Введение к работе
Актуальность темы.
Традиционно в задачах устойчивости в отношении массовых сил ограничиваются случаем мертвых нагрузок (например вес тела). Но уже для таких нагрузок нахождение критических параметров, сопряженное с интегрированием дифференциальных уравнений равновесия, возможно лишь в некоторых частных случаях.
Основой для эффективных приближенных методов рекения задач устойчивости является энергетический критерий устойчивости, базирующийся на принципах возможных перемещений и возможных изменений напряжений. Такой подход применялся Г.Кирхгофом. Д&.Рэлеем, Да. Брайаном, С. П. Тимошенко.
Со временем внимание стало уделяться более сложному характеру массовых сил, таких как следящие нагрузки, т.е. зависящие от деформаций упругой системы. Так Пановко и Губанова в своих работах выделяют два типа подобных нагрузок.
К первому типу относятся нагрузки, направление которых задано и неизменно, но значения, тем или иным образом меняются в зависимости от перемощенні"! системы. Примером такого нагружения может служить задача об устойчивости защемленного стержня, находящегося меяеду двумя рядами однородных полюсов магнитов.
Второй тип охватывает случаи, когда направление нагрузок следит за перемещениями упругой системы. Классическим примером такого типа нагружения, хотя и не относящегося к случаю массовых нагрузок, является задача об устойчивсоти стержня, нагрукенного реактивной силой.
Было замечено, что при некоторых "следящих" нагрузках с помощью энергетического критерия устоичивотси в его статической постановке определить критические нагрузки не удается. В этих случаях было предложено использовать динамический критерий устой-
чивости. Динамический критерий устойчивости введен Ж.Лагранжем и рассматривался А.Пуанкаре. А.М.Ляпуновым и другими авторами. В этом случае задача сводится к решению дифференциальных уравнений движения системы и изучению поведения этих решений во времени.
В. В. Болотинам были определены условия, при которых статический подход к решению задач устойчивости приводит к тем же результатам, что и более общий, но, вместе с тем. и более трудоемкий, динамический критерий устойчивости. Это условие заключается в самосопряженности краевой задачи. ' Доказано, что в случае консервативных нагрузок, тривиальным частным случаем которых являются "мертвые" нагрузки, задача является самосопряженной и. следовательно, статический подход дает тот же результат, что и динамический.
Гравитационные силы представляют собой особый вид "следящих" массовых нагрузок. Налицо интегральный-характер зависимости от деформаций системы как величины так и направления массовых сил такого типа. Если реактивная нагрузка, в предыдущем примере, относится к классу неконсервативных следящих нагрузок, то силы гравитационного взаимодействия являются консервативными силами, поскольку обладают гравитационным потенциалом.
Гравитационному взаимодействию как самому слабому из четырех типов взаимодействий внимание стало уделяться лишь в последнее время в связи с развитием космической техники. Силы сашгравита-ции - нагрузки, возникающие вследствие взаимного притяжения частиц тела. В условиях открытого космоса различные конструкции можно рассматривать как свободные от каких либо внешних воздействий. Напряженное состояние в них определяется лишь самогравитационными массовыми силами. В этой связи возникает ряд новых задач, напри-
мер, какой длины стержень может устойчиво сохранять свою изначально прямую форму или каковы предельные размеры пластины, остающейся устойчивой в своем докритически плоском состоянии.
Впервые проблема устойчивости классических упругих систем при самогравитации рассматривалась В.И.Феодосьевым. Проблему предлагалось решать статическим методом, путем интегрирования уравнений равновесия. На примере самогравитирующих кольца и стержня, было указано на одну из основных особенностей задач устойчивости при самогравитации, а именно, на сложность определения докритического напряженного состояния системы, более того, одномерное представление кольца и стераня в виде окружности и отрезка приводило в определении массовой нагрузки к неинтегрируемым особенностям.
В. Д. Клгаников предложил решать задачу об устойчивости самог-равитирующсго стержня вариационным методом на основе функционала Тимошенко. Определение стационарного значения функционала предлагалось вести методом Релея-Ритца, задавая функцию прогиба как линейную комбинацию кинематически допустимых функций.
Для задания этого функционала также необходимо определить докритическоо напряженное состояние стержня. Для этого предлагается воспользоваться решением уравнения Пуассона для потенциала гравитационных сил. Но переход в решении к одномерной модели са-могравитирующего отрезка привел к резкому завышению значений объемных сил и, следовательно, к низкому значению критической длины.
Далее к этой проблеме обратились Н.А.Алфутов и В.Г.Попов. За основу решения брался энергетический критерий устойчивости. Используемый ши функционал при условии нерастяжимости оси позволил обойтись в задаче устойчивости без определения докритического
состояния. Решение велось методом Релея-Ритца. В итоге было получено выражение для критической длины. Из которого следует, что стержень из стали, например, имеет критическую длину 14*10б метров.
В приведенных работах явно прослеживалась зависимость результата различных методов решения от размерности рассматриваемой модели. Так представление стержня в основной конфигурации в виде одномерного отрезка приводило к необходимости привлечений дополнительных условий (нерастяжимость оси в решении Н.А.Алфутова и Б. Г. Попова) или даже к невозможности решения у В. И. Феодосьева. В то же время увеличение размерности модели (трехмерный параллелепипед в работе В. И. Феодосьева) делает возможным довести решение до конца. Представляется интересным определить общий характер зависимости решения от размерности системы.
Основной характерной особенность» нагрузок самогравитации является тип интегральной зависимости величины и направления сил от деформации всей системы. Для таких нагрузок, вообще говоря, не пригодны общеизвестные функционалы устойчивости, поскольку самогравитационные нагрузки не относятся к разряду "мертвых". Построение общего для произвольных самогравитирущих систем функционала, учитывающего "живость" нагрузок представляет собой, на наш взгляд, особый интерес.
Научная новизна.
1. Определено докритическое напряженное состояние в элементарных функциях в самогравитирущих стержне и пластинах эллиптической и прямоугольной формы в плане. Для стержня получены верхняя и нижняя оценки критической длины.
-
Построен функционал устойчивости произвольного трехмерного сашгр^йтируЩ[его тела;
-
Получено решение задачи устойчивости самогравитирующего стержня без дополнительных кинематических гипотез.
-
Выявлен характер зависимости наличия неинтегрируемой особенности в функционале от размерности модели. Показано, что в случае трехмерной модели самогравитирующего тела полученный функционал не содержит неинтегрируемой особенности.
-
Показано, что возможны исключения, когда корректный результат следует и из модели меньшей размерности. Так обстоит дело в случае стержня с нерастяжимой осью, при атом замечено, что в случае одномерной модели кольца условие нерастяжимости оси уже не устраняет неинтегрируемую особенность.
-
Предложен приближенный метод решения задач введением гравитационного краевого эффекта.
Практическая ценность.
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в решении задач устойчивости произвольных тонкостенных конструкций при самогравитации, а также при построении функционавлов устойчивости при произвольных консервативных массовых нагрузках.
Апробация работы.
Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре "Неханжа деформируемого твердого тела" кафедры теории пластичности iffy.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,21. Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав и выводов. Список цитируемой литературы включает 27 работ.