпфирующие свойства которых описываются различными реологическими моделями, содержащими два и более независимых параметра дробности.
-
Исследование зависимостей характеристик колебательного процесса от времени релаксации (ретардации), что эквивалентно исследованию их зависимостей от температуры. v
-
Изучение влияния двух независимых параметров дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при нелинейных колебаниях вязко-упругих систем с двумя степенями свободы.
Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан их численный анализ для следующих 'задач:
-
О свободных колебаниях наследственно-упругого осциллятора на основе обобщенных моделей Максвелла и стандартного линейного тела, содержащих два независимых параметра дробности, а также на базе моделей, содержащих более двух независимых параметров дробности.
-
О свободных колебаниях двухмассовой наследственно-упругой системы на основе обобщенных моделей Максвелла и Фойгта, а также на основе их сочетаний.
-
Об изгпбных колебаниях вязкоупругой балки, лежащей на вязко-упругом основании, о продольных колебаниях вязкоупругого стержня, об . ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду на основе обобщенных моделей Максвелла и стандартного линейного тела, содержащих два независимых параметра дробности. .
4)0 нелинейных колебаниях механической системы, обладающей двумя степенями свободы, при этом исследовано влияние параметров дробности на тип перекачки энергии: двусторонний энергообмен (периодическое движение), односторонний энергообмен (апериодическое движение) и отсутствие энергообмена (стационарные колебания).
Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные резуль-
таты согласуются с общими физическими представлениями. При стремлении параметров дробности к единице полученные решения переходят в известные решения для производных целых порядков. Правильность работы комплекса программ проверена решением тестовых задач.
Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчете современных демпфирующих устройств, представляющих собой многослойные обшивки, подложки и прокладки для вибрирующих частей различных механизмов, а также при расчетах зданий и сооружений на сейсмостойкость. Результаты, полученные при исследовании нелинейных колебаний систем, обладающих двумя степенями свободы, могут быть использованы при расчете висячих' комбинированных систем, находящихся в условиях внутреннего резонанса.
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
Распространение метода решения динамических задач вязкоупруго-стн, предложенного Россихиным Ю.А., на реологические модели, содержащие два и более независимых параметров дробности.
Управление колебательным процессом в вязко-упругих материалах при помощи варьирования значений параметров дробности.
Управление процессом перекачки энергии, происходящим при нелинейных колебаниях вязкоупругих систем с двумя степенями свободы путем варьирования значений параметров дробности.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы
докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-
преподавательского состава Воронежской государственной архитектурно-
строительной академии в 1995-1997 годах, на городском семинаре по ме
ханике твердого тела в 1998 году в г. Воронеж, на XV международной
конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных
элементов в механике деформируемых тел" в 1996 году в г. Санкт- Петер
бург, на международной школе по механике "Scaling in Laws and Fractality
Continuum Mechanics" (A Survey of Methods Based on Renormalization Group
and Fractional Calculus) в 1996 году в г. Удине, Италия, на 5-й международ
ной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в 1998 году в
г. Дубна, на IV международной конференции "Математика. Образование.
Экономика" в 1998 году в г. Чебоксары, на Воронежской школе "Совре
менные проблемы механики и прикладной математики" в 1998 году, на
IV международной конференции "Numerical methods and its applications"
в 1998 году в г. София, Болгария, на конференции "Математическое мо
делирование систем. Методы,' приложения и средства" в 1998 году в г.
Воронеж. '
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 10
публикациях. '
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит 57 рисунков, список использованных источников из 101 наименования.