Введение к работе
Актуальность темы. Многочисленные проблемы геофизики, сейсмики, строительной механики, неразрушающего контроля материалов, акустики, радиолокации и ультразвуковой диагностики требуют изучения процессов распространения упругих, акустических или электромагнитных волн в разнообразных сек-ториальных структурах. Однако, трудность соответствующих математических задач оказывается настолько значительной, что только простейшие задачи дифракции на клиновидных препятствиях могут считаться разобранными с необходимой полнотой. Что же касается таких известных задач, как задачи дифракции упругих волн на свободном или жестко заделанном клине, дифракции акустических волн на полупрозрачном клине или дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом клине, то несмотря на неоднократные попытки, начатые еще в 30-е годы, эти задачи до сих пор остаются нерешенными.
Цель работы состоит в разработке эффективного метода исследования задач о распространении и дифракции волн в гисте-мах секторнально расположенных соприкасающихся клиньев, а также применение разработанного метода к классической нерешенной задаче дифракции плоской волны на свободном от напряжений бесконечном упругом клине с произвольным углом раствора.
Научная новизна. В диссертации получил дальнейшее развитие известный метод Зоммерфельда-Малюжинца, состоящий в сведении задач теории распространения волн в клиновидных областях к системам функциональных уравнений относительно вспомогательных функций комплексной переменной. В тех случаях, .когда все встречающиеся в задаче волны распространяются с одинаковой скоростью, соответствующие функциональные уравнения Г. Д. Малюжинра имеют сравнительно простую структуру уравнений в конечных разностях. Для таких уравнений известны различные схемы исследования, приподящие либо
к явным решениям, либо к какой-нибудь из хорошо изученных задач, допускающей аффективное численное рассмотрение.
Более сложные задачи, такие как задача о распространении упругих волн, характеризуются присутствием нескольких взаимодействующих друг с другом типов волн, имеющих различные скорости распространения. Функциональные уравнения,, соответствующие таким задачам, имеют весьма сложную структуру и ранее не исследовались с должной полнотой.
В диссертации разработан метод исследования функциональных уравнений Г. Л. Малюжинца, возникающих в связи с задачами о распространении волн в секториальвых средах. Метод включает в себя исследование аналитических свойств решений функциональных уравнений Г. Д. Малюжинца; сведение последних к фредгольмовым интегральным уравнениям; аппарат, позволяющий трансформировать решения обсуждаемых интегральных уравнений в физические характеристики волновых полей, причем, как в характеристики, суммарных полей, так и отдельных их компонент, сформированных головными, поверхностными волнами, дифракционными или еще какими-нибудь волнами специального вида.
Метод применен к исследованию известной задачи о дифракции плоской упругой волны на свободном от напряжений упругом клине. Для одного частного варианта такой задачи проведен численный анализ, основанный на вашем подходе. А именно, рассчитаны коэффициенты отражения и прохождения поверхностной ралеевской волны, набегающей на вершину свободного от напряжений клина вдоль одной из его граней. Результаты выполненных расчетов хорошо согласуются с экспериментальными Данными.
Результаты диссертации являются новыми. Их достоверность обеспечивается математическим обоснованием, а эффективность подтверждается выполненными расчетами.
Методика исследования состоит в преобразовании плоских задач динамической теории упругости к фредгольловым интегральным уравнениям. В работе систематически используется методы теории функции комплексной переменной, интегральных преобразований, фредгольмовых и сингулярных интегральных уравнений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на X Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Винница, 1990), на международных Днях дифракции (Ленинград, 1991; Санкт-Петербург, 1992), на Третьей региональной конференции по сейсмическому просвечиванию Земли (Геленджик, 1990), на Втором международном съезде по прикладной математике (ICIAWrai, Washington D. С, 1991), на XXIII Генеральной ассамблее международного союза радиофиэиков (UR-SI'90, Prague, 1990), на X школе-семинаре по дифракции и распространению волн (Москва, 1993), а также на семинарах в Ленинградском и Ростовском государственных университетах, в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН, в Институте прикладных проблем механики РАН, в университетах Калифорний в Беркли (Berkeley. California, 1992, 1993, 1994) и Лос Анжелесе (Los Angeles, California. 1992), в Центрах волнового движения при университете Делавэра (Newark, Delaware, 1992) и при Колорадской Горной школе (Golden, Colorado. 1992), в Кураптовском институте математики (New York City, 1992), в Университете штата Огайо (Columbus, Ohio, 1991), в Университете Дармштадта (Darmstadt, Germany, 1991), в Енсснадском Центре науки и высшего образования (Еп-senada, Baja California, Mexico, 1991, 1992).
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при исследовании различных задач теории распространения упругих, акустических или .электромагнитных волы, возникающих в сейсмике, геофизике, строительной механике, акустике, радиолокации, неразрушающем контроле материалов и т. д. В диссертацию включены результаты
расчетов коаффициевтов рассеяния поверхностных волн Рэлея на свободном от напряжений упругом клине, выполненные в лаборатории механики компьютеров университета штата Калифорния в г, Беркли.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в более чем 20-ти статьях и тезисах конференций.
Структура я объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разделенных на параграфы. Список цитированной литературы содержит 111 наименований. 'Объем диссертации с рисунками и библиографией — 138 страница. Приложение, содержащее тексты программ, занимает 19 страниц уплотненного текста.