Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Круглая двухслойная плита из неогуковского материала 15
1.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости 15
1.2. Употребительные уравнения состояния для эластомеров 22
1.3. Метод наложения малых деформаций на конечные 26
1.4. Постановка задачи устойчивости для круглой плиты 29
1.5. Анализ потери устойчивости 36
Глава 2. Трехслойная прямоугольная плита из неогуковского материала 40
2.1. Постановка задачи устойчивости 40
2.2. Невозмущенное состояние плиты 43
2.3. Уравнения потери устойчивости 46
2.4. Анализ потери устойчивости 53
Глава 3. Трехслойная прямоугольная плита из материала Муни 72
3.1. Постановка задачи устойчивости 72
3.2. Уравнения потери устойчивости 77
3.3. Анализ потери устойчивости 88
Заключение 103
Литература
- Употребительные уравнения состояния для эластомеров
- Постановка задачи устойчивости для круглой плиты
- Невозмущенное состояние плиты
- Уравнения потери устойчивости
Введение к работе
Актуальность работы. В большинстве исследований по трехмерной теории упругой устойчивости рассматриваются либо однородные тела, либо учитывается неоднородность, обусловленная различием свойств материала в разных точках среды. Вместе с тем неоднородность деформируемых тел может обусловливаться также неоднородностью распределения начальных (остаточных) напряжений или наличием в теле предварительно напряженных включений. Подобные включения могут образовываться в результате различных искусственных или естественных процессов в отдельных частях тела, примерами которых могут служить фазовые превращения, процессы роста, химические реакции, пластические деформации и др. Особенностью нелинейно упругих тел с предварительно напряженными включениями является то, что они не имеют единой для всего тела естественной (ненапряженной) отсчетной конфигурации. В ряде случаев единую отсчетную конфигурацию можно выбрать такой, чтобы она была предварительно напряженной для одних частей тела и ненапряженной для остальных. Задачи устойчивости равновесия тел и конструкций, содержащих в исходном состоянии предварительно деформированные части, ранее практически не исследовались, что делает тему диссертации актуальной.
Цель диссертационной работы состоит в постановке и решении задач устойчивости равновесия в рамках трехмерной нелинейной теории упругости для пластин, содержащих предварительно напряженные слои.
Для достижения поставленной цели были решены задачи о потере устойчивости круглой двухслойной и прямоугольной трехслойной плитах при учете предварительных деформаций.
Научная новизна заключается в новой постановке задачи устойчивости нелинейно упругих тел с предварительно напряженными слоистыми включениями. Она состоит из линеаризованных уравнений равновесия, а также граничных
условий на внешних и внутренних границах. Также новыми являются результаты анализа влияния предварительных деформаций на критические нагрузки для круглой и прямоугольной пластинок.
Практическая значимость работы состоит в дальнейшем развитии анализа устойчивости тел и элементов конструкций при учете начальных деформаций/напряжений. Такие задачи представляются важными для моделирования слоистых структур с внутренними технологическими напряжениями, примерами которых являются многослойные стекла, панели солнечных батарей, многослойные пленки, используемые в устройствах гибкой электроники, а также биологические объекты, такие как стенки артерий, оболочки внутренних органов.
Апробация работы. Основные результаты были изложены на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г.Казань, 2015), XV и XVII международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2011, 2014), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (г.Ростов-на-Дону, 2013).
Диссертационная работа была выполнена при поддержке проекта:
Госконтракт № 9.665.2014/К. Статика и динамика нелинейно упругих, микрополярных неоднородных материалов и тонкостенных конструкций, построение решений и идентификация механических свойств. 2014-2016. Руководитель Вату-льян А.О.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных работах [1-10], из них 3 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК [1-3], 4 статьи - в сборниках трудов конференций [4-7] и опубликовано 3 тезиса докладов [8-10].
Работы [1-3] написаны в соавторстве с научным руководителем Л.М. Зубовым. Л.М. Зубову принадлежит общая постановка задач, предложения по выбору методов исследования, обсуждение результатов. Вклад диссертанта состоит в вы-
воде определяющих соотношений, создании программ автоматического решения и исследования решений конкретных задач, проведение численных расчётов всех исследуемых задач и их анализ.
Остальные работы выполнены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 121 страница с 54 рисунками. Список литературы содержит 151 наименование.
Употребительные уравнения состояния для эластомеров
Следующим обобщением является материал Муни, который получается из (1.30) удержанием только линейных слагаемых W = С\(1\ — 3) + С2(І2 — 3), С\ 0, С і 0. (1.32) Нетрудно видеть, что материал Трелоара является частным случаем тела Муни. Закон (1.32) позволяет удовлетворительно описывать деформации некоторых натуральных и вулканизированных резин в довольно широком диапазоне. Однако эксперименты на натуральных резинах при деформациях, превышающих 450-500 процентов, показали на отклонения от закона Муни. Следует отметить, что наряду с материалом Трелоара модель Муни является одной из наиболее употребительных.
Тем не менее, экспериментальные данные по эластомерам потребовали дальнейших исследований. Проведя их, Ривлин и Саундерс обобщили закон Муни следующим образом где вид функции (2 - 3) может быть различным для разных типов материалов. Для (2 - 3) подыскивались различные полиномиальные аппроксимации. Клоснер и Сегал, например, предположили, что (2 - 3) есть кубический полином относительно 2 - 3: Бидерманом предложена форма функции энергии деформации для резин, наполненных серой Не во всех предлагавшихся для формах функция (2 - 3) в (1.33) берется в виде полинома по (2 - 3). Например, Харт-Смит предложил экспоненциально-гиперболический закон Александером предложены такие формы: постоянные материала. Соотношение (1.37) соответствует форме Ривлина–Саундерса (1.33), а (1.38) объединяет в себе характерные черты форм (1.33) и (1.36) и хорошо согласуется с экспериментами на хлоропреновом каучуке. В качестве последнего примера упомянем функцию энергии деформации для силиконового каучука, предложенную Хатчинсоном, Беккером и Лэнделом Эта форма приводит к результатам, хорошо согласующимся с данными как одноосных, так и двухосных испытаний.
В отличие от предыдущих уравнений состояния, в которых использовано представление энергии деформации через инварианты Огденом предложена форма уравнения состояния материала, основанная на представлении энергии как функции главных удлинений 1, 2,
Как и полиномиальная аппроксимация (1.30), модель (1.41) содержит достаточно много материальных постоянных, что с одной стороны облегчает описание экспериментальных зависимостей, но с другой стороны – вызывает трудности, связанные с их идентификацией и необходимостью проведения значительного количества экспериментов. Интересно отметить, что модель Огдена (1.41) широко применяется не только для несжимаемых (резиноподоб-ных) материалов, но и напротив, для материалов, для которых характерна очень большая сжимаемость — полимерных пен [150]. Отличия пен от несжимаемых материалов состоит в использовании разных наборов материальных параметров в (1.41).
Независимо от материала Огдена была предложена двухконстантная модель материала Черных–Шубиной
В механике полимеров используется одноконстантная модель Бартенева-Хазановича, которая также может рассматриваться как частный случай модели Огдена или материала Черных–Шубиной
В зарубежной литературе закон состояния (1.42) также известен как материал Варга (Varga) [25]. Построение аналитических решений на основе уравнений состояния Огдена и других может наталкиваться на трудности вычисления удлинений, а также вычисления полярного разложения градиента деформации [16] в случае неодномерных задач.
Приведенный выше краткий обзор уравнений состояния показывает, что в отличие от линейной упругости изотропного материала, для нелинейной теории упругости характерны различные модели уравнений состояния, которые существенно отличаются как по форме, так и по поведению решений задач статики и динамики. В дальнейшем будем использовать две модели – материалы Трелоара и Муни, чтобы проиллюстрировать влияние нелинейности на потерю устойчивости.
Нелинейность рассматриваемых краевых задач влечет, вообще говоря, неединственность и возможную неустойчивость решений. Устойчивость рав 27
Возмущенное состояние упругого тела. новесия нелинейно упругих тел может быть изучена на основе статического метода Эйлера. Суть метода состоит в определении таких параметров нагру-жения, при которых линеаризованная в окрестности исследуемого деформируемого состояния краевая задача допускает нетривиальные решения. Другими словами, на известное напряженное состояние тела, называемое невозмущенным или докритическим, накладывается малая деформация и изучается вопрос, когда возможны смежные формы равновесия. Фактически линейный анализ потери устойчивости состоит в анализе бифуркаций равновесных решений нелинейно упругого тела. При этом в качестве бифуркационных параметров выступают внешние силы или другие параметры, характеризующие деформированное состояние. Как и в случае потери устойчивости стержней и пластин метод линеаризации оказался эффективен для анализа неустой-чивостей в упругих телах. Для трехмерных нелинейно упругих тел метод линеаризации рассматривался в [13, 15, 16, 21, 33, 35].
Постановка задачи устойчивости для круглой плиты
Уравнения, полученные в Главе 1, естественно распространяются и на случай прямоугольной плиты. Рассмотрим трехслойную плиту со сторонами а и Ъ толщиной 2Н. Верхний и нижний слои плиты имеют толщину /г, а средний - 2/ІІ, так что полутолщина плиты дается формулой Н = h\ + h (Рис. 2.1). Геометрические характеристики приведены для отсчетной конфигурации. Для определенности примем, что в среднем слое действуют начальные напряжения. Таким образом, рассматривается трехслойная плита симметричного по толщине строения, во внутреннем слое которой действуют начальные напряжения, вызванные, например, технологическими процессами. Средний слой толщиной —h\ х% hi предварительно подвергнут однородной деформации и затем жестко скреплен с верхним hi х% h и нижним —h хз —hi слоями по двум плоскостям хз = —hi,xz = hi. Градиент деформации среднего слоя с учетом условия несжимаемости в преднапря-женном состоянии имеет вид Р = аіііі + /ЗІ2І2 + («/3) І3І3, (2.1) где а и /3 — положительные параметры. Они представляют собой параметры предварительной деформации среднего слоя плиты в направлении xi и Х2 соответственно. Как и ранее, Xk — лагранжевы декартовы координаты, а i/c — соответствующие координатные орты, к = 1,2,3.
В отличие от круглой пластинки, для которой начальная деформация определялась одним параметром , для прямоугольной пластинки таких параметров уже два. Это означает, что если в случае круглой пластинки рассматривались состояния однородного растяжения или однородного сжатия для слоя, в случае прямоугольной пластинки число возможных типов деформаций больше. В частности, возможны случаи, когда внутренний слой растянут в одном направлении и сжат в другом. Это делает параметрический анализ устойчивости более сложным.
Трехслойная плита, содержащий преднапряженный средний слой, подвергается однородной деформации, обусловленной нормальной нагрузкой, приложенной к боковым поверхностям 1 = 0,,2 = 0,. Горизонтальные грани плиты 3 = - и 3 = свободны от внешних сил. Таким образом, невозмущенное деформированное состояние составной плиты описывается формулами
В (2.2) 1,2 — постоянные кратностей удлинений в докритическом состоянии составной плиты. Линеаризованные краевые условия на боковых гранях плиты имеют вид #1 = 0, a: W2{xi, Х2-, жз) = 0, гУз(жі,Ж2?жз) = 0, Dn = 0, (2.3) Ж2 = 0, 6 : «ч(жі, Ж2, жз) = 0, гУз(жі, Ж25 з) = 0, D22 = 0. Для тонких плит условия (2.3) соответствуют “шарнирному опиранию”. Линеаризованные условия на горизонтальных границах плиты и условия сопряжения слоев даются формулами z = —Н : D k = 0, (2.4) z = —hi : D 3k = D%k, w k = wki z = h\ : D k = D%k, w k = wki z = H: 1)3/5 = 0, & = 1,2,3. Как и в первой главе в качестве уравнения состояния принимается модель несжимаемого неогуковcкого материала. Относительно ненапряженной отсчетной конфигурации к удельная потенциальная энергия деформации W и тензор напряжений Пиолы D для данного материала задаются следующими выражениями (1.14) и (1.31) W = — Itr(G) — 3 , D = /ІС — рС . (2.5) где /І — модуль сдвига, р — давление. Относительно преднапряженной отсчетной конфигурации к тензор напряжений Пиолы для неогуковского материала cогласно (1.26) имеет вид D = /ІР Р С — р С . (2.6) Линеаризованные уравнения равновесия для неогуковского материала имеют вид [49] V D = 0, (2.7) D = /iVw — PCQ + POCQ VW C " . (2.8) При помощи (1.26) определяется D : ГУ = /ІА Vw — P CQ + P QCQ Vw C " , A = P -P. (2.9) Также необходимо рассматривать для несжимаемого материала линеаризованное условие несжимаемости tr(C " Vw) = 0. (2.10) Таким образом, линеаризованная задача для трехслойной плиты с предварительно напряженным внутренним слоем состоит из линеаризованных уравнений равновесия (1.10), в которых используются линеаризованные уравнения состояния (2.8) или (2.9), а также линеаризованное условие несжимаемости (2.10), дополненные соответствующими граничными условиями (2.3) и (2.4).
Важным частным случаем невозмущенного состояния плиты является кусочно однородное состояние с собственными напряжениями. Речь идет о состоянии, возникающем после самопроизвольной деформации составного тела без приложения внешних сил. В данном случае лицевые плоскости, т. е. горизонтальные границы трехслойной плиты свободны от нагрузки. Отсутствие нагрузки на боковой поверхности плиты понимается приближенно, в осредненном по толщине смысле. Это означает, что распределенные по краю плиты погонное результирующее усилие и погонный результирующий момент тождественно равны нулю.
Невозмущенное плоское напряженное состояние плиты, обусловленное самопроизвольной деформацией описывается формулами D\ = fi\\ — роХї , D i = (1X2 — P0X2 , (2.11) D3 = flX\X2 — P0X1X2, D[ = ціХ\а — р 0Хї , D 2 = Д1А2/З — P0X2 , (2.12) D3 = fiiX\X2 a/3 — P0X1X2. Здесь принято, что модуль сдвига крайних слоев /І отличается от модуля сдвига среднего слоя /ІІ, а через pf0 обозначено давление в докритическом состоянии среднего слоя. Величины ро и р {) находятся из условия равенства нулю вертикальных составляющих напряжений крайних (2.11) и среднего слоев (2.12) и даются выражениями ро = /iAj" А , р 0 = /iiAj" А а 2/3 2. Параметры самопроизвольной деформации плиты находятся следующим образом
Эти два удлинения соответствуют случаю отсутствия внешних сил, здесь деформация вызвана только начальными деформациями внутреннего слоя. Легко проверить, что Ai = А2 = 1, если а = (3 = 1.
На рис. 2.2 и 2.3 построены графики кратности удлинений плиты Ai и А2 в зависимости от начальной деформации среднего слоя при фиксированных параметрах /3 и а, соответственно. Видно, что влияние начальной деформации среднего слоя вдоль осей Х2 и х\ оказывает влияние на кратности удлинений вдоль осей х\ и Х2 для плиты в целом, однако это влияние сводится в основном к сдвигу соответствующих кривых.
Невозмущенное состояние плиты
Как отмечалось во втором параграфе первой главы, в нелинейной теории упругости существует множество уравнений состояния для эластомеров. Одним из недостатков модели Трелоара (неогукова материала), использованной в первой и второй главах, является недостаточно хорошее описание результатов экспериментов при двухосных испытаниях образцов. В этом случае более употребительны уравнения состояния для энергии деформации как функции, зависящей и от второго инварианта меры Коши-Грина. Одной из наиболее употребительных моделей служит модель материала Муни (Муни-Ривлина), для которой W дается (1.32).
Рассмотрим, к чему приводят общие уравнения метода наложения малых деформаций на конечные, приведенные в разделе 3 главы 1, для случая прямоугольной плиты из материала Муни (Муни-Ривлина). Как и ранее примем, что начальные напряжения действуют в среднем слое. Рассмотрим трехслойную плиту со сторонами а и Ъ толщиной 2Н. Верхний и нижний слои плиты имеют толщину /г, а средний - 2/іі, так что полутолщина плиты дается формулой Н = h\ + h (рис. 2.1). Средний слой толщиной —h\ х% hi предварительно подвергнут однородной деформации и жестко скреплен с верхним hi Хз h и нижним —h х% —hi слоями по двум плоскостям Хз = —hi,Xs = hi. Градиент деформации среднего слоя в преднапряженном состоянии с учетом несжимаемости материала имеет вид где а и /3 — кратности удлинения среднего слоя в направлении осей координат.
После этого трехслойная плита подвергается однородной деформации, обусловленной нормальной нагрузкой, приложенной к боковым поверхностям Х\ = а, Х2 = Ъ. Верхняя и нижняя грани плиты х% = — Н и х% = Н считаются свободными от действия внешних сил. Таким образом, начальное деформированное состояние составной плиты описывается такими же формулами, как и в случае материала Трелоара: Приведенные уравнения не отличаются от соответствующих уравнений главы 2. Далее отличия проявляются в уравнениях состояния. В качестве уравнения состояния примем модель несжимаемого материала Муни (1.32), (1.14). Удельная потенциальная энергия деформации W и тензор напряжений Пиолы относительно ненапряженной отсчетной конфигурации к для данного материала задаются следующими выражениями материальная постоянная, имеющая смысл модуля сдвига, р — давление в несжимаемом теле, не выражаемое через деформацию. Здесь для простоты в расчетах будет рассмотрен случай, когда упругие постоянные связаны зависимостью Сч = 0.2С\.
Согласно (1.26) тензор напряжений Пиолы для материала Муни относительно преднапряженной отсчетной к конфигурации имеет вид Нетрудно видеть, что появление зависимости от второго инварианта приводит к более громоздким выражениям для линеаризованных тензоров напряжений. Для материала Муни также необходимо рассматривать линеаризованное условие несжимаемости, как и для всякого несжимаемого материала tr(C Vw) = 0. (3.11) Таким образом, получена линеаризованная задача для предварительно напряженного тела, состоящая из линеаризованных уравнений равновесия (3.8), с использующимися линеаризованными уравнения состояния (3.9) или (3.10), а также линеаризованное условие несжимаемости (3.11), дополненные соответствующими граничными условиями (3.3) и (3.4).
Уравнения потери устойчивости
На рис. 3.2 изображены кривые критических усилий для однородной плиты из материала Муни и для плит со сжатым в двух направлениях средним слоем. Полутолщина плиты Н = 0.05, полутолщина среднего слоя h = 0.025, модули сдвигов слоев равны между собой /І = \і\ = 1. Из рисунка видно, что при увеличении предварительного сжатия среднего слоя величина сжимающих усилий уменьшается, а при а 0.85, /3 0.85 потеря устойчивости возможна при растягивающих усилиях, чего не наблюдалось для плит из неогуковского материала.
На рис. 3.3-3.5 сравниваются кривые критических усилий трехслойной плиты из материала Муни для различных мод выпучивания m,n с кривой критических усилий однослойной плиты. На каждом графике средний слой предварительно сжат при значениях параметров начальной деформации а = (3 = 0.75, а = (3 = 0.85 и а = (3 = 0.9 в двух направлениях. Полутолщина плиты Н = 0.05, полутолщина среднего слоя hi = 0.025, модули сдвигов слоев равны между
На рис. 3.6-3.8 сравниваются кривые критических усилий трехслойной плиты из материала Муни для различных мод выпучивания m,n с кривой критических усилий однослойной плиты. На каждом графике средний слой предварительно растянут при значениях параметров начальной деформации а = (3 = 1.1, а = (3 = 1.15 и а = (3 = 1.25 в двух направлениях. Полутолщина плиты Н = 0.05, полутолщина среднего слоя hi = 0.025, модули сдвигов слоев равны между собой /І = \і\ = 1. По графикам видно, что минимальные абсолютные значения критических усилий достигаются в точке на кривой, соответствующей равномерному сжатию однородной плиты в двух перпендикулярных направлениях. Таким образом, потеря устойчивости составной плиты с предварительно растянутым в двух направлениях средним слоем наступает при больших значениях сжимающих усилий, по сравнению с однослойной плитой, в отличие от плиты с предварительно сжатым средним слоем.
На рис. 3.9-3.11 сравниваются кривые критических усилий трехслойной плиты для различных мод выпучивания m,n с кривой критических усилий однослойной плиты при несимметричных параметрах предварительно деформации среднего слоя. На графиках критические усилия построены для параметров а = 0.75, /3 = 0.85, а = 0.75, /3 = 1 и а = 0.75, /3 = 1.25. Полутолщина плиты Н = 0.05, полутолщина среднего слоя hi = 0.025, модули сдвигов слоев равны между собой /І = \і\ = 1.
На рис. 3.12-3.14 сравниваются кривые критических усилий трехслойной плиты для различных значений модуля сдвига среднего слоя \i\ при различных параметрах предварительно деформации среднего слоя. На графиках критические усилия построены для параметров а = 0.75,/3 = 0.85, а = 0.75,/3 = 1 и а = 0.75,/3 = 1.25. Модуль сдвига крайних слоев /І = 1, полутолщина плита Н = 0.05, полутолщина среднего слоя hi = 0.025. При росте модуля сдвига \i\ увеличивается абсолютные значения усилий бенно хорошо заметно на графиках построенных при 1, 1, а также “распрямляются” кривые усилий.
На рис. 3.15 и рис. 3.16 сравниваются кривые критических усилий трехслойной составной плиты из материала Муни для различных мод выпучивания , с кривой критических усилий однослойной плиты. Полутолщина плита = 0.05, полутолщина среднего слоя i = 0.0125, т. е. соотношение между толщинами слоев \/ = 1/3. Модуль сдвига крайних и среднего слоев = \ = 1. Графики построены для = = 0.85 и = = 1.15. Из сравнения рис. 3.15, рис. 3.16 с рис. 3.4 и рис. 3.7 можно сделать вывод, что уменьшение толщины среднего слоя снижает влияние предварительного напряжения.
На рис. 3.19 и рис. 3.20 сравниваются кривые критических усилий трехслойной составной плиты для различных мод выпучивания m,n и различными модулями сдвига среднего слоя \i\ с критической кривой усилий однородной плиты. Полутолщина плита Н = 0.05, полутолщина среднего слоя hi = 0.0125, т. е. соотношение между толщинами слоев h\/h = 1/3. Модуль сдвига крайних слоев /І = 1.
Проведенный в этой главе детальный анализ позволил сделать следующие выводы. Во многом поведение при выпучивании для материалов Трело-ара и Муни качественно совпадает отличаясь количественно. Качественные отличия наблюдаются при достаточно больших начальных деформациях. Это видимо связано с общими отличиями моделей материалов Трелоара и Муни. Как известно [16, 17], материал Муни более адекватно описывает поведение эластомеров при двухосном нагружении, а также при достаточно больших деформациях. Эти отличия проявляются и при анализе устойчивости.