Введение к работе
Актуальность темы. Конструкции современных приборов и машин часто представляют собой трехмерные тела сложной криволинейной формы. Они нередко работают в условиях, требующих при расчете на прочность учета конкретной геометрии границ, выявления локальных эффектов в напряженно-деформированном состоянии, вызванных существенной трехмерностью рассматриваемых тел. Если конструкция работает в упругой области, то вышеизложенные требования приводят к постановке пространственной краевой задачи теории упругости.
Существует большое количество методов решения краевых задач трехмерной теории упругости. Классические точные аналитические решения полной системы уравнений трехмерной теории упругости известны для тел канонической формы. Ряд численно-аналитических методов позволяют получить решение некоторого класса задач для тел более или менее отличающихся от канонических.
Решение пространственных задач теории упругости для большинства реальных областей возможно лишь численными методами. Среди многочисленных численных методов выделяются: метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов.
Метод конечных разностей является мощным методом приближенного решения уравнений теории упругости, не накладывающим принципиальных ограничений на размерность задачи и на конфигурацию конструкции. Но трудности с неизбежным ухудшением сходимости по мере увеличения различия исходной области от канонической, а также увеличения размерности задачи, затрудняют расчеты сложных трехмерных объектов. Большое распространение получили подход, когда конечно-разностные аппроксимации используют непосредственно в вариационном уравнении, и подход с использованием метода фиктивных областей.
Метод конечных элементов является наиболее употребительным в современной расчетной практике. Метод нагляден, гибок и универсален, что позволяет в рамках единого программного комплекса предусмотреть возможность исследования весьма широкого класса конструкций. Применение различных трехмерных элементов позволяет анализировать пространственные конструкции.
Ко вычислительные трудности, связанные с быстро увеличивающейся длиной и шириной ленты матриц жесткости и масс, трудности в автоматизированном построении пространственных конечно-элементных сеток и сложность переработки полученных результатов не позволяют конечно-элементному анализу стать сколько-нибудь универсальным средством исследования сложных пространственных конструкций.
Метод граничных элементов использует аппроксимации на границе области. Его главное преимущество состоит в снижении размерности решаемой задачи кг единицу, что в случае исследования трехмерных конструкций весьма существенно. Но его эффективность заметно снижается в случае сложных областей и областей физически неоднородных .
Несмотря на то, что все эти методы достигли высокой степени развития и популярности, создание новых эффективных методов решения задач теории упругости, особенно в трехмерной постановке, остается актуальным во в,сех отношениях.
В начале 80-х предложен новый метод решения пространственных задач теории упругости - метод геометрического погружения С МГП ). МГП позволяет свести исходную задачу для тела произвольной геометрической конфигурации к итерационной последовательности задач на некоторой канонической области . Такой подход позволяет избежать ряд недостатков численных методов, проявляющих себя при решении задач на областях сложной пространственной геометрии.
МГП допускает различную реализацию. .В зависимости от особенностей конфигурации упругого тела очень часто погружение оказывается удобным осуществлять в прямоугольный параллелепипед, круговой цилиндр или сферу. На таких областях наиболее эффективно работает конечно-разностный метод и построение конечно-разностных схем метода геометрического погружения для вариационной постановки задач теории упругости является весьма актуальным.
Целью работы является
создание эффективного алгоритма численной реализации вариационной формулировки МГП для решения пространственных задач однородной и неоднородной теории упругости с использованием вариационно-разностного подхода;
апробация алгоритма и программ на различных зада-
чах теории упругости;
- получение решения ряда конкретных задач по опреде
ленно напряженно-деформированного состояния пространственных
конструкций сложной геометрической формы.
Научная новизна работы1-.
разработан алгоритм решения трехмерных однородных и неоднородных задач теории упругости в декартовой и цилиндрической системах координат, основанный на применении МГП с использованием вариационно-разностного подхода;
проиллюстрирована работоспособность и эффективность предложенного алгоритма при решении ряда задач;
решены новые трехмерные краевые задачи однородной и неоднородной теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния.
Практическая ценность работы состоит в разработанных алгоритмах и программах решения задач однородной и неоднородной теории упругости для тел сложной пространственной конфигурации, основанных на вариационно-разностной реализации МГП.
Достоверность результатов обеспечена строгой математической постановкой и подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости созданных алгоритмов, сравнением полученных результатов с существующими аналитическими решениями и численными результатами, полученными другими авторами.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на XVI научной конференций-молодых ученых С г.Киев, 1989 ), XVII научно-технической конференции молодых ученых и специалистов С г.Харьков, 1990 ), Всероссийской научной конференции " Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов давлением " С г.Пермь, 1990 ), IX Зимней школе по механике сплошных сред С г.Пермь, 1991 ), XV международном научно-техническом совещании по проблемам прочности двигателей С г.Москва, 1994 }.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ Г 1-7 ].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Она занимает 131 стр. машинописного текста, из которых 43 стр. - рисунков, 5 стр. - таблиц, 12 стр.- список литерату-
ры из 99 наименований.